Modelos con variable dependiente limitada

Transcripción

1 Modelos con variable dependiente limitada Universidad Iberoamericana Diciembre 2014

2 Y es variable aleatoria, toma solo dos valores, uno o cero, asociada a la ocurrencia de un evento (1 ocurre, 0 si no). Ejemplo: admisión a un posgrado, asistir al secundario, etc. x vector de K variables explicativas. Los modelos de elección binaria: son modelos de la probabilidad de ocurrencia del evento denotado por Y condicional en x : p = Pr(Y = 1 x) Ejemplo: probabilidad de que a una persona la admitan a un posgrado, dadas sus calificaciones, de que un banco quiebre dada su situación financiera, etc.

3 Es importante: dado x, y toma solo los valores (0 1): y condicional en x tiene distribución de Bernoulli. Por lo tanto: E(y/x) = 1(p+)(1 p) = p, y Un primer modelo podría ser:

4 Es importante: dado x, y toma solo los valores (0 1): y condicional en x tiene distribución de Bernoulli. Por lo tanto: E(y/x) = 1(p+)(1 p) = p, y V(y/x) = p(1 p) Un primer modelo podría ser:

5 Es importante: dado x, y toma solo los valores (0 1): y condicional en x tiene distribución de Bernoulli. Por lo tanto: E(y/x) = 1(p+)(1 p) = p, y V(y/x) = p(1 p) Un primer modelo podría ser: y = x β + µ, con E[u x] = 0

6 Es importante: dado x, y toma solo los valores (0 1): y condicional en x tiene distribución de Bernoulli. Por lo tanto: E(y/x) = 1(p+)(1 p) = p, y V(y/x) = p(1 p) Un primer modelo podría ser: y = x β + µ, con E[u x] = 0 Este es el modelo lineal de probabilidad (MLP). Los parametros pueden ser estimados consistentemente por MCO, regresando y en x.

7 Tres razones para descartar MLP 1. Genera predicciones inconsistentes con una probabilidad: E(y x) + x β El problema: es que la E(y x) = p tal que 0 E(y x) = p 1. Pero en el modelo lineal general el tema es que x ˆβ. En ese sentido MLP no puede generar general valores cuya predicción se encuentre fuera del rango para un probabilidad.

8 2. La especificación lineal implica: V(µ i x i ) = V(y i x i ) = p i (1 p i ) = x i β(1 x i ) que no es una constante. Por eso se debe de abandona el uso de MCO. E(y x) + x β 3. LPM implica derivadas parciales constantes: δp δx k El resultado es una constante. Pero se debe tomar en cuenta que no es algo que se desee.

9 El modelo ha proponer es el del tipo p = F(x β), donde F() tiene las siguientes propiedades: F( ) = 0, F( ) = 1, f (z) = df(z)/dz > 0

10 Probit: F(z) = z 1 2π e s2 2 ds, Logit: F(z) = ez 1+e z

11 δp δx k = β k f (x i β) que no es constante. Debe notar que sgn( δp δx k ) = sgnβ k de modo que el signo de la derivada es interpretable, no su valor, la derivada depende de donde se la evalúe. Alternativa: derivadas en las medias δp δx kx= x = β k f ( x i β) El efecto marginal en las medias. Se podría hacer en cualquier punto. O graficar esta derivada moviendo solo una variable y fijando las restantes en algún punto interesante.

12 Si X es logiística entonces V(X) = π 2 /3, por lo que V(Z = X 3/π, se puede por lo tanto, mostrar la distribución de Z como una normal Se debe destacar entonces que los coeficientes de la distribución logística son π/ 3 mayores que el probito. Suponga (y i, x i ), i = 1,..., n que es iid. Y i tiene distribución de Bernoulli con p i = Pr(y i = 1) La función de máxima verosimilitud será: L(β) = yi =1 p i yi =0(1 p i ) = n i=1 py i i (1 p 1 y i i ) Defina condiciones de primer orden

13 Luego de estimar los parámetros por máxima verosimilitud: n( ˆβ MV β 0 ) d N(0, V MV ) Significancia individual: H 0 : β k = β 0k vs. H A : β k = β 0k Por lo tanto t k = ˆβ k ˆβ k0 ˆV( ˆ β k )/n d N(0, 1) Significancia conjunta H 0 : r coeficientes del modelo son cero, H A : alguno de ellos es = 0 LR = 2[lnˆL r - lnˆl nr ] d χ 2 (r) En donde ˆL yˆl r son, respectivamente, el valor de la verosimilitud en el el modelo restringido y sin restringir. Este estadístico tiene distribución asintótica χ 2 con r grados de libertad, en donde r es el número de restricciones.

14 El Pseudo R 2 LR = 1 lnl lnl 0 L es el valor máximo de la función de verosimilitud bajo el modelo original y L0 es el valor correspondiente al modelo con solo una constante. Mide el incremento en la capacidad explicativa por considerar un modelo mas completo que solo una constante.

15 Predicciones correctas ˆp x i ˆβ (generalmente, c = 0.5) ŷ i 1[ˆp i > c] (1 si predicción correcta) El porcentaje de predicciones correctas es: H = n i=1 yc i n Sensible a la elección de c. Errores simétricos. Un modelo trivial tiene H 0.5