6. VECTOR DE POYNTING 6.1. TEOREMA DE POYNTING. Campos y Ondas Vector de Poynting Cap.6

Transcripción

1 6. VECTOR DE POYNTING Los campos electromagnéticos en general tienen asociados a ellos energía. Una forma de visualizar esta energía asociada es, por ejemplo, el transporte de la misma que realiza una onda electromagnética al propagarse desde su fuente o generador (antena transmisora por ejemplo), hasta un punto distante de recepción (antena receptora por ejemplo). 6.. TEOREMA DE POYNTING. Existe una relación simple y directa entre la velocidad de transferencia de energía y las amplitudes de los campos eléctrico e intensidad magnética de una onda electromagnética. Esta relación puede ser obtenida a partir de las ecuaciones de Maxwell que expresan las fuentes de rotacional de dichos campos. Si se parte de la ecuación de Maxwell que da la fuente de rotacional del campo intensidad magnética, ecuación que por otra parte expresa la fuerza magnetomotriz, la cual ha sido citada previamente como la ley puntual de Ampere Modificada, se puede escribir que: E J = H ε () t En donde se ha reordenado en forma conveniente la ecuación. La anterior ecuación expresa una relación entre densidades de corriente, la cual multiplicada por el campo eléctrico expresa ahora una relación de potencias por unidad de volumen, como se indica a continuación: E E J = E () ( H) E ε t Si se aplica ahora la siguiente identidad vectorial: ( E H) = H ( E) E ( H ) (3) Se obtiene la siguiente expresión: E J = H ( E) ( E H) ε E E (4) t Si ahora se recuerda la ecuación de Maxwell que expresa la fuente de rotacional del campo eléctrico, ecuación que da la fuerza electromotriz, la cual ha sido citada previamente como ley puntual de Faraday, se tiene que: H E = µ t Reemplazando este valor en la ecuación previa se obtiene: H E E J = µ H εe ( E H) (6) t t Si se recuerda que: (5) H H = H t t y, del mismo modo: E E = E t t Resulta: µ H ε E E J = t t ( E H) (7) (8) (9) Si se integra ahora sobre un volumen V, lo cual da la potencia dentro de dicho volumen, se obtiene que: t µ ( E J) dv = H + E dv ( E H)dv ε (0) Pág.

2 Si se aplica el teorema de la divergencia al último término del miembro derecho de la anterior ecuación, se obtiene: ( E H) dv = ( E H) ds () Con lo cual la ecuación de la potencia dentro del volumen V se puede reescribir de la siguiente forma: µ ε ( E J) dv = H + E dv ( E H) ds t () A continuación se tratará de dar una interpretación física, término a término, de la anterior ecuación. El primer término representa la potencia instantánea disipada dentro del volumen V, lo cual surge como una generalización de la ley de Joule. Lo anterior puede visualizarse si se supone tener dentro del volumen V a un conductor, de área transversal S, por el cual circula una corriente I, con una tensión o diferencia de potencial por unidad de longitud igual a E. En tal conductor se desarrollará una potencia por unidad de longitud igual a E.I. Del mismo modo, la potencia disipada por unidad de volumen será E.I/S = E.J, vatios por unidad de volumen. Se ha supuesto que E y J tienen la misma dirección, lo cual no es siempre cierto en el caso más general. Pero aún para dicho caso más general, la potencia por unidad de volumen estará dada por el producto de J por la componente de E que tenga la misma dirección de J. Es decir que la potencia disipada en un dado volumen será: ( E J)dv (3) Donde en la anterior expresión E representa el valor de campo eléctrico requerido para generar una densidad de corriente J en el medio conductor, correspondiendo dicha expresión a la potencia disipada por efecto Joule, o sea a las pérdidas óhmicas. Si la dirección de E fuese opuesta a la de J, esto implicaría que la potencia dada por la anterior expresión sería negativa. Tal caso ocurre, por ejemplo, cuando se pretende cargar una batería, en cuyo caso E aparece como necesario para vencer la diferencia de potencial o f.e.m. de la batería, y hacer circular la corriente I que carga la batería. Por lo tanto no habría en este caso potencia disipada sino más bien potencia transferida a la batería objeto de la carga. El primer término del segundo miembro de la expresión objeto de este análisis corresponde a la derivada parcial temporal de la integral de la suma de las densidades de energía o energía acumulada por unidad de volumen en los campos eléctrico y magnético. Estas expresiones fueron halladas para el caso de campos estáticos, electrostática y magnetostática respectivamente. Si se supone que estas cantidades siguen representando densidades de energía almacenadas en los campos aunque estos varíen ahora en el tiempo, y no hay razón para suponer lo contrario, la integral de estas densidades de energía sobre el volumen V, representa ahora la energía electromagnética total dentro de dicho volumen. La derivada parcial temporal de esta cantidad, con signo negativo, representa entonces la velocidad conque disminuye la energía electromagnética dentro del volumen V. La explicación del último término se basa en la aplicación de la ley de conservación de la energía. La velocidad de disipación de la energía dentro del volumen V, debe ser igual a la velocidad conque disminuye la energía electromagnética almacenada en V, más la velocidad conque entra energía al volumen V a través de su superficie. El último término debe representar, por tanto, la energía entrante a través de la superficie que limita el volumen. Por lo tanto esta última expresión, con el signo positivo, representa el flujo de energía saliente a través de la superficie que limita el volumen. O sea: ( E H) ds (4) La expresión anterior, en conjunto con la explicación desarrollada, lleva a la conclusión que la integral del producto vectorial de E por H sobre una superficie cerrada, es igual a la velocidad del flujo energético a través de tal superficie. El vector: P = E H (5) Tiene dimensiones de vatios por metro cuadrado. Este vector es conocido con el nombre de vector de Poynting, y el teorema de Poynting establece que dicho vector es una medida de la velocidad de flujo de energía por unidad de área en el punto donde se calcula dicho vector, siendo la dirección de tal flujo de energía perpendicular a E y H, y en el sentido correspondiente al producto vectorial de los mismos. 6.. INTERPRETACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING. La interpretación del vector de Poynting como flujo de potencia por unidad de área, da un concepto de gran utilidad, sobre todo en problemas de radiación, como es el cálculo de la potencia irradiada por una antena, cálculo realizado a Pág.

3 través de la integración del vector de Poynting sobre cualquier superficie, con la única limitación de que tal superficie encierre a la antena emisora. Si bien la integral del vector de Poynting sobre una superficie cerrada da el flujo de potencia sobre dicha superficie, no resulta de ello necesario que el vector de Poynting represente correctamente el flujo de potencia en cada punto del espacio. Para intentar aclarar lo expresado anteriormente, puede suponerse la existencia de un nuevo vector cuya expresión describa realmente el flujo de potencia en cada punto del espacio. Este nuevo vector puede suponerse constituido por la suma de dos términos, uno de ellos el vector de Poynting y el otro un vector T, siendo T el rotacional de algún otro vector, por ejemplo K. T = K Por consiguiente, el flujo neto de potencia a través de cualquier superficie cerrada sería: ( E H + T) ds = ( E H) ds + ( T)dv ( E H + T) ds = ( E H) ds (6) debido a que: K = (7) ( ) 0 Se ve entonces que, incluso si se pudiera hallar una expresión correcta para el flujo de potencia a través de una superficie cerrada, sigue sin ser posible dilucidar donde se halla la energía. Este problema no es precisamente un problema particular del electromagnetismo. La energía potencial total de un peso que se ha elevado es una cantidad fácil de calcular, pero la "distribución" de esta energía es desconocida. El lugar de residencia física de esta energía potencial o de la energía electromagnética, es una cuestión del tipo filosófico, ya que no puede ser contestado en base a medidas que un ingeniero pueda realizar VECTOR DE POYNTING COMPLEJO. Cuando los campos eléctrico y magnético varían armónicamente con el tiempo, el vector de Poynting se convierte en un fasor. En estos casos es importante determinar el valor medio del mismo, el cual puede ser calculado realizando la integración del mismo en un período y dividiendo el resultado por dicho período. Es útil en estos casos, trabajar con notación compleja (fasores) P = E H * Donde: P es un valor medio, no instantáneo. jωt E = a E& = E e (9) E a E 0 a E = versor en la dirección de E (0) * * j ( ωt ξ H = a = ) H H& a H H 0 e () a H = versor en la dirección de H () (8) ξ =desfasaje temporal entre Ey H * (3) H * complejo conjugado de H (4) j ( ωt ξ H = a = e ) H H& a H H 0 (5) La cantidad H y su complejo conjugado H * tienen la misma dirección espacial y la misma amplitud, pero difieren en el signo de sus factores de fase. Si se asume que las direcciones de los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí, el vector de Poynting complejo es normal al plano que contiene a estos campos, y su valor es: Pág. 3

4 P = n jξ E0 H 0 e (6) donde n es el vector unidad normal a los campos eléctrico y magnético. El vector de Poynting medio, esta dado por la parte real del vector de Poynting complejo, o sea: Ppromedio = Re al P = n E0H0 cos ξ (7) donde ξ es el desfasaje temporal entre los campos eléctrico y magnético. Se sobreentiende que Eo y Ho son amplitudes o magnitudes pico de los respectivos campos. Si en su lugar se usan valores eficaces de los mismos, el factor / se debe omitir. La potencia promedio que fluye a través de una superficie cerrada esta expresada por: P promedio * = Re al[ P] ds = Re al[ E H ] ds (8) Si se divide al vector de Poynting por la densidad de energía, se obtiene una cantidad que dimensionalmente es una velocidad, y cuyo significado físico es el de ser la velocidad con que se propaga o transmite la energía. En un medio no dispersivo la velocidad de propagación de la energía es igual a la velocidad de fase. Por ejemplo en un medio no dispersivo y sin pérdidas (dieléctrico perfecto por ejemplo) se tiene que: Vector de Poynting venergía = = v fase (9) Densidad de energía En un medio dispersivo pero sin pérdidas, la velocidad de propagación de la energía es igual a la velocidad de grupo. En un medio con pérdidas, la velocidad de grupo tiende a perder significado físico, no así la velocidad de propagación de la energía. Mientras que la velocidad de fase o la de grupo pueden adoptar valores inferiores o superiores al de la velocidad de la luz, la velocidad de propagación de la energía es siempre inferior a este límite teórico VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA PROGRESIVA. La expresión de la velocidad del flujo de energía por unidad de área es fácilmente verificable en una onda plana progresiva que viaja a la velocidad: v = (30) ( µε ) La densidad de energía total de la onda electromagnética, expresada como la suma de las densidades de energía debidas al campo eléctrico y al campo magnético es: Welectromagnética = Weléctrica + Wmagnética (3) Un hecho importante para resaltar es que ambas densidades de energía, las correspondientes al campo eléctrico y al campo magnético respectivamente, son iguales entre sí, ya que, por ejemplo, para un medio sin pérdidas y no limitado espacialmente, se cumple la siguiente relación entre los módulos de los campos eléctrico y magnético: E H µ = ε (3) Igualdad que introducida en la expresión de la densidad de energía, da por resultado: electromagnética eléctrica magnética W = µ H = εe = W = W (33) Para una onda progresiva que viaja a velocidad v, el flujo de energía por unidad de área, resulta ser: P = ( µ H + εe )v (34) Introduciendo la relación entre campo eléctrico y magnético, impedancia intrínseca del medio, resulta: P = µ µ EH ε EH + µ EH v = v = EH = E H (35) ε ε v Pág. 4

5 Lo cual no es otra cosa que el vector de Poynting. Si se supone ahora que los campos eléctrico y magnético varían armónicamente, se puede hallar la expresión del vector de Poynting complejo, el que para esta onda plana progresiva resulta ser: ε P = E0 sen ( ωt βx) µ El valor medio y el valor pico del vector de Poynting están dados por las siguientes expresiones: ε ε Ppromedio = E0 = E eficaz µ µ (36) (37) Ppico = ε µ Ppromedio = E0 El flujo de energía por unidad de tiempo y unidad de área, o la densidad de potencia por unidad de área o vector de Poynting de una onda plana que viaja en la dirección de las x positivas y que varía senoidalmente en el tiempo, está graficado en la figura 6.. (38) figura 6. En esta figura se muestra el valor del vector de Poynting para dos instantes de tiempo, t = 0 y t = T/8. Los valores de la potencia instantánea por unidad de área están dados sobre una distancia igual a una longitud de onda, en la dirección de x. Si se presta atención a una sola de las dos curvas, por ejemplo la correspondiente a t = 0, se nota que el vector de Poynting es una entidad pulsante, con dos pulsos por cada longitud de onda. Comparando ambas curvas, se nota que los pulsos se mueven hacia la dirección de las x positivas, a medida que el tiempo transcurre. Es así que para un tiempo igual a T/8, la onda de densidad de potencia por unidad de superficie se trasladó /8 de longitud de onda. Para obtener la densidad instantánea de energía de la onda, se divide al vector de Poynting por la velocidad de propagación de la onda, con lo que se obtiene: P ε W = = E sen ( ωt βx) v v µ 0 Dado que la velocidad de propagación es: (39) v = (40) εµ La densidad instantánea de energía resulta: W = εe sen ( ωt βx) (4) 0 Pág. 5

6 Con razonamientos similares a los ya empleados con anterioridad, se pueden calcular las densidades de energía promedio y pico, las que resultan ser: Wpromedio = E = ε 0 µ H0 (4) W = W = ε E = µ H (43) pico promedio VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA. Se supone tener dos ondas planas progresivas, de igual amplitud pero viajando en sentidos opuestos, en un medio dieléctrico ideal (espacio libre por ejemplo). Si estas ondas están polarizadas linealmente, por ejemplo el campo eléctrico tiene componente según el eje y solamente, y que viajan una en el sentido positivo del eje x, con amplitud E, y otra en el sentido negativo del eje x, con amplitud E. El valor instantáneo de la onda compuesta E y resultara ser: E E sen ( ωt βx )+ E sen ( ωt + β x ) (44) y = Las componentes del campo magnético, ubicadas espacialmente según el eje z, pueden ser calculadas con la siguiente relación, derivada de una de las ecuaciones de Maxwell, según ha sido explicitado con anterioridad. Esta relación es: E y µ Hz = (45) x t Si se realizan las operaciones matemáticas correspondientes, se obtiene el valor del campo magnético siguiente: ε ε H z = E sen( ωt βx) E sen( ωt + βx) µ µ La magnitud del vector de Poynting, realizado el producto vectorial correspondiente, es la siguiente: P = E H (47) x y z Si se substituye los valores hallados para los campos eléctrico y magnético en la anterior expresión, la magnitud del vector de Poynting resulta ser: P x ε = µ E sen ε µ ( ωt βx) E sen ( ωt + βx) De acuerdo a la anterior ecuación, el vector de Poynting neto de la onda compuesta resulta ser igual a la diferencia de los vectores de Poynting de la onda incidente menos la reflejada, resultado que intuitivamente parece ser el correcto. Se plantea ahora el caso de que la onda reflejada tenga origen en una reflexión de la onda incidente, al arribar esta a una superficie conductora perfecta. La anterior consideración establece como condición de contorno, si la reflexión se da en un plano normal a la dirección de propagación, que las ondas incidente y reflejada de campo eléctrico tengan la misma amplitud pero signos opuestos (debido a que la componente de campo eléctrico tangencial a una superficie conductora perfecta debe ser nula), es decir que: E = E (49) Es así que se establece una onda estacionaria pura, con un vector de Poynting neto de valor nulo, lo que es equivalente a que la onda completa no transporta energía. Sin embargo resulta interesante examinar con más detalle este caso de onda estacionaria pura, particularmente desde el punto de vista de ubicar en donde está la energía que individualmente transportan cada onda progresiva, ondas incidente y reflejada respectivamente. Para tal fin se halla la expresión de la densidad de energía del campo eléctrico en una onda estacionaria pura, la cual resulta ser igual a: Weléctrica = εe cos ωtsen βx (50) Por otra parte, conocida la expresión del campo intensidad magnética para una onda estacionaria pura: Hz = H sen ω tcos β x (5) (46) (48) Pág. 6

7 Es posible calcular la densidad de energía del campo magnético, que resulta ser igual a: Wmagnética = µ H sen ωtcos βx (5) Si se compara las dos densidades de energía, eléctrica y magnética, a medida que transcurre el tiempo, se observa que cuando una de ellas alcanza su máximo la otra es nula y viceversa. Más aún, los puntos espaciales en donde cada una de las densidades de energía es máximo individualmente, están separados una distancia igual a λ/4. Es decir que las densidades de energía eléctrica y magnética de una onda estacionaria pura están en cuadratura temporal y espacial. La energía oscila entre energía eléctrica y magnética, hablándose en estos casos de energía reactiva o almacenada, pues esta energía no es efectivamente transmitida. En la figura 6. se muestra la variación temporo-espacial de las densidades de energía eléctrica y magnética. figura 6. La expresión del vector de Poynting para esta onda estacionaria pura es la siguiente: P E H cos ω tsen ω t cos β x sen β x (53) x = 4 Si se reemplaza el valor cresta de campo magnético por el valor cresta de campo eléctrico, conocido que la relación entre los mismos es la impedancia intrínseca del medio, se obtiene la siguiente expresión para el vector de Poynting de una onda estacionaria pura: P x 4 ε E cosωt senωt cos βx sen βx µ = (54) Pág. 7

8 El valor cresta del vector de Poynting de una onda estacionaria pura es: ε P xcresta = E µ Se observa que el vector de Poynting alcanza sus máximos para: π ωt = ( n + ) con n =,,... (56) 4 En estos instantes de tiempo, la posición de los máximos es: λ x = ( n + ) con n =,,... (57) 8 En la parte b) de la figura 6. se indica con flechas las direcciones de estos máximos. Como puede apreciarse en esta figura anterior, la energía tiende a agruparse o localizarse en una onda estacionaria pura. También es de resaltar que en una onda estacionaria pura, los puntos de fase constante permanecen estacionarios en el espacio, de lo que se deduce que la concentración localizada de energía está asociada a velocidades de fase no uniformes o estacionarias VECTOR DE POYNTING EN UN MEDIO CONDUCTOR. En este punto se trata el caso de una onda plana progresiva que se propaga en un medio conductor. Para tal onda se hallará el valor del vector de Poynting correspondiente. Se supone que la onda esta linealmente polarizada, con el campo eléctrico según el eje y, y el campo magnético según el eje z, además de viajar según la dirección positiva del eje x. Las expresiones de las ondas de campo eléctrico y magnético que ingresaron al medio conductor, el cual comienza en x = 0, son: & jωt y = E0 e (58) E & j ( ωt ξ = H e ) (59) H z 0 La magnitud escalar del vector de Poynting medio resulta ser: * jξ [ ] = Real[ E& yhz ] = E0H0 Real[ e ] Ppromedio = Real P & (60) o P promedio = E 0 H 0 cosξ (6) Donde E 0 = Amplitud cresta del campo eléctrico. H 0 = Amplitud cresta del campo magnético. ξ = Angulo de fase entre campos eléctrico y magnético. Para este caso, el vector de Poynting tiene la dirección del eje x. Para un medio conductor, el ángulo de fase entre campo eléctrico y magnético es cercano a 45º. Por otra parte, conocido el hecho de que la relación entre campo eléctrico y magnético es la impedancia intrínseca del medio, el vector de Poynting medio puede expresarse como: P promedio * [ H H& Z ] = H Real[ Z ] = H Real[ Z ] = Real & & z z i z i 0 i (6) La anterior expresión resulta de gran utilidad pues permite determinar el valor del vector de Poynting medio, o lo que es equivalente la potencia promedio por unidad de área, en un medio conductor a partir del conocimiento de los valores del campo magnético en la superficie y de la impedancia intrínseca del medio. La potencia absorbida de una onda plana progresiva por parte de un conductor, puede ser convenientemente especificada en términos de corriente inducida en tal medio. Dado que la ley de Ohm puntual establece que: J = σ E (63) (55) Pág. 8

9 La densidad de corriente en el medio varía del mismo modo que el campo eléctrico, ya que la conductividad se supone constante. Así para una onda plana que incide normalmente en un medio conductor, la variación de la densidad de corriente en el medio queda expresada por: x x x j ( + j ) δ = δ = δ J J e e J e (64) 0 0 Donde: J 0 = Densidad de corriente en la superficie del medio. La variación de la densidad de corriente, o equivalentemente la variación del campo eléctrico, como una función de la distancia x dentro del conductor, es del tipo exponencial. Si se asume que el medio conductor se extiende en forma infinita en la dirección positiva del eje x, la corriente total inducida en el medio conductor, por unidad de ancho en dirección del eje z, esta dada por la integral de la densidad de corriente, desde la superficie del medio (x = 0) hasta infinito, es decir: ( x δ A = ) J dx = J 0 e dx = J 0 δ 0 (65) 0 Donde: A = Corriente por unidad de ancho (A/m). J 0 = Densidad de corriente en la superficie (A/m ). δ = /e, profundidad de penetración (m). De esta forma, el área bajo la curva exponencial es igual al área de un rectángulo equivalente de ancho δ según se muestra en la Figura 6.3. Figura 6.3 La corriente total por unidad de ancho, corriente A, es igual entonces a aquella que se obtendría si la densidad de corriente en la superficie se mantuviera constante desde la superficie hasta una profundidad (δ) y luego fuera cero para el resto del conductor. De este hecho es que toma significado la profundidad de penetración /e = δ. La potencia promedio por unidad de área absorbida por el medio conductor esta dada por: P promedio = H 0 Re{ Z i } (66) Pero como: Pág. 9

10 H 0 = A y Re{ Z i } = R (67) La potencia promedio resulta ser: W P promedio = A R (68) m Donde: A=J 0 δ => Corriente por unidad de ancho, en A/m. R=/σδ => Resistencia equivalente de una hoja cuadrada de medio conductor, de espesor δ, en Ω/m. A la resistencia R se la denomina resistencia pelicular, dado que a altas frecuencias la corriente queda normalmente confinada en una capa muy fina de la superficie (equivalente a una película delgada o piel) VECTOR DE POYNTING EN UN CABLE COAXIAL. Se considerará ahora la transferencia de potencia a una carga R, a través de un par de conductores dispuestos concéntricamente, cable coaxial. Sobre dicho cable se aplica una diferencia de potencial continua de valor V, lo cual hace circular una corriente continua, de valor I, por ambos conductores, el interior y el exterior. Se supone, por razones de simplicidad, que la resistencia de ambos conductores es despreciable. El radio del conductor interior es a, y el del conductor exterior es b, según se muestra en la Figura 6.4: Figura 6.4 El campo intensidad magnética adoptará la forma de círculos concéntricos alrededor del eje de simetría del cable coaxial, el valor de este campo puede ser calculado a partir de la Ley de Ampere, que da la fuerza magnetomotriz en cualquiera de estos círculos de campo magnético constante en módulo, es decir que: J ds = I = H dl (69) C En el espacio entre los conductores, y por razones de simetría, el valor del campo intensidad magnética es constante, es decir que: J ds = I = πrh (70) Donde: r = Radio del círculo donde se calcula la fuerza magnetomotriz. Por lo tanto: I H = πr (7) Pág. 0

11 El campo eléctrico estará en dirección radial, ya que se ha supuesto que los conductores no tienen resistencia. Es conocida la expresión que da la diferencia de potencial entre dos conductores concéntricos, calculada por aplicación de la ley de Gauss, la cual es: λ b V = ln πε a Donde: λ = Carga por unidad de longitud. Por otra parte es fácil demostrar la relación entre esta diferencia de potencial y el campo eléctrico, ya que el campo eléctrico resulta ser: E = λ πε r Y por lo tanto, el valor del campo eléctrico en función del potencial es: V E = b r ln a Recordando que la expresión del vector de Poynting es: P = E H (75) Este vector de Poynting está dirigido en forma paralela al eje del cable coaxial, y como los campos eléctrico y magnético son perpendiculares entre sí, el valor del vector de Poynting resulta ser: P = EH (76) El flujo total de potencia a lo largo del cable esta dado por la integración del vector de Poynting sobre cualquier sección transversal. Dado que los conductores se han supuesto perfectos, solo habrá campo eléctrico en la región entre los mismos, lo propio ocurre con el vector de Poynting. Si se integra el vector de Poynting sobre un elemento de área igual a: da = π r dr (77) Se obtiene que el flujo de potencia es: b b V I VI dr W = ( E H) da = rdr = = VI b πr π b (78) r a r ln ln a a a Este resultado resulta evidente, ya que de antemano se sabía que el flujo de potencia en un circuito de las características del aquí tratado es igual al producto de la diferencia de potencial V por la corriente I. Es de resaltar el hecho de que este resultado se obtubo integrando sobre un área que no incluye a los conductores. Es decir que el flujo de potencia es completamente externo a los conductores perfectos. Incluso si estos conductores no fuesen perfectos tampoco habría flujo de potencia en el interior de los conductores, en el sentido del eje del cable, ya que no habría componente del campo eléctrico que sea perpendicular al flujo de la corriente. Si existiría, en este caso de conductores imperfectos, una componente del vector de Poynting en el sentido radial, la cual sería la responsable de proveer las pérdidas que tienen lugar dentro de los conductores, este caso se verá a continuación VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR. Si en un conductor, con conductividad finita, circula una corriente continua, se desarrollará un campo eléctrico dentro de dicho conductor. Este campo tendrá la misma dirección que la corriente, ya que: E = J σ (7) (73) (74) (79) Pág.

12 De esta manera no existirá componente radial del campo eléctrico, lo que implica que no habrá componente del vector de Poynting en el interior del conductor, en la dirección paralela al mismo, sino que la componente de dicho vector será radial. Si se supone que el conductor posee una longitud L, desarrollada en el sentido del eje z, sobre este conductor habrá una caída de tensión entre sus extremos cuyo valor será igual a: V L = E L (80) z El vector intensidad de campo magnético será concéntrico con el conductor, y en la superficie del mismo tendrá el siguiente valor: I H ϕ = (8) πa Donde: a = radio del conductor. Los campos intensidad magnética y eléctrico son perpendiculares entre sí, por lo que la magnitud del vector de Poynting será la siguiente: P = E (8) z H ϕ La dirección de este vector de Poynting será radial al conductor y dirigido hacia el interior del mismo. El flujo total de potencia que fluye hacia el interior del conductor, a través de su superficie será: W = L E z H πadz = VL dz = L I ϕ VI (83) L 0 0 Expresión usualmente empleada para calcular las pérdidas óhmicas en un conductor. Como ya ha sido explicado, puede considerarse que la potencia necesaria para cubrir las pérdidas del conductor, llega al mismo desde el campo exterior entrando por su superficie. Otro aspecto interesante de este ejemplo es considerar cómo continúa el flujo de potencia hacia el interior del conductor. El valor del campo intensidad magnética no varía directamente con el radio, en el interior del conductor, ya que la corriente que encierra tiene la siguiente expresión: I Iint erior = πr (84) πa Por lo tanto el campo intensidad magnética, en el interior del conductor, tendrá la siguiente expresión: r H = πa I (85) La potencia que fluye hacia adentro del conductor, a través de una capa cilíndrica, de radio r<<a, será: VL r W = π rlh = VL I (86) L a Esta última ecuación demuestra que la potencia disipada dentro de una capa es proporcional al volumen encerrado por ella. Por lo tanto, la potencia disipada por unidad de volumen es constante dentro del conductor. Otro ejemplo interesante es el caso de una línea bifilar, formada por dos conductores imperfectos dispuestos en forma paralela. El campo eléctrico sobre dichos conductores no es exactamente radial a los mismos, ya que aparece una componente longitudinal que es la responsable de la existencia de una componente radial del vector de Poynting que provee las pérdidas dentro de los conductores, como fue recientemente explicado. A su vez, la componente radial del campo eléctrico es la que da origen a la componente longitudinal del vector de Poynting, responsable del transporte de energía a lo largo de la línea. El desarrollo de este último ejemplo se deja para el lector APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS. En teoría de campo es usual trabajar con magnitudes puntuales, porque resulta conveniente el uso de funciones puntuales. Así E y H dan los campos eléctrico e intensidad magnética respectivamente en un determinado punto del espacio, mientras que P da la densidad de potencia en dicho punto espacial. Pág.

13 Por otra parte cuando se trata con circuitos es mas conveniente el empleo de magnitudes integrales tales como V, I y P (potencia). El hablar de magnitudes integrales deviene del hecho que la diferencia de potencial o tensión entre dos puntos, es igual a la integral de línea de el campo eléctrico, es decir que: V = E dl (87) De manera similar la cantidad I, corriente a través de un conductor, es igual a la integral de circulación de la intensidad de campo magnético H alrededor de dicho conductor, es decir que: I = H dl (88) Y la cantidad P, por ejemplo potencia disipada en una carga, es igual a la integral del vector de Poynting a lo largo de una superficie que encierra a la carga, es decir que: P = P ds (89) Se considera ahora un circuito consistente en una batería conectada, a través de un par de conductores perfectos, por los cuales circula una corriente, a una carga de resistencia R. Se supone que toda la f.e.m. está concentrada en la batería, y que toda la resistencia esta concentrada en la carga. En tal circuito se desarrolla un campo eléctrico, de modo tal que su integral de línea, partiendo de un borne de la batería y arribando al otro borne da como resultado la diferencia de potencial existente entre los bornes de la batería, y entre los bornes de la carga ya que se supone conductores perfectos, es decir que: V = E dl (90) También se desarrolla en este circuito un campo intensidad magnética H alrededor de los conductores de tal manera que la integral de circulación del mismo da como resultado la corriente que circula por los conductores, es decir que: I = H dl (9) En cualquier punto el vector de Poynting P esta determinado por el producto vectorial de los campos eléctrico e intensidad magnética, es decir que: P = E H (9) La dirección del vector de Poynting, como así también la de los campos eléctrico e intensidad magnética esta sugerida en varios puntos del circuito, en la Figura 6.5: Pág. 3

14 Figura 6.5 Alrededor de la batería (fuente de energía) el vector de Poynting es hacia afuera (positivo). Alrededor de la resistencia (carga) el vector de Poynting es hacia adentro (negativo). En un plano imaginario ubicado a mitad del circuito, el vector de Poynting va de izquierda (batería) a derecha (carga). La potencia total entregada por la batería, o tomada por la carga, esta dada por la integral del vector de Poynting sobre una superficie que encierre a la batería (potencia positiva o generada), o sobre una superficie que encierre a la carga (potencia negativa o disipada), o sobre un plano infinito que divide al circuito como ha sido previamente sugerido. La potencia total sobre la carga será entonces: ( E H) P = ds (93) Donde la superficie de integración encierra a la carga. Los campos E y H son normales entre sí en todos los puntos, y además ellos son tangentes a una superficie cilíndrica que encierra a la carga. Así, por simples consideraciones geométricas, el vector de Poynting para este caso resulta ser: P = E dl H dl = VI (94) Ya que la diferencia de potencial entre extremos del cilindro, diferencia de potencial entre extremos de la carga, es: V = E dl (95) Y la corriente encerrada por el cilindro, corriente que circula por la carga es: I = H dl (96) De este modo, integrando el vector de Poynting sobre el resistor de carga, se obtiene la misma potencia en la carga predicha por la teoría de circuitos. No obstante, desde el punto de vista de la teoría de campo, esta potencia es negativa, ya que se dirige hacia el interior de la superficie de integración que encierra a la carga. En la anterior figura del circuito se muestran algunas líneas de flujo del vector de Poynting. Resulta evidente que el flujo de potencia se desarrolla en el espacio circundante al circuito, actuando los conductores del circuito como guías para dicha potencia. Pág. 4

15 Desde el punto de vista de la teoría circuital, usualmente se dice que los conductores transportan la potencia o que la potencia fluye por los conductores, pero esto no es mas que una simplificación del problema y no representa la situación real. Se puede suponer que existe una placa continua e infinita, perfectamente conductora, colocada en la mitad del circuito y con dos pequeños orificios por los cuales pasan los conductores. El flujo de potencia a través de la placa es nulo, ya que el campo eléctrico es nulo en la misma, y todo el flujo de potencia desde la batería a la carga es a través de los orificios por los cuales pasan los conductores. Ahora el campo eléctrico es muy intenso alrededor de las aperturas, al igual que el vector de Poynting. La integral del vector de Poynting sobre estas aperturas iguala otra vez a la potencia total que fluye desde la batería hacia la carga. Las líneas de flujo del vector de Poynting se adensan sobre los orificios como muestra la Figura 6.6: Figura 6.6 Pág. 5