Capítulo 4: Polinomios

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1 Capítulo 4: Polinomios Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Diciembre de 2016 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

2 Contenido 1 Introducción a los polinomios 2 Divisibilidad 3 Máximo común divisor 4 Factorización. Factores múltiples 5 Congruencias. Teorema chino del resto 6 Factorización en C[x] y en R[x] 7 Factorización en Q[x] 8 Factorización en F p [x] Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

3 Introducción a los polinomios Definición de polinomio Definición (Polinomios con coeficientes en A) Sea A un anillo. Llamaremos conjunto de polinomios con coeficientes en A, y lo denotaremos por A[x], al conjunto de las expresiones de la forma con los a i A y m N. a(x) = a m x m + a m 1 x m a 1 x + a 0, Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

4 Introducción a los polinomios Grado de un polinomio Definición (Grado) El grado de un polinomio a(x), notado grado(a(x)), es el mayor entero n tal que a n 0. El polinomio cuyos coeficientes son todos nulos se llama polinomio nulo y se denota por 0. Por convención, su grado es grado(0) =. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

5 Introducción a los polinomios Algunas definiciones Definición Sea a(x) = n i=0 a ix i k[x] un polinomio no nulo con a n 0 (de grado n). Llamaremos término ĺıder de a(x) al término a n x n, coeficiente ĺıder a a n y término constante a a 0. Un polinomio es mónico si su coeficiente ĺıder es 1. Los polinomios se dicen constantes cuando su grado es cero, así como el polinomio nulo. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

6 Introducción a los polinomios El anillo A[x] Teorema El conjunto A[x] con la suma y producto habituales es un anillo. Además: Si A es un anillo conmutativo, A[x] es conmutativo. Si A es un anillo con elemento unidad, A[x] tiene elemento unidad. Si A es dominio de integridad, A[x] es dominio de integridad. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

7 Introducción a los polinomios El anillo A[x] Teorema El conjunto A[x] con la suma y producto habituales es un anillo. Además: Si A es un anillo conmutativo, A[x] es conmutativo. Si A es un anillo con elemento unidad, A[x] tiene elemento unidad. Si A es dominio de integridad, A[x] es dominio de integridad. Observación Sean los polinomios a(x) = n i=0 a ix i y b(x) = m i=0 b ix i. Entonces: - grado(a(x) + b(x)) máx{grado(a(x)), grado(b(x))}, no dándose la igualdad solamente cuando m = n y a m + b n = 0. - grado(a(x)b(x)) grado(a(x)) + grado(b(x)) (se da la igualdad cuando A es dominio de integridad). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

8 Introducción a los polinomios Unidades de A[x] Teorema Si A es un dominio de integridad, un polinomio de A[x] es una unidad si y sólo si es una constante y es una unidad en A. Es decir, el grupo multiplicativo A[x] de las unidades de A[x] es el grupo A de las unidades de A. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

9 Divisibilidad División eucĺıdea de polinomios Teorema (Teorema de división) Sean f (x), g(x) k[x] dos polinomios, con g(x) 0. Entonces, existen dos únicos polinomios q(x), r(x) k[x] tales que y grado(r(x)) < grado(g(x)). f (x) = q(x)g(x) + r(x) Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

10 Divisibilidad Algoritmo de división Para calcular el cociente y el resto de la división entre f (x) y g(x), de grados respectivos m y n. Si m n tome f 1 (x) = f (x) (a/b)x m n g(x), q 1 (x) = (a/b)x m n. Repita con f 1 (x) y g(x) hasta que grado(f t (x)) < grado(g(x)). El cociente y el resto son q(x) = q 1 (x) q t 1 (x), r(x) = f t (x). Si m < n, el cociente es 0 y el resto el propio f (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

11 Divisibilidad División eucĺıdea de polinomios Corolario (4.2.2) Sea I k[x] un ideal. Entonces I es un ideal principial. Eso es, existe m(x) k[x] tal que I = m(x) k[x] = {f (x)m(x) f (x) k[x]}. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

12 Divisibilidad División eucĺıdea de polinomios Corolario (4.2.2) Sea I k[x] un ideal. Entonces I es un ideal principial. Eso es, existe m(x) k[x] tal que I = m(x) k[x] = {f (x)m(x) f (x) k[x]}. Corolario (Teorema del resto) Sea un polinomio f (x) k[x], y sea un elemento del cuerpo a k. Entonces f (a) es el resto de dividir f (x) por x a. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

13 Divisibilidad Divisibilidad Definición (Divisibilidad) Sean f (x) y g(x ) dos polinomios de A[x], decimos que g(x) divide a f (x), y lo escribimos g(x) f (x) si existe un polinomio h(x) tal que f (x) = g(x) h(x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

14 Divisibilidad Divisibilidad Definición (Divisibilidad) Sean f (x) y g(x ) dos polinomios de A[x], decimos que g(x) divide a f (x), y lo escribimos g(x) f (x) si existe un polinomio h(x) tal que f (x) = g(x) h(x). Observación Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x] si y sólo si es una constante no nula. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

15 Divisibilidad Divisibilidad Definición (Divisibilidad) Sean f (x) y g(x ) dos polinomios de A[x], decimos que g(x) divide a f (x), y lo escribimos g(x) f (x) si existe un polinomio h(x) tal que f (x) = g(x) h(x). Observación Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x] si y sólo si es una constante no nula. En k[x] g(x) f (x) si y sólo si el resto de dividir f (x) entre g(x) es nulo. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

16 Divisibilidad Divisibilidad Definición (Divisibilidad) Sean f (x) y g(x ) dos polinomios de A[x], decimos que g(x) divide a f (x), y lo escribimos g(x) f (x) si existe un polinomio h(x) tal que f (x) = g(x) h(x). Observación Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x] si y sólo si es una constante no nula. En k[x] g(x) f (x) si y sólo si el resto de dividir f (x) entre g(x) es nulo. En k[x], si g(x) f (x) y f (x) g(x) entonces grado(f (x)) = grado(g(x)) y f (x) = a g(x) donde a k \ {0} es una constante no nula. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

17 Divisibilidad Raíz de un polinomio Definición (Raíz de un polinomio) Se dice que un elemento a A es raíz del polinomio f (x) A[x] si f (a) = 0. es decir, si al sustituir x por a en f (x) se obtiene el valor 0. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

18 Divisibilidad Raíz de un polinomio Definición (Raíz de un polinomio) Se dice que un elemento a A es raíz del polinomio f (x) A[x] si f (a) = 0. es decir, si al sustituir x por a en f (x) se obtiene el valor 0. Corolario (Teorema de la raíz) Sea un polinomio f (x) k[x] de grado positivo. Entonces f (x) tiene una raíz a k si y sólo si es divisible por x a. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

19 Divisibilidad Multiplicidad de una raíz Definición (Multiplicidad de una raíz) Sean f (x) A[x] un polinomio y a A una raíz. Se llama multiplicidad de a al mayor entero positivo m tal que (x a) m divide a f (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

20 Divisibilidad Multiplicidad de una raíz Definición (Multiplicidad de una raíz) Sean f (x) A[x] un polinomio y a A una raíz. Se llama multiplicidad de a al mayor entero positivo m tal que (x a) m divide a f (x). Corolario (D Alembert) Un polinomio no nulo f (x) k[x] de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas en k. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

21 Divisibilidad Multiplicidad de una raíz Definición (Multiplicidad de una raíz) Sean f (x) A[x] un polinomio y a A una raíz. Se llama multiplicidad de a al mayor entero positivo m tal que (x a) m divide a f (x). Corolario (D Alembert) Un polinomio no nulo f (x) k[x] de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas en k. Observación (Nota 2.4.6) Hay que hacer notar que este corolario no implica el aserto de que todo polinomio posee tantas raíces como su grado. Este teorema es mucho más profundo e interesante y necesita conceptos que no veremos hasta más tarde. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

22 Máximo común divisor Máximo común divisor Definición (Máximo común divisor) Sean dos polinomios f (x), g(x) k[x]. Un polinomio p(x) k[x] es un máximo común divisor de f (x) y g(x) si verifica: 1. p(x) f (x) y p(x) g(x) 2. Si q(x) es otro polinomio que divide a f (x) y a g(x) entonces q(x) p(x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

23 Máximo común divisor Máximo común divisor Observación (Nota 4.3.1) El máximo común divisor de dos polinomios no es único. Si p(x) = mcd(f (x), g(x)), entonces, para cualquier a k \ {0}, ap(x) = mcd(f (x), g(x)). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

24 Máximo común divisor Máximo común divisor Observación (Nota 4.3.1) El máximo común divisor de dos polinomios no es único. Si p(x) = mcd(f (x), g(x)), entonces, para cualquier a k \ {0}, ap(x) = mcd(f (x), g(x)). Por eso cuando hablamos de un máximo común divisor, podremos acordar que estamos tomando un polinomio mónico y, en esas condiciones, sí que es único. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

25 Máximo común divisor Máximo común divisor Proposición (4.4.2) Sean f (x), g(x) k[x] dos polinomios. Si f (x) = q(x)g(x) + r(x), entonces se tiene que mcd(f (x), g(x)) = mcd(g(x), r(x)) Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

26 Máximo común divisor Máximo común divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) grado(g(x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

27 Máximo común divisor Máximo común divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) grado(g(x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: f (x) = q(x) g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x)) Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

28 Máximo común divisor Máximo común divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) grado(g(x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: f (x) = q(x) g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x)) g(x) = q 0 (x) r(x) + r 1 (x) grado(r 1 (x)) < grado(r(x)) Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

29 Máximo común divisor Máximo común divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) grado(g(x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: f (x) = q(x) g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x)) g(x) = q 0 (x) r(x) + r 1 (x) grado(r 1 (x)) < grado(r(x)) r(x) = q 1 (x) r 1 (x) + r 2 (x) grado(r 2 (x)) < grado(r 1 (x)). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

30 Máximo común divisor Máximo común divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) grado(g(x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: f (x) = q(x) g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x)) g(x) = q 0 (x) r(x) + r 1 (x) grado(r 1 (x)) < grado(r(x)) r(x) = q 1 (x) r 1 (x) + r 2 (x) grado(r 2 (x)) < grado(r 1 (x)). r n 2 (x) = q n 1 (x) r n 1 (x) + r n (x) grado(r n (x)) < grado(r n 1 (x)) Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

31 Máximo común divisor Máximo común divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) grado(g(x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: f (x) = q(x) g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x)) g(x) = q 0 (x) r(x) + r 1 (x) grado(r 1 (x)) < grado(r(x)) r(x) = q 1 (x) r 1 (x) + r 2 (x) grado(r 2 (x)) < grado(r 1 (x)). r n 2 (x) = q n 1 (x) r n 1 (x) + r n (x) grado(r n (x)) < grado(r n 1 (x)) r n 1 (x) = q n (x) r n (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

32 Máximo común divisor Máximo común divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g(x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) grado(g(x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: f (x) = q(x) g(x) + r(x) grado(r(x)) < grado(g(x)) g(x) = q 0 (x) r(x) + r 1 (x) grado(r 1 (x)) < grado(r(x)) r(x) = q 1 (x) r 1 (x) + r 2 (x) grado(r 2 (x)) < grado(r 1 (x)). r n 2 (x) = q n 1 (x) r n 1 (x) + r n (x) grado(r n (x)) < grado(r n 1 (x)) r n 1 (x) = q n (x) r n (x). Este proceso es finito y, con las notaciones anteriores, mcd(f (x), g(x)) = r n (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

33 Máximo común divisor Identidad de Bézout Teorema (Identidad de Bézout) Sean f (x) y g(x) dos polinomios de k[x] no nulos y sea d(x) = mcd(f (x), g(x)). Entonces existen unos polinomios a(x), b(x) k[x] tales que d(x) = a(x) f (x) + b(x) g(x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

34 Factorización. Factores múltiples Polinomio irreducible Definición (Polinomio irreducible) Un polinomio p(x) k[x] es irreducible si no es una constante, y si el que podamos escribir p(x) = f (x)g(x) implica que uno de los dos factores sea una unidad (una constante). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

35 Factorización. Factores múltiples Polinomio irreducible Definición (Polinomio irreducible) Un polinomio p(x) k[x] es irreducible si no es una constante, y si el que podamos escribir p(x) = f (x)g(x) implica que uno de los dos factores sea una unidad (una constante). Proposición (4.4.1) Sea p(x) k[x] un polinomio irreducible. Si f (x) es un polinomio que no es divisible por p(x), entonces mcd(f (x), p(x)) = 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

36 Factorización. Factores múltiples Irreducibilidad Proposición (Teorema de Euclides) Sea p(x) k[x] un polinomio irreducible. Dados dos polinomios f (x), g(x) k[x], si p(x) f (x)g(x), entonces p(x) divide a alguno de los dos. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

37 Factorización. Factores múltiples Irreducibilidad Teorema (Descomposición en factores irreducibles) Cualquier polinomio no constante de k[x] es irreducible o factoriza en producto de polinomios irreducibles. Este producto es único en tanto que si tenemos dos factorizaciones de f (x) en producto de polinomios irreducibles en k[x] de la forma f (x) = p 1 (x) p s (x) = q 1 (x) q t (x) necesariamente s = t y existe una correspondencia uno a uno entre los factores p 1 (x),..., p s (x) y q 1 (x),..., q t (x) donde si p i (x) se corresponde con q j (x), existe un α k \ {0} tal que p i (x) = αq j (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

38 Factorización. Factores múltiples Irreducibilidad Proposición (4.4.3) Sea I = (f (x)) k[x] un ideal. Entonces son equivalentes las siguientes condiciones: 1. I es maximal. 2. I es primo. 3. f (x) es irreducible. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

39 Factorización. Factores múltiples Derivada de un polinomio Notación - f (x) es el polinomio que se obtiene al derivar f (x); - D : k[x] k[x] es la función que a cada polinomio le asocia su derivada. Esto es, D(f (x)) = f (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

40 Factorización. Factores múltiples Derivada de un polinomio Notación - f (x) es el polinomio que se obtiene al derivar f (x); - D : k[x] k[x] es la función que a cada polinomio le asocia su derivada. Esto es, D(f (x)) = f (x). Definición (Derivada de un polinomio) La derivada de un polinomio f (x) viene definida por las siguientes reglas: 1- Si f (x) = ax n con a k, entonces D(ax n ) = nax n 1. (Si n = 0, D(a) = 0.) 2- Si f (x) = g(x) + h(x), entonces D(f (x)) = D(g(x)) + D(h(x)). Esto es, la derivada es un homomorfismo de grupos aditivos. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

41 Factorización. Factores múltiples Propiedades de la derivada de polinomios Proposición (4.4.4) Para cualesquiera polinomios f (x), g(x) k[x] y para todo natural s > 1 se verifica que: 1 D(f (x)g(x)) = f (x)d(g(x)) + g(x)d(f (x)). 2 D(f (x) s ) = sf (x) s 1 D(f (x)). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

42 Factorización. Factores múltiples Factores múltiples de un polinomio Teorema (Factores múltiples de un polinomio) Sea f (x) k[x] un polinomio, donde k {Q, R, C}. Entonces f (x) tiene factores múltiples si y sólo si f (x) y f (x) no son primos entre sí. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

43 Factorización. Factores múltiples Factores múltiples de un polinomio Teorema (Factores múltiples de un polinomio) Sea f (x) k[x] un polinomio, donde k {Q, R, C}. Entonces f (x) tiene factores múltiples si y sólo si f (x) y f (x) no son primos entre sí. Observación (Nota 4.4.5) La especificación de que el cuerpo de coeficientes es Q, R o C no es irrelevante. En efecto, en la segunda implicación hemos usado que un polinomio de grado mayor que 1 no puede dividir a su derivada. Esto en cuerpos como F p no es cierto ya que, por ejemplo, f (x) = x es un polinomio irreducible de F 3 [x] que verifica que f (x) = 0 y, por tanto f (x) f (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

44 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios Definición (Congruencia de polinomios) Sea p(x) k[x] un polinomio. Dados dos polinomios f (x), g(x) k[x], diremos que f (x) y g(x) son congruentes módulo p(x), y escribiremos si p(x) divide a f (x) g(x). f (x) g(x) (mod p(x)), Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

45 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios Proposición (4.5.1) Si un polinomio m(x) tiene grado d, cualquier clase de congruencia módulo m(x) tiene un único representante r(x) de grado estrictamente menor que d. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

46 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios Proposición (4.5.1) Si un polinomio m(x) tiene grado d, cualquier clase de congruencia módulo m(x) tiene un único representante r(x) de grado estrictamente menor que d. Observación Dicho de otro modo, lo que esto prueba es que el conjunto de polinomios de k[x] de grado estrictamente menor que el de m(x) es un conjunto completo de representantes para k[x]/(m(x)). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

47 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios: Ejemplo Sea m(x) = x Q[x]. Por la proposición, cada elemento de Q[x]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

48 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios: Ejemplo Sea m(x) = x Q[x]. Por la proposición, cada elemento de Q[x]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como multiplicando por x tenemos que x 2 1 (mod x 2 + 1), x 3 x (mod x 2 + 1). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

49 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios: Ejemplo Sea m(x) = x Q[x]. Por la proposición, cada elemento de Q[x]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como multiplicando por x tenemos que x 2 1 (mod x 2 + 1), x 3 x (mod x 2 + 1). En general, es fácil ver por inducción en n que x 2n ( 1) n (mod x 2 + 1), x 2n+1 ( 1) n x (mod x 2 + 1). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

50 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios: Ejemplo Sea m(x) = x Q[x]. Por la proposición, cada elemento de Q[x]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como multiplicando por x tenemos que x 2 1 (mod x 2 + 1), x 3 x (mod x 2 + 1). En general, es fácil ver por inducción en n que x 2n ( 1) n (mod x 2 + 1), x 2n+1 ( 1) n x (mod x 2 + 1). Como Q es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menor o igual que 1 en Q[x], y por tanto Q[x]/(x 2 + 1) es un conjunto infinito. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

51 Congruencias. Teorema chino del resto Congruencia de polinomios: Ejemplo Sea m(x) = x Q[x]. Por la proposición, cada elemento de Q[x]/(m(x)) tiene un representante de grado menor o igual que 1. Como multiplicando por x tenemos que x 2 1 (mod x 2 + 1), x 3 x (mod x 2 + 1). En general, es fácil ver por inducción en n que x 2n ( 1) n (mod x 2 + 1), x 2n+1 ( 1) n x (mod x 2 + 1). Como Q es un cuerpo infinito, existen infinitos polinomios de grado menor o igual que 1 en Q[x], y por tanto Q[x]/(x 2 + 1) es un conjunto infinito. Si utilizáramos ahora F 3 en lugar de Q, por lo anterior tendríamos que (F 3 )[x]/(x 2 + 1) = { 0, 1, 2, x, x + 1, x + 2, 2x, 2x + 1, 2x + 2 }. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

52 Congruencias. Teorema chino del resto Teorema chino del resto Teorema (Teorema chino del resto) Sean m 1 (x),..., m n (x) k[x] polinomios primos entre sí dos a dos, y sean a 1 (x),..., a n (x) k[x] otros polinomios arbitrarios. Entonces existe f (x) k[x] tal que: f (x) a 1 (x) f (x) a 2 (x). f (x) a n (x) (mod m 1 (x)) (mod m 2 (x)). (mod m n (x)) Además, para que el polinomio f (x) k[x] sea otra solución es condición necesaria y suficiente que se verifique que f (x) f (x) (mod m 1 (x)m 2 (x) m n (x)). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

53 Congruencias. Teorema chino del resto Sistemas lineales de congruencias Para resolver el sistema f (x) a i (x) (mod m i (x)), i = 1,..., n, siendo los m i (x) polinomios primos entre sí y los a i (x) polinomios cualesquiera. ( n ) Tome, para cada i, l i (x) = j=1 m j(x) /m i (x). Aplique la identidad de Bézout a cada pareja l i, m i para obtener la igualdad Las soluciones son 1 = α i (x)m i (x) + β i (x)l i (x). f (x) = a 1 (x)β 1 (x)l 1 (x) + a 2 (x)β 2 (x)l 2 (x) a n (x)β n (x)l n (x), y los polinomios congruentes con él módulo n j=1 m j(x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

54 Factorización en C[x] y en R[x] Teorema fundamental del álgebra Teorema (Teorema fundamental del álgebra) Todo polinomio f (x) C[x] de grado positivo tiene una raíz compleja. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

55 Factorización en C[x] y en R[x] Teorema fundamental del álgebra Teorema (Teorema fundamental del álgebra) Todo polinomio f (x) C[x] de grado positivo tiene una raíz compleja. Corolario Todo polinomio f (x) C[x] de grado positivo, digamos n, tiene n raíces en C, esto es, se puede escribir como donde α, α i C. f (x) = α n (x α i ), i=1 Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

56 Factorización en C[x] y en R[x] Factorización en R[x] Proposición Todo polinomio de R[x] de grado impar tiene una raíz en R. Todo polinomio se descompone en producto de polinomios de grados 1 o 2 (los cuales son irreducibles si y sólo si sus raíces son complejas no reales). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

57 Factorización en Q[x] Polinomios de grado 2 o 3 Sea f (x) k[x] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f (x) es reducible si y sólo si tiene una raíz en k. En efecto, el hecho de que f (x) sea reducible es equivalente a decir que tiene un divisor que es de grado 1. Si éste es ax b, entonces b/a es una raíz de f (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

58 Factorización en Q[x] Polinomios de grado 2 o 3 Sea f (x) k[x] un polinomio de grado 2 o 3. En ese caso, f (x) es reducible si y sólo si tiene una raíz en k. En efecto, el hecho de que f (x) sea reducible es equivalente a decir que tiene un divisor que es de grado 1. Si éste es ax b, entonces b/a es una raíz de f (x). Naturalmente, lo anterior no funciona para grados mayores. Un polinomio de grado 4 se puede descomponer, por ejemplo, en dos factores irreducibles de grado 2, como x 4 + 3x en Q, luego no tiene por qué tener raíces en k Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

59 Factorización en Q[x] Regla de Ruffini Proposición (4.7.1) Sea el polinomio f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Z, i = 0, 1,..., n, de grado n > 0. Supongamos que f (x) tiene una raíz racional α = a/b con a y b primos entre sí. Entonces a a 0 y b a n. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

60 Factorización en Q[x] Lema de Gauss Definición (Contenido de un polinomio) Dado un polinomio f (x) Z[x] no nulo, se llama contenido de f (x) al máximo común divisor de sus coeficientes. Se denota por c(f ). Se dirá que f (x) es primitivo si su contenido es 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

61 Factorización en Q[x] Lema de Gauss Definición (Contenido de un polinomio) Dado un polinomio f (x) Z[x] no nulo, se llama contenido de f (x) al máximo común divisor de sus coeficientes. Se denota por c(f ). Se dirá que f (x) es primitivo si su contenido es 1. Teorema (Lema de Gauss) El producto de dos polinomios primitivos es primitivo. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

62 Factorización en Q[x] Consecuencias del Lema de Gauss Corolario (4.7.2) Si f (x), g(x) Z[x] son polinomios no nulos, entonces c(fg) = c(f )c(g). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

63 Factorización en Q[x] Consecuencias del Lema de Gauss Corolario (4.7.2) Si f (x), g(x) Z[x] son polinomios no nulos, entonces c(fg) = c(f )c(g). Corolario (4.7.3) Sea f (x) Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n, que se descompone en Q[x] en producto de dos polinomios de grados estrictamente menores que n. Entonces, se descompone en Z[x] en producto de dos polinomios de esos mismos grados. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

64 Factorización en Q[x] Consecuencias del Lema de Gauss Corolario (4.7.2) Si f (x), g(x) Z[x] son polinomios no nulos, entonces c(fg) = c(f )c(g). Corolario (4.7.3) Sea f (x) Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n, que se descompone en Q[x] en producto de dos polinomios de grados estrictamente menores que n. Entonces, se descompone en Z[x] en producto de dos polinomios de esos mismos grados. Corolario (4.7.4) Sea f (x) Z[x] un polinomio de grado positivo, digamos n, y primitivo. Entonces f (x) es reducible en Z[x] si y sólo si lo es en Q[x]. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

65 Factorización en Q[x] Criterio de Eisenstein Proposición (Criterio de Eisenstein) Sea un polinomio de grado n > 0 f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, a i Z, i = 0, 1,..., n. Supongamos que existe un elemento irreducible p Z que divide a todos los coeficientes, salvo a a n, y cuyo cuadrado p 2 no divide a a 0. Entonces f (x) es irreducible en Q[x]. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

66 Factorización en Q[x] El método de los interpoladores de Lagrange Polinomios interpoladores de Lagrange Algoritmo (Polinomios interpoladores de Lagrange) Para factorizar un polinomio f (x) Z[x]. Sea d = n/2, tome d + 1 enteros distintos a i. Forme la (d + 1)-upla (f (a i )). Forme todas las posibles (d + 1)-uplas (s i ) formadas por divisores de los f (a i ), y resuelva el sistema g(x) s i (mod x a i ), para todo i, y todas las (d + 1)-uplas que no se diferencien en un signo. Si f (x) es reducible, de entre las soluciones no constantes, al menos dos serán un factor de f (x). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

67 Factorización en Q[x] El método de los interpoladores de Lagrange Ejemplo Sea el polinomio f (x) = x 4 + x 3 + x 1 Z[x], primitivo. Como tiene grado 4, elegimos 5 puntos cercanos al cero para evitarnos hacer cuentas más latosas. Calculamos los valores que toma f (x) en esos puntos: f ( 2) = 5, f ( 1) = 2, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 25. Podemos formar uplas distintas, de las que nos quedamos con 384, la mitad. Evidentemente no vamos a comprobar todas ellas. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

68 Factorización en Q[x] El método de los interpoladores de Lagrange Ejemplo Probemos con la 5 upla (1, 1, 1, 1, 5). Tenemos así el siguiente sistema de congruencias: g(x) 1 (mod x + 2) g(x) 1 (mod x + 1) S : g(x) 1 (mod x), g(x) 1 (mod x 1) g(x) 5 (mod x 2) que tiene como solución al polinomio x 2 + x 1. Si dividimos f (x) entre aquél, obtenemos como cociente x 2 + 1, que se conseguía al tomar la 5 upla (5, 2, 1, 2, 5). Por consiguiente, f (x) es reducible, y como los de grado 2 que hemos obtenido son irreducibles sobre Q, hemos terminado de calcular su descomposición. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

69 Factorización en F p[x] Factorización en F p [x] Sea f (x) = a n x n a 1 x + a 0 Z[x] primitivo, sea p un primo que no divida a a n, y llamemos f (x) al polinomio f (x) = a n x n a 1 x + a 0 F p [x], siendo a i = a i (mod p), 0 i n. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

70 Factorización en F p[x] Factorización en F p [x] Sea f (x) = a n x n a 1 x + a 0 Z[x] primitivo, sea p un primo que no divida a a n, y llamemos f (x) al polinomio f (x) = a n x n a 1 x + a 0 F p [x], siendo a i = a i (mod p), 0 i n. Proposición (4.8.1) Si f (x) es irreducible en F p [x], entonces f (x) es irreducible en Q[x]. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

71 Factorización en F p[x] Ejemplo Sea f (x) = x 4 x 3 + x 2 x + 1 Z[x]. Tomemos p = 2. Entonces f (x) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 F 2. Ya que f (0) = 1 y f (1) = 1, f (x) no tiene raíces en F 2. Intentemos factorizar f (x) de forma artesanal. Como en caso de ser reducible, ningún factor de la descomposición de f (x) sería de grado 1, pongamos por caso que f (x) = (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

72 Factorización en F p[x] Ejemplo Como otras veces, operando e igualando coeficientes obtenemos el sistema 1 = a + c 1 = b + ac + d S : 1 = ad + bc 1 = bd La última ecuación nos dice que b = d = 1, y sustituyendo en el resto nos quedamos con { 1 = a + c S :, 1 = ac que no tiene solución. Por tanto, f (x) es irreducible en F 2 y así, por la proposición, f (x) es irreducible sobre Q. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

73 Factorización en F p[x] El recíproco no es cierto Observación (Nota 4.8,3) Si bien en apariencia este procedimiento simplifica los cálculos a la hora de estudiar si un polinomio es o no irreducible sobre Q, tiene un grave inconveniente. El recíproco de la proposición anterior es falso. Por ejemplo, el polinomio x es irreducible sobre Q, pero f (x) = x 2 F 2 [x] es reducible, o el polinomio x 2 x + 1, irreducible en Q y con f (x) reducible en F 3. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

74 Factorización en F p[x] El algoritmo de Berlekamp Teorema de Berlekamp Teorema (Teorema de Berlekamp) Sea f (x) F p [x] de grado n, sin factores múltiples y mónico, y supongamos que existe un polinomio g(x) tal que Entonces f (x) = f (x) (g(x) p g(x)). p 1 s=0 mcd(f (x), g(x) s), aunque varios de estos factores pueden ser polinomios constantes. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

75 Factorización en F p[x] El algoritmo de Berlekamp Algoritmo de Berlekamp Para factorizar un polinomio f (x) F p [x] de grado n. Para cada i = 0,..., n 1, efectúe las divisiones de x ip entre f (x) para obtener los restos r(x) = r 0i + r 1i x r n 1,i x n 1. Construya la matriz R = (r ij ), y plantee el sistema lineal (R I n ) x = 0. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

76 Factorización en F p[x] El algoritmo de Berlekamp Algoritmo de Berlekamp Si el sistema no tiene solución, f (x) es irreducible. Si tiene una solución (a 0,..., a n 1 ) t que represente a un polinomio no constante, f (x) se descompone como p 1 s=0 mcd ( f (x), (a 0 s) + a 1 x a n 1 x n 1). Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

77 Factorización en F p[x] El algoritmo de Berlekamp Ejemplo Sea f (x) = x 4 + x 3 + x + 2 F 3 [x]. Dividimos determinadas potencias de x entre f (x) y obtenemos: 1 = q 0 (x)f (x) + r 0 (x) = 0 f (x) + 1 x 3 = q 1 (x)f (x) + r 1 (x) = 0 f (x) + x 3 x 6 = q 1 (x)f (x) + r 1 (x) = q 2 (x)f (x) x + 2x 2 + x 3 x 9 = q 1 (x)f (x) + r 1 (x) = q 3 (x)f (x) + x Los cocientes no los hemos indicado todos porque sólo nos interesan los restos para formar la matriz. En nuestro caso, R = Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49

78 Factorización en F p[x] El algoritmo de Berlekamp Ejemplo El sistema lineal en F 3 [x] que tenemos que resolver es x = 0, que tiene como solución cualquier vector de la forma x = (α, β, 0, β) t, donde α, β F 3. Si tomamos α = 1, β = 0, obtenemos la constante 1, que obviamente cumple que f (x) = 0. Escogiendo pues α = 0, β = 1 conseguimos la descomposición f (x) = mcd(f (x), x 3 + x) mcd(f (x), x 3 + x + 1) mcd(f (x), x 3 + x + 2) = (x 2 + 1) (x 2 + x + 2) 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Capítulo 4: Polinomios Diciembre de / 49