Apuntes. Vâxáà ÉÇxá ÜxáâxÄàtá xáñtv Éá äxvàéü täxá. Universidad

Transcripción

1 Vâxáà ÉÇxá ÜxáâxÄàtá xáñtv Éá äxvàéü täxá Universidad

2 CUESTIONES RESUELTAS 1. Demostrar, a partir de la definición de Espacio Vectorial, las siguientes consecuencias de la misma: ( Nota: Para mayor agilidad en el proceso deductivo, nombraremos P 1 a P 8 las ocho propiedades de la definición de Espacio Vectorial en el orden que se da en las notas de teoría del tema ) C.1 œ " 0 ú Y Sea 0 ú n, podemos escribir {P.3},, de donde, multiplicando por " " A = "A ( + ) Y {P.5} "A = "A + "A Y {P.4} Y = "A Y "A = œ " 0 ú **** C.2 œ 0 ú n Y Sea " 0 ú, podemos escribir {Neutro en ú }, " = " + 0 Y "A = (" + 0)A Y {P.6} "A = "A + 0A Y {P.4} = 0A Y 0A = œ 0 ú n **** C.3 Si " 0 y "A = "A Y = Si "A = "A Y Multiplicando por " -1, cuya existencia en ú está garantizada por ser " 0, " -1 A ("A ) = " -1 A ("A ) Y {P.7} (" -1 A ")A = (" -1 A ")A Y 1A = 1A Y {P.8} = **** C.4 Si y "A = ßA Y " = ß Si "A = ßA Y "A - ßA = Y {P.6} (" - ß)A = y como Y "-ß=0 Y " = ß. **** C.5 œ " 0 ú K y œ 0 ú E, (-")A = "A (- ) = - ("A ) (-")A = (-1A")A = {P.7} = -1A ("A ) = - ("A ) "A (- ) = {P.7} = ("A (-1))A = (-")A. **** C.6 Si ]" = 0 ó Y Si " = 0, 0A = según C.2

3 Si " 0, existe " -1 0 ú K. Como "A = Y " -1 A ("A ) = " -1 A Y {P.7} (" -1 A ")A = Y 1A = Y {P.8} Z Si " = 0, por C.2 "A = Si, por C.1 "A = 2. Considera un Espacio Vectorial (E(K), +, A), y una familia de vectores { } Linealmente independientes. Estudiar la dependencia lineal de la familia de vectores { }, siendo: < Para analizar la dependencia lineal de { }, vamos a proponer una combinación lineal con los vectores que dé cero, a continuación, hallaremos los escalares, y, según el resultado obtenido, decidiremos. Sean, pues, "p" escalares de K, " 1," 2,...," p-1," p 0 K / sustituyendo la relación conocida,, aplicando la P.5, aplicando la P.6, lo cual es una combinación lineal de los vectores que da, como por hipótesis, estos vectores son linealmente independientes, los escalares de dicha combinación serán necesariamente nulos, Y

4 y por tanto los vectores son linealmente independientes. Nos podríamos haber preguntado por una construcción similar, a partir de vectores linealmente dependientes, no obstante, observa que en el paso decisivo de la demostración no podríamos afirmar nada sobre los escalares de la combinación lineal, y por tanto, no estamos en condiciones de afirmar nada acerca de la dependencia del nuevo sistema de vectores. 3. Sea { } un sistema libre de vectores en un espacio vectorial real ( E(ú), +, A), con dim E > 3. Sea 0 E / ó < >. Probar que el sistema de vectores {, } es libre. Vamos a partir de una combinación lineal de los vectores {, } que dé cero y a ver qué ocurre! Sean " 0," 1," 2 y " 3 0 ú ( Qué astucia la del " 0! Siempre atentos...) / Supongamos " 0 0, (I) Podemos escribir, y multiplicando por ( podemos ya que " 0 0), simplificando y operando, es decir 0 < >, en contra de la hipótesis. Por lo tanto " 0 no puede ser 0 Y " 0 = 0 Si " 0 = 0, la relación (I) quedaría,, que es una combinación lineal de { } que da cero, como por hipótesis, estos vectores son linealmente independientes Y " 1 = " 2 = " 3 = 0, lo cual nos lleva a " 0 = " 1 = " 2 = " 3 = 0, de donde {, } es linealmente independiente.

5 4. Sea S = œ i = 1,2,...,p un sistema de vectores libre y œ i = 1,2,...,p. Probar que T = es un sistema de vectores libre. Tal como sugerimos en los problemas anteriores, vamos a proponer una combinación lineal de estos vectores igualada a cero, y vamos a obtener los escalares. En función del resultado obtenido para éstos, decidiremos. Como la posición de los vectores no interviene en la dependencia lineal, vamos a colocarlos de la forma T = para organizar mejor los subíndices. Sean " 1," 2,...," i-1," i," i+1,...," p 0 K /, reemplazando el vector, tenemos: operando y agrupando convenientemente: lo cual resulta ser una combinación lineal de los vectores vectores son linealmente independientes Y que da cero, como por hipótesis, estos

6 Por tanto T es un Sistema de vectores libre (formado por vectores linealmente independientes). 5. Sea (E(K), +, A ) un espacio vectorial, y sean S, T subespacios vectoriales de E. Probar que: S c T es subespacio vectorial de E ] S f T o T f S Y Hipótesis: S c T es Subespacio Vectorial de E. Vamos a efectuar la demostración por reducción al absurdo, es decir, partimos de que S ç T y T ç S. En cuyo caso, (I) Como 0 S Y 0 S Al ser ScT Subespacio de E, según el c T teorema de caracterización, " A + ß 0 T Y 0 S c T A 0 S c T œ ", ß 0 K, en particular, si tomamos " = ß = 1 Y 0 S c T, de donde: + 0 S Y 0 S Y Y 0 S que claramente contradicen (I), la hipótesis es falsa Y S f T ó T f S. Z Hipótesis: S f T ó T f S.

7 Si S f T Y S c T = T, S c T es subespacio al serlo T. Si T f S Y S c T = S, S c T es subespacio al serlo S, en ambos casos, ScT es subespacio vectorial. Así pues, queda demostrada la propiedad. 6. Sean S y T, sendos subespacios vectoriales de un espacio vectorial (E(K), +, A ), probar que S + T es el menor subespacio vectorial que contiene al conjunto S c T Dividiremos la demostración en dos bloques i) S c T f S + T ii) Si L es un Subespacio / S c T f L Y S + T f L. Mediante i) demostramos que S c T está contenido en S + T, y mediante ii) que S + T es el menor, ya que está contenido en cualquier Subespacio que contenga a ScT. i) œ 0 S c T Y, por tanto, S c T f S + T ii) Sea L un Subespacio Vectorial / S c T f L. œ 0 S + T Y Y como L es Subespacio Vectorial, cualquier combinación lineal de sus vectores es un vector de L, 0 L Y 0 L Y S + T f L. 7. Sea A 0 M mxn y 0 ú n un vector fijo. Demostrar que T = { A 0 M mxn / AA = 0 } es un subespacio vectorial de M mxn. Emplearemos el teorema de caracterización de subespacios vectoriales. i) 0 mxn 0 T? Como œ 0 ú n Y Y 0 mxn 0 T y además T i

8 ii) Sean A, B 0 T ",ß 0 ú "A A + ßA B 0 T? Como ("A A + ßA B)A = ("A A) A + (ßA B)A = "A (A A ) + ßA (B A ) = " A + ßA = Y "A A + ßA B 0 T Y en virtud del teorema de caracterización de subespacios vectoriales, T tiene estructura de subespacio vectorial de M mxn 8. Sea ( E(K), +, A ) un espacio vectorial, demostrar que si es un sistema ligado de vectores Y Al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. < En efecto, si es un sistema ligado de vectores, significa que está formado por vectores linealmente dependientes, Y " 1," 2,...," p 0 K / algún " i 0 Como no hay ninguna diferencia objetiva entre, ordenemos la combinación lineal de forma que sea " 1 0 Y con " 1 0 Y como " 1 0 diviendo por " 1 Y es combinación lineal de 9. Sea ( E(K), +,A ) un espacio vectorial, demostrar que cualquier sistema de vectores de E, que contenga al vector, es un sistema ligado, formado por vectores linealmente dependientes. < Sea una familia de vectores de E en la cual, está el vector 0 E Podemos proponer la siguiente combinación lineal que de : y el escalar 1 0 Y es un sistema ligado de vectores.

9 10. Sea ( E(k), +, A ) un espacio vectorial y una base de E, demostrar que las componentes de un vector en la base B son únicas. En efecto, sea 0 E y supongamos que sus componentes en la base B no son únicas Y Que resulta ser combinación lineal de que resulta dar. Como por hipótesis B es BASE Y sus vectores son linealmente independientes Y Lo cual demuestra la unicidad de las componentes. 11. Sea ( E(k), +, A ) un espacio vectorial de dimensión finita, dim E = n. Demostrar que "n" vectores Linealmente Independientes forman una base de E. Sean pues los vectores de E, linealmente independientes. Para que sean una base de E deben ser un sistema generador de E. Razonando por reducción al absurdo, supongamos que no lo son Y 0 E / no es combinación lineal de Y es un sistema libre formado por n+1 vectores, lo cual contradice el hecho que dim E = n, ya que la dimensión nos indica el número máximo de vectores de un sistema de vectores que pueden ser linealmente independientes. 12. Sea ( E(k), +, A ) un espacio vectorial de dimensión finita, dim E = n. Demostrar que "n" vectores que generen al espacio vectorial forman una base de E.

10 Sean 0 E / = E Razonando por reducción al absurdo, supongamos que no son linealmente independientes. ( condición que le falta para ser base), es decir, al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás, por ejemplo : si lo cual contradice el hecho de que dim E = n 13. Sean S, T subespacios vectoriales de un espacio vectorial ( E(K), +, A ), probar que S r T ] S 1 T = { } [ Definimos la suma directa de dos subespacios, notamos S r T, cuando cada vector de S + T se obtiene como suma de un único vector de S y un único vector de T ] Y Hipótesis S r T Y no se expresa como suma de un único vector de S y un único vector de T. # Y S 1 T = { } Z Hipótesis S 1 T = { } œ 0 S + T, supongamos se puede expresar como suma de vectores diferentes de S y T Restando ambas expresiones :

11 Lo cual demuestra su unicidad Y S r T Naturalmente en una SUMA DIRECTA si es una base de T: es una base de S y es una base de S r T La idea de suma directa la utilizaremos con profusión a lo largo de los temas que siguen, en su caracterización S 1 T = { } nos va a aportar buenas ideas para la construcción de las bases.