Métodos de estimación para el Conteo Rápido.

Transcripción

1 Métodos de estimación para el Conteo Rápido. 1

2 1.1 Procedimiento de estimación El objetivo del conteo rápido es producir, a partir de una selección de casillas, una estimación de la fracción de votos para cada candidato a Gobernador, incluyendo candidatos no registrados y votos nulos. Para realizar esta estimación, se agruparán los votos de los partidos de acuerdo a las alianzas por cada uno de los candidatos de esta elección. El estimador puntual de la fracción de votos por un candidato k, es la división del número total de votos por ese candidato observada en muestra, dividido entre el número total de votos que se reportaron en la muestra, por ese y todos los otros candidatos, alianzas, y votos nulos. Estos resultados van a obtenerse de las casillas, al interior de secciones, en cada uno de los distritos. Es decir, el estimador puntual de la fracción de votos por un candidato k es, como indica la fórmula (1), el resultado de dividir la suma de votos por ese candidato a lo largo de todas las casillas j, de cada una de las secciones i seleccionadas en muestra, en cada uno de los distritos h, entre la suma de los votos por todos los candidatos k, en todas las casillas j, de cada una de las secciones i, de cada uno de los distritos h. Así, es el número de votos por el partido k en la casilla j, de la sección i, del distrito h. Los resultados del conteo rápido no se presentarán como estimadores puntuales, sino en intervalos de confianza del 95%. El verdadero valor de la fracción de la votación por el candidato k,, no se conocerá a partir del conteo rápido. Los intervalos de confianza que se den implican que la probabilidad de que el intervalo presentado contenga el verdadero valor de la fracción es 95%. Para entender esto, se puede pensar que si se estima 100 veces, en 95 de éstas, el verdadero valor de estará incluido en el intervalo presentado. 2

3 Los intervalos de confianza que se presenten el día de la elección serán el resultado de comparar las estimaciones de la media usando cada uno de los 4 métodos. Se elegirán las 2 estimaciones más cercanas entre ellas y se combinarán sus intervalos de confianza de la siguiente forma: el límite inferior final será el menor de los dos límites inferiores, y el límite superior final será el mayor de los dos límites superiores. A continuación, se describen los métodos de estimación que se utilizarán: Estimación de razón con intervalos de confianza generados a partir de Bootstrap Para construir intervalos de confianza para la fracción de votación en favor de cada candidato a Gobernador se utilizarán técnicas de re-muestreo, a través del método conocido como Bootstrap. El Bootstrap es un método estadístico para estimar la distribución de muestreo de un estimador, y consiste en seleccionar sub-muestras de la muestra original y calcular el estimador de interés con cada sub-muestra. Estas sub-muestras se eligen de forma aleatoria. El número de réplicas debe ser suficientemente grande para lograr una buena aproximación. Una vez obtenidas las réplicas Bootstrap es posible calcular los intervalos de confianza, al observar la distribución del estimador obtenida a partir del conjunto de las sub-muestras. En el caso del primer método de estimación para la elección para Gobernador del Estado de Oaxaca del 5 de junio de 2016, las réplicas Bootstrap se seleccionarán del total de casillas de las cuales se obtuvo información, sin distinguir el distrito o sección de origen en esta selección. En este caso, N es el número total de casillas instaladas, y n la muestra de casillas de las cuales se obtuvo información. Algoritmo 1. De la muestra recuperada de casillas (n) se selecciona una sub-muestra con reemplazo de casillas. 2. Utilizando esta sub-muestra de casillas, se calcularán las siguientes estadísticas: 3

4 Proporción del total de votos, para cada uno de los k candidatos a Gobernador usando la fórmula (1) con la sub-muestra obtenida. 3. Se almacena la información de esta sub-muestra, y se repiten los pasos 1 y 2 un número B=100,000 de veces. 4. Se calculan los percentiles 2.5% y 97.5% para cada uno de los k candidatos usando la muestra de Bootstrap de tamaño 100,000 y se usan como los límites del intervalo de confianza En el paso 1, en el muestreo con reemplazo, la probabilidad de selección que se utiliza será de. Cabe aclarar que cada uno de los 100,000 re-muestreos se obtendrá de manera independiente. Esta estrategia asegura obtener estimaciones insesgadas para la varianza y para el tercer momento. Estimación de razón con intervalos de confianza generados a partir de Bootstrap, con re-muestreo al interior de cada distrito local En este método se considerará un re-muestreo dentro de cada distrito, considerando que de las n casillas de las cuales se obtuvo información, pertenecen al distrito h. Algoritmo 1. De la muestra recuperada de casillas (n) se selecciona una sub-muestra con reemplazo de casillas. Esta sub-muestra se obtendrá: a. Para cada distrito h, se tomará una muestra con reemplazo de tamaño. b. La muestra n será conformada por la unión de las sub-muestras. 2. Utilizando el conjunto de las sub-muestras de casillas a lo largo de todos los distritos, se calcularán las siguientes estadísticas: Proporción del total de votos, para cada uno de los k candidatos a Gobernador usando la fórmula (1) con la sub-muestra obtenida. 3. Se almacena la información de esta sub-muestra, y se repiten los pasos 1 y 2 un número B=100,000 de veces. 4

5 4. Se calculan los percentiles 2.5% y 97.5% para cada uno de los k candidatos usando la muestra de Bootstrap de tamaño 100,000 y se usan como los límites del intervalo de confianza En el paso 1, en el muestreo con reemplazo, la probabilidad de selección que se utiliza será de. Cabe aclarar que cada uno de los 100,000 re-muestreos se obtendrá de manera independiente. Esta estrategia asegura obtener estimaciones insesgadas para la varianza y para el tercer momento. Estimación de intervalos de confianza con simulación utilizando una distribución Dirichlet Se considerarán los resultados como provenientes de una distribución Dirichlet de un distrito promedio, la cual sigue una estructura como la mostrada en la fórmula (2): Donde Y es la función Gamma evaluada en. Se considerará en esta fórmula, (( ) ( )) casilla j de la sección i del distrito h de las casillas recibidas., donde es el listado nominal de la Posteriormente se simularán 100,000 valores de extraídos de esta distribución para determinar un intervalo de confianza para cada una de ellos con los percentiles de 2.5% y 97.5%. Estimación de razón con intervalos de confianza generados a partir de aproximación a una distribución Normal de la Varianza Estimación 5

6 Se agrupan las casillas en estratos (entre 29 y 40 casillas por estrato). La determinación de estratos es la misma utilizada para la selección de la muestra (25 distritos locales). Se usan estos estratos para calcular la varianza del estimador. Para cada uno de los candidatos se utilizará la información recolectada en cada estrato, como se detalla en la sección anterior. Para estimar la votación a partir de la muestra que se vaya recibiendo, se estima la votación del candidato i obtenida en cada estrato k Donde es el listado nominal del distrito h. De la misma manera se estima la votación total obtenida en el distrito h, Donde considera los votos obtenidos por todos los candidatos en las casillas recibidas por distrito, incluyendo los nulos y votos a candidatos no registrados. Para estimar la fracción de votos obtenidos por cada candidato se suman los estimados en cada estrato y se divide entre la suma de los totales de votos estimados Para obtener los intervalos de confianza de cada candidato, se utilizarán como varianzas poblacionales calculadas de la siguiente manera: Se calcula la varianza promedio de cada candidato en cada estrato: ( ) ( ) Donde es la varianza de la proporción de votos a favor de un candidato para el distrito k, calculada para controlar el efecto de conglomerados; es el 6

7 número de casillas en el distrito k, es el número de casillas en la muestra pertenecientes al distrito k, y el número total de casillas. Finalmente, el intervalo de confianza del candidato es ( ) Referencias: Modelos 1 y 2 Casella, Roger, et. al. Monte Carlo Statistical Methods Springer. 2a Edición. Modelo 3 Segunda Edición. Stevenson, Clint. Some Probability-Based Approaches for Investigating the 2012 General Election Exit Poll Edison Research. Disponible en: Based-Exit-Poll-Estimation.pdf Berger, Roger, et. al. Statistical Inference Duxbury Thomson Learning. 2a Edición. Modelo 4 Scheaffer, Richard, et. al. Elementary Survey Sampling CENGAGE Learning. 7a Edición. Dra. Maria Estela Rivero Fuentes Mtro. Keri Cipactli Arzaluz Castro Dr. Gerardo Maldonado Hernández Lic. Arón Baca Nakakawa 7