Cómo es este libro? Conozcan a quienes los acompañarán durante todo el año: Luna. Martín. Juan. María. Pablo. Belén. Milagros. Lorena. Micaela.

Transcripción

1 Cómo es este libro? En él los acompañan varios chicos como ustedes, que también van a la escuela, que también tienen clase de Matemática y tienen una maestra que escribe en el pizarrón, que explica y les pide que piensen, observen, identifiquen, analicen, comparen, ordenen, clasifiquen, saquen conclusiones, justifiquen sus respuestas Estos chicos, igual que ustedes, a veces trabajan individualmente, a veces de a dos, a veces de a más o todos juntos; en el pizarrón, en hojitas borrador que luego se descartan; en la carpeta o solo en la cabeza, sin escribir nada, nada. Eso sí: cuando les piden que hagan esto y aquello, ellos no refunfuñan, porque son de papel. Conozcan a quienes los acompañarán durante todo el año: Luna María Martín Juan Pablo Milagros Belén Micaela Lorena Paz Gastón Con ellos, y por ocho capítulos, aprenderán: A leer números naturales, a escribirlos, analizarlos, compararlos, a operar con ellos y a analizar las operaciones, a resolver situaciones problemáticas de varias maneras. A comparar fracciones, ordenarlas, a operar con ellas y a resolver problemas mediante diversos recursos. A medir longitudes, capacidades, pesos, tiempo, ángulos; a encontrar equivalencias entre esas medidas y muchas otras cosas. A ubicarse en el espacio; a identificar y trazar trayectos Todo acerca de cuerpos y figuras: elementos, propiedades; a desarrollar y construir cuerpos; a calcular perímetros, etcétera. A reconocer las características de la proporcionalidad y a representar gráficamente, a solucionar problemas. A leer números decimales, escribirlos, compararlos; a operar con ellos y analizar las operaciones; a encontrar equivalencias, a hacer cálculos mentales y algorítmicos, aproximados y exactos. Siempre hay espacios para cotejar con lo que hicieron otros y, así, aprender más y mejor. Cada capítulo cierra con Más problemas para pensar, una propuesta para que revisen todo lo que aprendieron, y también una oportunidad para los que todavía necesitan un empujoncito.

2 1 Números de diferentes tamaños... 8 Situaciones para resolver Cuestiones de números: pares e impares Estudio de resultados Situaciones para resolver y diagramas de barras Análisis de los números Números buscados Sistemas de numeración Grandes números: billones Forma polinómica Más problemas para pensar Operaciones y cálculos Situaciones para pensar Problemas y cálculos Trabajamos con gráficos Expresiones equivalentes Trabajamos con tablas Problemas combinados: multiplicaciones y divisiones De a Divisores y múltiplos Más sobre divisores y múltiplos: mcd y mcm Más problemas para pensar Matemática 6

3 3 Perímetro y área El cuadrado Los triángulos Los perímetros Las áreas Cálculo de áreas El área del triángulo El área del trapecio Cálculo de áreas y perímetros Las diagonales Más problemas para pensar Números decimales y fracciones Cálculos con fichas Lenguaje matemático Situaciones para resolver incógnitas Comparación de fracciones Operaciones con fracciones Operaciones con números decimales Operaciones en la recta numérica Operaciones con áreas Más problemas para pensar Índice 5

4 5 Mediciones y medidas Investigación sobre medidas Medidas de capacidad: los líquidos Medidas de longitud: pilas de latas Medidas en otras unidades Las medidas del cuerpo humano Medidas de peso: peso y masa El peso de algunos materiales La medición en grados La medición del tiempo La medición de la luz y el sonido Los decibeles Más problemas para pensar Circunferencia y círculo Datos en círculo: diagrama circular Perímetro y superficie Cálculos aproximados Polígonos inscriptos Informe geométrico Situaciones para resolver Más problemas para pensar Matemática 6

5 7 Gráficos, tablas y proporcionalidad Investigación: medidas y proporciones Tablas. Distribución organizada Análisis de tablas y gráficos Tablas, gráficos y enunciados Porcentajes Más sobre porcentajes Otras operaciones con tablas Recursos geométricos Más problemas para pensar Cuerpos geométricos Cuerpos con caras iguales Construcciones con cubos Cajas de cubos Giros en el espacio: el cono Con esferas y cilindros Construcciones con otros materiales Más construcciones Más problemas para pensar Glosario Índice 7

6 1 Números de diferentes tamaños Qué construcciones! Represa de Salto Grande, provincia de Entre Ríos. Represa hidráulica del Ullum, provincia de San Juan. Quiénes las habrán diseñado? Embalse de Cabra Corral, provincia de Salta. Dique Los Cauquenes, provincia de San Juan. Cuando seamos grandes, podremos construir alguna? La construcción de estas y de otras obras gigantescas requiere cálculos complejos que solo pueden hacerse gracias a los progresos de la Matemática. 8 Matemática 6 Capítulo 1

7 1. Con las siguientes palabras, escriban en el pizarrón el nombre del menor y del mayor número posible. Luego expresen los números en cifras. CIEN MIL OCHOCIENTOS VEINTE MILLONES Se pueden escribir otros números usando todas las tarjetas? Escriban algunos. 2. Sin escribir los siguientes números, indiquen oralmente cuántas cifras tiene cada uno. Luego, escríbanlos. a. Un millón trescientos cuarenta mil veinte b. Ciento veinte mil cinco c. Veinte millones cien mil catorce Todos están de acuerdo? 3. Elijan dos números de seis cifras. Resten el menor al mayor. Al resultado obtenido, súmenle el menor de los números elegidos. Qué observan? Busquen varios ejemplos. Pueden explicar qué sucede? 4. De a dos, escriban 10 números de 19 en 19 a partir del 0, y 10 números de 19 en 19 a partir del 333. Qué observan? Compartan sus observaciones con otro grupo de dos. 5. En pequeños grupos, calculen los números. La mitad de su triple es 15 El número es: Cinco menos que el doble es 35 El número es: La mitad más 10 es 60 El número es: Los otros grupos obtuvieron los mismos números? 6. Realicen las operaciones = = a. Encuentren la diferencia entre los dos números obtenidos. Qué observan? Saquen conclusiones. Números de diferentes tamaños 9

8 Situaciones para resolver 1. Lean las siguientes situaciones problemáticas. Sin resolver, completen los enunciados y formulen en sus carpetas las preguntas que se puedan realizar. a. Cuatro amigos van de Mar del Plata a Buenos Aires (404 km de distancia). El auto utilizado consume 6 litros de nafta por cada 100 kilómetros. El litro de nafta tiene un valor de $ En el camino, los cuatro amigos comen un sándwich y toman una gaseosa pequeña. El precio de cada sándwich es de $ y el de cada gaseosa es de $ b. Para decorar un dormitorio, la mamá de Luna utilizó dos tarros de pintura, que costaron $ cada uno; 16 metros cuadrados de alfombra, a $ el metro cuadrado, y 6 rollos de papel para empapelar a $ cada uno. c. La mamá de Belén le dio $ 20 para hacer las compras en la panadería. Le pidió que comprara 3 kg de 4 pan, de $ el kg, media docena de facturas que cuestan $ la docena, 1 4 de galletitas a $ el cuarto. d. En una carrera de bicicletas se recorren 100 km. Si se han dado 15 vueltas al circuito de e. El mayorista de muebles escolares tiene unas mesas de 1,20 m por 0,60 m y otras de 1,50 m por 0,75 m para las salas de Jardín. En cada mesa se pueden acomodar 6 alumnos. Si las salas de Jardín tienen entre 25 y 30 alumnos 2. Una vez que formularon las preguntas, indiquen también, sin resolverlas, qué operaciones les van a permitir encontrar las respuestas. Compartan su trabajo con el de sus compañeros. 10 Matemática 6 Capítulo 1

9 Cuestiones de números: pares e impares De a dos, en los rectángulos rojos coloquen números pares. Analicen los resultados que se obtienen en los rectángulos verdes. Luego repitan el procedimiento con números impares. Cuáles son las conclusiones? Comparen su trabajo con el de sus compañeros. 2. Investiguen qué sucede al sumar dos números pares; al sumar dos números impares o al sumar un número impar y otro par. Comparen sus observaciones con las de sus compañeros. Voy a decir un número y ustedes tienen que encontrar todos los productos que dan como resultado ese número Si decís 400, puede ser, 200 2; Organícense para jugar como las chicas. Encuentren los productos para los números 600, 1.000, , y otros, si les gustó el juego. 4. Completen, observen y saquen conclusiones = = = = = = = = Belén y María jugaron con fichas y números. Ayúdenlas a determinar la cantidad de puntaje total que falta y la cantidad de fichas que necesitan para completar la tabla Puntaje total Números de diferentes tamaños 11

10 Estudio de resultados 1. Entre todos, comparen los resultados en cada caso y saquen conclusiones. 15 : 15 a d : : 12 b e : : 20 c f : En pequeños grupos, escriban los restos de la división por 9 de los siguientes números. Luego sumen los restos de a dos para que los resultados sean divisibles por Coloreen en cada caso el resultado sin hacer la cuenta. Expliquen oralmente cómo pensaron para encontrarlo. Operación Opciones a b c d Matemática 6 Capítulo 1

11 4. Averigüen en qué número pensaron Luna y Milagros. Pienso un número. Le saco 10, le agrego 27 y obtengo 117. Pienso un número, lo duplico, le saco 10 y obtengo Escriban cálculos cuyo resultado sea un número de algunas de las casillas. Los signos que se pueden utilizar son, + y. Las cifras permitidas son 1, 2, 3, 4 y 5, y no se pueden repetir Comparen los cálculos que pensaron y saquen conclusiones. 6. Estas son tarjetas con números que prepararon los alumnos de a. Qué número se obtiene sumando todos los que figuran en las tarjetas? b. Qué parte representa el número 8 de la tarjeta con respecto al número de la última? c. Cómo obtendrían el número 75 sumando los números de las tarjetas sin repetirlos? d. Busquen pares de tarjetas donde el número de una sea la cuarta parte del número de la otra. Propongan otras relaciones utilizando estas tarjetas para que resuelvan sus compañeros. Números de diferentes tamaños 13

12 Situaciones para resolver y diagramas de barras Los alumnos de 6. buscan algunos datos sobre carreras en el autódromo. Averiguaron que el autódromo municipal tiene varias entradas, y obtuvieron información que corresponde al día en que se realizó la carrera del Gran Premio de la República Argentina. En total asistieron personas: por el acceso 2 ingresó el 20% del público; por el acceso 3 ingresaron personas más que por el acceso 2; por el acceso 4 ingresó la cuarta parte del total; por el acceso 9 ingresó la mitad de personas que por el acceso 4; por los otros accesos ingresó el resto de los espectadores. 1. En pequeños grupos, realicen un diagrama de barras que indique la cantidad de espectadores que ingresó por cada acceso acceso 2 acceso 3 acceso 4 a. Por cuál de los accesos ingresaron más espectadores? b. Por cuál de los accesos ingresaron menos espectadores? c. Analicen si las afirmaciones de los chicos son correctas y enuncien otras para que sus compañeros las analicen. acceso 9 otros accesos Por el acceso 3 ingresaron menos del doble de espectadores de los que ingresaron por el acceso 9. Por el acceso 2 ingresaron espectadores menos que por el acceso Matemática 6 Capítulo 1

13 2. Se informó en el autódromo que se vendieron entradas de diferentes precios. precios cantidades GENERALES $ PLATEAS $ PLATEAS PREFERENCIALES $ a. Calculen la recaudación del día. Escriban en números y en letras los resultados obtenidos. Son más de doce millones de pesos Son más de diez millones de pesos Casi trece millones de pesos b. Analicen si las afirmaciones de los chicos son correctas. Respondan de a dos: c. La recaudación es menor o mayor a quince millones? d. En cuánto se acerca a esta cifra? e. Si se destina el 20% para fines benéficos, cuál será el importe del dinero donado? f. Se puede afirmar que la mayor parte de los espectadores pagó su entrada $ 150? g. Con treinta mil pesos, cuántas entradas generales se pueden comprar? Cuántas plateas preferenciales? h. Con $ se decide comprar la misma cantidad de entradas de cada clase. Cuál es esa cantidad? Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y analicen los procedimientos utilizados. 3. Por una cinta transportadora pasan en seis meses 13,5 millones de paquetes de galletitas. Si en este mes pasarán 2,8 millones y esta cantidad se repetirá todos los meses, pasarán más o menos? Cuál será la diferencia? Números de diferentes tamaños 15

14 Análisis de los números 1. De a dos, analicen y completen los carteles. Luego, respondan las preguntas. Es mayor que un millón El anterior es El número que ocupa el lugar de las decenas es el 9. El doble es El número siguiente es a. Qué número obtengo al multiplicar por 10? b. Cuál es la mitad? c. En cuánto supera al número ? d. Cuánto menor es que ? e. Es múltiplo de 5? Justifiquen sus respuestas. 2. En pequeños grupos, completen el esquema: El anterior es El doble es El número siguiente es En una hoja borrador, enuncien 5 preguntas referidas al número del centro. Intercámbienlas con otros grupos y respondan. 16 Matemática 6 Capítulo 1

15 3. Estos son datos que corresponden a un número. Averigüen el número en cada esquema. a. Es menor que Es divisible por 2. Es mayor que El número que ocupa el lugar de las centenas es el 9. Su mitad es El doble es b. Es menor que un millón. La tercera parte es Es par. Es divisible por 4. Es múltiplo de 12. La sexta parte es Enuncien preguntas relacionadas con los números que encuentran para que sus compañeros las respondan. 4. Completen la tabla. Cien mil menos Mil menos Uno menos Número Uno más Mil más Cien mil más Seiscientos mil trescientos Doscientos mil setenta y uno Cuatrocientos mil quinientos Números de diferentes tamaños 17

16 Números buscados 1. Respondan entre todos. Cuál es el número que cumple con las siguientes condiciones? 99Está entre y Es impar. 99Todas sus cifras son distintas. 99La cifra que ocupa el lugar de las centenas es el 9. 99No termina en 3. 99La suma de sus cifras es En pequeños grupos, armen todos los números de tres cifras distintas que se puedan formar con las cifras 8, 9, 7 y 1. Cuál es el mayor? Cuál es el menor? Qué diferencia hay entre ambos? Compartan qué procedimiento usaron para armar los números y saber que no se habían olvidado de ninguno. 3. De a dos, escriban todos los números que sean a la vez múltiplos de 3 y de 5 y que estén entre los números y Comparen con los que escribió otro grupo. 4. En la carpeta, con los dígitos 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, escriban números de 5 cifras sin repetirlas. 99El menor múltiplo de 5 99El número menor 99El mayor múltiplo de 5 99El número mayor 5. Completen las secuencias con los números que correspondan Ubiquen en la recta los números propuestos. Usen la regla. a y b y Cuál de los siguientes números es el quinientos cincuenta y cinco millones quinientos cincuenta mil quinientos cincuenta y cinco? Matemática 6 Capítulo 1

17 8. Respondan. a. Cuál es el mayor número de 6 cifras que se puede escribir? b. Cuál es el menor? c. Qué diferencia hay entre estos dos números? Todos respondieron igual? 9. Para pensar. a. Cuál es el mayor número de siete cifras distintas que se puede escribir? b. Cuál es el menor? c. Qué número se obtiene sumando los dos? Qué contestaron los demás? 10. En el número : a. qué representa cada número 8?; b. por qué cada número 2 tiene distinto valor?; c. de qué depende el valor de cada cifra en los números? 11. Estos son los registros de Luna y de Belén. Las dos están averiguando lo mismo. Interpreten los registros y expliquen qué están investigando: Son Completen la tabla con divisiones de 10, 100 y dividendo divisor cociente resto Números de diferentes tamaños 19

18 Sistemas de numeración 1. Completen el esquema: uno = 1 unidad = diez = 1 decena = 10 = cien = 1 centena = = mil = 1 unidad de mil = = diez mil = = = cien mil = = = millón una unidad de millón = a. Entre todos, expliquen por qué decimos que nuestro sistema de numeración es posicional y decimal. 2. A continuación están escritas las distancias aproximadas de algunos planetas al Sol. En la siguiente columna, escríbanlas en cifras. MERCURIO 58 millones de km VENUS TIERRA MARTE JÚPITER 108 millones de km 150 millones de km 228 millones de km 778 millones de km 3. Respondan: cuánto más alejado del Sol está Júpiter que Venus? 4. Escriban las distancias en la tabla descomponiendo los números. Planetas millones miles unidades se lee MERCURIO cincuenta y ocho millones VENUS TIERRA MARTE JÚPITER 20 Matemática 6 Capítulo 1

19 5. La distancia en metros de la Tierra al Sol es de ciento cincuenta mil millones, y el diámetro en metros del Sol es de mil cuatrocientos millones. Escriban estos números en el cuadro. miles de millones millones miles unidades ciento cincuenta mil millones mil cuatrocientos millones 6. Escriban los números en la carpeta, colóquenlos en la tabla y léanlos en voz alta. a. El mayor número de doce cifras distintas (el resto, se usan ceros). b. La diferencia entre el mayor número y el menor número de diez cifras (sin usar ceros). c. El mayor número de diez cifras distintas. d. El menor número de diez cifras distintas. e. La cantidad en minutos de mil años. miles de millones millones miles unidades a. b. c. d. e. 7. Escriban la diferencia entre: Cincuenta mil veinte y veinte mil cincuenta Setenta mil treinta y cuatro, y treinta y cuatro mil setenta Sesenta y tres millones ocho, y ocho millones sesenta y tres Ochocientos catorce mil y catorce mil ochocientos a. Sumen las cifras de las diferencias que obtuvieron. b. Cuál es el número mayor? Un millón de veces mil. Mil veces un millón. Números de diferentes tamaños 21

20 Grandes números: billones 1. Completen un millón = 1 unidad de millón = diez millones = 1 decena de millón = cien millones = = mil millones = = diez mil millones = = cien mil millones = = billón = Un billón es un número muy grande Los chicos buscaron información acerca del billón y realizaron láminas para el salón: Células de tejido muscular. El cuerpo humano está formado por aproximadamente 100 billones de células. Se estima en 400 billones de unidades por año el total de envases metálicos para bebidas. Células de tejido cardíaco. Células nerviosas. El año luz es una medida de longitud y no de tiempo, es la distancia que recorre la luz en un año. Un año luz equivale aproximadamente a km; un poco menos de diez billones de km. El exoplaneta o planeta extrasolar más lejano se encuentra a años luz del Sistema Solar. Entre todos, analicen la conversación de los chicos. Un millón se escribe con un 1 y seis ceros Un trillón se escribirá con un 1 y dieciocho ceros? Un billón se escribe con un 1 y doce ceros 22 Matemática 6 Capítulo 1

21 Forma polinómica Estas son distintas escrituras aditivas de un número: DESARROLLO POLINÓMICO DE DESARROLLO POLINÓMICO DE Entre todos, completen cuatro formas aditivas para cada número y que una de ellas sea su desarrollo polinómico: DESARROLLO POLINÓMICO DE DESARROLLO POLINÓMICO DE 2. En pequeños grupos, indiquen cuáles son los números cuyos desarrollos polinómicos son: a b c Están de acuerdo con otros grupos? Números de diferentes tamaños 23

22 Más problemas para pensar 1. Escriban en el pizarrón, en forma convencional, los números que aparecen en las noticias. El accidente petrolífero generó una pérdida de 5,4 billones de sajkhdas dnaskd lskddjsah askhda skfh akfhaskfhsjknsaoif jefajdasdjb sdnjasd,ba askhda skfh alfha lifja lfkjask,smc,asm,asmaskjalkdas,mnszc kjscascbasmbnc ascbmncb asmbdaskdh kbcjhcsadihasdajns masncascafafsda jsljsalkj kasnd masnmsnamsnsmfjnasnjaskjnas lsaask sajkhdas dnaskd lskddjsah askhda skfh akfhaskfhsjknsaoif jefajdasdjb sdnjasd,ba askhda skfh alfha lifjascbmncb asmbdaskdh kbcjhcsadihasdajns masncascafafsda jsljsalkj kasnd masnmsnamsnsmfjnasnjaskjnas lsaask Se estima en 400 billones de latas de bebidas sajkhdas dnaskd lskddjsah askhda skfh akfhaskfhsjknsaoif jefajdasdjb sdnjasd,ba askhda skfh alfha lifja lfkjask,smc,asm,asmaskjalkdas,mnszc kjscascbasmbnc ascbmncb asmbdaskdh kbcjhcsadihasdajns masncascafafsda jsljsalkj kasnd masnmsnamsnsmfjnasnjaskjnas lsaask sajkhdas daoif jefajdasdjb sdnjasd,ba askhda skfh alfha lifja lfkjask,smc,asm,asmaskjalkdas, mnszc kjscascbasmbnc ascbmncb asmbdaskdh kbcjhcsadihasdajns masncascafafsda jsljsalkj kasnd masnmsnamsnsmfjnasnjaskjnas lsaask 2. De a dos, utilicen tarjetas y escriban números con las referencias para que sus compañeros los descubran. 3. Respondan oralmente. a. Cuántos símbolos forman el sistema de numeración decimal? b. Cuántos números pueden formarse con esos símbolos? c. Por qué el sistema decimal es posicional? Ejemplifiquen. 4. Entre todos, escriban los desarrollos polinómicos de los números. a b c Indiquen qué lugar ocupa el 6 en los números a b c d Escriban literalmente esos números en sus carpetas. 24 Matemática 6 Capítulo 1

23 7. Escriban el desarrollo polinómico de los siguientes números: Qué cálculos realizarían para que se transforme en ? Y en ? 9. Escriban literalmente los números de la actividad Escriban con números: a. Siete billones siete mil quince y quince billones siete mil siete b. Dos billones uno y un billón dos mil c. Nueve billones mil cuatro y cuatro billones mil nueve d. Cuatro billones ochocientos cuatro mil y ocho billones cuatrocientos ocho mil 11. Escriban el anterior y el posterior de los números. Anterior Número Posterior Respondan. a. Cuál es el mayor número de trece cifras que se puede formar? b. Cuál es el menor número de trece cifras que se puede formar sin usar el cero? c. Cuál es el menor número de trece cifras que se puede formar utilizando dígitos distintos? (Se puede completar con ceros.) d. Cuál es el mayor número de trece cifras que se puede formar utilizando los dígitos distintos? (Se puede completar con ceros.) Números de diferentes tamaños 25

24 13. Realicen un diagrama de barras con los siguientes datos. Utilicen la regla. Eje vertical desde 0, de en Eje horizontal, barras que indican la población de cuatro ciudades: Ciudad hab. Ciudad hab. Ciudad hab. Ciudad hab. 14. En la siguiente recta numérica se ubicaron algunos números. a. A qué números corresponden las letras a, b, c y d? Pueden utilizar la regla. a b c d b. Ubiquen en la recta los números , , y Utilicen la regla La abuela de una amiga de Luna tiene 5 años más que la suma de las edades de sus cuatro nietos. El nieto mayor tiene 18 años y el menor, 13. Qué edad tienen los otros dos nietos que son mellizos si la abuela tiene 66 años? 16. El mes pasado se vendieron 8,4 millones de cajas. Este mes se estima vender cajas más. a. Cuántas cajas se venderán este mes? b. Si se mantiene esa cantidad de cajas vendidas por mes, cuántas se venderán en un año? 26 Matemática 6 Capítulo 1

25 17. Coloquen los resultados sin realizar cálculos. a = ; entonces = b = entonces = 18. Se vendieron cajas. Piensen si las formas aditivas que siguen son correctas. En los recuadritos, pongan C (correcta) o I (incorrecta) a b c Completen la tabla. cien mil menos mil menos anterior número siguiente mil más cien mil más a b c a. En la carpeta, escriban los números de la última columna en letras. 20. Completen las secuencias con las operaciones necesarias. a b Formen números con las cifras del número ubicando el 5 en diferentes posiciones. Escriban en letras los números que van eligiendo. Ordénenlos de menor a mayor. Números de diferentes tamaños 27