PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA. Práctica 7

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1 PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Práctica 7 Ejercicio 1 El gráfico de una serie temporal se puede pensar como un diagrama de dispersión de los pares de puntos conformados por el tiempo y la variable en cuestión. a) Se dispone de la serie temporal de la temperatura media anual en la región de los Andes al sur de 45ºS (llamada Patagonia Sur) reconstruida a partir de la información de anillos de árboles en el período (archivo Patagonia Sur.xls). Si se desea realizar el diagrama de dicha serie cuál elegiría como variable dependiente y como variable independiente? b) Realizar el diagrama para la serie de la temperatura reconstruida en la región la Patagonia Norte. Ejercicio 2 Dada la serie temperatura media anual en la región Patagonia Sur del Ejercicio 1. a) Graficar la serie temporal. b) Ajustar una recta lineal a los puntos a partir del método de cuadrados mínimos. Cómo interpretaría la pendiente de dicha recta y sus unidades? c) Analizar la significancia del ajuste. d) Se puede afirmar que la serie temporal presenta una tendencia lineal significativa? De ser así, filtrar dicha tendencia y graficar la serie filtrada. Ejercicio 3 a) En el inicio del estudio paleoclimático de la temperatura de la región de la Patagonia Sur, los investigadores pudieron reconstruir la sección de los anillos de árboles que corresponde al período (archivo Patagonia Sur.xls). Al graficar la serie y estudiar su tendencia lineal, qué concluyeron los investigadores sobre el comportamiento de la temperatura en esos años? b) Luego, con nuevas muestras pudieron extender la reconstrucción hasta el año Al graficar la serie extendida y estudiar su tendencia lineal, qué concluyeron los investigadores sobre el comportamiento de la temperatura en esos años? Fueron erróneas las conclusiones obtenidas en el inciso a)? c) Qué conclusiones se obtienen al comparar los resultados con los del Ejercicio 2? Ejercicio 4 Se desea saber si la reconstrucción realizada a través de la información de los anillos de árboles es representativa de la temperatura observada. Para analizar esto se dispone de las series de temperatura media anual para la Patagonia Sur observadas y reconstruidas en el período (archivo Patagonia Sur.xls). 1

2 a) Graficar ambas series temporales en función del tiempo en un mismo gráfico. A través de esta inspección visual, qué se podría decir sobre la eficacia de la reconstrucción. b) Realizar un diagrama de dispersión considerando la serie reconstruida en el eje de las abscisas y la serie observada en el eje de las ordenadas. c) Realizar un ajuste lineal entre ambas series y evaluar la significancia de dicho ajuste. d) Calcular la correlación lineal entre ambas series temporales y evaluar su significancia. Comparar los resultados con los del inciso c). Ejercicio 5 Dadas las series de temperaturas medias mensuales de junio de las Islas Orcadas y la precipitación del mes de enero del Observatorio Central de Buenos Aires en el período (archivo OCBA y Orcadas.xls). Se desea analizar si existe relación lineal entre ambas variables. Para ello se propone: a) Graficar ambas series temporales en función del tiempo en el mismo gráfico. b) Graficar el diagrama de dispersión para los pares ordenados conformados por la temperatura y la precipitación. Qué puede decirse sobre la relación lineal de ambas variables a través de la inspección visual de los dos gráficos? c) Medir el grado de relación lineal entre ambas variables y evaluar su significancia. Ejercicio 6 Dadas dos series de datos mensuales que presentan relación lineal indirecta perfecta en el período a) Esquematizar cómo serían los gráficos de las dos series temporales en función del tiempo. b) Esquematizar cómo sería el diagrama de dispersión para los pares ordenados conformados por los datos de ambas series. Ejercicio 7 Dada la serie del Ejercicio 1 (Patagonia Sur.xls): a) Se desean resaltar las variaciones de escala temporal superior a 45 años, para ello calcular la serie de promedios móviles de 45 años. b) Graficar la serie de promedios móviles de 45 años junto con la serie temporal original. c) Filtrar la serie de promedios móviles, es decir, calcular la serie resultante de restar a la serie original, la serie de promedios móviles. d) Graficar la serie resultante. Se podría decir que con este método se puede filtrar la tendencia secular? 2

3 Ejercicio 8 En una serie de datos medios diarios, de longitud 100 días, se quieren filtrar, con promedios móviles, las ondas sinópticas que se suponen con longitudes menores o iguales a 7 días. a) Describa el procedimiento a seguir. De qué orden sería el promedio móvil? b) De qué longitud queda la serie una vez filtrada? Ejercicio 9 Considere los conjuntos de datos de temperatura y precipitación media mensual para las estaciones Salta Aero, Paraná Aero y Santa Rosa Aero (archivos Salta_Aero.xls, Parana_Aero.xls y StaRosa_Aero.xls). Seleccione dos estaciones y construya las series de tiempo (de ambas variables) para el período a) Graficar la marcha de las series. b) Considera que las series son estacionarias? Cómo lo mostraría formalmente? c) Dado un filtro de promedios móviles, cómo lo utilizaría para retener en su serie la variabilidad de menos de 3 meses? d) Calcular los promedios móviles de orden 3, 5 y 11 para sus series. Comparar los resultados. c) Calcular y comparar las varianzas de las series original y filtrada para cada caso del ítem d). e) Calcular los promedios móviles de orden 3, pesados con los siguientes pesos (0.25, 0.5, 0.25) y (0.15, 0.7, 0.15). Comparar con lo obtenido en los ítems d) y c) para el filtro de orden 3 Ejercicio 10 a) A qué se llama autocorrelograma? Qué información aporta sobre una serie temporal? b) Dados los gráficos de las siguientes funciones de autocorrelación, identifique la correspondiente a: ruido rojo una serie perfectamente periódica ruido blanco una serie periódica superpuesta a ruido rojo Justifique. 3

4 Ejercicio 11 a) Analizar la serie del índice Hansen de temperatura media global para el período (Hansen_global_T.xls) mediante el graficado de la marcha y la función de autocorrelación. Evaluar la presencia de ciclos, tendencia y aleatoriedad. b) Filtrar la tendencia y repetir el análisis. Ejercicio 12 Se dispone de la serie de número promedio por año de manchas solares (Manchas solares.xls). a) Graficar la serie temporal y comentar las características principales que se observan en la misma. b) Realizar un autocorrelograma de la serie y analizar los resultados. c) Una vez identificada la longitud de onda (λ) más importante de dicha serie graficar en un mismo diagrama la serie original y la serie desfasada un intervalo de tiempo de λ/2. Cómo es la correlación entre ambas series? Compararlo con el coeficiente de correlación del autocorrelograma. d) Repetir el análisis del inciso c) pero esta vez para la serie desfasada en 2λ. Ejercicio 13 Dada la marcha anual promedio de precipitación para Corrientes (archivo Corrientes.xls): a) En base a las fórmulas estudiadas en clase, calcular los coeficientes de Fourier, la fase, el porcentaje de varianza explicada y la longitud de onda de todos los armónicos que se puedan extraer de dicha marcha. b) En base a las fórmulas estudiadas en clase, calcular dichos armónicos. c) Graficar en un mismo diagrama: i) La marcha original y el armónico 1 ii) La marcha original y los armónicos 1 y 2. 4

5 iii) La marcha original y los armónicos 1, 2 y 3. iv) La marcha original y la reconstrucción en base a los armónicos 1, 2 y 3. v) La marcha original y la reconstrucción en base a todos los armónicos. Ejercicio 14 Se estudian los datos de temperatura media de superficie del mar en la región Niño 1,2 tomados desde enero de 1959 hasta diciembre de Al aplicar el análisis armónico, resultaron los siguientes coeficientes Ai y Bi para las primeras armónicas. El valor de la desviación estándar es de 2.10 C.. a) Cuánta varianza explica la onda anual en relación con la varianza total? b) El valor de la fase en meses es de 2.9 Cómo se obtiene? Qué significa? c) En este caso, Se podría analizar una onda de cuatro años? Por qué? d) Qué longitud tiene la onda de mayor frecuencia analizable por este método? e) Si le aplicara el análisis armónico a una serie de 20 años de temperaturas mensuales: - En cuántas armónicas se puede descomponer, según el análisis armónico? - Qué período tiene la onda más larga y la menor? 5

6 Ejercicio 15 En el archivo Corales.xls se encuentra la información de los isótopos de oxígeno 18 de corales provenientes de la Bahía Savusavu, Fiji, en el período El delta de oxígeno 18 (δ18o) es un proxy dato que proporciona información sobre las condiciones de la superficie del mar y que permite el estudio del clima pasado. a) Graficar la serie de δ18o y describir las características más destacables. b) Realizar un análisis armónico y un autocorrelograma de la serie. c) Evaluar la significancia de la tendencia lineal y filtrarla. d) Realizar un análisis armónico y un autocorrelograma de la serie resultante de quitar el efecto de la tendencia lineal. e) Comparar los resultados de los incisos b y d. Con qué armónico se puede asociar la tendencia lineal? Cómo cambió la forma del autocorrelograma y por qué? f) Una vez filtrado el efecto de la tenencia lineal, qué ciclos puede decir que predominan al analizar los resultados del análisis armónico y el autocorrelograma? g) Si se quisiera filtrar la variabilidad inferior a esos ciclos, de qué orden calcularía un promedio móvil? Calcular el promedio móvil y graficarlo junto con la serie resultante de filtrar la tendencia lineal. Ejercicio 16 a) Dada la serie del número promedio anual de manchas solares del Ejercicio 12 (Manchas solares.xls). Realizar un análisis armónico para analizar los ciclos predominantes. Comparar los resultados con los del Ejercicio 12. b) Reconstruir las dos ondas que explican el mayor porcentaje de varianza. Graficar la serie original y las reconstruidas en el mismo gráfico. c) Filtrar dichos armónicos, es decir, calcular la serie resultante de restar a la serie original, la serie reconstruida en base a los dos armónicos del inciso b). d) Calcular el autocorrelograma de la serie resultante en el inciso c). Queda algún ciclo predominante? De ser así, indicar la longitud de onda de ese ciclo y discutir con qué efecto puede asociarse dicho ciclo. Ejercicio 17 a) Realizar el análisis armónico de las series del Ejercicio 9. b) Graficar, y discutir la varianza explicada por cada armónico, en las dos variables y en las dos estaciones. c) Realizar el filtrado de las armónicas más significativas. d) Evaluar el filtrado con el cálculo de la función de autocorrelación. Ejercicio 18 Analizar la presencia de tendencia y ciclos mediante el autoccorrelograma y mediante el análisis armónico, en la serie de mareas del Río de la Plata (Mareas.xls), en un período de 5 días (120 datos) seguidos. 6