Métodos multi-malla para problemas de control óptimo de EDP II. Sergio González Andrade 1

Transcripción

1 Métodos multi-malla para problemas de control óptimo de EDP II Sergio González Andrade 1 1 Departamento de Matemática, EPN-Quito S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

2 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

3 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

4 Un problema sencillo como ejemplo En la sesión anterior, dijimos que una vez discretizado el sistema de optimalidad, lo representamos, incluyendo condiciones incial, terminal y de frontera por A m h (w m h ) = f m h, w m h = (y m h, um h, pm h ). Idea: Usar métodos Multimalla para resolver este sistema. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

5 Un problema sencillo como ejemplo En la sesión anterior, dijimos que una vez discretizado el sistema de optimalidad, lo representamos, incluyendo condiciones incial, terminal y de frontera por A m h (w m h ) = f m h, w m h = (y m h, um h, pm h ). Idea: Usar métodos Multimalla para resolver este sistema. Ejemplo: Discutamos la resolución de la ecuación u = u xx u yy = f en Ω := (0, 1) 2 u = 0 en Γ := Ω S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

6 Un problema sencillo como ejemplo Como dijimos, es necesario discretizar la ecuación para resolverla numéricamente definimos nuestra malla Ω h := {(ih, jh) : i, j = 1,...,N} y obtenemos la siguiente dicretización: 1 h u h = 1 [4u h 2 i,j u i 1,j u i+1,j u i,j 1 u i,j+1 ] = 1 1 h Ecuación discretizada h u h = f h h u h Figure: Malla para la ec. de Poisson S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

7 Un problema sencillo como ejemplo Como dijimos, es necesario discretizar la ecuación para resolverla numéricamente definimos nuestra malla Ω h := {(ih, jh) : i, j = 1,...,N} y obtenemos la siguiente dicretización: 1 h u h = 1 [4u h 2 i,j u i 1,j u i+1,j u i,j 1 u i,j+1 ] = 1 1 h Ecuación discretizada h u h = f h h u h Figure: Malla para la ec. de Poisson S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

8 Método de Gauss-Seidel Lex. Los métodos iterativos clásicos barren toda la malla en orden lexicográfico. Por ejemplo, Gauss-Seidel se lee como: o donde u k+1 h (x i, y j ) = 1 4 [h2 f h (x i, y j )+u k+1 h (x i h, y j )+u k h (x i + h, y j ) u k+1 h (x i, y j h)+uh k(x i, y j + h)], L + h uk+1 h 0 L + h := L h uk h = f h h 1 L h := h S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

9 Error en el método de Gauss-Seidel Lex. Supongamos que aplicamos GS-LEX a la ecuación de Poisson y estudiemos el error e k h := u h (x i, y j ) u k h(x i, y j ). S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

10 Error en el método de Gauss-Seidel Lex. Supongamos que aplicamos GS-LEX a la ecuación de Poisson y estudiemos el error e k h := u h (x i, y j ) u k h(x i, y j ). Se observa un fenómeno interesante: el error, luego de varias iteraciones, no se reduce (necesariamente), pero se convierte en una función suave. Figure: Error de la aproximación inicial, luego de 2 y 5 iteraciones, resp. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

11 Principio de Regularización Es suficiente? Principio Varios métodos iterativos clásicos, como el GS-LEX, al ser apropidadamente aplicados a problemas discretos tienen un fuerte efecto regularizante sobre el error de aproximación. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

12 Principio de Regularización Es suficiente? Principio Varios métodos iterativos clásicos, como el GS-LEX, al ser apropidadamente aplicados a problemas discretos tienen un fuerte efecto regularizante sobre el error de aproximación. Pero este efecto no es suficiente para reducir el error! S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

13 Principio de Regularización Es suficiente? Principio Varios métodos iterativos clásicos, como el GS-LEX, al ser apropidadamente aplicados a problemas discretos tienen un fuerte efecto regularizante sobre el error de aproximación. Pero este efecto no es suficiente para reducir el error! Problema: El error, representado en un espacio de Fourier, tiene dos tipos de componentes: de alta frecuencia y de baja frecuencia. e k h = n 1 k,l=1 α k,l sin(kπx) sin(lπy), con (x, y) Ω h. k o l grandes alta frecuencia y k o l pequeños baja frecuencia. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

14 Principio de Regularización Es suficiente? Principio Varios métodos iterativos clásicos, como el GS-LEX, al ser apropidadamente aplicados a problemas discretos tienen un fuerte efecto regularizante sobre el error de aproximación. Pero este efecto no es suficiente para reducir el error! Problema: El error, representado en un espacio de Fourier, tiene dos tipos de componentes: de alta frecuencia y de baja frecuencia. e k h = n 1 k,l=1 α k,l sin(kπx) sin(lπy), con (x, y) Ω h. k o l grandes alta frecuencia y k o l pequeños baja frecuencia. Hecho: GS-LEX reduce rápidamente las componentes de alta frecuencia, pero las de baja frecuencia persisten. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

15 Principio de Mallas más Gruesas: Coarse Grid Correction Afortundamente, se observa que: Las componentes regularizadas del error se pueden representar en mallas más gruesas. Resolver un problema en mallas más gruesas es menos costoso. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

16 Principio de Mallas más Gruesas: Coarse Grid Correction Afortundamente, se observa que: Las componentes regularizadas del error se pueden representar en mallas más gruesas. Resolver un problema en mallas más gruesas es menos costoso. Principio Una componente suave del error se puede aproximar en una malla más gruesa. Un proceso realizado en una malla más gruesa es substancialmente menos costoso (considerando menos puntos de malla) que un proceso realizado en mallas finas. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

17 Principio de Mallas más Gruesas: Coarse Grid Correction Afortundamente, se observa que: Las componentes regularizadas del error se pueden representar en mallas más gruesas. Resolver un problema en mallas más gruesas es menos costoso. Principio Una componente suave del error se puede aproximar en una malla más gruesa. Un proceso realizado en una malla más gruesa es substancialmente menos costoso (considerando menos puntos de malla) que un proceso realizado en mallas finas. Hecho: Al resolver el problema regularizado en una malla gruesa, las componentes de baja frecuencia se reducen efectivamente. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

18 Algoritmo de dos niveles Fijar una aproximación inicial u 0 h 1 Pre-regularización con GS-LEX: u k h 2 Coarse-grid correction: calcular el defecto: d h := f h L h u k h restringir el defecto: dh = I H h d h resolver (exactamente) el problema en la malla gruesa: LH e H = d H interpolar la corrección: e h = IH h e H corregir la aproximación: u k+1 h = uh k + e h 3 Post-regularización con GS-LEX. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

19 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

20 Sistema de Optimalidad Sistema de Ecuaciones no Lineales Representamos el sistema de optimalidad en el nivel k, incluyendo condiciones incial, terminal y de frontera por A k (w k ) = f k, w k = (y k, u k, p k ). Idea: Usar métodos Multimalla para resolver este sistema. Los métodos Multimalla combinan dos esquemas complementarios para reducir el error global [Trott. et al.]: Procesos de relajación para reducir los componentes de alta frecuencia. Corrección en las mallas más gruesas para reducir las componentes de baja frecuencia. U. Trottenberg, C. Oosterlee and A. Schüller. Multigrid. Academic Press, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

21 Sistema de Optimalidad Sistema de Ecuaciones no Lineales Representamos el sistema de optimalidad en el nivel k, incluyendo condiciones incial, terminal y de frontera por A k (w k ) = f k, w k = (y k, u k, p k ). Idea: Usar métodos Multimalla para resolver este sistema. Los métodos Multimalla combinan dos esquemas complementarios para reducir el error global [Trott. et al.]: Procesos de relajación para reducir los componentes de alta frecuencia. Corrección en las mallas más gruesas para reducir las componentes de baja frecuencia. U. Trottenberg, C. Oosterlee and A. Schüller. Multigrid. Academic Press, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

22 Sistema de Optimalidad Sistema de Ecuaciones no Lineales Representamos el sistema de optimalidad en el nivel k, incluyendo condiciones incial, terminal y de frontera por A k (w k ) = f k, w k = (y k, u k, p k ). Idea: Usar métodos Multimalla para resolver este sistema. Los métodos Multimalla combinan dos esquemas complementarios para reducir el error global [Trott. et al.]: Procesos de relajación para reducir los componentes de alta frecuencia. Corrección en las mallas más gruesas para reducir las componentes de baja frecuencia. U. Trottenberg, C. Oosterlee and A. Schüller. Multigrid. Academic Press, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

23 Sistema de Optimalidad Sistema de Ecuaciones no Lineales Representamos el sistema de optimalidad en el nivel k, incluyendo condiciones incial, terminal y de frontera por A k (w k ) = f k, w k = (y k, u k, p k ). Idea: Usar métodos Multimalla para resolver este sistema. Los métodos Multimalla combinan dos esquemas complementarios para reducir el error global [Trott. et al.]: Procesos de relajación para reducir los componentes de alta frecuencia. Corrección en las mallas más gruesas para reducir las componentes de baja frecuencia. U. Trottenberg, C. Oosterlee and A. Schüller. Multigrid. Academic Press, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

24 Algoritmo Multimalla Espacio-Temporal (MMET) Sea B 1 (w (0) 1 ) A 1 1. Para k = 2,...,L definir B k en término de B k 1 por 1 Fijar una aproximación inicial w (0) k. 2 Relajación previa. Definir w (l) k w (l) k para l = 1,...,ν 1, por = S k (w (l 1) k, f k ). 3 Corrección en mallas gruesas. Fijar w (ν 1+1) k = w (ν 1) k + Ik 1 k (qµ Îk 1 k w (ν 1) k ) donde q i para i = 1,...,µ está dada por (q 0 = 0) [ q i = q i 1 + B k 1 (Îk 1 k w (ν 1) k ) I k 1 k (f k A k (w (ν 1) k )) 4 Relajación posterior. Definir w (l) k w (l) k 5 Fijar B k (w (0) k ) f k = w (ν 1+ν 2 +1) k. +A k 1 (Îk 1 k w (ν 1) k ) A k 1 (q i 1 ) ]. para l = ν 1 + 2,,ν 1 +ν 2 + 1, por = S k (w (l 1) k, f k ). S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

25 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

26 Esquemas de Relajación Colectivos Componente clave en el desarrollo de métodos multimalla para sistemas de optimalidad: diseño de esquemas de relajación robustos [BorSch, 2009]. Algoritmo: dos requerimientos Acoplamiento entre las variables de estado y control. Preservación de la orientación opuesta de las variables de estado y adjunta. t = 0 y 0 y t = T p p T A. BORZÌ AND V. SCHULZ. MULTIGRID METHODS FOR PDE OPTIMIZATION. SIAM Review., A. BORZÌ. MULTIGRID METHODS FOR PARABOLIC DISTRIBUTED OPTIMAL CONTROL PROBLEMS. J. Comp. Appl. Math., S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

27 Esquemas de Relajación Colectivos Componente clave en el desarrollo de métodos multimalla para sistemas de optimalidad: diseño de esquemas de relajación robustos [BorSch, 2009]. Algoritmo: dos requerimientos Acoplamiento entre las variables de estado y control. Preservación de la orientación opuesta de las variables de estado y adjunta. t = 0 y 0 y t = T p p T A. BORZÌ AND V. SCHULZ. MULTIGRID METHODS FOR PDE OPTIMIZATION. SIAM Review., A. BORZÌ. MULTIGRID METHODS FOR PARABOLIC DISTRIBUTED OPTIMAL CONTROL PROBLEMS. J. Comp. Appl. Math., S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

28 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

29 Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel Introduciendo las notaciones siguientes γ = δt/h 2 a = ( σγ), S ijm = σγ [y i+1 j m + y i 1 j m + y i j+1 m + y i j 1 m ] +2y ijm y ijm 2 δt f i j m, R ijm = σγ [p i+1 j m + p i 1 j m + p i j+1 m + p i j 1 m ] +2p ijm p ijm+2 δt α y d i j m. el sistema de optimalidad en forma expandida en cada punto de malla i, j, m a y ijm + S ijm +δtg(y ijm ) δtu ijm = 0, a p ijm + R ijm +δtg (y ijm )p ijm +αδty ijm = 0, (νu ijm p ijm ) (v ijm u ijm ) 0. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

30 Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel Si tenemos un control u ijm admisible, actualización basada en el método de Newton para las variables de estado y adjunta ŷ i j m y p i j m en i j m: ( ŷ p ) i j m = ( y p ) i j m + 1 ( a+δtg ) 2 ( a+δtg 0 δt(α+g p ijm ) a+δtg ) 1( ry r p ) donde r y y r p son los residuos en i j m antes de la actualización: (r y ) ijm = a y ijm S ijm δtg(y ijm )+δtu ijm, para m = 2,...,N t + 1, (r p ) ijm = a p ijm R ijm δtg (y ijm )p ijm αδty ijm, para m = 1,...,N t 1. i j m, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

31 Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel Si tenemos un control u ijm admisible, actualización basada en el método de Newton para las variables de estado y adjunta ŷ i j m y p i j m en i j m: ( ŷ p ) i j m = ( y p ) i j m + 1 ( a+δtg ) 2 ( a+δtg 0 δt(α+g p ijm ) a+δtg ) 1( ry r p ) donde r y y r p son los residuos en i j m antes de la actualización: (r y ) ijm = a y ijm S ijm δtg(y ijm )+δtu ijm, para m = 2,...,N t + 1, (r p ) ijm = a p ijm R ijm δtg (y ijm )p ijm αδty ijm, para m = 1,...,N t 1. Escribimos p ijm como función de u ijm y, usando la relación νũ ijm p ijm = 0... i j m, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

32 Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel: Proyección... calculamos la variable auxiliar ( ) 1 ũ ijm = ν + δt2 (α+g p)u ijm ( a+δtg ) 2 [ p ijm + δt(α+g p ijm )[a y ijm S ijm δtg(y ijm )] ( a+δtg ) 2 + a p ijm R ijm δtg (y ijm )p ijm αδty ijm ( a+δtg ) ]. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

33 Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel: Proyección... calculamos la variable auxiliar ( ) 1 ũ ijm = ν + δt2 (α+g p)u ijm ( a+δtg ) 2 [ p ijm + δt(α+g p ijm )[a y ijm S ijm δtg(y ijm )] ( a+δtg ) 2 + a p ijm R ijm δtg (y ijm )p ijm αδty ijm ( a+δtg ) Proyección: el valor de la actualización para u ijm resultante del proceso de relajación está dado por u ijm si ũ ijm > u ijm u ijm = ũ ijm si u ijm ũ ijm u ijm u ijm si ũ ijm < u ijm. ]. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

34 Algoritmo (EC-PP-GSC) 1 Establecer la aproximación inicial: y ij1 y 0, y ij2, u ij2 and p ijnt, u ijnt, p ijnt+1 β(y(x, T) y T (x)). 2 Para m = 2,...,N t 1: calcular (r y ) ijm, ũ ijm y la proyección u ijm. Calcular las actualizaciones y (1) i j m = y(0) i j m + (r y ) ijm ( a+δtg ). 3 Para m = N t 1,...,2 (hacia atrás): calcular (r y ) ijm, (r p ) ijm, ũ ijm y la proyección u ijm. Calcular las actualizaciones 4 Fin. p (1) i j m = p (0) i j m + ( a+δtg )(r p ) ijm δt(α+g p)(r y ) ijm ( a+δtg ) 2. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

35 Algoritmo (EC-PP-GSC) 1 Establecer la aproximación inicial: y ij1 y 0, y ij2, u ij2 and p ijnt, u ijnt, p ijnt+1 β(y(x, T) y T (x)). 2 Para m = 2,...,N t 1: calcular (r y ) ijm, ũ ijm y la proyección u ijm. Calcular las actualizaciones y (1) i j m = y(0) i j m + (r y ) ijm ( a+δtg ). 3 Para m = N t 1,...,2 (hacia atrás): calcular (r y ) ijm, (r p ) ijm, ũ ijm y la proyección u ijm. Calcular las actualizaciones 4 Fin. p (1) i j m = p (0) i j m + ( a+δtg )(r p ) ijm δt(α+g p)(r y ) ijm ( a+δtg ) 2. Convergencia garantizada por el análisis local de Fourier y equivalencia con los métodos generalizados de Newton S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

36 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

37 Problema con Restricciones Sea G = 0. El Algoritmo MMET, con los esquemas EC-PP-GS, es testeado considerando una solución exacta, contruida como sigue: Escogemos σ = 1, u(x, t) = 1/2 y u(x, t) = 1/2, de donde y(x 1, x 2, t) = (1 t) sin(πx 1 ) sin(πx 2 ), p(x 1, x 2, t) = ν(1 t) sin(2πx 1 ) sin(2πx 2 ), u(x 1, x 2, t) = max{ 0.5, min{0.5, p(x 1, x 2, t)/ν}}. Los datos correspondientes son f y d = u t y + y, = y + t p + p. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

38 Problema con Restricciones ν N x N y N t γ y y h p p h u u h Table: Resultados de precisión P-TS-CGS P-TL-CGS ν γ ρ r y r p y h R h y d Table: Convergencia y error de rastreo. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

39 Problema con Restricciones Figure: Estado y (columna izquierda) y control u (columna derecha) para t = 0.5 y t = S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

40 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

41 Bang-Bang Control Siguiendo [BorKun, 2003] y tomando G = 0, la solución del problema con ν = 0 existe, es única y se caracteriza por t y +σ y = f + u in Q, t p +σ p +α(y y d ) = 0 in Q, y = 0, p = 0 on Σ, p = min{0, p+u u}+max{0, p + u u} in Q. con c.i. y(x, 0) = y 0 (x) y c.t. p(x, T) = β(y(x, T) y T (x)). Tomando f = 0, y 0 (x) = 0, u(x, t) = 1 y u(x, t) = 1, y y d (x 1, x 2, t) = sin(2πt) sin(3πx 1 ) sin(3πx 2 ). A. BORZÌ AND K. KUNISCH. A MULTIGRID SCHEME FOR ELLIPTIC CONSTRAINED OPTIMAL CONTROL PROBLEMS. Comput. Optim. Appl., S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

42 Control Bang-Bang Figure: Resultados numéricos con ν = 0 en t = T/4 (arriba) y t = 3T/4 (abajo). Estado (izquierda) y control (derecha); mesh. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

43 Índice 1 El Esquema Multimalla Introducción 2 Método Multimalla y los Problemas de Control Óptimo El Algoritmo Multimalla para PCOP Esquemas de Relajación Espacio-Temporales Esquema Puntual Colectivo de Gauss-Seidel 3 Resultados Numéricos Problema con Restricciones Control Bang-Bang 4 Aplicación a las Ciencias Biomédicas Una aplicación a la Fisiología 5 Conclusiones y Perspectivas S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

44 Modelo de Aliev-Panfilov Objetivo: Contar con un modelo simplificado del tejido cardíaco (miocardio). Principalmente, modelar las propiedades de restitución del tejido y representar la forma del potencial de acción. Modelo: En 1996, R. Aliev y A.V. Panfilov { t y 1 = [ k y 1 (y 1 ] a)(y 1 1) y 1 y 2 +σ y 1 t y 2 = ε 0 + µ 1 y 2 µ 2 +y 1 [ y 2 k y 1 (y 1 b 1) y 1 : transmembrane potential y 2 : transmembrane conductance Patrón uniforme dado por una configuración normal tejido sano R. ALIEVÌ AND A.V. PANFILOV. A SIMPLE TWO-VARIABLE METHOD OF CARDIAC EXCITATION. Chaos, Solitons & Fractals., S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

45 Modelo de Aliev-Panfilov Objetivo: Contar con un modelo simplificado del tejido cardíaco (miocardio). Principalmente, modelar las propiedades de restitución del tejido y representar la forma del potencial de acción. Modelo: En 1996, R. Aliev y A.V. Panfilov { t y 1 = [ k y 1 (y 1 ] a)(y 1 1) y 1 y 2 +σ y 1 t y 2 = ε 0 + µ 1 y 2 µ 2 +y 1 [ y 2 k y 1 (y 1 b 1) y 1 : transmembrane potential y 2 : transmembrane conductance Patrón uniforme dado por una configuración normal tejido sano R. ALIEVÌ AND A.V. PANFILOV. A SIMPLE TWO-VARIABLE METHOD OF CARDIAC EXCITATION. Chaos, Solitons & Fractals., S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

46 Modelo de Aliev-Panfilov Objetivo: Contar con un modelo simplificado del tejido cardíaco (miocardio). Principalmente, modelar las propiedades de restitución del tejido y representar la forma del potencial de acción. Modelo: En 1996, R. Aliev y A.V. Panfilov { t y 1 = [ k y 1 (y 1 ] a)(y 1 1) y 1 y 2 +σ y 1 t y 2 = ε 0 + µ 1 y 2 µ 2 +y 1 [ y 2 k y 1 (y 1 b 1) y 1 : transmembrane potential y 2 : transmembrane conductance Patrón uniforme dado por una configuración normal tejido sano R. ALIEVÌ AND A.V. PANFILOV. A SIMPLE TWO-VARIABLE METHOD OF CARDIAC EXCITATION. Chaos, Solitons & Fractals., S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

47 Control del Modelo de Aliev-Panfilov Problema: Patrones turbulentos dados por configuraciones anómalas tejido enfermo, i.e., arritmia, fibrilación, etc. Idea: Controlar el modelo de Aliev-Panfilov, utilizando campos eléctricos generados por, e.g., un defibrilador implantado min 2 α i u L 2 i=1 2 y i y d,i 2 L (Q) 2 (Q) + β i 2 y i(, T) y T,i 2 L 2 (Ω) + ν 2 u 2 L 2 (Q) t y 1 = [ k y 1 (y 1 a)(y 1 1) y 1 y 2 +σ y 1 + u t y 2 = ε 0 + µ 1 y 2 [ y 2 k y 1 (y 1 b 1) µ 2 +y 1 ] y 1 (x, t) = 0 on Σ y 1 (x, 0) = y 1,0 y 2 (x, t) = 0 on Σ y 2 (x, 0) = y 2,0 A. BORZÌ. SPACE-TIME MULTIGRID METHODS FOR SOLVING UNSTEADY OPTIMAL CONTROL PROBLEMS. (Chapter 5) in L.T. BIEGLER, O. GHATTAS, M. HEINKENSCHLOSS, D. KEYES AND B. VAN BLOEMEN WAANDERS (Eds.), Real-Time PDE-Constrained Optimization, Computational Science and Engineering, Vol. 3, SIAM, Philadelphia, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

48 Control del Modelo de Aliev-Panfilov Problema: Patrones turbulentos dados por configuraciones anómalas tejido enfermo, i.e., arritmia, fibrilación, etc. Idea: Controlar el modelo de Aliev-Panfilov, utilizando campos eléctricos generados por, e.g., un defibrilador implantado min 2 α i u L 2 i=1 2 y i y d,i 2 L (Q) 2 (Q) + β i 2 y i(, T) y T,i 2 L 2 (Ω) + ν 2 u 2 L 2 (Q) t y 1 = [ k y 1 (y 1 a)(y 1 1) y 1 y 2 +σ y 1 + u t y 2 = ε 0 + µ 1 y 2 [ y 2 k y 1 (y 1 b 1) µ 2 +y 1 ] y 1 (x, t) = 0 on Σ y 1 (x, 0) = y 1,0 y 2 (x, t) = 0 on Σ y 2 (x, 0) = y 2,0 A. BORZÌ. SPACE-TIME MULTIGRID METHODS FOR SOLVING UNSTEADY OPTIMAL CONTROL PROBLEMS. (Chapter 5) in L.T. BIEGLER, O. GHATTAS, M. HEINKENSCHLOSS, D. KEYES AND B. VAN BLOEMEN WAANDERS (Eds.), Real-Time PDE-Constrained Optimization, Computational Science and Engineering, Vol. 3, SIAM, Philadelphia, S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

49 Conclusiones y Perspectivas Conclusiones La discretización utilizada garantiza buena aproximación con menor esfuerzo. Los resultados numéricos confirman la calidad de los métodos de multimalla espacio-temporales, en este contexto. Los resultados numéricos confirman la habilidad de nuestro método para resolver el caso límite del control bang-bang. Perspectivas Resolución detallada, considerando varios escenarios, del problema de control del modelo de Aliev-Panfilov. Extender el estudio a problemas de identificación de parámetros y control en los coeficientes. 3+1 D. S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32

50 Gracias! S. González Andrade (EPN) Emalca Ecuador / 32