Ecuaciones diferenciales parciales

Transcripción

1 Chapter 10 Ecuaciones diferenciales parciales Las ecuaciones diferenciales parciales forman una parte muy importante de la física matemática, ya que modelan sistemas donde hay más de una variable independiente. Sin embargo, normalmente son muy difíciles o imposibles de resolver analíticamente. Por lo tanto, es de suma importancia desarrollar métodos numéricos que nos permitan resolver este tipo de ecuaciones. En este curso, veremos nada más el llamado método de diferencias finitas. La idea es muy parecida a la que empleamos para las ecuaciones diferenciales ordinarias: aproximamos la ecuación misma, discretizando en el espacio y/o el tiempo, y aproximando las derivadas parciales que aparecen en la ecuación por diferencias finitas. Eso convierte la ecuación diferencial parcial en un sistema de ecuaciones lineales Ecuación de Laplace en una dimensión Consideremos el ejemplo más sencillo, la ecuación de Laplace: 2 φ=0, (10.1) que modela el potencial eléctrico φ en una región del espacio donde no hay cargas eléctricas. Tomando un espacio uni-dimensional, tenemos 2 φ x2= 0, (10.2) donde de hecho las derivadas parciales son derivadas normales, ya que hay una sola variable independiente. Supongamos que queremos resolver esta ecuación en el intervalo [a, b], con condiciones fijas a la frontera, por ejemplo φ(a) = α y φ(b) = β. Discretizamos el intervalo [a, b] en N sub-intervalos, de tamaño h := b a, para formar una malla uni-dimensional. Denotemos los puntos de la malla N por x i, i=0,..., N. (Nótese que hay N+ 1 puntos si hay N intervalos.) Entonces tenemos que x i = a+ih. 97

2 98 CHAPTER 10. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Ahora introducimos la aproximación de 3 puntos para aproximar la derivada: 2 φ x 2 (x i) 1 h 2 (φ i 1 2φ i +φ i+1 )+O(h 2 ). (10.3) Para satisfacer a la ecuación de Laplace, necesitamos por lo tanto que φ i 1 2φ i +φ i+1 = 0 (10.4) para todas las i, es decir para todos los puntos de la malla, excepto en las fronteras, donde imponemos las condiciones a la frontera de tipo Dirichlet: φ 0 =α; φ N =β. (10.5) Así, tenemos que resolver las N 1 ecuaciones (10.4) de manera simultánea, para todas lasφ i, i=1,..., N 1, utilizando las condiciones a la frontera (10.5). Ya que son ecuaciones lineales en lasφ i, podemos reescribirlas como una ecuación matricial: A φ=b, (10.6) dondeφ=(φ 0,...,φ N ) T, b=(α, 0,...,0,β) T, y A= (10.7) Para resolver la ecuación de Laplace aproximada, es entonces suficiente de resolver esta ecuación lineal, lo cual se puede hacer de distintas maneras, como veremos en la siguiente sección Métodos iterativos para resolver las ecuaciones lineales Vimos en la sección anterior que para encontrar una solución aproximada de la ecuación de Laplace, reemplazamos ésta por un sistema de ecuaciones lineales simultáneas. Ahora hay que resolver este sistema. El primer método que se nos ocurre es el método de eliminación de Gauss Jordan, y este método sí funciona. Sin embargo, normalmente las ecuaciones diferenciales parciales, en particular en más dimensiones, dan lugar a sistemas de ecuaciones muy grandes. Por lo tanto, resulta necesario investigar la aplicación de otros métodos para resolver las ecuaciones lineales resultantes. De hecho, resulto que los métodos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel son fáciles de implementar para este tipo de problemas. En sí no son tampoco muy eficientes, pero una versión llamada sobre-relajación puede ser bastante más eficaz.

3 10.2. MÉTODOS ITERATIVOS PARA RESOLVER LAS ECUACIONES LINEALES Jacobi Empecemos con el método de Jacobi. Como ya hemos visto anteriormente, este método consiste en dividir la matriz en su parte diagonal y su parte no-diagonal, y de implementar una iteración. La división de la matriz se reduce a resolver las ecuaciones (10.4) paraφ i, lo cual da φ i = 1 2 (φ i 1+φ i+1 ). (10.8) Esta ecuación es equivalente a (10.4), y todas se tienen que satisfacer de manera simultánea. Ahora la idea de Jacobi es reemplazar esta ecuación por la iteración φ (n+1) i = 1 2 (φ(n) i 1 +φ(n) i+1 ), (10.9) donde (n) indica el paso de tiempo en la iteración. Se puede demostrar que esta iteración converge bajo ciertos criterios, en particular que la diagonal de la matriz domina los otros elementos, lo cual sí es el caso en este tipo de problemas que resultan de la discretización de ecuaciones parciales. Nótese de nuevo que las ecuaciones (10.9) se satisfacen sólo al interior del dominio, es decir para i=1,..., N 1; en las fronteras hay que imponer más bien las condiciones en la frontera. Así que para aplicar el método de Jacobi, empezamos con cualquier condición inicialφ 0 i, con las condiciones a la fronteraφ (0) 0 =α yφ (N) 0 = β, e iteramos (10.9) hasta que tengamos convergencia de lasφ i. Nótese que la iteración (10.9) se puede llevar a cabo de manera muy eficiente utilizando las operaciones matriciales denumpy Gaus Seidel Para implementar el método de Gauss Seidel, acordémonos que éste es igual, excepto que se utiliza toda la información nueva generada de manera inmediata. Por ejemplo, si en cada paso procesamos las ecuaciones (10.9) desde i=0 hasta i=n, entonces al momento de procesar la i-ésima ecuación, ya conocemos el valor nuevo deφ i 1, por lo cual lo podemos emplear, como sigue: φ (n+1) i = 1 2 (φ(n+1) i 1 +φ (n) i+1 ). (10.10) Resulta que este método es 2 veces más eficiente que el de Jacobi, y además requiere de menos memoria en la computadora; sin embargo, no está tan claro cómo implementarlo de manera eficiente con operaciones matriciales. Estos métodos también se llaman métodos de relajación, ya que para resolverlas introducimos un tiempo n ficticio, y la solución se relaja hacia la solución verdadera conforme se va incrementando este tiempo ficticio.

4 100 CHAPTER 10. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 10.3 Ecuación de Poisson en 2 dimensiones Un procedimiento muy similar funciona en dimensiones más altas. Por ejemplo, consideremos la ecuación de Poisson en 2 dimensiones, que describe la distribución de potencial eléctrico en la presencia de una distribución f de carga: 2 φ(x, y) x φ(x, y) y 2 = f (x, y). (10.11) Supongamos que la función f describe los datos del problema en una región plana R cuya frontera denotamos S. Para obtener una solución única a la ecuación de Poisson, se deben imponer otras restricciones más a la solución, es decir, las condiciones en la frontera. Supongamos que queremos estudiar la distribución de calor en una región plana. Si la temperatura dentro de la región esta determinada por su distribución a la frontera de la región, se tiene que cumplir la condición de frontera de Dirichlet, φ(x, y)=g(x, y) (10.12) para toda x, y en S. Para resolver este problema, de nuevo lo discretizamos. Construimos entonces una malla 2-dimensional rectangular, con n y m sub-intervalos en las dos direcciones, respectivamente. Los pasos en las dos direcciones de la malla son entonces h := b a n ; (10.13) k := d c m, (10.14) donde la región rectangular del problema es [a, b] [c, d]. Los puntos de la malla tienen coordenadas (x i, y i ) (ver figura 10.1), donde x i = a+ih, i=0, 1,...,n (10.15) y j = c+ jk, j=0, 1,...,m. (10.16) Denotaremosφ i, j :=φ(x i, y j ). Son estasφ i, j las que tenemos que encontrar para resolver el problema. Ahora aproximaremos las derivadas parciales con diferencias finitas. Dado que las φ dependen de dos coordenadas, para hacerlo basta con fijar una de las coordenadas para calcular derivadas parciales con respecto a la otra coordenada. Así encontramos y 2 φ x 2 (x i, y j ) φ i 1, j 2φ i, j +φ i+1, j h 2 +O(h 2 ) (10.17) 2 φ x 2 (x i, y j ) φ i, j 1 2φ i, j +φ i, j+1 k 2 +O(h 2 ). (10.18)

5 10.3. ECUACIÓN DE POISSON EN 2 DIMENSIONES 101 d k c h a b Figure 10.1: Cuadrícula y puntos de la malla cuadrada. Por lo tanto, la ecuación de Poisson discretizada es φ i 1, j 2φ i, j +φ i+1, j h 2 + φ i, j 1 2φ i, j +φ i, j+1 k 2 = f (i, j), (10.19) para i=1,...,n 1 y j 1,...,m 1. El error eso(h 2 + k 2 ). De nuevo, eso nos da un sistema de ecuaciones lineales simultáneas que hay que resolver con condiciones de frontera dadas: φ(0, j)= f (0, j) (10.20) φ(n, j)= f (n, j) (10.21) φ(i, 0)= f (i, 0) (10.22) φ(i, m)= f (i, m), (10.23) para todas i y j. Para resolver estas ecuaciones, de nuevo podemos reescribirlas como una ecuación matricial, aunque es más complicado que anteriormente, ya que hay que poner todas lasφ i, j en un solo vector, y por lo tanto la matriz resultante también es más complicada. Alternativamente, se pueden utilizar los métodos de Jacobi o Gauss Seidel de la misma manera como en una dimensión: se resuelve la ecuación (10.19) paraφ i, j, lo cual se vuelveφ n+1 i, j, y los términos por el lado derecho se quedan comoφ n, e iteramos. Ejemplo. Determinar la distribución de calor estable, en una placa cuadrada metálica delgada, con dimensiones cm. Con dos fronteras adyacentes a 0 o C, mientras el calor en las otras dos fronteras aumenta linealmente de 0 o C en una esquina a 100 o C en el sitio donde ambos lados se encuentran: 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = 0 (10.24)

6 102 CHAPTER 10. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Donde n=m=4. Con las condiciones de frontera u(0, y)=0 (10.25) u(x, 0)=0 (10.26) u(x, 0.5) = 200x (10.27) u(0.5, y) = 200y (10.28) La aproximación queda: 4u i, j u i+1, j u i 1, j u i, j 1 u i, j+1 = 0 (10.29) Para i=1, 2, 3 y j=1, 2, 3. Queremos expresar la ecuación anterior a los puntos marcados de la cuadrícula interior, usando u i = u(p i ) para las variables a encontrar, tal que: u(p 1 )=u 1 = u 1,3 (10.30) u(p 2 )=u 2 = u 2,3 (10.31) u(p 3 )=u 3 = u 3,3 (10.32) u(p 4 )=u 4 = u 1,2 (10.33) u(p 5 )=u 5 = u 1,2 (10.34) u(p 6 )=u 6 = u 3,2 (10.35) u(p 7 )=u 7 = u 1,1 (10.36) u(p 8 )=u 8 = u 2,1 (10.37) u(p 9 )=u 9 = u 3,1 (10.38) P 1 con i=1, j=3 Por lo que 4u 1,3 u 2,3 u 0,3 u 1,2 u 1,4 = 0 Sustituyendo las variables a encontrar, nos quedamos con la ecuación 4u 1 u 2 u 4 = u 0,3 u 1,4 (10.39) P 2 se tiene 4u 2 u 3 u 1 u 5 = u 2,4 P 3 se tiene 4u 3 u 2 u 6 = u 4,3 + u 3,4 P 4 se tiene 4u 4 u 5 u 1 u 7 = u 0,2 P 5 se tiene 4u 5 u 6 u 4 u 2 u 8 = 0 P 6 se tiene 4u 6 u 5 u 3 u 9 = u 4,2

7 10.4. ECUACIONES DE EVOLUCIÓN 103 P 7 se tiene 4u 7 u 8 u 4 = u 0,1 + u 1,0 P 8 se tiene 4u 8 u 9 u 7 u 5 = u 2,0 P 9 se tiene 4u 9 u 8 u 6 = u 3,0 + u 4,1 Con las condiciones de frontera u 1,0 = u 2,0 = u 3,0 = u 0,1 = u 0,2 = u 0,3 = 0 (10.40) u 1,4 = u 4,1 = 25 (10.41) u 2,4 = u 4,2 = 50 (10.42) u 3,4 = u 4,3 = 75 (10.43) 10.4 Ecuaciones de evolución Ahora estudiaremos ecuaciones de evolución, donde además de una dependencia en el espacio también hay una dependencia en el tiempo. Para resolver estas ecuaciones usando diferencias finitas, empleamos una aproximación que combina elementos de los métodos para ecuaciones diferencias ordinarias con valores iniciales y los para ecucaciones parciales con valores en la frontera. Consideremos la ecuación de difusión (también llamada la ecuación de calor) en una dimensión: ρ t = D 2 ρ=d 2 ρ x2. (10.44) Siguiendo la idea de las secciones anteriores, intentamos una aproximación por diferencias finitas. Definamos una malla con tamaño x en la dirección x del espacio, y pasos de tiempo t. Queremos encontrar ρ(t n, x i ) :=ρ(n t, i x)=ρ(n, i), (10.45) en los puntos de la malla. Ahora tendremos que imponer condiciones inicialesρ(0, i) para todas i, y además condiciones en la fronteraρ(t, 0) yρ(t, N) para cada t, que normalmente serán independientes del tiempo. Aproximamos la derivada parcial en el tiempo por la fórmula de dos puntos: y la segunda derivada en el espacio por la fórmula de tres puntos: ρ t (t n, x i ) ρ n+1,i ρ n,i, (10.46) t 2 ρ x 2 ρ n,i 1 2ρ n,i +ρ n,i+1 ( x) 2. (10.47)

8 104 CHAPTER 10. ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Entonces llegamos a la ecuación de diferencias finitas siguiente, que indica cómo actualizar la solución en todo el espacio x en el siguiente paso de tiempo t: ρ n+1,i =ρ n,i + D t ( x) 2 ( ρn,i 1 2ρ n,i +ρ n,i+1 ). (10.48) Para evolucionar la solución en el tiempo, es suficiente entonces repetir esta actualización para todas las i; en cada paso, tenemos la solución completa en este tiempo. Sin embargo, resulta que hay una inestabilidad de la solución es decir, los errores númericos se amplifican de manera incontralada si no se cumple una condición restrictiva sobre el tamaño de los pasos de tiempo t y x. Para verlo, consideremos soluciones del tipo ρ n, j =ξ n e ik j x, (10.49) donde i= 1. Dado que la ecuación de difusión es lineal, cada solución se puede expresar como ik j x una suma de soluciones de esta forma. La idea es que imponemos una dependencia espacial e y una solución de este tipo crece in el tiempo comoξ n, dondeξ depende de los otros parámetros. Al sustituir (10.49) en la ecuación de difusión discreta, encontramos que ξ=1+ D t ( x) 2 ( e ik x 2+e ik x) (10.50) = 1+ D t [2 cos(k x) 2] ( x) 2 (10.51) = 1 4D t ( x) 2 sin2 ( 1 k x). 2 (10.52) Por lo tanto, la solución será estable si y sólo si ξ <1, lo cual corresponde a la condición 2D t 1. (10.53) ( x) 2 Si los parámetros de la discretización no satisfacen a esta condición, entonces la solución será inestable.

9 Chapter 11 Valores y vectores propios Unas propiedades muy importantes de las matrices son los valores y vectores propios, también llamados eigenvectores y eigenvalores 1 Recordémonos que los valores propiosλyvectores propios v de una matriz A satisfacen a la ecuación Av=λv. (11.1) Aquí, A es una matriz de N N, v es un vector de tamaño N, yλ C en general. Por lo tanto, los eigenvalores satisfacen (A λi)v n = 0, (11.2) y por lo tanto satisfacen la ecuación característica det(a λi)=0. (11.3) 11.1 Método de potencias El método de potencias ( power method, en inglés) proporciona una manera sencilla de calcular el valor propio de mayor móduloλ 1 y su vector propio v 1 correspondiente de una matriz A dada. Este método consiste en tomar cualquier vector inicial x 0 y multiplicarlo por A de manera repetida: x 1 := A x 0, (11.4) x 2 := A x 1, (11.5) etc., por lo cual x n = A n x 0. (11.6) 1 Eigen significa propio en alemán. 105

10 106 CHAPTER 11. VALORES Y VECTORES PROPIOS Para casi cualquier x 0 inicial, x n converge a v 1. Nótese que en los cálculos numéricos, es necesario normalizar x n de manera repetida, para evitar que sus componentes excedan el tamaño permitido de los números flotantes. Para entender por qué funciona este método, supongamos que A es una matriz real y simétrica, por lo cual sabemos que tiene N vectores propios v 1,...,v N que forman una base der N, con valores propiosλ 1,...,λ N correspondientes. Por lo tanto, el vector inicial x 0 se puede expandir como una combinación lineal de las v i : x 0 = α i v i. (11.7) Por lo tanto, y i x 1 = α i λ i v i (11.8) i x n = α i λ n i v i. (11.9) i El término dominante en esta suma es el que corresponde al valor propio de mayor módulo, ya que los demás términos son exponencialmente más pequeño Métodos avanzados Definimos a P A (λ)=det(a λi)=0 como el polinomio característico de A enλ, por lo que tenemos que P A (λ)= N n=1 (λ n λ) dado que losλ n son raíces. Si consideramos matrices reales y simétricas tenemos que sus eigenvaloresλ n son reales y los eigenvectores se pueden tomar ortogonales como sucede a menudo en los sistemas físicos. Para el caso de matrices en general hay que reducir a una matriz tridiagonal por medio de una secuencia de transformaciones ortogonales (cambio de variables). Suponiendo que la matriz A es tridiagonal y simétrica (A NM = A MN ) A 11 λ A A 21 A 22 λ A 23 0 P A (λ)= 0 A 32 A 33 λ A A NN 1 A NN λ (11.10) Lo que buscamos es encontrar raíces de P, por lo que usaremos métodos recursivos para ello. Sea P N (λ) el subdeterminante con primeros n renglones y columnas, un polinomio de grado n.