Solución numérica de Ecuaciones Diferenciales Elípticas en Regiones Planas Irregulares Usando Mallas Estructuradas.

Transcripción

1 Solución numérica de Ecuaciones Diferenciales Elípticas en Regiones Planas Irregulares Usando Mallas Estructuradas. F. Domínguez-Mota, S. Mendoza*, M. Equihua y J.G. Tinoco U.M.S.N.H. Seminario del Laboratorio de Cómputo Científico Facultad de Ciencias, UNAM.

2 Índice Introducción

3 Introducción Existen métodos variacionales eficientes y robustos para generar mallas estructuradas suaves y convexas en regiones planas irregulares. Para esta clase de mallas, los esquemas en diferencias finitas se emplean para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales en dichas regiones.

4 La idea principal de la generación variacional de mallas para generar mallas estructuradas suaves y convexas consiste en minimizar un funcional apropiado.

5 Funcionales Los funcionales usados para generar las mallas de los problemas propuestos son, el funcional de Suavidad Bilateral F SB = 1 2N N [ λq 2α q q=1 k 1 + α q y el funcional de Área Bilateral-Longitud. F ABL = N [ q=1 1 k 1 + α q + + λ ] q 2α q k 2 + α q ] 1 + λ q k 2 + α q

6 Bases Definición Una malla x(ξ, η) = (x(ξ, η), y(ξ, η)) sobre una región Ω R 2 es una biyección continua x : R Ω donde R es el cuadrado unitario [0, 1] [0, 1]. η y x = x( ξ, η) ξ x Figura: Malla sobre la región Ω

7 Malla I Denotemos una malla de m por n puntos. P1,n Pi,n Pm,n P1,j P i,j Pm,j P1,1 Pi,1 P m,1 G = {P i,j 1 i m, 1 j n}

8 Para el caso de 1D. Esquemas en diferencias. du(x) dx d 2 u(x) dx 2 xi u i+1 u i 1 2h xi u i+1 2u i + u i 1 h 2

9 Malla lógicamente rectangular Ω Ω Para regiones planas irregulares se trabaja con esquemas en diferencias finitas cuya evaluación no es tan simple como en el caso rectangular.

10 grad u(x, y) = ( Dx (u) D y (u) (D x (u)) i,j (u i+1,j+1 u i,j )(y i,j+1 y i+1,j ) (u i,j+1 u i+1,j )(y i+1,j+1 y i,j ) 2Ω i,j (D y (u)) i,j (u i+1,j+1 u i,j )(x i,j+1 x i+1,j ) (u i,j+1 u i+1,j )(x i+1,j+1 x i,j ) 2Ω i,j ) u i,j+1 ui+1,j+1 u i,j ui+1,j

11 La idea principal es reemplazar las derivadas por combinaciones lineales: dados p 1, p 2,..., p k, queremos encontrar coeficientes Γ 1, Γ 2,..., Γ k tales que q u x l y q l x=x i Γ i u i. Como sabemos, en regiones rectangulares no es difícil calcular el valor de Γ i. El cálculo de estos coeficientes a sido estudiados por ejemplo por Tinoco y Shashkov. Para este trabajo hemos usado los esquemas desarrollados para ecuaciones elípticas.

12 N NW NE W C E SW S SE Para el operador (K(x, y) u(x, y)) en un nodo p i,j de la malla es aproximado mediante: [ (K(x, y) u(x, y))] i,j C i,j u i,j + E i,j u i+1,j + NE i,j u i+1,j+1 + N i,j u i,j+1 + NW i,j u i 1,j+1 + W i,j u i 1,j + SW i,j u i 1,j 1 + S i,j u i,j 1 + SE i,j u i+1,j 1

13 E ( K11 (P i,j ) E i,j = (y i,j+1 y i+1,j ) 2A i,j ( K11 (P i,j 1 ) + (y i+1,j y i,j 1 ) 2A i,j 1 ( K12 (P i,j ) (y i,j+1 y i+1,j ) 2A i,j ( K12 (P i,j 1 ) (y i+1,j y i,j 1 ) 2A i,j 1 ( K12 (P i,j ) (x i,j+1 x i+1,j ) 2A i,j ) (y i,j y i+1,j+1 ) ) (y i+1,j 1 y i,j ) ) (x i,j x i+1,j+1 ) ) (x i+1,j 1 x i,j ) ) (y i,j y i+1,j+1 )

14 E cont... ( K12 (P i,j 1 ) (x i+1,j x i,j 1 ) 2A i,j 1 ( K22 (P i,j ) + (x i,j+1 x i+1,j ) 2A i,j ( K22 (P i,j 1 ) + (x i+1,j x i,j 1 ) P i,j = (x i,j, y i,j ) ( ) K11 K K(x, y) = 12 K 12 K 22 2A i,j 1 ) (y i+1,j 1 y i,j ) ) (x i,j x i+1,j+1 ) ) (x i+1,j 1 x i,j )

15 Donde K es evaluado en el centro de la celda CE ij y A i,j es el promedio de las áreas de las celdas CE i,j, CE i 1,j, CE i,j 1 y CE i 1,j 1. NW N NE CE i 1,j CE i,j W C E CE i 1,j 1 CE i,j 1 SW S SE

16 Regiones Como ejemplos numéricos se presentan tres regiones poligonales con las que trabajamos: Swan, Great Britain y Michoacán. Swan Great Britain Michoacán

17 Mallados Usamos mallas convexas para estas regiones con 21, 41, 61 y 81 puntos las cuales fueron generadas minimizando los funcionales de Suavidad Bilateral y Área Bilateral-Longitud. Figura: Great Britain

18 Ejemplos Numéricos Para comparar, empleamos elemento finito. En ambos casos los sistemas algebraicos se resolvieron usando Gauss-Seidel. Primer ejemplo. K(x, y) = ( ), u = 2 exp(2x + y).

19 Ejemplos Numéricos Segundo ejemplo. con y D = P = K(x, y) = P T DP, ( cos( π 8 ) sin( π 8 ) ) sin( π 8 ) cos( π 8 ) ( 1 + 2x 2 + y x 2 + 2y 2 u = sin(πx) sin(πy). )

20 Ejemplos Numéricos Tercer ejemplo. con y D = P = K(x, y) = P T DP, ( cos( π 4 ) sin( π 4 ) ) sin( π 4 ) cos( π 4 ) ( 1 + 2x 2 + y 2 + y x 2 + 2y 2 + x 3 u = sin(πx) sin(πy). )

21 Resultados ejemplo 1 Malla err h 2 Orden err d 2 Orden ENG21ABL 2.07E E-03 ENG41ABL 5.22E E ENG61ABL 2.96E E ENG81ABL 1.40E E ENG21SB 3.53E E-03 ENG41SB 8.01E E ENG61SB 5.69E E ENG81SB 1.62E E MIC21ABL E E-03 MIC41ABL E E MIC61ABL E E MIC81ABL E E

22 Problema 1 7 x FEM FDM 1.ENG21ABL 2.ENG21SB 3.ENG41ABL 4.ENG41SB 5.ENG61ABL 6.ENG61SB 7.ENG81ABL 8.ENG81SB 9.MIC21ABL 10.MIC21SB 11.MIC41ABL 12.MIC41SB 13.MIC61ABL 14.MIC61SB 15.MIC81ABL 16.MIC81SB 17.SWA21ABL 18.SWA21SB 19.SWA41ABL 20.SWA41SB 21.SWA61ABL 22.SWA61SB 23.SWA81SB 24.SWA81ABL Figura: FEM vs FDM El error con la norma Euclidiana para el problema 1.

23 Resultados ejemplo 2 Malla err h 2 Order err d 2 Order ENG21ABL E E-04 ENG41ABL E E ENG61ABL E E ENG81ABL E E ENG21SB E E-03 ENG41SB E E ENG61SB E E ENG81SB E E MIC21ABL E E-04 MIC41ABL E E MIC61ABL E E MIC81ABL E E

24 Problema x FEM FDM 1.ENG21ABL 2.ENG21SB 3.ENG41ABL 4.ENG41SB 5.ENG61ABL 6.ENG61SB 7.ENG81ABL 8.ENG81SB 9.MIC21ABL 10.MIC21SB 11.MIC41ABL 12.MIC41SB 13.MIC61ABL 14.MIC61SB 15.MIC81ABL 16.MIC81SB 17.SWA21ABL 18.SWA21SB 19.SWA41ABL 20.SWA41SB 21.SWA61ABL 22.SWA61SB 23.SWA81SB 24.SWA81ABL Figura: FEM vs FDM El error con la norma Euclidiana para el problema 2.

25 Resultados ejemplo 3 Malla err h 2 Order err d 2 Order ENG21ABL E E-04 ENG41ABL E E ENG61ABL E E ENG81ABL E E ENG21SB E E-03 ENG41SB E E ENG61SB E E ENG81SB E E MIC21ABL E E-04 MIC41ABL E E MIC61ABL E E MIC81ABL E E

26 Problema x FEM FDM 1 1.ENG21ABL 2.ENG21SB 3.ENG41ABL 4.ENG41SB 5.ENG61ABL 6.ENG61SB 7.ENG81ABL 8.ENG81SB 9.MIC21ABL 10.MIC21SB 11.MIC41ABL 12.MIC41SB 13.MIC61ABL 14.MIC61SB 15.MIC81ABL 16.MIC81SB 17.SWA21ABL 18.SWA21SB 19.SWA41ABL 20.SWA41SB 21.SWA61ABL 22.SWA61SB 23.SWA81SB 24.SWA81ABL Figura: FEM vs FDM El error con la norma Euclidiana para el problema 3.

27 Se tienen resultados satisfactorios aplicando diferencias finitas. Es del mismo orden que con el esquema en elemento finito. Se trabaja con esquemas sencillos.

28 Contacto Francisco Javier Domínguez Mota José Gerardo Tinoco Ruiz Mario Enrique Equihua Tinoco Sanzon Mendoza Armenta Gracias...