NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 9ºA

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1 COLEGIO BETHLEMITAS PLAN DE REFUERZO PERIODO: II Fecha: Dia 12 Mes 06 Año 2015 META DE COMPRENSIÓN: La estudiante desarrolla comprensión acerca de las situaciones de variación, mediante la solución de AREA: Matemáticas ejercicios y problemas que generan sistemas de ecuaciones lineales. DOCENTE: Yeiler Cordoba Asprilla ASIGNATURA: Algebra NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 9ºA 1. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES: El siguiente plan de refuerzo contiene la ejercitación básica de los tópicos desarrollados durante el período. Se debe tener en cuenta para su realización las guías de desarrollo e informativa trabajadas, los apuntes de clase, las guías de control corregidas y los referentes bibliográficos que encontrará al final del plan. La metodología bajo la cual se desarrollará este consiste en el desarrollo guiado -por el docente. La participación en la jornada de retroalimentación y el desarrollo del plan de refuerzo equivale al 20% del porcentaje total de la nota de recuperación. (El estudiante debe presentarse a la retroalimentación con su respectivo plan de refuerzo impreso), la asistencia a dicha retroalimentación será de obligatorio cumplimiento para todos los estudiantes que hayan reprobado alguna de las asignaturas. Si el estudiante no se presenta a la jornada de retroalimentación, se asume como juicio valorativo 1.0 y se deja constancia en el anecdotario en Atención especializada. (SIEE Art 2, Nota 2). 2. IDENTIFICACIÓN DE TÓPICOS: Intercepto con el eje x y y de una recta Rectas paralelas y perpendiculares Posición de dos rectas en el plano cartesiano Sistemas de ecuaciones 2x2 Métodos de solución de los sistemas de ecuaciones Método gráfico Método de sustitución Método de igualación Método de eliminación Regla de Cramer 3. DESARROLLO CONCEPTUAL INTERSECCIÓN CON LOS EJES: Ejemplo: Sea f(x) = 3x + 2 una función de gráfica lineal. Realizar la gráfica de esta función y encontrar los puntos de corte con los ejes del plano cartesiano. Solución: Para encontrar las intersecciones con los ejes se procede de la siguiente manera: Intersección con el eje x: en este punto, el valor de y es cero (x, 0), por lo tanto: Si y = 0 entonces 0 = 3x + 2 3x = -2 x = -2/3 Intersección con el eje y: para este punto la componente x se hace cero: (0, y) Si x = 0 entonces y = 3(0) + 2 y = 2 RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Sean f 1 (x) 0 m 1 x + b y f 2 (x) = m 2 x + c dos funciones de gráfica lineal. En el plano cartesiano, las posiciones relativas de f 1 y f 2 pueden ser 1

2 Para la primera recta y 2x = 4. Si x = 0 tenemos que y = 4 Si x = 3 entonces y = (2 x 3) + 4 = 10 Para determinar valores sobre la recta 2y + x 5 = 0, conviene despejar la variable y: Para determinar algebraicamente la posición de las rectas en el plano, se debe analizar el valor de la pendiente de cada una. Para que las rectas f 1 y f 2 sean paralelas, la inclinación de ellas debe ser la misma, es decir, sus pendientes deben ser iguales. Ejemplo de rectas paralelas: Graficar las funciones lineales y determinar la posición que ocupan en el plano. y= 3x + 5 y= 3x -1 Solución Para trazar las rectas basta con determinar dos puntos sobre cada una de ellas. Si x = 0, el valor de y es y= 3 x = 11. De otro lado, en la recta y = 3x 1, si x = 0, y = -1, en tanto que si x = 1, y = 2. Al ubicar cada par de puntos y unirlos vemos que las dos rectas son paralelas. Si reemplazamos a x por 0 en esta expresión, tenemos que: y = 5/2, mientras que si x= 1, y = Al trazar las dos rectas se observa que son perpendiculares y además que el producto de sus pendientes es igual a -1. En general, dos rectas de pendiente m 1 y m 2 son perpendiculares si m 1 x m 2 = -1. SISTEMAS DE ECUACIONES: Llamamos sistemas de ecuaciones lineales con dos variables a dos ecuaciones con dos variables. a x b y c a x b y c Donde a a b b c c reales.,,,,,, son constantes Ejemplo: 2x + 5y = 25 7x 9y = 16 Es un sistema de ecuaciones lineales. Además las soluciones del sistema de ecuaciones con dos variables son las soluciones comunes a las dos ecuaciones que la forman. Ejemplo de rectas perpendiculares Encontrar la posición relativa de las rectas cuyas ecuaciones son: y 2x = 4 2y + x 5 = 0 Para graficar las rectas se procede de manera similar al ejemplo anterior, es decir, determinando dos puntos de cada una de ellas. MÉTODOS PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS: Para resolver un sistema de ecuaciones se utilizan varios métodos, a continuación utilizaremos cada uno de ellos: EL MÉTODO GRÁFICO Para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales por este método, 2

3 graficamos las dos ecuaciones en un mismo sistema de coordenadas o plano cartesiano y el punto o los puntos de intersección de las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones que conforman el sistema serán la solución o las soluciones. Igualmente podemos observar que al solucionar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas podemos obtener: 1. Exactamente un par de números: Cuando ambas rectas se interceptan. 2. Ninguna solución: Cuando las rectas son paralelas. 3. Una cantidad infinita de soluciones: Cuando las rectas coinciden. EJEMPLOS: 1. Resuelva por el método gráfico cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. 2x 3y = 2 x + 2y = 8 el sistema. Esto implica la sustitución de un sistema de ecuaciones por un sistema equivalente. Al resolver esta ecuación hallamos el valor numérico de una de las variables. El valor de la otra variable la obtenemos sustituyendo el valor numérico hallado. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Resuelve por el método de SUSTITUCIÓN el sistema siguiente: 2x 3y = 6 (1) 3x + y = 20 (2) Solución: 1. Despejamos una variable en una de las dos ecuaciones. En este caso resulta más fácil despejar y en la segunda ecuación: y = 20 3x (3) 2. Sustituimos el valor de y en la primera ecuación, y así obtenemos una ecuación que tiene una sola variable, x: 2x 3(20 3x) =6 3. Resolvemos la ecuación anterior y así obtenemos el valor de la variable x: Donde se puede observar que la solución es que x = 4; así mismo y = 2, Ssendo está la solución común para ambos sistemas de ecuaciones 2. Resuelva por el método gráfico cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. x = -2 + y x = y - 5 2x x = 6 11x = 66 x = 66 / 11 x = 6 4. Sustituimos el valor x = 6 en la ecuación (3) para calcular el valor de y: y = 20 3(6) y = y = 2 Debemos comprobar si los valores hallados para x y satisfacen las ecuaciones originales. Comprobación: En la ecuación (1) En la ecuación (2) º (6) 3 (2) = 6 3 (6) + 2 = = = 20 6 = 6 20 = 20 Ahora podemos afirmar que el par ordenado (6, 2) es la solución del sistema. Donde la solución no existe por ser dos rectas paralelas MÉTODOS ANALÍTICOS: La esencia de estos métodos radica en la obtención de una ecuación con una sola variable a partir de las dos ecuaciones con dos variables que forman MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN: Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables aplicando el método de reducción, debemos aplicar el teorema que plantea: que si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos miembro a miembro dos igualdades obtenemos de nuevo una igualdad. Al aplicar el teorema en una ecuación obtenemos otra ecuación cuyos coeficientes 3

4 son distintos a los de la ecuación original, pero ambas siguen teniendo el mismo conjunto solución, es decir, ambas ecuaciones son equivalentes. Ejemplo: 4x y = 14 5x + 2y = Buscamos que una de las ecuaciones se pueda multiplicar por el número adecuado a ambos lados, de tal manera que una de las variables quede con coeficientes iguales y opuestos en las dos ecuaciones. En este ejemplo tomaremos la ecuación 4x y = 14, y la multiplicaremos por 2 a ambos lados, en este caso multiplico por 2, porque esto me permite que la variable y me quede con el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, dado que una es negativa y la otra positiva, entones tenemos: 2 (4x-y) = 2(14) 8x -2y = Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y así conseguimos una ecuación con una sola variable: 8x - 2y = 28 5x + 2y = 11 13x + 0 =39 Luego de la suma resulta: Por lo tanto la pareja ordenada (3, -2) satisface el sistema de ecuaciones. MÉTODO DE IGUALACIÓN 1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación. 1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación: 2. Igualamos ambas expresiones: 13x = 39 luego: x = 39/13 donde x = 3 Sustituimos el valor obtenido en alguna de las ecuaciones y así obtenemos el valor de la otra variable: 4(3) y = y = = y -2 = y Luego comprobamos en las dos ecuaciones que los valores de las variables se cumplen para la solución de las dos ecuaciones 4(3) (- 2) = = Resolvemos la ecuación: 4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x: 5. Solución: 5(3) + 2(- 2) = = EJERCITACIÓN: 4.1 Hallar el intercepto con x y y de las siguientes ecuaciones lineales y graficarlas en el plano cartesianos. a. y = -2x + 4 b. 3y + 9 = x c. y = 3x + 3 d. 2y 2x + 8 = Determinar cuáles de las siguientes parejas de rectas son paralelas. Luego, dibujarlas para comprobar gráficamente la respuesta. 4

5 x + 2 = y y x = -3 x + y = 5 x y = 2 3x y = -9 2x -6y + 2 = 0 3x y = 2 3x y = 4 4x + 2y = 3 3x 2y 2 = 0 9x 1 = y 9x + 6 = y f. 10x + 18y = x 3y = -5 g. 4y + 3x = 8 8x 9y = Escribir la ecuación de una recta que sea paralela a la recta dada. a. y = 5x + 1 b. 2x y + 2 = Determinar cuáles de las siguientes parejas de rectas son perpendiculares. Luego, dibujarlas para comprobar gráficamente la respuesta. y = x = y 2x 3 = y -4x 4 = 2y -4x + 4y = 12 x +y = 6 4x -3y + 8 = 0 3y 4x -3 = 0 2y = x y = 2x 3y = x 3 9y = 3x Escribe la ecuación de dos rectas, una paralela y una perpendicular a la recta dada. Las dos rectas deben cortarse en el punto dado. a. y = 4x 2. Punto de corte (3,2) b. 2x - 3 = y. Punto de corte (1,0) c. 4y + 5x -2 = 0 Punto de corte (-1, -3) 4.6 Grafica los siguientes sistemas de ecuaciones y determina si son: consistentes, inconsistentes o dependientes a. 3x + 2y = 7 2x y = 0 b. 2x + 3y = -1 4x + 6y = - 2 c. 3x y = 7 2x + y = 8 d. 2x + y = 6 2x + y = Resuelve por el método todos los métodos los siguientes sistemas de ecuaciones (sustitución, igualación, eliminación y regla de Cramer): a. x = 6 3y 5x 2y = 13 b. y = 3x 17 y = 2x 12 c. x = 8 + 5y -7x + 8y = 25 d. x + 5y = 5-10y 4x = -7 h. x + y = 5 x y = -1 i. 6x 5y = -9 2x + 3y = 4 j. 9x + 7y = -4-3y + 11x = Resuelve los siguientes problemas por cualquier método de sistemas de ecuaciones: a. La suma de dos números es 1529 y su diferencia 101. Hallar los números. (Rta. 815; 714) b. Los 2/3 de la suma de dos números es 74 y los 3/5 de su diferencia es 9. Hallar los números. (Rta. 63; 48) c. La suma de dos números es 190 y 1/9 de su diferencia es 2. Hallarlos. (Rta. 104; 86) d. Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor, la suma es 316; y si a 9 veces el menor se resta el cuádruplo del mayor, la diferencia es 83. Hallar los números. (Rta. 31; 23) e. Los 3 /7 de la edad de A aumentado en los 3 /8 de la de B suman 15 años; y los 2 /3 de la edad de A disminuidos en los 3 /4 de la edad de B equivalen a 2 años. Hallar las edades. (Rta. 21; 16) f. El doble de la edad de A excede en 50 años a la de B; y 1 / 4 de la edad de B es 35 años menos que la de A. Hallar ambas edades. (Rta. 45; 40) g. Seis veces el ancho de una sala excede en 4 m a la longitud, y si la longitud aumentada en 3 m se divide entre el ancho, el cociente es 5 y el residuo 3. Hallar las dimensiones. (Rta. 20 m; 4 m) h. Dos números son entre si como 9 es a 10. Si el mayor se aumenta en 20 y el menor se disminuye en 15, el menor será al mayor como 3 es a 7. Hallar los números. (Rta. 45; 50) i. Se sabe que el triángulo y rectángulo de la figura tienen 17cm y 24cm de perímetro respectivamente. Hallar el valor de x y y. e. x 5y = 8-7x + 8y = 25 5

6 j. La suma de dos números es 180 y un tercio de su diferencia es 40. Hallar los dos números. 5. METODOLOGÍA DE ESTUDIO PROPIA DE LA ASIGNATURA 1. Lea e interprete los enunciados de los ejercicios. 2. Seleccione los datos que le proporciona el enunciado y que sirven para solucionar el ejercicio. 3. Determine los datos que debe hallar y el procedimiento que debe seguir. 4. Realice el algoritmo o procedimiento que debe seguir para la solución del ejercicio. 5. Verifique que el procedimiento realizado este correcto. 6. Escriba claramente la respuesta con su procedimiento. 6. BIBLIOGRAFÍA: BAUTISTA BALLÉN Mauricio Bautista, SALGADO RAMÍREZ Diana Constanza y otros. Algebra y Geometría I, Editorial Santillana, Sta Fe de Bogotá 2003 BELTRAN BUITRAGO, Himelda. Desafíos Matemáticas 9. Editorial Norma, Sta Fe de Bogotá, URIBE, Julio. Elementos de matemáticas 9º. Bedout editores s. a. Medellín