ESFUERZO Y DEFORMACIÓN DEBIDO A CARGAS EXTERNAS, ESFUERZOS MECÁNICOS, TÉRMICOS Y LEY DE HOOKE.

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1 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN DEBIDO A CARGAS EXTERNAS, ESFUERZOS MECÁNICOS, TÉRMICOS Y LEY DE HOOKE. En general un esfuerzo es el resultado de la división entre una fuerza y el área en la que se aplica. Se distinguen dos direcciones para las fuerzas, las que son normales al área en la que se aplican y las que son paralelas al área en que se aplican. Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos que siempre resultan ser una normal y la otra paralela. Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan como σ (sigma) y representa un esfuerzo de tracción cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analizado. En cambio, representa un esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado. El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte. Este esfuerzo, trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel, uno de sus filos mueven el papel hacia un lado mientras el otro filo lo mueve en dirección contraria resultando en el desgarro del papel a lo largo de una línea. Las unidades de los esfuerzos son las mismas que para la presión, fuerza dividida por área, se utilizan con frecuencia : MPa, psia, kpsia, kg/mm2, kg/cm2. Así, los principales ESFUERZOS MECÁNICOS se pueden enlistar como sigue: Tensión: Esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo, aumentando su longitud y disminuyendo su sección. Compresión: Esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a comprimirlo, disminuyendo su longitud y aumentando su sección. Flexión: Esfuerzo que tiende a doblar el objeto. Las fuerzas que actúan son paralelas a las superficies que sostienen el objeto. Siempre que existe flexión también hay esfuerzo de tracción y de compresión. Corte: esfuerzo que tiende a cortar el objeto por la aplicación de dos fuerzas en sentidos contrarios y no alineados. Se encuentra en uniones como: tornillos, remaches y soldaduras. Torsión: esfuerzo que tiende a retorcer un objeto por aplicación de un momento sobre el eje longitudinal. Algunas de las propiedades mecánicas de la materia son la elasticidad, la compresión y la tensión.

2 Definimos a un cuerpo elástico, como aquel que recobra su tamaño y forma original cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de fútbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. Para todos los cuerpos elásticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas deformantes. Considere el resorte de longitud 1 de la figura siguiente. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento de su longitud. Una pesa de 2 N alarga el resorte 1 cm, una pesa de 4 N alarga el resorte 2 cm y una pesa de 6 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada. Las propiedades mecánicas de la materia son la elasticidad, la compresión y la tensión. Definimos a un cuerpo elástico, como aquel que recobra su tamaño y forma original cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de fútbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. Para todos los cuerpos elásticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas deformantes. Considere el resorte de longitud 1 de la figura siguiente. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento de su longitud. Una pesa de 2 N alarga el resorte 1 cm, una pesa de 4 N alarga el resorte 2 cm y una pesa de 6 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada. Robert Hooke fue el primero en establecer esta relación por medio de la invención de un volante para resorte para reloj. En términos generales, Hooke descubrió que cuando una fuerza F, actúa sobre un resorte, produce en él un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. La Ley de Hooke se representa como: F = ks.

3 La constante de proporcionalidad k varía mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante del resorte. Para el ejemplo anterior, la constante del resorte es de: k = F/s = 19.6 N/cm La Ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformación de todos los cuerpos elásticos. Para que la Ley pueda aplicar de un modo más general, es conveniente definir los términos esfuerzo y deformación. El Esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que la deformación se refiere a su efecto, es decir a la deformación en sí misma. Existen 3 tipos de esfuerzos, los de tensión, de compresión y cortantes, en este subtema, nos centraremos a analizar el esfuerzo de tensión que se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí. La eficacia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del área sobre la que se distribuye la fuerza, por ello una definición más completa del esfuerzo se puede enunciar de la siguiente forma: Esfuerzo: es la razón de una fuerza aplicada entre el área sobre el cual actúa, por ejemplo Newtons/m 2, o libras/ft 2. Deformación: es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo. En el caso de un esfuerzo de tensión o de compresión, la deformación puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad de longitud. El límite elástico es el esfuerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea permanente. Por ejemplo, un cable de aluminio cuya sección transversal es de 1 pulg 2, se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensión mayor de libras. Esto no significa que el cable se romperá en ese punto, sino que únicamente que el cable no recuperará su tamaño original. En realidad, se puede incrementar la tensión hasta casi libras antes de que el cable se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en alambres de secciones transversales más pequeñas. El mayor esfuerzo al que se puede someter un alambre sin que se rompa recibe el nombre de límite de rotura. Si no se excede el límite elástico, de un material, podemos aplicar la Ley de Hooke a cualquier deformación elástica. Dentro de los límites para un material dado, se ha comprobado experimentalmente que la relación de un esfuerzo determinado entre la deformación que produce es una constante. En otras palabras, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación. La Ley de Hooke, establece: Siempre que no se exceda el límite elástico, una deformación elástica es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo). Si llamamos a la constante de proporcionalidad el módulo de elasticidad, podemos escribir la Ley de Hooke en su forma más general: Módulo de elasticidad = esfuerzo Deformación

4 Los esfuerzos y deformaciones son longitudinales cuando se aplican a alambres, varillas, o barras. El esfuerzo longitudinal está dado por: Esfuerzo longitudinal = F/A. La unidad del esfuerzo longitudinal en el Sistema Internacional es el Newton/metro cuadrado, el cual se redefine como Pascal: 1 Pa = 1 N/m 2. En el Sistema Inglés es la libra por pulgada cuadrada: 1 lb/in 2 = 6895 Pa = kpa. El efecto del esfuerzo de tensión es el alargamiento del alambre, o sea un incremento en su longitud. Entonces, la deformación longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud, podemos escribir: Deformación longitudinal = l/l Donde l es la longitud original, l es la elongación (alargamiento total). Se ha demostrado experimentalmente que hay una disminución similar en la longitud como resultado de un esfuerzo de compresión. Las mismas ecuaciones se aplican ya sea que se trate de un objeto sujeto a tensión o de un objeto a compresión. Si definimos el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young Y, podemos escribir la ecuación de esfuerzo entre deformación como: Módulo de Young = esfuerzo longitudinal Deformación longitudinal Y = F/A = Fl l/l A l Las unidades del módulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzo, libras por pulgada cuadrada o Pascales. En el cuadro siguiente se observan algunos valores del módulo de Young para algunos materiales, tanto en el Sistema Internacional como en el Sistema Inglés. Material Módulo de Young el Módulo de Young en Límite elástico en el Sistema el Sistema Inglés MPa Internacional. Y (lb/in 2 ) (MPa) 1 MPa = 1 x 10 6 Pa. Aluminio x Latón x Cobre x Hierro x Acero x

5 DIAGRAMA ESFUERZO DEFORMACIÓN Problemas de esfuerzos longitudinales. 1.- Un alambre de teléfono de 120 m de largo, y 2.2. mm de diámetro se estira debido a una fuerza de 380 N. Cuál es el esfuerzo longitudinal? Si la longitud después de ser estirado es de m. Cuál es la deformación longitudinal?. Determine el módulo de Young para el alambre?. Solución: El área de la sección transversal del alambre es de A = π D 2 = (3.14) (2.2 x 10-3 m) 2 = 3.8 x 10-6 m Esfuerzo = F/A = 380 N = 100 x 10 6 N/m 2. = 100 MPa. 3.8 x 10-6 m 2. Deformación = l/l = 0.10 m/120 m = 8.3 x Y = esfuerzo/deformación = 100 MPa/8.3 x = MPa. 2.- Cuál es la máxima carga que se puede colgar de un alambre de acero de 6 mm de diámetro sin exceder su límite elástico?. Determine el incremento en la longitud bajo el efecto de esta carga, si la longitud original es de 2 metros. Solución: a partir de la tabla anterior, el límite elástico para el acero es de 248 Mpa o 2.48 x 10 8 Pa. Puesto que este valor representa el esfuerzo limitante, escribimos: F/A = 2.48 x 10 8 Pa Donde A es el área obtenida a partir de: A = π D 2 = (3.14) (0.006 m) 2 = 2.83 x 10-5 m 2.

6 4 4 Por lo tanto, la carga limitadora F es el esfuerzo limitador multiplicado por el área: F = (2.48 x 10 8 Pa) (2.83 x 10-5 m 2.) = 7.01 x 10 3 N. La mayor masa que puede soportarse se calcula a partir de este peso: m = P/g m = 7.01 x 10 3 kg m/seg 2. = 716 kg. 9.8 m/seg 2. El incremento de la longitud bajo dicha carga se encuentra a partir de la ecuación: l = 1 (F/A) = 2 m (2.48 x 10 8 Pa) = 2.40 x 10-3 m. Y 2.07 x Pa La longitud aumenta en 2.40 mm y la nueva longitud es de m. ESFUERZO Y TENSIÓN DE VOLUMEN Hasta ahora hemos considerado esfuerzos que causan un cambio en la forma de un objeto o que dan por resultado principalmente deformaciones en una sola dimensión. En esta sección nos ocuparemos en los cambios de volumen. Por ejemplo, considere un cubo al que se le someten fuerzas en todas sus caras: Como cada fuerza es aplicada sobre cada cara del cubo entonces existe un área total A que encierra un volumen inicial Vo. La fuerza total que actúa normalmente sobre las caras del cubo producirá una presión P=F/A, que es justamente el esfuerzo de compresión o esfuerzo de volumen, mientras que el factor -ΔV/Vo es el cambio aparente de volumen debido a la compresión. Aplicando la Ley de Hooke, definimos el módulo de elasticidad de volumen, o módulo de volumen como sigue: esfuerzo de volumen F / A B Deformación de Volumen V / Vo El signo negativo tiene que ver con que el volumen final es menor que el volumen inicial y así se corrige el signo del módulo volumétrico. La tabla muestra los módulos de volumen para algunos de los sólidos y líquidos más comunes. Material Módulo de volumen B en Mpa Módulo de volumen B en lb/in 2. Aluminio x Latón x Cobre x Hierro x Acero x Benceno x Alcohol etílico x Mercurio x Aceite x Agua x 10 5.

7 Cuando se trabaja con líquidos, a veces es más conveniente representar el esfuerzo como la presión P, que se define como la fuerza por unidad de área F/A. Con esta definición podemos escribir la ecuación del módulo de volumen, de la siguiente forma: B= -P / ( V/Vo) Al valor recíproco del módulo de volumen se le llama compresibilidad k. Con frecuencia conviene estudiar la elasticidad de los materiales midiendo sus respectivas compresibilidades. Por definición: k = 1/B = - (1/P) ( V/Vo) La ecuación anterior indica que la compresibilidad es el cambio fraccional en volumen por unidad de incremento de la presión. Problema de módulo de volumen 1. Una presión de 3 X 10 8 Pa se aplica a un bloque cuyo volumen es m 3. Si el volumen disminuye en m 3, cuál es el módulo volumétrico? Cuál es la compresibilidad? Solución: 8 F / A (3 10 Pa) B 37500Mpa 3 V / Vo 0.004m m La compresibilidad es: k Pa B 37500Mpa CONCEPTO DE ESFUERZO Y TENSIÓN DE CORTE. Los esfuerzos de compresión y de tensión producen un ligero cambio en las dimensiones lineales. Como se mencionó antes un esfuerzo cortante altera únicamente la forma del cuerpo, sin que cambie su volumen. Por ejemplo considere las fuerzas paralelas no concurrentes (no se aplican en el mismo punto), que actúan sobre el cubo que se ve en la figura siguiente: d l La fuerza aplicada provoca que cada capa sucesiva de átomos se deslice sobre la siguiente, en forma parecida a las que les ocurre a las páginas de un libro bajo un esfuerzo similar. Las fuerzas interatómicas restituyen al cubo original cuando cesa dicho esfuerzo. El esfuerzo cortante se define como la relación de la fuerza tangencial F entre el área A sobre la que se aplica. La deformación cortante se define como el ángulo (en radianes), que se conoce como ángulo de corte. Si se aplica le Ley de Hooke, podemos ahora definir el módulo de corte S, de la siguiente forma: Esfuerzo cortante F / A S Deformación cortante

8 El ángulo Φ, generalmente es tan pequeño que es aproximadamente igual a tan Φ. Aprovechando este hecho, podemos volver a escribir la ecuación anterior en la siguiente forma: F / A F / A S Tan d / l Con l la longitud del objeto y d la flexión. Debido a que el valor de S, nos da información sobre la rigidez de un cuerpo, a veces se le conoce como módulo de rigidez. En el cuadro siguiente se muestran los módulos de rigidez o módulos de corte de algunos más comunes. Material Módulo de corte (S) en Mpa Módulo de corte (S) en lb/in 2. Aluminio x Latón x Cobre x Hierro x Acero x Problema de tensión de corte 1. Una carga de 1500kg está sostenida por un extremo de una viga de aluminio de 5 metros como se aprecia en la figura. El área de la sección de la viga es de 26cm 2 y el módulo de corte es de 23700Mpa. Cuáles son es esfuerzo cortante y la flexión hacia debajo de la viga? 5m Fuerza= Peso=mg= (1500kg)(9.81m/s 2 )=14700Newtons Conversión de área: 1m=100cm (1 m) 2 = (100 cm) 2 = cm cm 2 (1 m 2 ) = 2.6 x 10-3 m 2. (10000 cm 2.) Esfuerzo cortante = F/A Esfuerzo cortante = N/ 2.6 x 10-3 m 2. = 5.65 x 10 6 N/m 2. ó 5.65 x 10 6 Pa ó 5.65 Mpa. Despejando la flexión d de: 1500kg 14700N 5m F / A Fl Fl d / l da SA Pa m 3 S S d m 6 3 2