SIMETRÍAS Y ARQUEOLOGÍA. Las simetrías: un nuevo y poderoso criterio de clasificación arqueológica

Transcripción

1 SIMETRÍAS Y ARQUEOLOGÍA Las simetrías: un nuevo y poderoso criterio de clasificación arqueológica

2 VÍCTOR SAMUEL ALBIS Departamento de Matemáticas y Estadística Universidad Nacional de Colombia CRISTINA SAMPER MEJÍA Universidad de los Andes

3 LA ARQUEOLOGÍA ESTUDIA ENTRE OTRAS COSAS, TESTIMONIOS Y MONUMENTOS DE LAS CIVILIZACIONES ANTIGUAS; CLASIFICA OBJETOS PARA DETERMINAR CRONOLOGÍAS, INTERCAMBIOS CULTURALES Y ENTENDER PENSAMIENTOS. DESDE LA DÉCADA DEL 80, UN GRUPO DE ARQUEÓLOGOS HA COMENZADO A TRABAJAR EN UN NUEVO MÉTODO PARA CLASIFICAR OBJETOS Y UTENSILIOS ORNAMENTADOS: LOS GRUPOS DE SIMETRÍA

4 SIMETRÍAS Simetría, por estrecho o por amplio que sea el sentido que queramos darle, es una idea que a través del tiempo el hombre ha intentado comprender, y crear con ella orden, belleza y perfección. HERMANN WEYL, Symmetry

5 FIGURAS GEOMÉTRICAS EN EL PLANO Definición. UNA FIGURA GEOMÉTRICA EN UN PLANO ES CUALQUIER SUBCONJUNTO NO VACÍO DE ESTE PLANO Ejemplos: B B C A A a) A b) B

6 MOVIMIENTOS EN EL PLANO Qué es un movimiento T en el plano? Un movimiento en el plano tiene el efecto de hacer corresponder a cada punto P del mismo otro punto bien determinado P situado en el mismo plano. Esto lo logramos llamando movimiento a cualquier función del plano en sí mismo: T :

7 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Si A y B son dos puntos del plano su distancia se designa con B B A A

8 ISOMETRÍAS O MOVIMIENTOS RÍGIDOS Definición. UN MOVIMIENTO T : EN EL PLANO SE DICE UNA ISOMETRÍA, SI CUMPLE LAS SIGUIENTES CONDICIONES: I1) T (P ) T ( Q ) P Q I2) DADO Q EXISTE P TAL QUE T (P ) = Q. I3) PQ = T (P )T (Q )

9 EJEMPLOS DE ISOMETRÍAS a) REFLEXIÓN CON RESPECTO DE UNA RECTA A l T(A) B T(B) b) TRASLACIÓN PARALELA B T(B) A T(A)

10 c) ROTACIÓN AL REDEDOR DE UN PUNTO o O

11 D) SIMETRÍA CON DESLIZAMIENTO

12 Simetría especular Cultura Quimbaya Pajaritos simétricos

13 LA MAYORÍA DE LOS DISEÑOS TIENEN ELEMENTOS O MOTIVOS QUE SE REPITEN DE MANERA REGULAR. LAS ISOMETRÍAS SON PRECISAMENTE LOS MOVIMIENTOS DEL PLANO QUE PERMITEN REPETIR SIN DEFORMAR LOS MOTIVOS DEL DISEÑO. LAS ISOMETRÍAS QUE DEJAN INVARIANTE UN DISEÑO CONSTITUYEN PRECISAMENTE EL GRUPO DE SIMETRÍA DEL DISEÑO

14 TEOREMA FUNDAMENTAL TODA ISOMETRÍA EN EL PLANO ES LA COMBINACIÓN DE UNA TRASLACIÓN SEGUIDA DE UNA ROTACIÓN O UNA REFLEXIÓN PERMITE REDUCIR NUESTRO ANÁLISIS DE LAS SIMETRÍAS DE UN DISEÑO A LA DETERMINACIÓN DE CUÁLES TRASLACIONES, ROTACIONES O REFLEXIONES LO DEJAN INVARIANTE

15 EL USO, CONSCIENTE O NO, DE ÉSTAS ISOMETRÍAS FUNDAMENTALES EXISTE DESDE LA MÁS REMOTA ANTIGÜEDAD EN EL DISEÑO DE OBJETOS Y UTENSILIOS. LOS GRIEGOS POR SU PARTE LAS USARON PARA HACER DEMOSTRACIONES COMO LO VEREMOS EN LA SIGUIENTE VERSIÓN DE EUCLIDES DE UNO DE LOS TEOREMAS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

16 Demostración de EUCLIDES del primer caso de congruencia de triángulos (Primera situación) C A B Hipótesis: AB=A B, BC =B C ángulo ABC = ángulo A B C Tesis: AC = A C C A B

17 Demostración de EUCLIDES del primer caso de congruencia de triángulos (Primera situación) C = C A C B Efecto de la traslación A B A B

18 Demostración de EUCLIDES del primer caso de congruencia de triángulos (Primera situación) C =C A B Efecto final de la traslación A B

19 Demostración de EUCLIDES del primer caso de congruencia de triángulos (Primera situación) C = C A = A B Efecto de la rotación A B

20 Demostración de EUCLIDES del primer caso de congruencia de triángulos (Primera situación) A = A C = C =C B =B Efecto final de la rotación A

21 Demostración de EUCLIDES del primer caso de congruencia de triángulos (Primera situación) C =C =C A B = B Efecto de la reflexión A

22 Demostración de EUCLIDES del primer caso de congruencia de triángulos (Primera situación) C =C =C =C A =A B =B =B Efecto final de la reflexión A A

23 HAY TRES TIPOS DE DISEÑOS DE ACUERDO CON LAS SIMETRÍAS QUE ADMITEN: A) DISEÑOS FINITOS B) DISEÑOS INFINITOS: B1) DISEÑOS UNIDIMENSIONALES B2) DISEÑOS BIDIMENSIONALES

24 DISEÑOS FINITOS SÓLO ADMITEN ROTACIONES Y REFLEXIONES EN SU GRUPO DE SIMETRÍAS

25 GRUPOS DE LEONARDO Corresponden a los grupos cíclicos y diédricos C n y D n (n = 1, 2,...)

26 DISCOS DE PUPIALES

27 DISEÑOS INFINITOS UNIDIMENSIONALES ADMITEN TRASLACIONES EN UNA SOLA DIRECCIÓN

28 FRISOS

29 MOVIMIENTOS PERMITIDOS EN UN FRISO A) Traslaciones en una dirección. El friso tiene o no una traslación mínima que lo deja quieto. B) Reflexiones con respecto al eje del friso (simetría horizontal) C) Reflexiones de eje perpendicular al eje del friso (simetría vertical) D) Reflexión deslizante (simetría con deslizamiento) E) Giros de 180º alrededor de un punto situado en el eje del friso

30 TIPOS DE FRISOS Existen sólo 7 tipos de frisos Continúa

31 Continuación TIPOS DE FRISOS Existen sólo 7 tipos de frisos

32 ALGORITMO PARA LA CLASIFICACIÓN DE UN FRISO

33 Existe traslación mínima? SÍ Existe un giro? SÍ Existe simetría horizontal? SÍ F21 NO NO NO No es un friso Existe simetría horizontal? NO Existe simetría? vertical? NO Existe simetría con deslizamiento? Existe simetría con deslizamiento? SÍ F22 F2 NO SÍ SÍ SÍ NO F11 F12 F13 F1

34 PECTORAL QUIMBAYA NÓTESE LA SEMEJANZA CON DISEÑOS DE LA CULTURA TOLIMA

35 MOTIVO DEL DISEÑO F21 eje del friso

36 Cerámica pre muisca F2 Cultura Quimbaya Técnica: cerámica, rodillo F21

37 Cultura Quimbaya Técnica: cerámica, rodillo F21

38 Cultura: Quimbaya Técnica: cerámica, vasija F21

39 Cultura: Quimbaya Técnica: Cerámica, rodillo F21

40 F2 Cultura: Quimbaya Técnica: cerámica, Tortero

41 F12 Cultura: Quimbaya Técnica: cerámica, Tortero

42 Cultura: Quimbaya Técnica: orfebrería Colgante F12

43 F1 Cultura: Quimbaya Técnica:orfebrería Tambetas

44 F11 Cultura: Quimbaya Técnica: Orfebrería, poporo

45 MOVIMIENTOS PERMITIDOS EN UN DISEÑO BIDIMENSIONAL A) Traslaciones en dos direcciones distintas B) Una rotación mínima. Sólo hay cuatro posibles rotaciones mínimas:60º, 90º, 120º y 180º. C) Reflexiones en varias direcciones D) Reflexiones deslizantes (simetrías con deslizamiento)

46 Algoritmo de clasificación de los diseños planos bidimensionales

47 Ejemplos de los 17 grupos cristalográficos planos

48 VASIJA TOLIMA...recipiente de arcilla con decoración pintada, pastillaje a manera de cordón con incisiones y pequeñas asas...

49 Detalle de la vasija que contiene un diseño bidimensional

50 ESQUEMA DEL DISEÑO BIDIMENSIONAL DE LA VASIJA TOLIMA

51 p4 Esquema del diseño de la vasija Tolima, en negativo: cambiamos colores del fondo y del motivo

52 HIPOGEOS DE TIERRADENTRO

53 Cultura: Quimbaya Técnica: cerámica, tortero

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71 UNA APLICACIÓN DE LOS GRUPOS DE SIMETRÍA A LA ARQUEOLOGÍA LA CERÁMICA DE LA REGIÓN CENTRAL DE PANAMÁ V. Albis & J. A. Valencia, Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, XVII (No. 67) (1990),

72 MAPA DE LA REGIÓN ARQUEOLÓGICA ESTUDIADA

73 EL SIGUIENTE CUADRO CONTIENE LA PROPUESTA DE CLASIFICACIÓN DE LA CERÁMICA DE LA REGIÓN CENTRAL DE PANAMÁ DE ACUERDO CON K. LOTHROP, Coclé, An Archeological Study of Central Panamá. PartII. The Pottery of Sitio Conte and other Archeological Sites. Memoirs of the Peabody Museum, Vol. VII, Cambridge, Mass: Harvard University Press

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75 CUADRO 2 Subdivisión del V período, según nuestra propuesta Período Subperíodo Temprano Estilo Conte temprano V Medio Conte medio Tardío Conte Tardío

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82 GRUPOS DE SIMETRÍA EN LA ARQUEOLOGÍA LA CERÁMICA Y EL ORO DEL ALTIPLANO NARIÑENSE Proyecto de Grado de Pregrado de Matemáticas Andrés Lizcano y Cristina Samper

83 DOS PARTES DEL PROYECTO DE GRADO Definición. UN MOVIMIENTO T : EN EL PLANO SE DICE UNA ISOMETRÍA, SI CUMPLE LAS SIGUIENTES CONDICIONES: I1) T (P ) T ( Q ) P Q I2) DADO Q EXISTE P TAL QUE T (P ) = Q. I3) PQ = T (P )T (Q ) 1. DOS APROXIMACIONES PARA LA DEMOSTRACIÓN DE LOS TEOREMAS DE CLASIFICACIÓN a. DESDE LA GEOMETRÍA ELEMENTAL b. DESDE EL ALGEBRA ABSTRACTA 2. APLICACIÓN A LA CLASIFICACIÓN DE PIEZAS NARIÑO

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85 LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN 1. Hay alguna relación entre los tres estilos definidos de Nariño: Capulí, Piartal y Tuza y la preferencia de los grupos de simetría en los patrones. 2. Dada una pieza y su decoración simétrica, existe una relación entre el tipo de pieza y el grupo de simetría subyacente al diseño?

86 PROBLEMÁTICA DE NARIÑO

87 MANERAS DE CLASIFICAR 1. Por estilos: Capulí, Piartal y Tuza. 2. Por tipo de objeto: Copa, Disco, Nariguera 3. Por grupo de simetría subyacente: Nosotros clasificaremos los objetos por grupos de simetría.

88 POR ESTILO

89 CERÁMICA CAPULÍ

90 CERÁMICA PIARTAL

91 CERÁMICA TUZA

92 ORO CAPULÍ

93 ORO PIARTAL-TUZA

94 POR TIPO DE OBJETO

95 DISCOS NARIGUERAS COPAS

96 PARA LA RECOLECCIÓN DE DATOS ERA MUY IMPORTANTE LA SELECCIÓN DE UNA MUESTRA SIGNIFICATIVA PARA LAS PRUEBAS CHI-CUADRADO

97 REGLAS DE CLASIFICACIÓN Lo que nos interesaba era saber cuáles eran las preferencias de grupos de simetría por diseños. Entonces establecimos unas reglas para que no hubieran inconsistencias en la recolección de datos.

98 EJEMPLOS DE CÓMO CLASIFICAMOS Primero distinguimos entre los tres tipos de grupos de simetría

99 CERÁMICA GRUPO FINITO D4

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101 CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN MÓDULO

102 DISCO DE ORO D4

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104 CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN MÓDULO

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111 COPA CON FRISO F13 Y D4

112 TRANSLACIONES DESLIZANTES

113 CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN MÓDULO

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116 CONSTRUCCIÓN A PARTIR DE UN MÓDULO

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125 RESULTADOS No se saben los métodos exactos utilizados para la construcción de estos diseños. Lo que sí queda claro es que estos artesanos tenían un conocimiento claro de geometría y métodos para medir que les permitía decorar los objetos rituales y cotidianos de manera precisa y simétrica.

126 GUION DE VIDEO PARA EL MUSEO DEL ORO Con Andrés Lizcano escribimos un guión de video con estos ejemplos y otros para un video que se va a poder ver en el Museo del Oro en Nariño.