Teorema: Existen 17 grupos de mosaicos planos no isomorfos.

Transcripción

1 Teorema: Existen 17 grupos de mosaicos planos no isomorfos. La idea de la demostracion es empezar con los grupos que preservan orientacion, que son mas sencillos y pueden clasificarse de acuerdo a los angulos de sus rotaciones. Los grupos mas generales contienen un subgrupo de indice 2 que preserva la orientacion, por lo que son extensiones de estos grupos que se obtienen al añadirles una isometria que invierta la orientacion. Para obtener todos los grupos hay que tomar un grupo que preserve la orientacion, añadir una reflexion o un paso que preserve los centros con el mismo angulo, y ver que otras simetrias genera, pero sin generar nuevas rotaciones. Grupos de isometrias sin rotaciones. Las isometrias del grupo que preservan orientacion son solo traslaciones, que estan generadas por las dos traslaciones mas cortas. Si ademas el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, deben ser reflexiones y pasos con la misma direccion, ya que la composicion de dos reflexiones y/o pasos en distintas direcciones es una rotacion. Ademas, al reflejar las direcciones de traslacion mas cortas deben ir a las direcciones de traslacion mas cortas. Esto solo es posible si la latice es rectangular o romboidal y la direccion de reflexion es paralela a los lados de los rectangulos o a las diagonales de los rombos. Las posibilidades son: Latice rectangular Reflexiones Latice rectangular Pasos Latice romboidal Reflexiones y pasos alternados

2 Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 180º Si el grupo G tiene una rotacion de 180º con centro o, entonces tiene otra rotacion de 180º con centro To para cada traslacion T del grupo, y tambien tiene una con centro en el punto medio entre o y To. No puede haber mas centros de rotacion porque habria mas traslaciones. El grupo de isometrias que preservan orientacion esta generado por dos traslaciones y una rotacion El conjunto de centros de rotaciones es la union de 4 latices. El conjunto de centros solo puede tener mas simetrias si la latice es rectangular o romboidal. Las reflexiones y pasos deben ser en las direcciones de los lados de los rectangulos y de las diagonales de los rombos. Como hay rotaciones de 180º, si hay reflexiones o pasos en una direccion entonces tambien debe haberlos en la direccion perpendicular. Latice rectangular: Latice romboidal Las lineas de reflexion y pasos en las direcciones diagonales deben pasar por los centros de rotacion. Y si hay una reflexion entonces hay un paso en la direccion perpendicular y viceversa. La unica posibilidad es: Reflexiones Pasos Reflexiones y Pasos

3 Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 90º y 180º. La composicion de la de 180 con el cuadrado de la de 90 mas cercana es una traslacion, asi que el mosaico completo de centros de rotaciones debe verse como: 90º 180º 90º El grupo de isometrias que preserva orientacion esta generado por dos rotaciones adyacentes de 90º. Si el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, estas deben ser reflexiones o pasos en rectas en las direcciones de los lados o de las diagonales de los cuadrados. Y como hay rotaciones de 90º, si hay reflexiones o pasos en una direccion, tambien debe haber reflexiones o pasos en las direcciones a 45º, asi que las unicas posibilidades son las siguientes: Reflexiones Pasos

4 Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 120º. La composicion de una rotacion de 120 con la inversa de la rotacion de 120 mas cercana es una traslacion, asi que el mosaico completo de centros de rotaciones debe verse como: El grupo de isometrias que preservan orientacion esta generado por dos rotaciones con centros adyacentes. Si el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, estas deben ser reflexiones o pasos en las direcciones de los lados o de las diagonales de los triangulos equilateros, las unicas posibilidades son las siguientes:

5 Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 60º, 120º y 180º. La composicion de una rotacion de 120 con la inversa de la rotacion de 120 mas cercana es una traslacion, asi que el mosaico completo de centros de rotaciones debe verse como: El grupo de isometrias que preservan orientacion esta generado por cualesquiera dos rotaciones con centros en los vertices de un mismo triangulo. Si el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, estas deben ser reflexiones o pasos en las direcciones de los lados o de las diagonales de los hexagonos, y las lineas de reflexion deben pasar por los centros de rotacion de 60º. Las unicas posibilidades son las siguientes:

6 Entregar (1 o 2) y (3 o 4) el lunes 9. Tarea 6 1. Haz un dibujo completo de las latices de centros de rotacion, lineas de reflexion y pasos de este mosaico. 2. Muestra que el grupo de rotaciones y traslaciones del mosaico de la derecha esta generado por dos rotaciones, pero el de la izquierda no. 3. Encuentra un mosaico cuyo grupo de simetrias este generado por dos pasos en direcciones ortogonales. Que otras simetrias contiene el grupo? 4. Demuestra que si un mosaico tiene todos sus centros de rotacion en lineas de reflexion y otro mosaico tiene algunos centros de rotacion fuera de esas lineas, los grupos de simetrias de los mosaicos no son isomeorfos. (ojo: se trata de hallar una diferencia algebraica entre los grupos).