Isometrias de la esfera

Transcripción

1 Isometrias de la esfera Son las transformaciones de la esfera que preservan distancias, y por lo tanto preservan lineas y angulos Ejemplos: Rotacion Reflexion Reflexion con giro Cada isometria de la esfera esta determinada por la imagen de puntos no colineales. Dem. La posicion de un punto en la esfera queda determinada por sus distancias a puntos no colineles (esta en la interseccion de circulos centrados en esos puntos). Cada isometria de la esfera es composicion de a lo mas reflexiones Dem. Hay que ver que para llevar una tercia de puntos a otra tercia de puntos a las mismas distancias, basta hacer reflexiones: La primera reflexion acomoda el primer punto donde debe ir. La segunda reflexion acomoda el segundo punto sin mover el que ya estaba acomodado.. La tercera reflexion acomoda el tercer punto sin mover los dos que ya estaban acomodados.

2 La composicion de dos reflexiones en S es una rotacion. La composicion de dos rotaciones de S es una rotacion. Я' R' R Я' Я R' Я R Las isometrias de la esfera son las rotaciones, las reflexiones y las reflexiones con giro. Dem. Basta ver que la composicion de reflexiones en lineas no concurrentes es una reflexion con giro planos de reflexion arbitrarios. Podemos girar dos consecutivos alrededor de su recta de interseccion sin que el resultado de la composicion de las reflexiones cambie. Girar los dos primeros planos alrededor de su linea de interseccion para hacer que el primero sea perpendicular al tercero. Girar el primer y tercer planos alrededor de su linea de interseccion para hacer que el primero sea perpendicular al segundo (y siga siendo perpendicularal tercero).

3 Grupos discretos de isometrias Los grupos discretos de isometrias de la esfera son Z n, Z n xz, D n, D n xz y los subgrupos de simetrias de los solidos platonicos. Dem. Considerar primero los grupos que preservan orientacion, que consisten unicamente de rotaciones. Las rotaciones deben ser por angulos de la forma π(p/q) ya que deben tener orden finito, y si hay rotaciones de orden q, estan generadas por una de angulo π/q. Si hay un solo eje de rotacion el grupo es ciclico, y puede tener cualquier orden.si hay dos ejes de rotacion distintos, al rotar uno de ellos alrededor del otro obtenemos mas centros de rotacion. Sea R 1 una rotacion de angulo π/m y eje L. Sea R otra rotacion cuyo eje L' sea el mas cercano a L, y con angulo π/n. Entonces R =R R 1 debe ser otra rotacion con angulo de la forma π(p/q). Los ejes de R 1, R y R pasan por los vertices de un triangulo en la esfera cuyos angulos son π/m, π/n y πp/q. Entonces p=1, porque si p>1 habria una rotacion R 4 con angulo menor que R con ese mismo eje, y entonces R 4 R 1 seria otra rotacion coyo eje estaria mas cerca del eje de R 1 que R. Los angulos del triangulo safisfacen π/m + π/n + π/q = Area del triangulo >0 π/q R Como m, n, q son enteros mayores que 1, las unicas posibilidades son R π/n π/m m n q area q π/q R 1 π/6 4 π/1 5 π/0 Denotemos por Δ(m,n,q) al triangulo con angulos π/m, π/n, π/q Al reflejar un triangulo Δ(,,n) (con n=,4,5) en los lados adyacentes al vertice de angulo / π se obtiene un triangulo Δ(n,n,n) formado por 6 compias de Δ(,,n) Al reflejar el triangulo Δ(n,n,n) (con n=,4,5) en su lados se obtiene una teselacion de la esfera formada por 4, 8 y 0 de los triangulos grandes (4, 48 y 60 de los triangulos Δ(,,n)) respectivamente.

4 Los vertices de los triangulos Δ(,,) forman un tetraedro, los vertices de los triangulos Δ(4,4,4) forman un octaedro y los vertices de los triangulos Δ(5,5,5) forman un icosaedro. Los centros de los triangulos Δ(4,4,4) son los vertices de un cubo y los centros de los triangulos Δ(5,5,5) son los vertices de un dodecaedro. En cada caso, las simetrias de los mosaicos formados por los triangulos grandes Δ(n,n,n) dejan invariantes a los triangulos pequeños Δ(,,n). Por lo tanto los grupos de simetrias de los mosaicos grandes y chicos son iguales, y son iguales (en particular, el grupo de simetrias del cubo es isomeorfo al grupo de simetrias del octaedro, y el grupo de simetrias del dodecaedro es isomeorfo al grupo de simetrias del icosaedro.

5 El espacio de isometrias de la esfera Cada isometria I de la esfera debe enviar vectores unitarios en vectores unitarios y preservar los angulos entre ellos, asi que la matriz cuyas columnas son las imagenes de los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) es una matriz ortonormal. Cada matriz ortonormal determina una funcion lineal de R que es una isometria de R. Isometrias de la esfera Isometrias del espacio que fijan el origen. Como la matriz que representa la composicion de dos funciones lineales es el producto de las matrices que representan a las dos funciones, tenemos El grupo de isometrias de la esfera es isomorfo al grupo de matrices ortonormales de x. Las matrices ortonormales tienen determinante 1 o -1: las matrices de determinante 1 corresponden a las rotaciones y las de determinante -1 corresponden a las reflexiones y reflexiones con giro. El conjunto de matrices ortonormales tiene dimensiones (hay grados de libertad para elegir la primera columna (que es un vector unitario en R ), 1 grado de libertad para elegir la segunda columna (que es un vector unitario en R perpendicular al primero) y dos opciones para la tercera columna (un vector unitario en R perpendicular a los primeros dos). Por lo tanto el espacio de isometrias de la esfera tiene dimensiones: el subespacio de rotaciones tiene dimensiones (hacen falta dos parametros para determinar el eje y otro para determinar el angulo), el de reflexiones tiene dimensiones y el de reflexiones tiene. El espacio de isometrias de R. Cada isometria de R esta determinada por la imagen de 4 puntos no coplanares, y por lo tanto es la composicion de a lo mas 4 reflexiones en planos. Las isometrias del espacio euclidiano que preservan orientacion son composicion de o 4 reflexiones, por lo tanto son traslaciones, rotaciones, o giros de tornillo Las que invierten orientacion son o reflexiones o la composicion de reflexiones, y estas son reflexiones con giro Las matrices ortonormales siempre dejan dos subespacios ortogonales invariantes: uno corresponde al eje de rotacion y el otro al plano de reflexion. Como cada isometria de R es la composicion de una isometria que fija al origen con una traslacion, el grupo de isometrias de R es isomorfo al grupo formado por las parejas (M,V) donde V es una matriz ortonormal de x y V es un vector en R, con el producto dado por (M,V).(M',V')=(MM',MV'+V) Por lo tanto el espacio de isometrias de R tiene 6 dimensiones.

6 Tarea 10 Entregar dos de (, 4, 5) el viernes 7 de marzo. 1. Si R es la rotacion de 90º en el eje x y R' es la rotacion de 90º en el eje y, encuentra el eje y el angulo de la rotacion R' R.. La reflexion R en una recta es una rotacion, la reflexion de R en el origen es una reflexion con giro.. Los grupos de simetrias de los solidos platonicos contienen reflexiones con giro donde estan y de que orden son? 4. Cuantos elementos tienen los grupos de simetrias de los poliedros platonicos? 5. Cuantos circulos del mismo radio y que sean tangentes a sus vecinos se pueden acomodar en la esfera? Prueba tu respuesta. 6. La imagen muestra la estructura molecular del capside de un virus comun. Cual es su grupo de simetrias?