Ángulo mínimo (grados): /360 = 1, grados Primera aparición: 2:11:11 Segunda aparición: 9:48:49

Transcripción

1 Desafío 50. A qué hora? En los relojes con las tres agujas centrales, sabido es que a las 12 h (00:00 h) las tres están superpuestas y no vuelven a coincidir en otro momento. A qué hora(s) las tres manecillas forman un ángulo mínimo y cuánto vale es este ángulo? Solución. Antes de nada, quiero resaltar que la resolución y los resultados son diferentes si se considera que en la solución se debe proporcionar un número entero de segundos o si se pueden considerar fracciones de segundo. Considerando soluciones con un número entero de segundos. Si se tienen que considerar solo las soluciones con un número entero de segundos, basta con usar una hoja de cálculo para calcular los ángulos de las tres manecillas para cada uno de los segundos que transcurren en 12 horas, compararlos y buscar el segundo a que corresponde la mínima diferencia angular entre las manecillas más separadas. Este mínimo se encuentra en dos ocasiones: a los 7871 y a los segundos del inicio (el inicio es el segundo 0 a las 12:00:00). Las horas correspondientes y el ángulo en grados son: Ángulo mínimo (grados): /360 = 1, grados Primera aparición: 2:11:11 Segunda aparición: 9:48:49 Para estos tiempos, las manecillas más separadas son la de la hora y la de los minutos, y la de los segundos se halla en una posición intermedia. Considerando soluciones con un número no entero de segundos. Si se consideran válidas soluciones con un número no entero de segundos. La resolución y, como veremos, los resultados son diferentes. No podemos usar una hoja de cálculo para comprobar todas las posiciones posibles, puesto que son infinitas. Tendremos que usar un método más analítico. El ángulo que se trata de minimizar es el mayor de los ángulos entre cada par correspondiente a una de las tres combinaciones de dos de las tres manecillas. Por ejemplo, en un momento dado podemos encontrar la manecilla de los minutos un poco más adelante que la de los segundos y esta adelantada con respecto a la de las horas. El ángulo buscado sería el que forman la manecilla de las horas y la de los minutos. Pero en muy poco tiempo la manecilla de los segundos adelantaría a la manecilla de los minutos, y el ángulo a considerar pasaría a ser el que forman las manecillas de horas y segundos. En cualquier caso, puesto que las manecillas se mueven a velocidad constante, el ángulo a considerar es una función continua en el tiempo. No así su derivada. Lo primero que nos vamos a plantear es si, estando todas las manecillas en posiciones diferentes (es decir, no hay ninguna que coincida con otra), podemos estar en un mínimo. Si estamos en el entorno de un mínimo, las tres manecillas se encuentran en la misma zona de la esfera del reloj. Habrá una de ellas más adelantada, otra más retrasada y otra en una posición intermedia. Supongamos que la más adelantada se mueve más rápido que la más retrasada. En este caso, un instante antes del momento que estamos considerando, la más adelantada y la más retrasada estaban más cerca. Por tanto el momento que estamos considerando no puede ser un mínimo. Supongamos que la manecilla más retrasada se mueve más rápido que la más adelantada. En este caso, un instante después del momento que estamos considerando, ambas estarán más cerca. Por tanto el momento que estamos considerando no puede ser un mínimo. En este razonamiento, entendemos por instante un tiempo lo suficientemente pequeño para que ninguna manecilla haya alcanzado a otra. Llegamos a la conclusión de que si las tres manecillas están en posiciones diferentes, no podemos estar en un mínimo. Por tanto, el ángulo mínimo entre las dos manecillas más separadas se tiene que dar en un momento en que dos de ellas coincidan en la misma posición. Pueden coincidir la manecilla de las horas con la de minutos, la de los minutos con la de los segundos, a la de las horas con la de los segundos. Respecto a las dos que coincidan, la otra puede estar más adelantada o más retrasada. Podemos analizar que pasa un instante antes o un instante

2 después de la coincidencia de dos manecillas. Si estamos en un mínimo, el ángulo entre las dos manecillas debería aumentar en ambos casos (un instante antes o después). En la siguiente tabla se muestras todas estas situaciones y se analiza lo que pasa un instante antes o después. Situación en el momento considerado Coinciden Hora y Minuto Manecilla de Segundo adelantada. Coinciden Hora y Minuto Manecilla de Segundo retrasada. Coinciden Minuto y Segundo Manecilla de Hora adelantada. Coinciden Minuto y Segundo Manecilla de Hora retrasada. Coinciden Hora y Segundo Manecilla de Minuto adelantada. Coinciden Hora y Segundo Manecilla de Minuto retrasada. Un instante antes Minuto y Segundo. La diferencia entre ellas era MENOR. Segundo y Hora. Segundo y Hora. Hora y Minuto. La diferencia entre ellas era MENOR. Segundo y Minuto. Minuto y Hora. Un instante después Hora y Segundo. Segundo y Minuto. La diferencia entre ellas será MENOR. Minuto y Hora. La diferencia entre ellas será MENOR. Hora y Segundo. Minuto y Hora Minuto y Segundo Como se ve en la tabla, los únicos momentos en que la función dada por el ángulo entre las dos manecillas más separadas alcanza un mínimo son aquellos en que coinciden la manecilla de la hora y la del segundo. Para las demás coincidencias, este ángulo será menor o bien un instante antes o bien un instante después, por lo que no se trata de un mínimo. Nos basta por tanto, para encontrar la solución al desafío, con explorar las posiciones de las manecillas en un número finito de momentos. Para ello, vamos a calcular el número de vueltas recorridas por cada manecilla en función del tiempo T medido en segundos a partir de las 12:00:00. En 12 horas, la manecilla de la hora completa 1 vuelta a la esfera del reloj, la de los minutos dará 12 vueltas, y la de los segundos 60*12 = 720 vueltas. Puesto que 12 horas son segundos, las vueltas dadas por las manecilla de las horas, minutos y segundos son las expresiones NH, NM y NS respectivamente indicadas a continuación: NH = 1 / * T NM = 12 / * T = 1/3600 * T NS = 720 / * T = 1/60 * T Nótese que para un determinado tiempo T en segundos desde las 12:00:00, los valores obtenidos para NH, NM y NS pueden ser fraccionarios indicando fracciones de vuelta. Los momentos en que coinciden la manecilla de los segundos y las horas serán aquellos en que el número de vueltas recorridas por la manecilla de las horas (NH) y el número de vueltas recorridas por la manecilla de los segundos (NS) difieran en un número entero (lo que no significa que NH y NS sean enteros). Llamando K a este número entero, tendremos: NS = NH + K 1/60 * T = 1 / * T + K Resolver esto lleva a la siguiente secuencia de valores de T en función de K: T = / 719 * K Para K=0, tenemos T=0 correspondiente a las 12:00:00. Para K=719, tendremos T=43200, equivalente a 12 horas, y por tanto volveremos a tener el reloj macando las 12:00:00. En consecuencia hay 719 posiciones diferentes (con K variando de 0 a 718) para las que coinciden la manecilla de la hora y la de los segundos. Esto corresponde a casi una por minuto, lo que es lógico (cada minuto la manecilla de los segundos vuelve a pasar por donde estaba la de la hora, que apenas se ha movido). El casi es porque la manecilla de la hora si que se ha movido mínimamente, y la de los segundos tarda un pelín más de un minuto en alcanzarla.

3 A continuación calculemos el ángulo entre la manecilla del minuto y las otras dos en esos momentos dados por el recorrido de K de 1 a 718. Sustituyendo la expresión de T en función de K en las expresiones de NH, NS y NM tendremos: NH = 1 / * T = 1 / * / 719 * K = 1 / 719 * K NM = 1/3600 * T = 1/3600 * / 719 * K = 12 / 719 * K NS = 1/60 * T = 1/60 * / 719 * K = 720 / 719 * K Tomemos ahora la diferencia entre el número de vueltas entre la manecilla de los minutos y la de las horas. NM NH = 11/719 * K De lo que se trataría por tanto, es de hallar para que valores de K, en el rango de 1 a 718, la expresión anterior da un número lo más cercano posible, por exceso o defecto, a un número entero. Es decir, para que valores de K el número de vueltas recorridas por las manecillas de horas y minutos se aproxima a un entero, lo que supone que las agujas están muy cerca una de otra. Podemos usar una hoja de cálculo, pero no es necesario. Para K=1, la expresión anterior daría 11/719=0, Puesto que 719/11 = 65, , para valores pequeños de K, el resultado de NM-NH estaría aumentando, y el entero más cercano sería 0. A partir de K=33, la expresión NM-NH anterior está más cerca del entero 1 que del entero 0. En torno a K=65, se acerca a 1, por lo que por esa zona podríamos tener un mínimo. En torno a K=131 podríamos encontrar otro mínimo. Formalizando un poco esta intuición, tendríamos que NM-NH = 11/719 * K = E, donde E sería un entero. Esto nos proporciona valores de K que no son enteros, y por tanto no válidos, pero nos dan una idea de por donde buscar. Despejando K de la expresión anterior obtenemos K = 719/11 * E. Para E=0 tendremos K=0, correspondiente a las 12:00:00, y para E=11 tendremos K=719, correspondiente a la misma hora. Por tanto solo tendremos que explorar los valores de E entre 1 y 10 (un ahorro considerable con respecto a los 718 a explorar de K). Para cada uno de estos valores, obtenemos un K fraccionario no válido. El valor que tenemos que explorar es el K entero más cercano a ese resultado, puesto que NM-NH es lineal respecto a K y K lo es respecto a E. De los dos K enteros que rodean el valor fraccionario dado por K=719/11*E, el más cercano será el que genera una expresión NM- NH=11/719*K más cercana a un entero. Escribamos esto en una tabla: E 719*11/E K más cercano NH-NM Diferencia entero más próximo T (seg) Hora a la que corresponde la mínima diferencia angular entre las manecillas 0 0, ,00 12 h 00 min 00 seg 1 65, / / ,42 01 h 05 min / 719 seg 2 130, / / ,93 02 h 11 min / 719 seg 3 196, / / ,36 03 h 16 min / 719 seg 4 261, / / ,78 04 h 21 min / 719 seg 5 326, / / ,29 05 h 27 min / 719 seg 6 392, / / ,71 06 h 32 min / 719 seg 7 457, / / ,22 07 h 38 min / 719 seg 8 522, / / ,64 08 h 43 min / 719 seg 9 588, / / ,06 09 h 48 min / 719 seg , / / ,58 10 h 54 min / 719 seg , ,00 12 h 00 min 00 seg Recapitulemos un poco. Hemos demostrado que los únicos momentos en que se puede encontrar un mínimo local del ángulo entre las manecillas son aquellos en que la manecilla del segundo se superpone a la de las horas. Hemos introducido una variable K que recorrida de 0 a 718 nos da las 719 posiciones posibles en que esto sucede (aproximadamente una vez por minuto). En lugar de evaluar esas 719 posiciones, hemos introducido una variable E recorrida de 0 a 10 nos permite seleccionar las que más se acercan al mínimo (aproximadamente una cada hora, cuando se aproximan horas y minutos). Los valores de K (ajustado al entero más cercano) correspondiente a cada E se muestran en la tabla, y a continuación la diferencia entre el número de vueltas recorridas por la manecilla de la hora y la del minuto (NH- NM).

4 Excluyendo la primera y ultima filas, correspondientes a las 12:00:00, la mayor aproximación de NH-NM a un número entero se da para E=3 y E=8 (filas en negrita), donde las manecillas de horas y minutos se separan 1/719 de vuelta. Estos valores corresponden respectivamente a la 196 y 523 ocasión en que se superponen las manecillas de hora y segundo, y a las siguientes horas, que serían la solución al desafío. Primer mínimo: 03 h 16 min / 719 seg = 03 h 16 min 16, seg Segundo mínimo: 08 h 43 min / 719 seg = 08 h 43 min 43, seg Ángulo entre manecillas: 1/719 vuelta = 0,5007 grados Comparando los dos resultados. Según hemos visto, si se busca la solución para valores del segundo enteros, esta sería: Primer mínimo: 02 h 11 min 11 seg Segundo aparición: 09 h 48 min 49 seg Ángulo entre manecillas: /360 = 1, grados En cambio, si consideramos fracciones de segundo sería esta otra: Primer mínimo: 03 h 16 min / 719 seg = 03 h 16 min 16, seg Segundo mínimo: 08 h 43 min / 719 seg = 08 h 43 min 43, seg Ángulo entre manecillas: 1/719 vuelta = 0,5007 grados Cómo es posible tal diferencia?. La respuesta es que el ángulo entre las manecillas varía muy rápidamente. En la siguiente tabla se muestran los valores obtenidos para los valores enteros de segundos y para los mínimos reales con fracciones de segundos en el entorno de las 2h 11 min y las 3 h 16 min. Hora Ángulo entre manecillas 02 h 11 min 10, seg 1,5021 grados 02 h 11 min 11 seg 1,5083 grados 03 h 16 min 16 seg 2,1333 grados 03 h 16 min 16, seg 0,5007 grados Como se ve, el mínimo absoluto en 03 h 16 min 16, seg es bastante inferior al mínimo local en 02 h 11 min 10, seg. Sin embargo, al forzar la respuesta a un entero, el ángulo correspondiente a 03 h 16 min 16 seg es superior al correspondiente a 02 h 11 min 11 seg.

5 La función ángulo entre las manecillas. A continuación la función ángulo entre las manecillas en función del tiempo, para los 10 primeros minutos desde las 12:00:00. El eje horizontal representa segundos desde esta hora. La gráfica se compone de tramos rectos, cuya pendiente está dada por las diferencia de la velocidad de las manecillas más separadas en un momento dado, que son las que marcan el ángulo. En los instantes en que dos manecillas se cruzan, se sucede otro tramo recto con una pendiente diferente (ya que las dos manecillas más separadas pasan a ser otras y la pendiente viene dada por la diferencia de sus velocidades angulares). A lo largo de un minuto, tendríamos un intervalo en que este ángulo varía tranquilamente, correspondiente a las situaciones en que la manecilla de los segundos está en una posición intermedia a las otras. En la gráfica anterior son los tramos menos inclinados que truncan la base de las ondas. La pendiente de la función sería la correspondiente a la diferencia de velocidad entre la manecilla de los minutos y de las horas. Despreciando el movimiento de la manecilla de las horas y dado que la de los minutos completa una vuelta en una hora, sería 360/3600 = 1/10 grado por segundo. En el resto del minuto, la manecilla de los segundos sería la que marca el paso. Despreciando el movimiento de la otra más alejada (sea la de los minutos o la de las horas), la manecilla de los segundos recorre una vuelta en 60 segundos, por lo que la pendiente de la función que estamos analizando sería aproximadamente de 6 grados por segundo. Estos son los tramos de más inclinación. A lo largo de cada minuto encontramos también unos picos en la parte correspondiente al entorno de los 180 grados. Los 180 grados se alcanzan dos veces en cada minuto: uno cuando la manecilla del segundo se enfrenta a la de los minutos y otra cuando se enfrenta a la de las horas. En la parte de la función representada arriba, y puesto que las manecillas de hora minutos están cercanas, este rebote se realiza en un intervalo corto.

6 A continuación se representa la función durante la primera hora. A lo largo de cada minuto sube y baja, pero no llega a bajar más del ángulo que forman hora y minuto. Poco después de los 1800 segundos (media hora), el ángulo permanece en el entorno de los 180 grados, ya que esté donde esté la manecilla de los segundos, minutos y horas están más o menos enfrentados. A los 3600 segundos (una hora) esta envolvente que marca los mínimos no llega a cero grados, ya que la manecilla de los minutos está en el 12 del reloj, pero la de las horas ya se ha movido al 1. Aunque no se ve en la gráfica, si se alcanzará el entorno de los cero grados (nunca exactamente) aproximadamente a la 1h 05 min. En esta gráfica, los picos de los mínimos corresponden a los 719 valores de K que definían el cruce de las manecillas de hora y segundos. En la siguiente gráfica se ha trazado la función para un ciclo completo de 12 horas. Por problemas en el renderizado, esta imagen puede resultar engañosa. Los picos de los mínimos debían llegar hasta prácticamente el cero, y los máximos deberían alcanzarse prácticamente cada minuto (la parte de arriba debería ser toda azul), sin esa aparente envolvente en zigzag. Pero es interesante ver gráficamente lo que se había visto antes. En el ciclo completo, hay 11 picos gordos, correspondientes a los 11 valores de E que nos seleccionaban los mejores candidatos a mínimos absolutos.

7 Una analogía planetaria. Para terminar, este problema me recuerda los movimientos planetarios alrededor del sol, por lo que no me puedo resistir a plantearlo en términos astronómicos. El enunciado sería el siguiente: Supongamos un sistema solar formado por tres planetas de órbitas perfectamente circulares y planas. El más cercano tarda 1 año en dar la vuelta al sol, el siguiente tarda 60 años, y el más lejano 720 años. En un momento dado están alineados entre ellos y con el sol y al mismo lado de este. Volverán a estar en idéntica posición a los 720 años. La pregunta es: entre estos dos alineamientos en que momento o momento formarán entre ellos el menor ángulo posible mirados desde el sol?.