1. VARIABLES FICTICIAS

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1 TEMA 1: EXTENSIONES DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE: VARIABLES FICTICIAS Y CAMBIO ESTRUCTURAL. Wooldridge: Capítulos 6 (apartado 6.1) y 7 Gujarati: Capítulos 9 (apartado 9.8), 10 y VARIABLES FICTICIAS Las variables ficticias (o binarias o dummy ) las empleamos para recoger información cualitativa: ser hombre o mujer, estar o no estar casado, que una empresa sea del sector industrial o del sector servicios, que cotice o no en bolsa, etc. 1 Las variables ficticias se emplean en los modelos de regresión cuando queremos ver si el efecto de alguna/s de las X sobre Y varía según alguna característica de la población (sexo, raza, tamaño de la empresa, tipo de período temporal, etc.). En definitiva, las variables ficticias se emplean para analizar y modelizar cambios estructurales en los parámetros de los modelos. Las variables ficticias toman valor 1 en una categoría y valor 0 en el resto. Por ejemplo: si individuo es mujer Mujer = 1 0 si es hombre Hombre = 1 0 si individuo es si es mujer hombre 2

2 Pequeña Mediana Grande = 1 0 = 1 0 = 1 0 si empresa es pequeña en caso contrario si empresa es mediana en caso contrario si empresa es grande en caso contrario 3 CAMBIO ESTRUCTURAL Denominamos cambio estructural a las modificaciones en el valor de los parámetros del modelo para diferentes subpoblaciones. Los cambios estructurales se pueden deber a las más diversas circunstancias: diferencias en los gustos de los individuos, cambios en la política económica, cambios en las condiciones socioeconómicas, etc. 4

3 MODELIZANDO EL CAMBIO ESTRUCTURAL A) Efecto aditivo: Empleamos las variables ficticias para modelizar cambios en el término constante del modelo. Veámoslo con un ejemplo. Consideremos el modelo de regresión múltiple: wi = β0 + β1edui + β2mujeri + εi i = 1,.., n donde: w i = salario edu i = años de educación mujer i = 1 0 si i es mujer si i es hombre 5 Tenemos que: E w edu, mujer = β + β edu + β mujer i i i 0 1 i 2 i con lo cual: (, = ) = (, = 1 ) = ( β0 + β2) + β1 E w edu mujer mujer E w edu mujer edu i i i i i i i (, = hom ) = (, = 0) = β0 + β1 E w edu mujer bre E w edu mujer edu i i i i i i i y β 2 = E w edu, mujer E w edu,hombre es la diferencia, en media, entre el salario de i i i i una mujer y el de un hombre, para un mismo nivel educativo. 6

4 Suponiendo β 2 < 0 w E w edu, mujer = = β + β edu i i i i E( w edu mujer ) β 2 i i, i = 1 = ( β0 + β2) + β 1edui edu 7 OTRAS DOS FORMULACIONES ALTERNATIVAS DE ESTE MISMO MODELO SERÍAN: 1.- w = α + α edu + α hom bre + ε i =,.., n con hombre i = i 0 1 i 2 i i 1 Tenemos que: (,hom ) con lo cual: E w edu bre = α + α edu + α hombre i i i 0 1 i 2 i (, ) (,hom ) E w edu mujer = E w edu bre = = α + α edu i i i i i i E w edu,hom bre = E w edu,hom bre = = ( α + α ) + α edu i i i i i i 1 0 si i es hombre si i es mujer α 2 = E w edu,hom bre E w edu, mujer es la diferencia, en media, entre el salario i i i i de un hombre y el de una mujer, para un mismo nivel educativo. 8

5 Obviamente: α = β 1 1 α 0 = β0 + β2 α 0 + α 2 = β w = δ edu + δ mujer + δ hom bre + ε i =,.., n i 1 i 2 i 3 i i 1 Tenemos que: E( w edu, mujer,hom bre ) = δ edu + δ mujer + δ hombre con lo cual: i i i i 1 i 2 i 3 i (, ) (,,hom ) E wi edui mujer = E wi edui mujeri = 1 brei = 0 = δ2 + δ 1edui (,hom ) (,,hom ) E wi edui bre = E wi edui mujeri = 0 brei = 1 = δ3 + δ 1edui δ δ = E w edu,hom bre E w edu, mujer es la diferencia, en media, entre el salario 3 2 i i i i de un hombre y el de una mujer, para un mismo nivel educativo. Obviamente: 10

6 δ1 = α1 = β1 δ2 = α 0 = β0 + β2 δ3 = α 0 + α 2 = β0 IMPORTANTE: No sería válido (habría multicolinealidad exacta) un modelo como: w = γ + γ edu + γ mujer + γ bre + ε i 0 1 i 2 i 3 hom i i ya que mujer + hombre = 1 i i i 11 Cómo contrastaríamos si existen diferencias en media entre el salario-hora de un hombre y de una mujer, para un mismo nivel educativo? Estimando los modelos y contrastando de la manera tradicional las siguientes hipótesis: wi = β0 + β1edui + β2 mujeri + εi H 0 :β 2 = 0 wi = α 0 + α1edui + α 2 hom brei + εi H 0 :α 2 = 0 wi = δ1edui + δ2mujeri + δ3 hom brei + εi H 0 :δ 2 = δ 3 12

7 B) Efecto interacción: Empleamos las variables ficticias para modelizar cambios en el efecto de las X sobre Y (en las pendientes del modelo). Veamos un ejemplo con efectos aditivos e interacción: wi = β0 + β1edui + β2mujeri + β3edui mujeri + εi i = 1,.., n donde: mujer i = 1 0 si i es mujer si i es hombre edui si i es mujer edu i x mujer i = 0 si i es hombre 13 Tenemos que: con lo cual: E w edu, mujer, edu mujer = β + β edu + β mujer + β edu mujer i i i i i 0 1 i 2 i 3 i i E w edu, mujer = ( β + β ) + ( β + β ) edu i i i E w edu,hom bre = β + β edu i i 0 1 i β 2 mide la diferencia en el término constante entre hombres y mujeres. β 3 mide la diferencia en la pendiente entre hombres y mujeres: Si la educación (edu) varía en una unidad el salario-hora varía en media en: β + β unidades en las mujeres 1 3 β 1 unidades en los hombres 14

8 Suponiendo β 2 < 0 y β 3 < 0 w E w edu,hom bre = β + β edu i i 0 1 i E w edu, mujer = ( β + β ) + ( β + β ) edu i i i edu 15 Cómo se contrastaría si las variaciones unitarias en la educación generan el mismo efecto medio sobre el salario-hora en hombres y en mujeres? Estimando el modelo y contrastando de la manera habitual la hipótesis: H 0 :β 3 = 0 Cómo se contrastaría si el término constante es el mismo para hombres y para mujeres? Estimando el modelo y contrastando de la manera habitual la hipótesis: H 0 :β 2 = 0 16

9 Cómo se contrastaría si el modelo de determinación salarial es el mismo en hombres y en mujeres? Estimando el modelo y contrastando de la manera habitual la hipótesis: H 0 :β 2 = β 3 = 0 Comentarios: Igual que hemos visto con el efecto aditivo, existen otras formulaciones alternativas de este mismo modelo. Por ejemplo: w = α + α edu + α hombre + α edu hom bre + ε i 0 1 i 2 i 3 i i i 1 si i es hombre edui si i es hombre hombre i = edu i x hombre i = 0 si i es mujer 0 si i es mujer 17 o alternativamente w = δ mujer + δ hombre + δ edu mujer + δ edu hom bre + ε i 1 i 2 i 3 i i 4 i i i IMPORTANTE: No sería válido un modelo (ya que habría multicolinealidad exacta) como: w = γ mujer + γ hombre + γ edu mujer + γ edu hombre + γ edu + ε i 1 i 2 i 3 i i 4 i i 5 i i ya que edu mujer + edu hom bre = edu i i i i i i 18

10 Podríamos tener más de dos categorías. Por ejemplo: V = β + β S1 + β S2 + β P + β ( P S1 ) + β ( P S2 ) + ε i 0 1 i 2 i 3 i 4 i i 5 i i i donde: V i : ventas de la empresa P i : gastos en publicidad de la empresa S1 i = S2 i = 1 si i es del sector 1 0 si i es del sector 2 o 3 1 si i es del sector 2 0 si i es del sector 1 o 3 19 Entonces: E V P, Sector = ( β + β ) + ( β + β ) P i i i E V P, Sector = ( β + β ) + ( β + β ) P i i i E Vi Pi, Sector 3 = β0 + β 3Pi 20

11 2. CONTRASTE DE CHOW Tal y como hemos visto para efectuar contrastes de cambio estructural es válida la inferencia habitual en el contexto del Modelo Lineal General empleando variables ficticias. Sin embargo, cuando se desea analizar la existencia de cambio estructural en todos los parámetros de un modelo se suele emplear una expresión particular del contraste F conocida como contraste de Chow. 21 Modelo sin restringir (con cambio estructural) Y = β + β X + β X + + β X + ε Submuestra A i A A A 0 1 1i 2 2 i... Y = β + β X + β X + + β X + ε Submuestra B i B B B 0 1 1i 2 2 i... A k B k Ki Ki i i Modelo restringido (sin cambio estructural) Y = β + β X + β X + + β X + ε i 0 1 1i 2 2 i... K Ki i A Restricción H0: β j = β j j = 0, 1,..., k B 22

12 Sea SRS la suma al cuadrado de los residuos MCO del modelo sin restringir. Que se puede obtener estimando el modelo por separado con cada una de las dos submuestras (SRS=SR A +SR B ) Sea SRR la suma al cuadrado de los residuos MCO del modelo restringido. Si suponemos que: Subpoblación A: Y X X Subpoblación B: Y X X i1,..., Ki ~ A A A 2 N( β0 + β1 X1i βk X Ki, σ ) 1 i,..., Ki ~ B B B 2 N( β0 + β1 X1i βk X Ki, σ ) 23 A B entonces bajo H0: β j = β j j = 0, 1,..., K [ K+1 hipótesis lineales] F = ( SRR SRS) ( SRS) ( n 2( K + 1) ) K + 1 ~ F K+1,n-2(K+1) con SRS=SR A +SR B Empleando la aproximación asintótica tenemos bajo H0: β j = β j j = 0, 1,..., K [ K+1 hipótesis lineales]: A B W 0 = ( SRR SRS) ( SRS) n 2( K + 1) = ( K + 1) F ~ χ + con SRS=SRA+SRB a 2 k 1 24

13 Ejemplo: Datos de Estados Unidos de Relación salario/hora versus producción/hora Datos en dólares constantes Posible cambio estructural en Remuneración por hora Producción por hora Nota: Índice =100 en

14 Remuneración Remuneración Producción Producción 27 Ejemplo Y=Remuneración X=Producción Dependent Variable: REMUNERAC Method: Least Squares Sample: Included observations: 38 REMUNERAC=C(1)+C(2)*PRODUCC Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C(1) C(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

15 Remuneración por hora Producción por hora 29 Y=Remuneración X=Producción Submuestra A= Dependent Variable: REMUNERAC Method: Least Squares Sample: Included observations: 21 REMUNERAC=C(1)+C(2)*PRODUCC Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C(1) C(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

16 Dependent Variable: REMUNERAC Method: Least Squares Simple: Included observations: 17 REMUNERAC=C(1)+C(2)*PRODUCC Y=Remuneración X=Producción Submuestra B= Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C(1) C(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Contraste de Chow Si suponemos que: A A Y X ~ ( β0 + β1 2, σ ) B B Y X 1 ~ ( β0 + β1 2, σ ) N X A N X B A B entonces bajo H0: β j = β j j = 0, 1 [ 2 hipótesis lineales] F = ( SRR SRS) ( SRS) Tenemos que: F = ( , 34, 94146) ( 34, 94146) ( 38 2( 2) ) 2 ( 34) ~ F 2,34 = 134, 701 > F2, 34( 5%) 3, 32 2 con SRS=SR A +SR B =21, ,66814=34,94146 A B Se rechaza H0: β j = β j j = 0, 1 Hay evidencia de cambio estructural 32