Regresión con variables instrumentales

Transcripción

1 Regresión con variables instrumentales Tema 9

2 Introducción Cuando el supuesto de exogeneidad no se cumple, los estimadores MCO son sesgados e inconsistentes El método de Variables Instrumentales (VI) permite obtener estimadores consistentes de los parámetros Para presentar el método recurrimos a un ejemplo. Sea la regresión, log( sal) educ habil (1) Pero la habilidad no es observable. Con lo visto hasta ahora, podemos excluirla o recurrir a una variable proxy

3 Introducción Sabemos que excluir la variable y estimar la ecuación log( sal) educ u (2) 0 1 produce sesgo e inconsistencia de 0 y 1 (a no ser que educación y habilidad estén incorreladas...) La solución de emplear variables proxy es buena si disponemos de ellas (no siempre es el caso) Aunque no dispongamos de una proxy, aún podemos estimar de forma consistente 0 y 1 en la ecuación (2) si disponemos de un instrumento o variable instrumental, z, para la educación.

4 Condiciones del instrumento Esta variable debe cumplir dos condiciones para poder hacer de instrumento Debe estar (muy) correlacionada con la educación (relevancia) No debe estar correlacionada con u (y por tanto con la habilidad que estará en u (por eso la proxy no puede ser VI: una proxy debe estar altamente correlacionada con habilidad) El primer supuesto es fácilmente contrastable: basta estimar educ= z+v y ver si podemos rechazar H 0 : 1 =0 El segundo supuesto es más difícil de contrastar(de hecho en este caso no es posible: û no representaría a u )

5 Obtención del estimador VI Veamos ahora cómo obtener estimadores consistentes de 0 y 1 en (2), que escribimos como y= x+u Multiplicamos por z y tomamos esperanzas, E( yz) E( z ) E( xz) E( uz), o 0 1 cov( yz) cov( z ) cov( xz) cov( uz) 0 1 Pero en virtud de las condiciones impuestas al instrumento cov(uz) = 0, y cov(z 0 ) = 0, al ser 0 una constante. Por tanto, cov( yz, ) 1 cov( xz, ) Si sustituimos por las covarianzas muestrales, ˆ cov( ˆ y, z) ˆ cov( ˆ y, x), diferente de cov( ˆ x, z) var( ˆ x) VI MCO 1 1

6 Obtención del estimador VI Las estimaciones MCO y VI pueden ser muy diferentes. Ejemplo de Haavelmo Estimar la ecuación Consumo = Renta_D+, plantea problema de endogeneidad (causalidad simultánea). Como instrumento de la Renta propuso la Inversión. Relevancia instrumento 2 ˆ Inversion, R Renta (16.48)(0.34)

7 Obtención del estimador VI Las estimaciones MCO y VI pueden ser muy diferentes. Ejemplo de Haavelmo Estimar la ecuación Consumo = Renta_D+, plantea problema de endogeneidad (causalidad simultánea). Como instrumento de la Renta propuso la Inversión. Relevancia instrumento Estimación MCO Estimación VI 2 ˆ Inversion, R Renta (16.48)(0.34) 2 ˆ Renta, R 0.97 Consumo (14.55) (0.03) 2 ˆ Renta, R 0.96 Consumo (17.8) (0.037)

8 VI = MC2E educ = z+v Para ver porqué el instrumento funciona consideramos que educ consta de dos partes, una correlacionada con educ pero no con, y otra correlacionada con el error. El instrumento solo debe recoger la primera parte educ ˆ ˆ ˆ La estimación de la forma reducida 0 1z consigue hacer esa separación en lugar de estimar log(sal)= educ+u, estimamos, por MCO, log( sal) educ u 0 ˆ 1 Este procedimiento se denomina Mínimos Cuadrados en dos VI Etapas y, en este caso, proporciona el estimador 1 ˆb

9 Modelo VI general El caso anterior es el más sencillo. En un modelo general, Y X... X Y... Y (3) 0i 0 1 1i r ri r1 1i rk ki i (3) suele denominarse ecuación estructural Distinguimos cuatro tipos de variables en este contexto: La variable a explicar o propiamente endógena, Y 0i Los regresores exógenos, X ri Los regresores endógenos, Y ki Los instrumentos Z i : no están en (3), pero habrán de usarse En la ecuación anterior hay k regresores endógenos

10 Modelo VI general: identificabilidad Cuando, como sucede en (3), hay varios regresores endógenos, necesitaremos más de un instrumento Siendo k el nº de regresores endógenos, si llamamos m al nº de instrumentos, caben las siguientes posibilidades: m = k, los coeficientes están exactamente identificados m > k, los coeficientes están sobreidentificados m < k, los coficientes están subidentificados Solo en los dos primeros casos podemos llevar a cabo la estimación por VI (MC2E)

11 Modelo VI general: un regresor endógeno Supongamos que en (3) hay un solo regresor endógeno Y X... X Y 0i 0 1 1i r ri r1 1i i Si disponemos de un solo instrumento, Z 1,contrastamos su validez a partir de la forma reducida, Y X... X Z u 1i 0 1 1i r ri r 1 1i i El instrumento es válido (relevancia) si podemos rechazar H 0 : r+1 =0 Si hubiese dos instrumentos, la forma reducida sería, Y X... X Z Z u 1i 0 1 1i r ri r1 1i r2 2i i Si podemos rechazar H 0 : r+1 = r+2 =0 ambos instrumentos serían conjuntamente relevantes (basta que uno de los sea no nulo para disponer de un instrumento válido)

12 Más de un regresor endógeno Cuando hay más de un regresor endógeno necesitamos como mínimo que m = k (condición de orden) Pero esta condición ya no es suficiente para garantizar la identificabilidad (aunque sí necesaria) La condición suficiente o condición de rango, exige que la matriz de los, formada por todos los coeficientes de las variables instrumentales de las distintas formas reducidas, debe tener un rango igual o mayor que el número de regresores endógenos (k)

13 Más de un regresor endógeno: ejemplo Como ejemplo de la condición de rango, consideremos la ecuación, donde hay dos regresores endógenos. Supongamos que se dispone de dos instrumentos, Z 1 y Z 2. Se cumple por tanto la condición de orden dado que m=k=2 Para verificar la condición de rango estimamos la formas reducidas, Como la matriz (9.2.7) Y X Y Y 0i 0 1 1i 1 1i 2 2i i Yˆ 3 4X 3Z 2Z 1i 1i 1i 2i Yˆ 1 2X Z 2Z 2i 1i 1i 2i tiene rango 2, igual al número de regresores endógenos, se cumple la condición de rango

14 Más de un regresor endógeno: ejemplo Supongamos ahora que disponemos de tres instrumentos, Z 1 Z 2 y Z 3 y que la estimación de las formas reducidas es, Yˆ 2 X 3Z 2Z 2Z 1i 1i 1i 2i 3i Yˆ 1 3X Z 2 / 3Z 2 / 3Z 2i 1i 1i 2i 3i m > k por lo que se cumple la condición de orden, pero la matriz (9.2.7) es ahora, / 3 2 / 3 Y ninguna de las matrices 2x2 que pueden formarse, es de rango igual a 2: no se cumple la condición de rango

15 Distribución muestral del estimador VI Los supuestos de la regresión VI son similares a los conocidos. Partiendo del modelo, Y X... X Y 0i 0 1 1i r ri r1 1i i 1) Endogeneidad: E(ε i X< 1i,, X ri )= 0 2) (X 1i,, X ri, Y 1i,, Y ki ) es una muestra aleatoria iid de la población 3) Grandes atípicos poco probables (momentos de orden cuatro finitos y mayores que cero) 4) Se cumplen las condiciones de validez de los instrumentos

16 Distribución muestral del estimador VI En estas condiciones el estimador VI (MC2E) es consistente y se distribuye de forma asintóticamente normal Los contrastes de hipótesis (individuales y conjuntas) y la construcción de intervalos de confianza, se llevan a cabo del mismo modo La fórmula para calcular las varianzas de los estimadores es más complicada, V MC2E = Q XZ Q ZZ 1 Q ZX 1 QXZ Q ZZ 1 ΩQ ZZ 1 Q ZX Q XZ Q ZZ 1 Q ZX Con Q XZ = X Z n y Q ZZ = Z Z n

17 La regresion VI y la endogeneidad El método VI se puede usar siempre que algún X i no sea exógeno, cualquiera que sea la causa El particular, si hay simultaneidad En este contexto, si solo disponemos de datos de P t y Q t, tendríamos, Q i Y X X Y 0i 0 1 1i... r ri r1 1ˆ i i P i No se mantiene la exogeneidad Si estimamos una curva, puede ser tanto a la oferta como a la demanda La solución está en disponer de un instrumento La lluvia influye en la ecuación de oferta, pero no en la de demanda Fijada la ecuación de oferta, puede obtenerse la de demanda

18 Contraste de endogeneidad Para saber si hay problemas de endogeneidad disponemos del test de Hausman. Por ejemplo, con un solo regresor endógeno, Y X... X Y 0i 0 1 1i k ki k1 1i i Procedemos de la siguiente forma: Estimamos la forma reducida de Y 1 y salvamos los residuos, û Introducimos û en la ecuación estructural, Y X X Y u ˆ 0i 0 1 1i... k ki k 1 1i i Si el coeficiente es significativo, Y 1 es un regresor endógeno Los en la segunda ecuación son los estimadores MC2E

19 La regresion VI y la endogeneidad En ambos casos, estimada la forma reducida, la ecuación estructural se obtiene de estimar por MCO, Y X X Y 0i 0 1 1i... r ri r1 1ˆ i i

20 Relevancia, [cov(z i, X i ) 0] Validez de los instrumentos cov(z i, X i ) ha de ser elevada. En otro caso instrumento débil Puede contrastarse a partir de la forma reducida Exogeneidad, [cov(z i, i ) = 0] No es contrastable con un solo instrumento ( i desconocido) Con más de un instrumento, el contraste de sobreidentificación de restricciones sirve para ver si alguno de ellos no está incorrelado con i Ilustramos este contraste con un ejemplo

21 Test de sobreidentificación de restricciones Sea la ecuación Y1 i 0 1Y 2i 1X1 i 2X 2i i y supongamos que disponemos de dos intrumentos Z 1i y Z 2i para Y 2i. Podemos estimar Y 1i usando Z 1 y obtener A continuación podemos contrastar si Z 2 y están correlados Estimando Y 1i con Z 2, podemos contrastar también corr(z 1, ) El nº de restricciones de sobreidentificación es el nº de instrumentos extra (1 en el ejemplo anterior). En la práctica el contraste se lleva a cabo como sigue: Estimar por MC2E Y 1i usando todas las VI y obtener Regresar en las exógenas y los instrumentos y obtener R 2 ˆi nr 2 2 (q); H 0 : todas las VI incorreladas con i mf 2 (m-k); H 0 : todas las VI incorreladas con i ˆi ˆi ˆi ˆi

22 Ejemplo No interesa analizar el efecto del salario en la oferta de trabajo y estimamos, Dependent Variable: WKS Method: Least Squares Date: 10/16/16 Time: 11:31 Sample: Included observations: 4165 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C LWAGE ED FEM UNION R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Wks, semanas trabajadas; Lwage, salario semanal en logs; Ed, educación; Fem, 1 si es mujer; Union, 1 si es afiliado a un sindicato

23 Ejemplo La ecuación anterior sugiere una influencia positiva del salario, tal como esperamos, pero de magnitud extraordinariamente pequeña, Si el salario se incrementa el 1%, solo se trabaja 0,0073 semanas más. Es muy posible que en el mercado laboral precios y cantidades, o sea, Wks y Lwage se determinen simultáneamente Por tanto en la ecuación anterior el efecto del salario está sesgado Consideremos dos conjuntos de variables instrumentales, Z 1 : Ind, dummy = 1 si el trabajador está ocupado en la industria Z 2 : Ind y SMSA, dummy =1 si el trabajador vive en una gran ciudad

24 Los resultados son los siguientes, Ejemplo Dependent Variable: WKS Method: Two-Stage Least Squares Date: 10/16/16 Time: 11:43 Sample: Included observations: 4165 Instrument specification: IND ED FEM UNION Constant added to instrument list Variable Coefficient Std. Error t-statistic C LWAGE ED FEM UNION Dependent Variable: WKS Method: Two-Stage Least Squares Date: 10/16/16 Time: 11:44 Sample: Included observations: 4165 Instrument specification: IND ED FEM UNION SMSA Constant added to instrument list Variable Coefficient Std. Error t-statistic C LWAGE ED FEM UNION Como se ve, el coeficiente de lwage se ha incrementado notablemente en ambos casos El test de sobreidentificación en la segunda ecuación arroja un valor J=1,05. Como el valor crítico al 5% en una 2 (1)=3,84, no se rechaza la sobreidentificación (valor p =0,30)

25 Ejemplo Para calcular el valor del test J usamos los residuos de la correspondiente estimación VI, para estimar posteriormente, Dependent Variable: U (errores estimados) Method: Least Squares Date: 10/16/16 Time: 12:15 Sample: Included observations: 4165 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C IND ED FEM UNION SMSA R-squared Mean dependent var -9.82E-15 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Entonces J=nR 2 = 0, =1,05