COMPUTABILIDAD Y COMPLEJIDAD Práctica 1

Transcripción

1 COMPUTABILIDAD Y COMPLEJIDAD Práctica 1 1. Introducción 2. Recordatorio de programación en Mathematica 3. Representación de gramáticas formales 4. Actividades 1. Introducción. El lenguaje de programación escogido para las prácticas es Mathematica [Wolfram,91]. En las implementaciones que se van a llevar a cabo, hay que manejar objetos abstractos como son los autómatas y las gramáticas, sobre los que se realizarán una serie de transformaciones. Tanto unos como otras pueden ser concebidos como estructuras más complejas realizadas en base a otras más sencillas. El interés de las prácticas no estriba en conseguir implementaciones eficientes, sino en utilizar un lenguaje que facilite la construcción de estos objetos abstractos y el manejo de los mismos. Teniendo en cuenta todos estos aspectos, veamos a continuación algunas de las características de Mathematica que lo hacen adecuado para su uso en dichas prácticas. Mathematica es un paquete de desarrollo para aplicaciones de tipo general en las que los aspectos de desarrollo matemático, algebraico, numérico, simbólico y gráfico juegan un papel preponderante. Mathematica está diseñado para tratar tanto cálculos matemáticos, así como aquellos cálculos numéricos tradicionalmente llevados a cabo en FORTRAN. La mayoría de funciones especiales de la física matemática y funciones matriciales, ya están construidas en Mathematica. Además, tiene una extensa capacidad gráfica para la visualización de los resultados de los cálculos. La aplicaciones de Mathematica engloban prácticamente todas las áreas de investigación y desarrollo tanto en investigaciones científicas, de ingeniería, económicas, arquitectura, etc. Dentro de estas mismas áreas se pueden utilizar tanto como herramienta de trabajo como herramienta docente para aquellas materias que conlleven un alta carga de desarrollo matemático. Mathematica como lenguaje de programación se diferencia del FORTRAN o C o PASCAL, por una parte por su habilidad en el tratamiento de expresiones matemáticas, números, expresiones simbólicas, etc., y por otra en que es un lenguaje interpretado. Como consecuencia de ser interpretado, un cálculo tarda más tiempo en ejecutarse que en un lenguaje compilado, sin embargo, el escribir un programa en Mathematica requiere una fracción del tiempo necesario para escribir el mismo programa en C, y lo que es más importante, permite concentrar los esfuerzos en los detalles conceptuales y no en los de implementación. El sistema Mathematica es interactivo, lo cual significa que no hay que compilar programas. En lugar de eso, los cálculos se hacen típicamente ejecutando una línea cada vez, y por tanto, los resultados intermedios pueden verse inmediatamente. Mathematica es potente, puede usarse para realizar grandes cálculos interactivos, evitando los típicos errores algebraicos, y los resultados se pueden comprobar al instante. El lenguaje Mathematica es conciso, cálculos complicados pueden ser escritos en pocas líneas (aunque hay que controlar las limitaciones de memoria del ordenador usado). Es también flexible, pueden establecerse conexiones con otros programas ya existentes, etc.. Mathematica está siendo desarrollado por Wolfram Research, Inc. Actualmente está disponible en prácticamente todas las plataformas de ordenadores. Los códigos se pueden transportar en ficheros

2 ASCII o en ficheros Mathematica Notebook, si se trabaja con versiones compatibles. En esta primera práctica se pretende introducir algunos conceptos elementales del lenguaje asociado a la aplicación Mathematica, así como el desarrollo de aplicaciones relacionadas con palabras y lenguajes empleando esta herramienta. 2. Recordatorio de programación en Mathematica Quizá la estructura de datos más importante en Mathematica (y, sin duda la que nosotros emplearemos más) es la lista. Se pueden emplear listas tanto para las palabras de los lenguajes con los que trabajemos, como para las transiciones de los autómatas que reconozcan dichos lenguajes. list1 = {a, b, {c, d}} asigna a la variable "list1" la lista con primer elemento "a", segundo "b" y tercero la lista {c, d}". El elemento i-ésimo de una lista se referencia como nombre[[i]]. Así, list1[[3]] es {c, d}. Operaciones con listas Notas: Las mayoría de las operaciones no actualizan las listas a menos que se asignen a una variable. Mathematica es sensible a las mayúsculas. No es lo mismo Table que table. En lo sucesivo, l1, l2... designarán listas, x, y... designarán elementos o variables, mientras que m, n... designarán enteros positivos. Las funciones definidas a continuación admiten variantes no especificadas aquí para no hacer demasiado larga esta exposición. Solo se indica alguno de los usos más frecuentes. Para conocer todas las posibilidades se puede teclear?nombre. Table[f(x), {x,n}] Range[m] Length[l1] Position[l1,x] Join [l1, l2] Union[l1, l2] Intersection[l1, l2] Significado Devuelve la lista {f(1), f(2)...f(n)} Devuelve una lista con los m primeros números naturales. Devuelve la longitud de la lista. Devuelve una lista con las posiciones de x en l1. ( cuidado!) Concatena dos listas. Devuelve una lista con los elementos que se encuentran en l1 o l2 y los ordena. Devuelve una lista con los elementos que se encuentran en l1 y l2

3 Complement[l1, l2] Sort[l1] Pueden ser de utilidad las siguientes funciones de Mathematica: Cases[lista, patrón]: Devuelve una lista con los elementos de lista que concuerdan con patrón. Son operadores que dan como resultado True o False: Lista con los elementos de l1 que no estan en l2. Devuelve l1 ordenada de menor a mayor (no actualiza l1). Reverse[l1] Devuelve el reverso de l1. RotateRight[l1] RotateLeft[l1] First[l1] Rest[l1] Drop[l1, n] Take[l1, n] Append[l1, x] Prepend[l1, x] AppendTo[l1, x], PrependTo[l1, x] Delete[l1,n] Select[l1, condición] l1 /. izq -> dcha Devuelve l1 con los elementos desplazados un lugar a la derecha (el último pasa a ser el primero). Idéntico al anterior pero desplazando hacia la izquierda Devuelve el primer elemento de la lista. Lista l1 sin el primer elemento. Devuelve la lista sin los primeros n elementos. Devuelve los primeros n elementos de la lista. Añade el elemento x al final. Añade el elemento x al comienzo. Idénticas a las anteriores pero actualizan la lista. Elimina el elemento n-ésimo de la lista. Lista con los elementos de l1 que cumplen condición. Sustituye en l1 los elementos que se llaman izq por dcha). Operación Negación! Conjunción && Disyunción Igualdad == No igualdad =!= Operador Además están los conocidos: >, <, >=, <=. MemberQ[l1,x] : Devuelve True si x pertenece a l1 y False si no. Programación Mathematica lleva incorporado un lenguaje de programación propio que permite incorporar funciones para realizar tareas específicas al mismo nivel que las funciones predefinidas.

4 Al ser un intérprete, el modo de trabajo puede ser totalmente interactivo; Así si ejecutamos la expresión For[i = 1, i < 10, i++, Print[i]] se escriben en pantalla los dígitos del 1 al 9 (se ha introducido la sentencia For cuya sintaxis es totalmente idéntica a la que tiene en C). Módulos El concepto de módulo es totalmente parecido al de procedure en Pascal. Su esquema genérico es : nombre[parámetros] : = Module [{variables locales separadas por comas}, Acciones (separadas por ;); Return[nvar] (si el módulo devuelve un valor) ] Ejemplo: Módulo que toma como entrada un número positivo n y devuelve la suma de los n primeros números enteros. suma[n_integer]:=module[{i,suma1}, suma1=0; For[i =1,i <= n,i++,suma1 = suma1 + i]; Return[suma1]; ] Para ejecutarlo se escribiría por ejemplo suma[3] (que dará como resultado 6). Estructuras condicionales y de repetición Condicional Estructuras de repetición If[condición, sent_verdad, sent_falso] Do[sentencias, {var,com,fin}] Se ejecuta repetidamente sentencias desde var = com hasta var = fin. Por defecto el incremento de la

5 variable es 1. Se puede utilizar alternativamente{var, com, fin, paso} Se evalúa comienzo y se ejecutan sentencias e incremento hasta que test falla. Se ejecuta sentencias mientras condición es cierta. 3. Representación de gramáticas formales. Representaremos una cadena mediante una lista que contendrá los símbolos de la misma. Por ejemplo, la cadena aabc se representará como la lista {a,a,b,c }, y la cadena vacía como {}. Representaremos una gramática formal G=(N,T,P,S) mediante una lista con cuatro elementos: 1. El primer elemento de la lista representará el conjunto de símbolos no terminales de la gramática, N, mediante una lista de los nombres de los símbolos. Utilizaremos las letras mayúsculas para representar los símbolos no terminales. 2. El segundo elemento de la lista representará el conjunto de símbolos terminales (alfabeto) de la gramática, T, mediante una lista de los nombres de los símbolos. Utilizaremos las letras minúsculas o los dígitos para representar los símbolos terminales. 3. El tercer elemento de la lista representará el conjunto de reglas P de la gramática mediante una lista de la siguiente manera: Sea A un símbolo de N, el conjunto de A-reglas, si existe, se representará mediante una lista con dos componentes, el primero de ellos será el propio símbolo A y el segundo será a su vez una lista que contendrá como elementos las cadenas (representadas a su vez como listas) que conforman la parte derecha de las A-reglas. Veamos el siguiente ejemplo se representará por la lista For[comienzo, test, incremento, sentencias] While[condición, sentencias] A -> Aba λ abb {A,{{A,B,a},{},{a,b,B}}} El conjunto de reglas P se presentará por la lista de todas las A-reglas. Veamos un ejemplo con el siguiente conjunto de producciones S -> ab λ Ab A -> bba S

6 se representará como la siguiente lista {{S,{{a,b},{},{A,b}}},{A,{{b,b,a},{S}}}} 4. El último elemento de la gramática, S, se representa como el propio símbolo. Veamos un ejemplo de representación completo de una gramática. Así, para la gramática G= (N,T,P,S) con N={S,A}, T={a,b} y P el conjunto de producciones mostrado anteriormente, tendríamos la siguiente lista 4. Actividades. Actividad 1 {{S,A},{a,b},{{S,{{a,b},{},{A,b}}},{A,{{b,b,a},{S}}}},S} True si la gramática contiene alguna regla vacía y False en caso contrario. Nota.- Una regla vacía es de la forma A -> λ donde A es un símbolo auxiliar. Actividad 2 True si la gramática contiene alguna regla simple o unitaria y False en caso contrario. Nota.- Una regla simple o unitaria es una regla de la forma A -> B donde A y B son símbolos no terminales. Actividad 3 True si la gramática está en Forma Normal de Chomsky (FNC) y False en caso contrario. Nota.- Una gramática está en FNC si todas sus reglas son de la forma A -> BC o A -> a, donde A,B y C son símbolos no terminales y a es un símbolo terminal. Actividad 4 True si la gramática está en Forma Normal de Greibach (FNG) y False en caso contrario. Nota.- Una gramática está en FNG si todas sus reglas son de la forma A -> a w, donde A es un símbolo no terminal, a es un símbolo terminal y w es una cadena de símbolos no terminales que puede ser la cadena vacía. Actividad 5 Se pide escribir un módulo Mathematica que, teniendo como entrada una gramática formal G, devuelva como salida una gramática formal G1 tal que L(G1)=L(G) r. Actividad 6

7 Se pide escribir un módulo Mathematica que, teniendo como entrada una par de gramáticas formales G1 y G2, devuelva como salida una gramática formal G tal que L(G)=L(G1) U L(G2). Actividad 7 Se pide escribir un módulo Mathematica que, teniendo como entrada una gramática formal G= (N,T,P,S) y un homomorfismo h:t * -> T *, devuelva como salida una gramática formal G1 tal que L (G1)=h(L(G)). Nota.- El homomorfismo se puede definir mediante una lista cuyos elementos son a su vez listas con dos componentes, la primera representa un símbolo de T y la segunda componente representa la cadena que el homomorfismo asigna a dicho símbolo. Por ejemplo, el homomorfismo h(a)=001, h(b) =λ y h(c)=0 se representa mediante la lista {{a,{0,0,1}},{b,{}},{c,{0}}}. Aplicar un homomorfismo al lenguaje representado a través de una gramática consiste en sustituir en sus producciones cada símbolo terminal por la cadena que le asigna el homomorfismo. Referencias bibliográficas [Wolfram,91]. S. Wolfram. Mathematica : A System for doing mathematica by computer. Addison Wesley, 1991.