Desarrollo metodológico del modelo actuarial de múltiples estados casado viudo y cálculo actuarial del coste por pensiones de jubilación y viudedad

Transcripción

1 UB Riskenter Working Paer Series Uniersit of Bareona Researh Grou on Risk in Insurane an Finane wwwubeu/riskenter Working aer 205/04 \\ Number of ages 2 Desarroo metooógio e moeo atuaria e múties estaos asao iuo áuo atuaria e oste or ensiones e jubiaión iuea Estefanía Aaminos Merees Auso

2 Desarroo metooógio e moeo atuaria e múties estaos asao iuo áuo atuaria e oste or ensiones e jubiaión iuea Estefanía Aaminos Merees Auso Deartment eonometria, estaístia i eonomia esanoa, Riskenter-IREA, Uniersitat e Bareona, A Diagona, 690, Bareona Resumen E objetio e este trabajo es esarroar metooógiamente un moeo atuaria e múties estaos ue ermita robabiizar a transiión entre os estaos iies asao-iuo ara iniiuos e una eterminaa ea Dihas robabiiaes se utiizarán en e áuo e aor eserao e os agos or onurrenia e ensiones ara iniiuos e 65 o más años Paabras ae: Estao ii, robabiiaes e transiión, aenas e Marko, aor atua atuaria, ensiones, estao ii Abstrat In this oument we resent the methooogia aroah for a Mutie State Atuaria Moe in the marita status ontet We obtain transition robabiities between marrie wiower statuses for an iniiua age Suh robabiities are use in the assessment of the eete aue for aments reate to onurrene of ensions for eoe age oer 64 Kewors: Marita Status, transition robabiities, Marko Chains, eete iniiua ost, ensions Tite: Methooogia Aroah of a Mutie State Atuaria Moe for the Marrie - Wiower ase for the assessment of retirement an wiowhoo ensions Introuión En este trabajo se esarroa metooógiamente un moeo atuaria e múties estaos ara e anáisis e os estaos uros transiiones entre estaos iies (asao iuo) Este moeo es una aataión e moeo e inaiez isto en Auso et a (2007) o e moeo e eenenia esarroao en Haberman Pitao (999) Partieno e a ohorte e iniiuos asaos a a ea e 65 años bajo os suuestos e ue toos eos tienen ereho a eribir a ensión ontributia e jubiaión, ue en aso e

3 faeer e ónuge asarán a ser benefiiarios e a orresoniente ensión e iuea, se obtienen os esarroos robabiístios neesarios ara auar e aor atua atuaria e oste ue un iniiuo suonrá a Sistema e a Seguria Soia en aso e ue erie en onurrenia e ensiones e jubiaión iuea 2 2 Desarroo La eseifiaión e un moeo atuaria ue onsiere as transiiones entre os estaos iies asao iuo, ara iniiuos e ea igua o suerior a os 65 años, tenrá en uenta ue a una eterminaa ea : E iniiuo está asao 2 E iniiuo está iuo 3 E iniiuo faee Aunue a obaión ensaa en Esaña en términos e estao ii ontema as situaiones e estar sotero, asao, ioriao, searao iuo, en nuestra moeizaión soo ontemamos os estaos asao iuo E objetio es esarroar metoógiamente e moeo ue nos ermita anaizar uantifiar ese un unto e ista atuaria a onurrenia e ensiones e jubiaión iuea Aunue as arejas e heho orían haber sio inuias en a moeizaión, su baja reresentatiia en os oetios atuaes e ersonas e 65 o más años nos ha eao a no inuir e momento iho estao en a moeizaión En a moeizaión estabeemos arias hiótesis e artia En rimer ugar suonemos ue e iniiuo, una ez haa eniuao, no orá oer a asarse, or o ue no es osibe e retorno a estao asao una ez se ha saio e éste (o o ue es o mismo, a robabiia e retorno ese iuo a asao es ero) En e moeo auaremos, or tanto, os tios e robabiiaes: Probabiia e ermaneer en un estao (asao o iuo) 2 Probabiia e transiión entre estaos (e asao a iuo) La notaión auí emeaa es a utiizaa ara e aso e inaiez or Haberman an Pitao (999), aataa a nuestro moeo e ambio e estao ii Como seguna hiótesis estabeemos ue un iniiuo asao uee sufrir a ontingenia e iuea en uauier momento Eo imia ue os ónuges son ineenientes eonómiamente, entenieno or ta ue ambos han artiiao en e merao abora or tanto, han ontribuio a Sistema e a Seguria Soia En aso e faeimiento, e ónuge suérstite será benefiiario e a ensión e iuea ue e orresona, siemre uano tanto ausante omo benefiiario uman on os reuisitos egamente eigios 2 E esarroo ontemará e suuesto e ue e iniiuo sobreia toa su ia e jubiao omo asao or tanto no ambie e estao, a osibiia e ue e iniiuo eniue en agún momento e su jubiaión sobreia omo ta 2

4 Tenemos or tanto os suboetios, os iniiuos asaos os iniiuos iuos, es eir, a una ea eterminaa, e oetio iniia está formao or e oetio e asaos or e oetio e iuos E oetio e asaos no ontema ninguna ausa e entraa amite os ausas e saia: a iuea a muerte Por su arte, en e oetio e iuos, as entraas sóo se rouen ese e oetio e asaos, a únia ausa e saia ese este oetio es a muerte e iniiuo De moo esuemátio, oemos resumir e moeo según se muestra en a Figura Figura Moeo asao-iuo Fuente: eaboraión roia Sieno, a robabiia e ue e iniiuo e ea ase e estar asao a estao e iuea, es a robabiia temora a un año e ue un iniiuo e ea faeza omo asao antes e egar a a ea +, anáogamente, ue un iniiuo iuo e ea faeza omo ta entre as eaes +, es a robabiia anua e 2 Priniaes funiones biométrias Para anaizar e moeo anteao, estuiaremos en rimer ugar as riniaes funiones biométrias ue o efinen La funión ohorte a a ea, se efine omo: Sieno e número e iniiuos ios a a ea, oetio formao or e número e iniiuos asaos ios a a ea,, más e número e iniiuos iuos ios a a ea, 3

5 Figura 2 Esuema e moeo asao-iuo Cambios e estao entre + Fuente: eaboraión roia Partieno, en rimer ugar, e a funión ohorte número e iniiuos asaos ios a a ea,, os iniiuos ueen asar a formar arte e tres oetios a o argo e año: : iniiuos ue faeen en e erioo, manteniénose omo asaos a morir W : iniiuos ue eniuan : iniiuos asaos ue ontinúan asaos a finaizar e erioo De este moo, efinimos a funión ohorte número e iniiuos asaos ios a a ea, omo: W Por su arte, os iniiuos asaos ue eniuan, esto es, ue se en afetaos or a ontingenia e iuea, W, ueen iiirse en os subgruos: : iniiuos asaos ue eniuan en e transurso e año, or o ue finaizan e erioo ios iuos 4

6 : iniiuos asaos ue eniuan urante e año faeen omo iuos Sieno or tanto su eresión a siguiente: W En seguno ugar, si iiimos a funión ohorte e iuos a a ea, osibes situaiones finaes:, egamos a os : iniiuos ue a omienzo e erioo estaban iuos ontinúan siénoo a fina e mismo :iniiuos iuos a iniio e erioo ue faeen urante e mismo omo iuos Diho esto, a eresión e a funión número e iniiuos iuos ios a a ea, a oemos efinir omo, En reaión a estas eresiones a esuema gráfio anteao en a figura 2, obtenemos as siguientes eresiones: ) W Es eir, e oetio e sueriientes asaos a a ea +,, es igua a oetio e sueriientes asaos a a ea, menos os faeios a o argo e erioo omo asaos, menos os iniiuos ue han eniuao urante e erioo, W Se onsiera ue W 2) A onsierar e riesgo e eniuar, hemos e ontemar os iniiuos ue estano asaos a a ea, han egao iuos a fina e erioo, esto es, a a ea +,, más os iniiuos ue estaban asaos a a ea, han eniuao urante e erioo faeio omo iuos a fina e éste, 3) E oetio e sueriientes iuos a a ea +, ue a estaban iuos a a ea,, es igua a os iniiuos iuos a a ea, oetio iniia ue han faeio urante e erioo, egao on ia a a ea +, menos os iniiuos e este, ue or tanto, no han 5

7 4) E oetio e iniiuos iuos a a ea +, es igua a os iniiuos ue a eran iuos a a ea o ontinúan sieno a a ea +,, más aueos iniiuos ue estano asaos a a ea, han eniuao urante e erioo han egao ios iuos a a ea +,, es eir, iniiuos ue han ambiao e estao urante e erioo anua 5) La funión e suerienia a a ea +, está omuesta or a suma e oetio e asaos a a ea +,, más e oetio e iuos a a misma ea, 6) E número e faeios entre a ea +,, es igua a número e asaos e ea ue han faeio entre ambas eaes,, más e número e asaos e ea ue han eniuao urante e erioo ue han faeio antes e aanzar a ea +, más e número e iuos ue han faeio entre +, 7) Finamente, a funión ohorte a a ea +,, es igua a a iferenia entre a funión ohorte a a ea,, e número e iniiuos faeios a a ea, 22 Cáuo e robabiiaes ara aa estao robabiiaes e transiión Las robabiiaes e moeo se eonen a ontinuaión En rimer ugar efiniremos a notaión ue emearemos ara un iniiuo asao e ea : : robabiia e ue un iniiuo asao e ea, sobreia omo asao a a ea + : robabiia e ue un iniiuo asao e ea, faeza omo asao entre as eaes + : robabiia e ue un iniiuo asao e ea, ase a iuo egue io a a ea + : robabiia e ue un iniiuo asao ase a iuo entre as eaes +, faeza omo ta urante e erioo : robabiia anua e suerienia e un iniiuo asao e ea : robabiia anua e faeimiento e un iniiuo asao e ea : robabiia anua e eniuar e un iniiuo asao e ea 6

8 Notar ue son robabiiaes omementarias, e forma ue a robabiia e suerienia se uee auar omo: Para un iniiuo iuo a a ea, a notaión emeaa será a siguiente: : robabiia anua e ue un iniiuo iuo e ea, egue io omo iuo a a ea + : robabiia anua e ue un iniiuo iuo e ea faeza omo iuo entre as eaes + : robabiia anua e suerienia e un iniiuo iuo e ea, ue se uee a asar urante e erioo anua En nuestro moeo, omo se ha eseifiao anteriormente, esa robabiia es nua : robabiia anua e faeimiento e un iniiuo iuo e ea, ue se uee a asar antes e faeimiento Asumimos ue esa robabiia es nua ues no ontemamos a reersión e iuo a asao en nuestro moeo : robabiia anua e ue un iniiuo iuo e ea, sobreia omo iuo a a ea + : robabiia anua e faeimiento e un iuo e ea r : robabiia anua e retorno e un iuo e ea, a asao En nuestro moeo, esta robabiia es ero ao ue no ontemamos a transiión ese e estao e iuea a estao asao De nueo, estaar ue son robabiiaes omementarias, e forma ue a robabiia e suerienia se uee auar omo: Esta oniión se emostrará más aeante A ontinuaión formaizaremos as robabiiaes esritas anteriormente Para eo anaizaremos as osibes situaiones en as ue uee enontrarse e iniiuo a a ea iniia, onsierano su ertenenia a oetio e asaos o a oetio e iuos (A) E iniiuo está asao a a ea iniia i Suerienia omo asao En rimer ugar, ontemamos a osibiia e ue e iniiuo esté asao a a ea iniia En e transurso e un erioo, éste uee enontrarse en istintas situaiones, euentes entre sí Estas situaiones son: 7

9 Puee ontinuar formano arte e oetio e asaos (o ) Puee faeer urante e erioo mantenieno su oniión e asao, Puee haber eniuao urante e erioo, W Coniión ue a ugar a os osibes esenarios: ue sobreia a omo iuo,, o ue faeza omo iuo, A ontinuaión, auaremos as robabiiaes asoiaas a aa uno e os suesos anteaos Con e fin e obtener a rimera robabiia rouesta, ara un asao a a ea + ue hemos obtenio anteriormente, W, artimos e a funión ohorte A artir e esta eresión, obtenremos a robabiia e suerienia e un asao e ea omo asao, iiieno a funión ohorte ara iniiuos asaos e ea + or a misma funión, ero ara asaos e ea, e moo ue, Dóne: W W : es a robabiia e faeimiento e un asao e ea, ue faee omo asao, a ua se aua omo e oiente entre e número e asaos ue han faeio urante e erioo, ea, W, a funión ohorte e os iniiuos asaos a a : es a robabiia e eniuar e un asao e ea, ue se obtiene omo e oiente entre e número e iniiuos ue se han isto afetaos or a ontingenia e iuea entre as eaes +, W, a funión ohorte e os iniiuos asaos a a ea, De este moo, oemos reesribir a robabiia anua e suerienia e un iniiuo asao e ea omo asao, Lo ue signifia, ue a suma e as tres robabiiaes, es eir, a suma e a robabiia anua e suerienia e un asao e ea, omo asao, e faeimiento e un asao e ea, omo asao,, más a robabiia anua, más a robabiia e ue un asao e ea, eniue entre as eaes +,, ebe e ser igua a a unia 8

10 De este moo oremos eresar a funión e suerienia e un iniiuo asao e ea + omo sigue, Es eir, e número e sueriientes asaos a a ea +,, se uee auar omo e routo e número e sueriientes asaos a a ea, suerienia e un iniiuo asao e ea omo asao,, or a robabiia anua e O omo inia e útimo miembro e a iguaa, mutiiano e número e asaos a a ea,, or a robabiia omementaria a a robabiia e ue un asao e ea sobreia omo asao a a ea +, e ea faeza omo asao, eniue, ) ( es eir, a unia menos a robabiia anua e ue un asao menos a robabiia e ue un asao e ea, ii Contingenia e iuea En o ue a a ontingenia e iuea reseta, se resentan os osibes situaiones: E iniiuo asao e ea uee eniuar ontinuar io a fina e erioo, E iniiuo asao uee eniuar faeer omo iuo antes e umir a ea +, Diho esto, a eresión e a robabiia anua e eniuar e un asao e ea, iene aa or: Done, W - - : es a robabiia anua e suerienia e un asao e ea ue eniua urante e erioo, a ua se aua omo e oiente entre e oetio e sueriientes iuos a a ea + ue estaban asaos a a ea,, e oetio e sueriientes asaos a a ea, : es a robabiia anua e faeimiento e un asao e ea ue ha eniuao antes e faeimiento Se aua omo e oiente entre e número e 9

11 iniiuos asaos a a ea, ue han eniuao urante e erioo, a fina e mismo han faeio,, e oetio e sueriientes asaos a a ea, Se emuestra or tanto ue a robabiia e eniuar e un asao e ea, es a suma e a robabiia e suerienia e un asao e ea ue eniua urante e erioo, a robabiia e faeimiento e un asao e ea, ue eniua antes e faeer,, : Legaos a este unto, oemos efinir a robabiia e suerienia e un asao e ea,, omo a robabiia e ue iho iniiuo e ea egue io a a ea +, tanto asao omo iuo Definimos esta robabiia omo a suma e as os robabiiaes obtenias anteriormente: Aemás, a robabiia e faeimiento e un asao e ea, es a robabiia e ue iho iniiuo faeza antes e umir a ea +, estano asao o iuo Diha robabiia es a suma e otras os robabiiaes también onoias: Conseuentemente, a suma e ambas robabiiaes ebe ser uno, La emostraión e a reaión obtenia es a siguiente: Resumieno, as riniaes reaiones obtenias ara un iniiuo e ea, son as siguientes: ) 2) 3) 0

12 (B) E iniiuo está iuo a a ea iniia En este aartao suonemos ue e iniiuo se enuentra iuo a a ea En e transurso e un erioo, a iniiuo se e ueen resentar os situaiones iferentes: Puee ontinuar formano arte e oetio e iuos a finaizar e erioo, esto es, a a ea +, Puee faeer urante e erioo onsierao sin egar a aanzar a ea +, Pasemos ahora a auar as robabiiaes e suerienia e un iniiuo iuo e ea Para eo, artimos e a funión ohorte e iuos a a ea +, ue a estaban iuos en, Si iiimos iha funión or a funión ohorte e oetio e iuos a a ea, obtenemos a robabiia anua e suerienia e un iniiuo iuo e ea, De moo ue hemos emostrao ue (C) Transiión entre estaos: asao en iuo en + E áuo e robabiiaes ha e inuir también as robabiiaes e transiión, ue en nuestro moeo reresentan a robabiia e ue un iniiuo ase e estar asao a estar iuo urante e erioo e tiemo onsierao En esta situaión estabeemos os hiótesis: La ontingenia e iuea sigue una istribuión uniforme en e interao [, +], (istribuión uniforme e iuea) Las ersonas ue eniuan a o argo e un erioo están sometias a a misma robabiia e faeimiento ue as ue se enontraban iuas a omienzo e mismo La rimera hiótesis ontemaa suone onsierar ue os ambios e estao e asao a iuo se rouen a mita e año, e moo ue aa uno e os iniiuos ue eniuan a a ea, W, sufre e riesgo e faeer urante a restante mita e año E esuema temora e roeso se iustra en a figura 3

13 Figura 3 Esuema temora e ambio e estao e asao a iuo Fuente: eaboraión roia A a ista e esuema temora resentao uea aro ue a funión ohorte ara os iniiuos ue estano asaos en ontinúan ios iuos en +, enrá eterminaa or a siguiente eresión: W 2 2 Es eir, e número e iniiuos ue estano asaos en ontinúan ios iuos en +, es igua a número e iniiuos ue se en afetaos or a ontingenia e iuea a a ea +/2, or a robabiia temora ½ e suerienia ara un iniiuo iuo e ea +/2 Sieno a robabiia temora e faeimiento ara e iniiuo iuo e ea +/2 a omementaria orresoniente: La seguna hiótesis ontemaa estabee ue e oetio e ersonas ue eniuan urante e erioo está sometio a a misma mortaia ue os iniiuos ue a eran iuos a omienzo e erioo Aemás, si tenemos en uenta ue a ontingenia e iuea se roue a mita e año, esto es, a a ea +/2, tenemos ue ara e resto e erioo hasta egar a +, e oetio e iuos no amitirá nueas entraas úniamente ontemará omo ausa e saia a muerte e iniiuo En base a too eo, a robabiia temora e suerienia ara e iuo será: Es eir, a robabiia temora e suerienia e un iniiuo iuo e ea +/2, es igua a oiente entre a funión ohorte e os iniiuos iuos a a ea + a funión ohorte e os iniiuos iuos a a ea +/2 Resta ahora aroimar meiante interoaión inea, e tamaño e oetio e iuos a mita e año meiante a reaión: 2

14 Por tanto, a funión ohorte e iuos a mita e año es igua a una meia aritmétia oneraa e, on esos igua a un meio, 2 2 Cauemos ahora a robabiia temora e faeimiento e un iniiuo iuo en +/2: Y iiieno numeraor enominaor or a funión ohorte e número e iniiuos iuos a a ea, tenieno en uenta a istribuión uniforme ara os faeimientos, obtenemos: La robabiia temora e suerienia e un iniiuo iuo e ea +/2 a oemos obtener omo a omementaria e a robabiia temora e faeimiento: También oemos obtener e número e iniiuos asaos e ea ue eniuan urante e transurso e erioo, faeen omo iuos antes e aanzar a ea +: W 2 2 Dao ue hemos asumio a hiótesis e istribuión uniforme, suonemos ue os iniiuos ue han eniuao a a ea, o han heho a mita e año, en aso e ue es aaeza a ontingenia e muerte, faeerán urante a mita restante e año Es or esto, or o ue mutiiamos e número e asaos ue han eniuao a a ea, or a robabiia temora e faeer e un iuo e ea +/2 3

15 3 Cáuo atuaria e oste or ensiones e jubiaión iuea Con a finaia e utiizar e moeo atuaria e múties estaos esarroao en a obtenión e oste eserao or ensiones onurrentes e jubiaión iuea, obtenremos en rimer ugar as robabiiaes e moeo meiante aenas e Marko no homogéneas en tiemo isreto Reoremos ue nuestro oetio e ersonas está formao or os subgruos, os iniiuos asaos os iniiuos iuos a una eterminaa ea Tenemos en uenta aueos iniiuos on eaes omrenias ese os 65 años en aeante, ue se enuentran eribieno a orresoniente ensión e jubiaión, roeente e as ensiones ontributias e Sistema e Seguria Soia Aemás, aueos ue estén iuos, estarán sieno benefiiarios también, e a ensión ontributia e iuea ue es haa sio reonoia or faeimiento e ónuge Pasemos a estabeer as bases ara efinir as aenas e Marko en tiemo isreto ue utiizaremos en e esarroo Sea e roeso S( );,, una aena e Marko no homogénea isreta, one es a ea orinaria e jubiaión Los estaos ue auí se onteman son tres: = asao = iuo = faeio A ontinuaión se resentan as robabiiaes e transiión en un aso (en nuestro aso, un aso se interreta omo un erioo anua) ese e estao i a estao j en e instante + - Consieraremos a robabiia anua e ue un iniiuo e ea asao sobreia omo asao a a ea + (robabiia e ue sobreia sin ambiar e estao): Pr S S Es eir, a robabiia anua e suerienia e un asao e ea omo asao, es a robabiia oniionaa e ue e iniiuo sobreia omo asao a a ea + - Probabiia temora un año e ue un iniiuo asao a a ea ase a estar iuo a a ea +, es eir, robabiia e suerienia e un asao e ea ue eniua urante e erioo (robabiia e ambio e estao asao-iuo o robabiia e transiión e asao a iuo suerienia): Pr S S Es eir, robabiia e ue habieno sobreiio a a ea omo asao, sobreia a a ea + omo iuo 4

16 - Probabiia e ue un iniiuo iuo a a ea, ontinúe omo iuo a a ea + (es eir, sobreia en e mismo estao) Pr S S Por tanto, robabiia oniionaa e ue e iniiuo sobreia omo iuo a a ea +, si ha sobreiio omo iuo a a ea - Probabiia e faeimiento e un iniiuo asao e ea Pr S S es eir, robabiia oniionaa e ue un iniiuo ue está asao en a ea faeza antes e egar a a ea + Como hemos isto anteriormente, esta robabiia reoge a osibiia e ue faeza omo asao habieno estao asao en, o a robabiia e ue faeza omo iuo habieno estao asao en, es eir,, - Probabiia e faeimiento e un iuo e ea Pr S S es eir, robabiia oniionaa e ue un iniiuo iuo en a ea faeza antes e azar a ea +, La matriz e robabiiaes anuaes e transiión e roeso se iustra en a figura 4 (matriz trianguar suerior) Figura 4 Matriz e robabiiaes anuaes e transiión Fuente: eaboraión roia Como hemos omentao anteriormente, en nuestro moeo no se onsiera a osibe reersión e estao, es eir, una ez ue e iniiuo ha ueao iuo, no oerá a estar asao Es eir, en este aso, a robabiia anua e ue un iniiuo iuo en, sobreia a a ea + omo asao, a robabiia anua e ue un iniiuo iuo en, faeza omo asao antes e aanzar a ea + son ero: 5

17 - Pr S S Euaiones e Chaman-Komogoro De manera genéria obtenremos as robabiiaes e transiión ara erioos sueriores a anua, h ( es eir ara h =, 2, 3, años) Antes e asar a emostrar as reaiones ue nos ean a a obtenión e as robabiiaes e transiión, reoremos a roiea e esinibiia ue se emuestra ara a robabiia e suerienia, ue amos a utiizar en nuestros esarroos Para uaesuiera k h (erioos no neesariamente enteros) on k < h, se emuestra a roiea e esinibiia omo:, h k hk k es eir, a robabiia e ue un iniiuo e ea esté io en +h es igua a a robabiia e ue iho iniiuo esté io en +k mutiiao or a robabiia e estano io en +k egue io a +h Diho esto, as robabiiaes temoraes e ambio e estao neesarias ara efinir nuestro roeso son: - Probabiia temora e suerienia e un iniiuo asao e ea omo asao h h h Es eir, a robabiia e ue un iniiuo asao e ea, aane a ea +h sin erer a oniión e asao, h, se aua omo e routo e a robabiia temora e ue habieno sobreiio omo asao a a ea, e iniiuo sobreia sin erer a oniión e asao a a ea +h-, h, or a robabiia anua e ue e iniiuo sobreia omo asao a a ea +h- egue io, también asao, a a ea +h, h - Probabiia temora e suerienia e un iniiuo iuo e ea omo iuo h h h Por tanto, a robabiia e ue un iniiuo ue haa sobreiio omo iuo a a ea, egue io sin ambiar e estao a a ea +h, h, se aua omo e routo e a robabiia temora e ue un iuo e ea, sobreia a a ea +h-, sin erer a oniión e iuea, h, or a robabiia anua e suerienia sin ambiar e estao e un iniiuo iuo e ea +h-, h 6

18 - Probabiia temora e transiión e asao a iuo en h años h r h h h h h hr hr hrg r g Done r,2,, h g,2,, r Probabiia ue se aua omo a suma e os routos Por un ao, a robabiia temora e ue un iniiuo asao e ea, egue io omo iuo a a ea +h-, h, or a robabiia anua e suerienia e un iniiuo iuo e ea +h- omo iuo, h Por otro, a robabiia temora e ue un iniiuo asao e ea sobreia omo asao a a ea +h-, h, or a robabiia anua e suerienia e un iniiuo asao e ea +h- omo iuo, h De forma menos ténia, oemos eir ue esta robabiia se omone e os suesos euentes, esto es, ue e iniiuo asao ambie e estao urante os h- rimeros años sobreia e año restante omo iuo, o a robabiia e ue e iniiuo sobreia omo asao urante os h- rimeros años ambie e estao sobreia omo iuo en e útimo año En e útimo miembro e a iguaa, emos ue es osibe auar esta robabiia temora omo un sumatorio, e ua tenrá tantos sumanos omo argo sea nuestro horizonte temora, h Diho sumatorio es a suma e routo e a robabiia temora e suerienia, e ue un iniiuo asao e ea, egue io asao a a ea +h-r, h r asao e ea +h+r, omo iuo,, or a robabiia anua e suerienia e un iniiuo h r, or e routorio e as robabiiaes anuaes e sueriienia e un iniiuo iuo e ea +h-r+g, hrg Esta útima robabiia será a utiizaa en e áuo e a onurrenia e ensiones, esto es, a robabiia e ue un iniiuo obre simutáneamente as ensiones e jubiaión iuea A ontinuaión, emostraremos a rimera iguaa e a reaión euesta: h h h h h r g h h h De esta forma, a robabiia e ue un iniiuo asao e ea, sobreia omo iuo a a ea +h, se auará omo a suma e as robabiiaes temoraes e suerienia, one h inia a temoraia se efine ese hasta e infinito atuaria, ω Esta 7

19 robabiia uee ser generaizaa, esagregánoa en toas as osibes reaiones según os aores ue tome h Diho esto, uano h sea igua a un año, a robabiia anua e ambio e estao será igua a, Cuano h tome e aor e os erioos, a robabiia e ue un iniiuo asao e ea, sobreia a a ea +2 en a oniión e iuo, 2 es igua a suma routos e robabiiaes, es eir, a robabiia e ue sobreia omo asao e rimer año,,, or a robabiia e ue estano asao a a ea +, sobreia omo iuo a a ea +2,, más a robabiia e ue estano asao a a ea, egue io a a ea +, habieno asao a a oniión e iuo,, or a robabiia e ue estano iuo a a ea +, sobreia un año más omo iuo, Y así suesiamente ara toos os osibes aores e h De esta forma, auaremos iha robabiia, según e iniiuo asao auiera a oniión e iuo en e rimer año e estuio, o en aguno e os erioos suesios Demostramos a ontinuaión a seguna iguaa e a reaión: h r h hr hr hrg r g h h 2 2 r 2r 2r 2rg r g 3 h 3 r r 3r 3r 3rg g h 4 4 r 4r 4r 4rg r g 5 r h 5 5r 5r 5rg r g Esta seguna reaión muestra ue es osibe auar a robabiia e ambio e estao omo e sumatorio e routo e as robabiiaes ue refejan a suerienia e iniiuo según as osibes situaiones or as ue uee asar hasta egar a sobreiir en a oniión e iuo 32 Coste eserao e ago onjunto e ensiones e jubiaión iuea Sea a a ensión meia e jubiaión en su moaia ontributia ue eribe un iniiuo e ea, sea b, a ensión meia e iuea ue es susetibe e reibir e mismo iniiuo 8

20 or a ontingenia e faeimiento e ónuge E oste tota eserao or uriensionista (C) 3 hasta e infinito atuaria se aua obtenieno e aor atua atuaria e os ostes or ensiones osagabes, esto es, eaas a fina e aa año natura, ara un iniiuo e ea, ue uee estar o no iuo E áuo e aor atua atuaria e oste en ensiones está oniionao a ue e iniiuo esté jubiao, es eir, a a suerienia e iniiuo e ea omo jubiao C j h h 0, a a b h h h h h r h h h a h a b hr hr h r g h hrg h Done, omo a hemos eiao en e aartao metooógio, es e fator e atuaizaión finaniero ( ( ) ), sieno i, e tio e interés ténio o e atuaizaión Cabe reorar ue as uantías e as ensiones meias or jubiaión or iuea, a b no son rentas onstantes, sino ue eouionarán anuamente según a reaorizaión estabeia ara as ensiones ontributias e sistema e a Seguria Soia, en a Le e Presuuestos Generaes e Estao e ejeriio orresoniente Por tanto, os agos or ensiones son rentas ariabes en rogresión geométria a razón (orentaje e reaorizaión estabeio), inmeiatas (su aoraión oinie on e momento iniia e os agos), itaiias (su uraión está igaa a a suerienia e iniiuo benefiiario e a ensión), osagabes (os términos enen a fina e erioo) 4 Conusiones En este trabajo se ha onuio e esarroo metooógio a seguir ara auar as robabiiaes e transiión entre os estaos iies asao iuo, funamentaes en a obtenión e oste eserao asoiao a onurrenia e ensiones ontributias e jubiaión iuea En e esarroo orresoniente se ontema a osibiia e ue e iniiuo asao sobreia ese a ea (ea ega e jubiaión) hasta su faeimiento omo asao, o ue or e ontrario eniue en agún momento e su jubiaión sobreia omo iuo, asano or tanto a obrar simutáneamente a ensión e jubiaión a e iuea Para eo hemos auao os tios e robabiiaes La robabiia e ue e iniiuo ermaneza en os estaos uros (artieno e estao ii asao sobreia omo asao, o artieno e estao e iuea sobreia omo iuo), as robabiiaes e transiión, es eir, ue ase e estao ii asao a estao ii iuo Estas robabiiaes (anuaes) se han obtenio meiante aenas e Marko no homogéneas en tiemo isreto, as 3 Nótese ue este áuo ontema a robabiia e ue e ensionista uea ermaneer asao urante toa su jubiaión, eribieno or tanto sóo a ensión e jubiaión a robabiia e ue estano asao uea eniuar en agún momento asano a eribir as ensiones e jubiaión iuea onjuntamente 9

21 robabiiaes temoraes as hemos obtenio e manera genéria meiante as euaiones e Chaman-Komogoro ertinentes Referenias Abarran, I, Auso, M, Guién, M an Monteere, M (2006) A mutie state moe for isabiit using esomosition of eath robabiities an ross-setiona ata Communiations in Statistis Theor an Methos, 34: 9 0, , DOI: 0080/ Artís, M, Auso M, Guién, M Monteere, M (2007) Una estimaión atuaria e oste iniiua e a eenenia en a obaión e maor ea en Esaña'' Estaístia esañoa Vo Auso, M, Corraes, H, Guién, M, Pérez-Marín, AM Rojo, JL (2007) Estaístia atuaria ia Eiiones Uniersitat e Bareona D Amio, G (20) Age-usage semi-marko moes Aie Mathematia Moeing 35: D Amio, G, Guién, M an Mana, R (2009) Fu bakwar non-homogeneous semi-marko roesses for isabiit insurane moes: A Catauna rea ata aiation Insurane Mathematis an Eonomis, 45: Ferraz Coreiro, IM (2002) A mutie state moe for the anasis of ermanent heath insurane aims b ause of isabiit Insurane: Mathematis an Eonomis, 30:67-86 Haberman, S an Pitao, E (999) Atuaria Moes for Disabiit Insurane'' Chaerman an Ha Lonon Janssen, J an Mana, R (2006) Aie Semi-Marko Proesses Sringer Janssen, J an Mana, R (2007) Semi-Marko Risk Moes for Finane, Insurane an Reiabiit Sringer Lin, X an Liu, XS (2007) Marko aging roess an hase-te aw of mortait North Amerian Atuaria Journa, :92-09 Liu, XS an Lin, X (202) A Suborinate Marko Moe for Stohasti Mortait Euroean Atuaria Journa, 202(2):05-27 Meira-Mahao, L, De Uña-Áarez, J, Caraso-Suárez, C an Anersen, PK (2009) Mutistate moes for the anasis of time-to-eent ata Statistia Methos in Meia Researh, 8(2), Meira-Mahao, L, De Uña-Áarez, J an Caraso-Suárez (2006) Nonarametri estimation of transition robabiities in a non-marko iness eath moe Lifetime Data Ana, 2:

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23 UB Riskenter Working Paer Series List of Pubishe Working Paers [WP 204/0] [WP 204/02] [WP 204/03] [WP 204/04] [WP 204/05] [WP 204/06] [WP 204/07] [WP 204/08] [WP 204/09] [WP 205/0] [WP 205/02] [WP 205/03] Boané, C, Guién, M an Pitt, D (204) Non-arametri moes for uniariate aim seerit istributions an aroah using R, UB Riskenter Working Paers Series Mari e Cristo, L an Gómez-Puig, M (204) Doarization an the reationshi between EMBI an funamentas in Latin Amerian ountries, UB Riskenter Working Paers Series Gómez-Puig, M an Sosia-Riero, S (204) Causait an ontagion in EMU soereign ebt markets, UB Riskenter Working Paers Series Gómez-Puig, M, Sosia-Riero, S an Ramos-Herrera MC An uate on EMU soereign ie srea riers in time of risis: A ane ata anasis, UB Riskenter Working Paers Series Aeman, R, Boané, C an Guién, M (204) Aounting for seerit of risk when riing insurane routs, UB Riskenter Working Paers Series Gueman, L, Guién, M an Pérez-Marín, AM (204) Otima ersonaize treatment rues for marketing interentions: A reiewof methos, a new roosa, an an insurane ase stu, UB Riskenter Working Paers Series Piuahs, X, Aeman, R an Guién, M (204) A joint ongituina an suria moe with heath are usage for insure eer, UB Riskenter Working Paers Series Aba, P an Chuiá, H (204) Euroean goernment bon market integration in turbuent times, UB Riskenter Working Paers Series Bees-Samera, J, Guién, M an Santoino, M (204) The use of feibe uantie-base measures in risk assessment, UB Riskenter Working Paers Series Boané C, Guién, M an Paia, A (205) Estimaión e riesgo meiante e ajuste e óuas, UB Riskenter Working Paers Series Donne, C, Gerrar, R, Guién, M an Niesen, JP (205) Less is more: inreasing retirement gains b using an usie termina weath onstrait, UB Riskenter Working Paers Series Chuiá, H, Guién, G an Uribe (205) Mortait an ongeit risks in the Unite Kingom: Dnami fator moes an ouafuntions, UB Riskenter Working Paer Series

24 [WP 205/04] Aaminos, E an Auso, M (205) Desarroo metooógio e moeo atuaria e múties estaos asao iuo áuo atuaria e oste or ensiones e jubiaión iuea, UB Riskenter Working Paer Series