Transferencia de Momentum

Transcripción

1 Transferencia de Momentum ª

2 Contenido 1. Observaciones de algunas operaciones entre escalares, vectores y tensores 2. Balance de momentum

3 Elemento de Control, EC Región del espacio de interés: transferencia de propiedades conservativas ΔA área diferencial del EC ΔF fuerza diferencial aplicada sobre ΔA ΔV volumen diferencial del EC V m ( t) volumen material del EC z y x

4 Esfuerzos que actúan sobre un cubo TiiTijT ik 100 ii ij ik T TjiTjjT jk 010 P ji jj jk T T T 001 ki kj kk ki kj kk

5 Resumen de algunas anotaciones de vectores y tensores [1, 2]. Las cantidades que se manejan en el estudio de la transferencia de propiedades conservativas pueden clasificarse como: Tensores de orden cero, escalares (volumen, energía, tiempo, temperatura); Tensores de primer orden, vectores (velocidad, momentum, aceleración, fuerza); Tensores de segundo orden, tensores (esfuerzo cortante o flux de momentum). Multiplicación: De escalares convencional; De vectores y tensores: a) Producto punto; b) Producto de doble punto : c) Producto cruz: x [1] Bird, Stewart and Lightfoot, Transport Phenomena. [2] W.M. Deen, Analysis of transport phenomena

6 Número de elementos que se requieren para hacer la representación matemática de una propiedad en un elemento de control n Numero de componentes 3, donde n es el orden del Tensor Orden del Tensor Tipo de Propiedad Tensor orden 0: Escalar Tensor orden 1: Vectorial Tensor orden 2: Tensorial Numero de Componentes Notación vía Índices Notación Tensorial 1 a a 3 a i a 9 a ij a No todos los arreglos de nueve componentes constituyen un tensor de segundo orden matriz tensor los componentes de un tensor de segundo orden tienen dirección, y se transforman de una manera particular, de acuerdo con sistema coordenado que se use para representar al sistema en cuestión.

7 Signo de multiplicar Ninguno Orden del resultado Σ x Σ-1. Σ-2 : Σ-4 Ejemplos: (escalar)(vector) (da)(f) 0+1=1 tensor de primer orden, vector (escalar)(tensor) (P)(δ) 0+2=2 tensor de segundo orden, tensor (vector)(vector) (v)(v) 1+1=2 tensor de segundo orden, tensor (vector) (vector) (v) (nda) 1+1-2=0 tensor de orden cero, escalar (vector) (tensor) (n) (T) 1+2-2=1 tensor de primer orden, vector (tensor)x(tensor) (τ)x(σ) 2+2-4=0 tensor de orden cero, escalar

8 Nota cerca del término: vv Dicho producto es de orden 1+1=2, es decir que es un tensor de segundo orden; consecuentemente, tiene nueve componentes: v i v i vivi viv j viv k v1v1 v1v2 v1v3 vv v jvi v jv j v jvk... o bien: v2v1 v2v2 v2v 3 v v kvi vkv j vkv k 3v1 v3v2 v3v 3 Considerando lo anterior, el término ρvv también es un tensor de segundo orden (0+1+1=2), y representa al flux de momentum por convección; m mv vv vv v V V Momentum Velocidad de Flujo Flux de momentum por convección Volumen

9 Vector de esfuerzos ( t ) y Tensor de Esfuerzos ( T ) Vector de esfuerzos t es aquel que cumple con la condición: t T n T representa el tensor de esfuerzos (estáticos y dinámicos) que actúan sobre la superficie del EC; n es el vector normal a dicha superficie. T = Esfuerzos Estáticos + Esfuerzos Dinámicos δ es el tensor unitario (Kronecker), indica cuales son los esfuerzos estáticos que resultan cuando se ejerce una presión P sobre el EC; τ es el tensor de los esfuerzos dinámicos que actúan sobre EC. T P T 12 2 En notación con índices: T 13 3 T 11 1 T11T 12T T T T 010 P T31T 32T

10 Esfuerzos estáticos (v = 0) y z v x En coordenadas cartesianas P 001 Esfuerzos dinámicos (v 0); se deforma el EC ii ij ik ji jj ki kj jk kk TiiTijT ik 100 ii ij ik T TjiTjjT jk 010 P ji jj jk T T T 001 ki kj kk ki kj kk

11 Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum Fundamento 1ª Ley de Euler 2ª Ley de Newton, modificada para el caso de fluidos en movimiento: La rapidez de cambio del momentum (cantidad de movimiento) que tiene un cuerpo se debe a la fuerzas que actúan sobre él. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo determinan su cantidad de movimiento Características de la deducción del Balance de Momentum: 1. Suposición del continuo; por lo tanto, las propiedades del sistema (ρ, T, µ ) y las fuerzas que interaccionan con él (τ, P ) son continuas. 2. Momentum es una propiedad conservativa; 3. El elemento de control esta fijo (necesario especificarlo, pero esto no cambia la forma del Balance de Momentum).

12 1a. Ley de Euler; 2a. Ley de Newton Fundamento La rapidez de cambio del momentum (cantidad de movimiento) que tiene un cuerpo se debe a la fuerzas que actúan sobre él. Rapidez de cambio del Suma de fuerzas que momentum del EC actúan sobre el EC ma f dv d d ma m mv p dt dt dt d ma p f dt

13 Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum Elemento diferencial de masa: Balance momentum: Acumulación de Flujo Neto de momentum Fuerzas que actúan momentum en el EC por convección en el EC sobre el EC Acumulación dm dv Cantidad diferencial de momentum: vdm vdv Cantidad de momentum en todo el volumen de contro, VC: Acumulación de momentum en el volumen de control VC: V C vdv d dt V C vdv

14 Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum Acumulación Acumulación de la Cantidad de momentum en el volumen de control VC: d dt Por el Teorema de transporte, la Acumulación de momentum en VC esta definida como: d vdv v dv n wvdv dt t VC VC AC Como se consideró que V C está fijo w=0, V C vdv Por lo tanto, la Acumulación de momentum en el volumen de control es: Acumulación de d vdv vdv momentum en el EC dt t VC VC

15 Flujo neto de momentum por convección Momentum: Flujo másico a través de un elemento diferencial de área da: v nda Por lo tanto, el Flujo de momentum a través de dicha área diferencial es: ( v nda)v vv nda El flujo de momentum a través del área total de Entrada A E : A E El flujo de momentum a través del área total de Salida A S : A S Entonces, el flujo neto de momentum a través del área total, AC de EC es: p mv vv ( n )da vv ( n )da vv ( n )da vv ( n )da vv nda A A A E S C

16 Obtención de la Ecuación de Movimiento o Balance de Momentum Flujo neto de Momentum Flujo Neto de momentum vv nda por convección en el EC 1. vv representa el tipo de producto simple de dos vectores (vector = tensor de primer orden), y da lugar a un tensor de segundo orden 2. vv n es el producto punto de un tensor (vv) y un vector (n), y da lugar a un vector. A C

17 Fuerzas que actúan sobre el EC Fuerzas de Campo: i) Gravitacionales: g; ii) Magnéticas: B Fuerzas de Superficie: i) Estáticas (normales): P ii) Dinámicas (cortantes y normales): τ Fuerza Gravitacional: Asumiendo que la aceleración de la gravedad g representa a las fuerzas de campo que afectan al EC, la fuerza de gravedad que afecta a un elemento diferencial de masa del EC se expresa como: (dm)g pero como: dm dv Por lo tanto, la fuerza que afecta a todo el EC es: Fuerza de gravedad (Campo) que afecta al EC V C gdv

18 Fuerzas Superficiales Para representar a las fuerzas que actúan sobre la superficie del EC se utilizará el vector de esfuerzos t : Por definición, el esfuerzo resulta de aplicar una fuerza sobre un área: Esfuerzo fuerza área Por lo tanto, las fuerzas superficiales que actúan sobre un elemento diferencial de área del EC se pueden expresar en términos del vector de esfuerzos: tda Por lo tanto, las fuerzas superficiales que actúan sobre toda el área del EC son: Fuerzas de superficie que afectan al EC A C tda

19 Como: Fuerzas de superficie que afectan al EC A C tda Además, el vector de esfuerzos t está definido como: t T n Donde T representa el tensor de los esfuerzos estáticos (δp) y dinámicos (τ) que actúan sobre la superficie del EC, y n es el vector normal a dicha superficie. T P Por lo tanto, las fuerzas superficiales que actúan sobre todo el EC son: Fuerzas de superficie T nda P nda nda que afectan al EC A A A C C C

20 El balance momentum fue expresado como: Acumulación de Flujo Neto de momentum Fuerzas que actúan momentum en el EC por convección en el EC sobre el EC De acuerdo con las ecuaciones antes obtenidas, se tiene: Acumulación de momentum en el EC t V C v dv Flujo Neto de vv nda momentum en el EC Fuerza de gravedad (Campo) que afecta al EC A C V C gdv Fuerzas de superficie P nda nda que afectan al EC A C A C

21 Por lo tanto, el Balance de momentum queda: v dv vv nda gdv P nda nda t V A V A A C C C C C Aplicando el Teorema de Divergencia: A C A vv nda vvdv C P nda PdV A C Por lo tanto: v dv vvdv gdv PdV dv t V V C nda dv V V V V V C C C C C v vv g P dv 0 t V C V C C

22 V C Balance de Momentum v vv g P dv 0 t v vv g P 0 t Acumulación Flujo por Convección Fuerzas de Campo (Gravitación) Fuerzas Estáticas (Presión) Fuerzas Dinámicas (Deformación) Donde quedó el transporte de momentum por difusión molecular?

23 Bibliografía R. B. Bird, W. E. Stewart, and E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, John Wiley & Sons, Inc., S. Whitaker, Introduction to Fluid Mechanics, Prentice Hall, Inc R. S. Brodkey and H. C. Hershey, Transport Phenomena. A Unified Approach, McGraw Hill, Inc W. J. Thompson, Introduction to Transport Phenomena, Prentice Hall, Inc J. L. Plawsky, Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc W. M. Deen, Analysis of Transport Phenomena, Oxford University Press, Inc., J. C. Slattery, Momentum, Energy, and mass transfer in continua, McGraw Hill, Inc

24 Transferencia de Momentum Fin de ª