Transferencia de Momentum ª

Transcripción

1 Transferencia de Momentum ª

2 Contenido 1. Estrategia para resolver los problemas; 2. Ejemplos

3 Estrategia para resolver los problemas 1. Leer cuidadosamente la información proporcionada. 2. Enlistar las cuestiones que se deben resolver (preguntas). 3. Traar un esquema. 4. Seleccionar un sistema coordenado. 5. Construir el modelo, especificando sus restricciones. 6. Seleccionar las ecuaciones y simplificarlas. 7. Establecer las condiciones límite (de frontera y/o inicial). 8. Resolver el modelo (analítica o numéricamente). 9. Comprobar que la solución cumple con las condiciones límite. 1.Analiar los resultados, utiliando gráficas y/o tablas de resultados 11.Hacer algunas recomendaciones.

4 Condición de incompresibilidad Esta condición es muy útil para simplificar el modelado de varios sistemas. Por ejemplo, para modelar un sistema que tiene densidad constante, la ecuación de continuidad permite determinar la condición que debe cumplir el fluido para considerarlo imcompresible: ecuacion de continuidad: v t Densidad constante implica los siguientes dos hechos: 1.- t además, como: v v v... (a.3.4) de BSL 2.- constante v v v pero: v v v es la condicion de incompresibilidad 4

5 Condición de estado estacionario Aplicando la ecuación de continuidad para modelar un sistema que opera en condiciones de estado estacionario se tiene: ecuacion de continuidad: v t La condición de estado estacionario implica los siguiente: t t 2.- De (a.3.4) BSL: v v v que la condición de estado estacionario e s: v v 5

6 Ecuación de continuidad de un fluido incompresible que fluye axialmente en un tubo cilíndico. * Esquema * Modelo (restricciones): 1. Coordenadas cilíndricas; 2. Fluido incompresible; 3. Flujo axial; 4. Sistema isotérmico Ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas: 1 1 rvr v v t r r r 1.- Fluido incompresible implica: v S 2.- Flujo axial implica: vr ; v ; v v v Por 1 y 2: v v v 6

7 Cabea hidrostática. Obtener el modelo matemático que describe la presión que soporta una bua en función de la profundidad a la que se encuentra, asumiendo que la medición se hace cuando ella esta completamente quieta. 1.- Esquema 2.- Modelo, restricciones: 2.1- Bua esta quieta: v = ; 2.2- Sistema isotérmico Densidad constante; Sistema coordenado: cartesiano Variaciones en la dirección únicamente Ecuación de continuidad en coordenadas cartesianas: vx vy v t x y y y y 2.3 la ecuación de continuidad no aporta informaci ón 7

8 BSL Tabla Ecuación de Movimiento en Coordenadas Rectangulares En términos de gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. Densidad ρ y viscosidad μ constantes (D) Componente-x v v v v p v v v t x y x x y x x x x x x x vx vy v g x (E) Componente-y v v v v v v v t x y y x y y y y y p y y y vx vy v g y (F) Componente- v v v v p v v v t x y x y vx vy v g

9 Esquema 2.- Modelo, restricciones: 2.1- Bua esta quieta: v = y estado estacionario 2.2- Sistema isotérmico densidad constante; Sistema coordenado: cartesiano Variaciones en la dirección únicamente Fluido Newtoniano Balance de momentum en coordenadas cartesianas: BSL Tabla Ecuación de Movimiento en Coordenadas Rectangulares En términos de gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. Densidad ρ y viscosidad μ constantes (D) Componente-x vx vx vx vx p vx vx v x v v v g t x y x x y x y x p g x x 9

10 Esquema 2.- Modelo, restricciones: 2.1- Bua esta quieta: v = y estado estacionario 2.2- Sistema isotérmico densidad constante; Sistema coordenado: cartesiano Variaciones en la dirección únicamente Fluido Newtoniano Balance de momentum en coordenadas cartesianas: BSL Tabla Ecuación de Movimiento en Coordenadas Rectangulares En términos de gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. Densidad ρ y viscosidad μ constantes (E) Componente-y vy vy vy vy p vy vy v y v v v g t x y y x y x y y p g y y 1

11 Esquema 2.- Modelo, restricciones: 2.1- Bua esta quieta: v = y estado estacionario 2.2- Sistema isotérmico densidad constante; Sistema coordenado: cartesiano Variaciones en la dirección únicamente Fluido Newtoniano Balance de momentum en coordenadas cartesianas: BSL Tabla Ecuación de Movimiento en Coordenadas Rectangulares En términos de gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. Densidad ρ y viscosidad μ constantes (F) Componente v v v v p v v v v v v g t x y x y x y p g 11

12 Esquema 2.- Modelo, restricciones: 2.1- Bua esta quieta: v = ; 2.2- Sistema isotérmico Densidad constante; Sistema coordenado: cartesiano Variaciones en la dirección únicamente; La aceleración de la gravedad se ejerce solamente en : g g BSL Tabla Ecuación de Movimiento en Coordenadas Rectangulares En términos de gradientes de velocidad. Fluido Newtoniano. Densidad ρ y viscosidad μ constantes las tres componentes p gx x p gy y p g como: gx p x p p x como: g y p y p p y dp como: d g g g p 12 p

13 Esquema dp como: d condición limite: g p p p atm patm p dp g d patm p g g Por lo tanto, el modelo matemático que describe la presión que soporta la Bua en función de su posición (profundidad) es el siguiente: p p g gcabea hidrostatica atm Este modelo satisface (cumple) con las siguientes restricciones: 2.1- Bua esta quieta: v = ; 2.2- Sistema isotérmico Densidad constante; Sistema coordenado: cartesiano; Variaciones en la dirección únicamente; La aceleración de la gravedad se ejerce solamente en. 13

14 Manómetro Obtener el modelo de la presión manométrica de tanque que se muestra en la figura, considerando la información del manómetro de pierna: y x 14

15 Esquema P T P R P P S 2.- Modelo, restricciones: 2.1 El fluido esta quieto 2-2 densidad, viscosidad constantes; 2.3 variaciones solo ; 2.4 Estado estacionario; v vv g P t y x dp Por 2.3: g p p... g g g d Limites del fluido del manometro: p h ; p h 3 S 1 Limites del fluido del tanque: p h ; p h T 2 R 1 Definición de presió n manométrica: PG PT P 15

16 Esquema P P T P R P S y fluido del manometro: x fluido del tanque: P P g h h P P P P 3 S 1 h dp g d P P g h h T 2 R 1 S fm 3 1 fm S fm 3 1 h h dp g d P P g h h fm T R ft 2 1 h P P g h h R T ft 2 1 como: PS PR P fmg h3 h1 PT ft g h2 h1 16

17 c : como: PS PR P fmg h3 h1 PT ft g h2 h1 P P g h h g h h T fm 3 1 ft 2 1 por definición: PG PT P P g h h g h h G fm 3 1 ft 2 1 uando fm ft fmg h3 h1 ft g h2 h1 fmg h3 h1 Por lo tanto, el modelo que describe la presión manométrica del tanque equipado con un manómetro de pierna es el siguiente: P g h h G fm

18 Fueras que actúa sobre una superficie plana sumergida en un líquido [1] Obtener las expresiones de: i) La fuera neta F neta que ejerce un fluido sobre la compuerta de la figura ii) El torque ζ que ejerce el fluido sobre la bisagra de la compuerta [1] S. Whitaker, Introduction to fluid mechanics, Prentice Hall,

19 Fueras que actúa sobre una superficie plana sumergida en un líquido [1] Esquema (del elemento de control) lo proporciona el enunciado Preguntas, las proporciona el enunciado obtener las expresiones de: 1. La fuera neta F neta que ejerce un fluido sobre la compuerta de la figura 2. El torque ζ que ejerce el fluido sobre la bisagra de la compuerta se harán precisiones respecto de cada uno de dichos aspectos: 19

20 Modelo (restricciones) con lo que proporciona el enunciado y más 1. Coordenadas cartesianas efectos en la dirección-; 2. Sistema estático; 3. Isotérmico; 4. Densidad constante; 5. Viscosidad constante; 6. Estado estacionario; 7. Fueras de gravedad en la dirección-; Respuestas obtener la expresión de 1.La fuera neta F neta que ejerce un fluido sobre la compuerta de la figura Esta fuera puede expresarse en términos del tensor de esfueros T aplicado sobre la superficie de la compuerta A: como: T F T nda A P F P nda A 2

21 Por la restricción 2 el sistema es estático v como: P n np F P nda A F npda La fuera neta F neta que se ejerce sobre la compuerta es la suma algebraica de la fuera que ejerce el líquido y la fuera de los alrededores. La del líquido corresponde a la presión P, en tanto que la fuera que ejercen los alrededores esta representada por la presión P. Dichas fueras actúan en sentidos opuestos, como lo indica la figura mediante los vectores n y n, respectivamente. F npda np da n P P da neta A A A A Suponiendo que el ancho de la compuerta es b da bd lsen F n P P bd neta 21

22 Como: lsen F n P P bd neta La presión P es función de la posición; mientras que P es constante. Para obtener la función P, se consideran las restricciones del modelo: Modelo (restricciones) 1. Coordenadas cartesianas; 2. Sistema estático; 3. Isotérmico; 4. Densidad constante; 5. Viscosidad constante; 6. Estado estacionario; 7. Efectos en la dirección-; Como: v t como en el caso de la Bua: 2 v v g P v p p g L... comprobarlo 22

23 lsen Como: F n P P bd... p p g L neta lsen F neta ng L bd Para expresar a F neta en términos de una sola variable:, se toma en cuenta la relación que hay entre η y : 1 sen d d sen sen l neta 1 F n g L b d sen l gb F neta n L d sen 2 gb l gbl l F neta n Ll n L sen 2 sen 2 23

24 Para obtener la expresión de cada uno de los componentes de F neta se considera la siguiente relaciones entre los vectores unitarios n, k e i: k Como: n inx jny kn n De acuerdo con la figura: i y nx i n cos sen 2 n j n n k n cos como: g bl l sen 2 F neta n L gbl l F neta inx kn L sen 2 gbl l F neta isen k cos L sen 2 l x,neta... cos F g bl L F l y,neta gbl L 2 sen 2 24

25 Para obtener la expresión de torque se considera la siguiente definición: d r d F neta Donde r es el vector de posición de momento (brao de palanca): l gb como: F neta n L d sen sen n r l gb r n L d Además, de acuerdo con la siguiente figura, el vector r se puede poner en términos del vector unitario λ: como: r r n n j l gb j L d sen gb j L d sen sen sen 2 j gbl L l sen l 25

26 Transferencia de Momentum Fin de ª