Transferencia de Masa ª

Transcripción

1 Transferencia de Masa ª.

2 Sistemas Líquido/Gas: Ejercicio 1; Examen Departamental; Experimento de Stefan Flux difusivo Flux difusivo-convectivo; D AB función de la composición; D AM sistema multicomponente x x a y 0 x x 0 y a

3 Sistemas líquido/gas Experimento de Stefan Considere un tubo de ensaye que contiene dos materiales: aire (a) y agua (); en el fondo del tubo se tiene un líquido compuesto de saturada con a; en la parte superior del tubo se tiene la fase gas, la cual también tiene y a ( está humidificada con a). Las cantidades relativas de y de a en las fases gaseosa y líquida depende de las condiciones del sistema (temperatura y presión). Suponiendo que en la parte superior del tubo se tiene un ventilador, que permite mantener la concentración de constante y conocida (x δ ); y que el sistema esta a una temperatura tal que la presión de vapor de es mayor que la presión parcial en la fase gas (es decir, tiene potencial suficiente para pasar del líquido al gas); y que la presión total dentro del tubo es igual a la presión externa (lo cual implica que no hay transporte de masa producido por un gradiente de presión), se pide obtener las expresiones (modelos matemáticos) de: i) Composición (fracción molar) del en la fase gas: x ; ii) Flux y flujo molar en la superficie del líquido y a la salida del tubo.

4 Esquema x x a y 0 x x 0 y a Características del experimento: Hay gradientes (claros) de y a respecto a la coordenada ; Los gradientes de y a son opuestos; En la fase líquida, está saturada de a; además, a no puede salir a través del fondo de la probeta; El flux de es hacia arriba, y puede ser por difusión y por convección.

5 Plasky, Figuras 2.12b. Sistema coordenado: cilíndrico CA 1 1 A r t r r r A Ar R A

6 Primer Modelo (restricciones) ya lo hemos resuelto 1) Estado estacionario: d 0 dt 2) Temperatura y presión constantes 3) Flux de ocurre en la dirección : 0 4) o hay reacción: R 0 5) El transporte de es por difusión solamente Para obtener el perfil de la composición de la fase gaseosa en términos de la fracción molar de x () se hace un balance de, tomando en consideración las restricciones del modelo. Balance molar de en términos del flux: Tabla BSL... Coordenadas cilíndricas C 1 1 r r t r r r d 0 constante R =δ, x =x δ a, =0, x =x 0,a

7 Como: constante Esta forma del balance tiene una utilidad limitada; no hay medidores de flux, se debe expresar el flux en términos medibles. Como se transporta solamente por difusión y en la dirección, aplicando la ley de Fick a tales condiciones, el flux de es: dc Da C... Da Para obtener el modelo en términos de la fracción molar de, es decir x (), se considera que la concentración molar C y la fracción molar x del componente y la concentración molar total C están relacionadas de la siguiente manera: C =Cx. Asumiendo C se mantiene constante, se tiene: dx con la condiciones límite: x 0... x o DaC

8 Como: dx DaC El perfil de x () se obtiene resolviendo esta ecuación: 0 DaC DaC x0 x x0 x x dx D C D C D C dx x x x0 0 DaC DaC x0 x x0 x a a D C x x a 0 a 0 como: x con: x 0... x o x a x 0 x x0 x0 x C C0 y x0 C C C0 C0 C C D C dx

9 Segundo Modelo (restricciones) nuevo 1) Estado estacionario: d 0 dt 2) Temperatura y presión constantes 3) Flux de ocurre en la dirección : 0 4) o hay reacción: R 0 5) El transporte de es po r difusión y convección Para obtener el perfil de la composición de la fase gaseosa en términos de la fracción molar de x () se hace un balance de, tomando en consideración las restricciones del modelo. Balance molar de en términos del flux: Tabla BSL... Coordenadas cilíndricas C 1 1 r r t r r r d 0 constante... (1) R =δ, x =x δ a, =0, x =x 0,a

10 constante Como se transporta por difusión y convección, aplicando la definición general de flux se tiene: difusión convección Da C vc El transporte ocurre solamente en la dirección, por lo tanto: dc Da vc Como: C =Cx.; y se ha considerado que C se mantiene constante: como: vc dx DaC vc x L moles total =flux molar total t L 3 a dx D C x a a Esta ecuación tiene como variables a, x y a

11 como: D C dx x a a Esta ecuación tiene como variables a, x y a ; es necesario poner a una en función de otra y/o hacer suposiciones que permitan simplificar el modelo, algunas las suposiciones comúnmente usadas son las siguientes: 1) Solución diluida: ( + a ) x =0 2) Contradifusión equimolar (equimolar counterdifusion) : = a 3) Transporte de en un medio estático: a =0 ; 4) El flux neto de a es cero: a =0 5) Otras =f ( a ) atendiendo a la estequiometría, electroneutralidad Ejemplo: el sistema que cumple con la restricción 4, es decir, el flux neto de a es cero (luego se comentará esto): entonces, a =0, y el modelo que describe el flux de en términos medibles queda: como: DaC dx a x dx DaC dx DaC x 1 x... (2)

12 DaC dx Flux de en términos de x :... (2) 1 x Por otro lado, cuando se analió el balance de (expresado en términos del flux (considerando las restricciones del sistema, tales como que éste está en estado estacionario y no hay reacción química) se concluyó que en tales condiciones el flux total de es constante: d 0 constante... (1) Combinando las expresiones que describen el balance de en términos del flux (1) y la de flux de (2), se tiene: D C a dx 1 x Las condiciones límite de esta ecuación diferencial son: x 0... x o

13 DaC dx Como: 1 x con: x 0... x o Resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene el perfil x (): dx 1 x D C a ln 1 - x b Para expresar las constantes ε y b en términos conocidos, se utilian las condiciones límite: b ln 1 - x o ln DaC x ln 1 - x o x ln 1 - x ln ln 1 - x 1 - x o 1 - x 1 - x ln 1 - x 1 - x o o o

14 1 - x 1 - x 1 x Como: ln ln x 1 1 xo... (3) 1 - xo 1 - xo 1 xo La ecuación (3) describe el perfil x (): 1 x Para facilitar su manejo, se definen: 1 xo ; ; v 1 xo v Por lo tanto: x 1 Para obtener el flux de - - se aplica su definición y se evalúa en la frontera de interés, aprovechando que ahora que ya se conoce el perfil x (). D ac dx 1 x dx d v v dv 1 ln dx dx 1 x 1 x 1 1 xo ln 1 xo 1 xo

15 además: D Cln 1 x o DaC dx Como: 1 x 1 xo ln o o dx 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 constante o o = δ = constante porque en el sistema se cumplen las siguientes condiciones: está en estado estacionario; no hay flux neto de a; no hay ni transformación (química) que alteren concentración de ; y el área de flujo es constante. Así mismo, el flujo de en toda la probeta es constante 2 Como: q r... r es el radio de la probeta x 1 q q0 q r DaC ln 1 - xo

16 ota Significado de la restricción: flux neto de a es cero a =0 De acuerdo con la definición de flux total (difusivo + convectivo), el flux de a es: dca a a Da vca Como: a 0 D dc a vca Este resultado indica que hay un flux convectivo de a que es igual a un flux difusivo de a, pero de sentido contrario; esto explica porque el flux total de a puede ser cero. Para explicar cómo se produce el flux neto de a, se considera la definición de flux total (difusión +convección) para y a: dc dca Dm vc ; a Da vca como: C ; Cx Ca Cxa dx dxa DmC vcx ; a DaC vcxa dx dxa a DmC vcx DaC vcxa

17 dx dxa Como: D C vcx D C vcx a m a a dx dx D C D C vc x x a a m a a como: a vc además: x xa 1 dx dxa DmC DaC Este resultado indica que el flux difusivo de da lugar a un flux difusivo de a, pero tienen sentido contrario; por lo tanto, para que se cumpla que el flux total de a sea cero se requiere que haya un flux convectivo de a en dirección contraria al flux difusivo de a, como fue establecido anteriormente: dca a 0 Da vca

18 Transporte de un soluto a través de un fluido cuando el coeficiente de difusión es función de la composición del medio 1 Sea el caso del transporte del material de interés a como se indica en la siguiente figura: a sale de la parte baja (difusor ), y se transporta a través del fluido m; en la parte superior del recipiente, es arrastrado por la corriente de aire, lo cual implica que la concentración de a en esa posición es constante: C a.= C a0 en =L. En este caso, se considera que el coeficiente de difusión es una función lineal de la fracción molar de a : D D 1 x am am0 x a 1 Plasky, J. L., Transport Phenomena Fundamentals, Marcel Dekker, Inc.,

19 Transporte de un soluto a través de un fluido cuando el coeficiente de difusión es función de la composición del medio 1 Preguntas a) Obtener el perfil de la composición de a en el seno del fluido, en términos de la fracción molar de a: x a (); b) El modelo del flux molar, ax en términos de x a y de x avg, donde: x avg x a0 2 x al Coordenadas cilíndricas Esquema 19

20 Modelo (restricciones) para el líquido: 1. Estado estacionario; 2. Transporte unidireccional, en ; 3. La concentración molar total C t es constante; 4. Contra-difusión equimolar: a = m 5. Sistema isotérmico. 6. o hay transformación. Tabla BSL... Coordenadas cilíndricas Ca 1 1 a a r ar Ra t r r r d a 0 a constante dca como: a Dam vca además: Ca xact ; Ct constante dxa a DamCt vctxa como: vct a m dxa a DamCt xa a m 20

21 a Como: a DamC dx t xa a m dxa pero: a m a DamCt D D 1 x como: am am0 x a a a d Dam0Ct 1 xxa dx 0 d 1 xxa dx 0 dxa x 2 1 xxa 1 xa xa (p) 2 Las condiciones límite, necesarias para evaluar κ 1 y κ 2 son: xa 0 ; xa L xal xa0 x 2 2 x x x x x x 1 x L 2L L L L xal xa0 donde: x xal xa0... xavg 2 x 2 2 xa0 xa0 2 1 al a0 x avg x avg 21

22 x 2 Como: xa xa (p) 2 x x al xa0 1 1 xxavg... donde: x xal xa0 ; xavg L 2 x 2 2 xa0 xa0 2 x 2 2 x x a xa0 xa xa0 1 xxavg 2 L dxa como: a Dam0Ct 1 xxa d x 2 2 d x xa xa0 xa xa0 1 xxavg 2 L dxa x dxa x dxa x 2x 1 x 1 x 1 x 2 L L a x avg x a x avg x D am0ct 1 xx avg a Dam0Ct 1 xxavg x L L 22

23 Dam0Ct 1 xx avg a x L Es una relación entre el flux, una fuera motri y una resistencia: a x L D C 1 x am0 t x avg = fuera motrí resistencia Flux por difusión Coeficiente de difusiónfuera impulsora como: A DABC A Coeficiente de difusión Flux por difusión fuera impulsora Esto demuestra porque el coeficiente de difusión puede ser función de la composición; Fuera impulsora: Concentración C j estrictamente, debería utiliarse el potencial químico μ j del componente j A DAB DAB f CA CA 23

24 Fuera impulsora: Concentración C j estrictamente, debería utiliarse el potencial químico μ j del componente j para modelar la composición del sistema. Ejemplo: Sea un recipiente hermético en donde se meclan etano e y heptano h; el sistema está a temperatura constante y suficiente para que existan dos fases: vapor V y líquida L; debido a la presión de vapor de cada componente, e tiende a concentrase en la fase G; y en el equilibrio ya no hay transporte ni de e ni de h. Sin embargo: C L V ; L V h Ch Ce Ce Estas diferencias de concentración indican que aún en el equilibrio se podría tener la transferencia de e y h, lo cual no es posible. En cambio, si se considera que la propiedad que determina la fuera impulsora es el potencial químico, no la concentración (Hines;10-13,Teoría de Onsanger) se tiene la siguiente condición de equilibrio L V L V ; e e h h Cuando se considera lo que ocurre en una sola fase, si puede definirse la fuera impulsora en términos de la concentración de las especies.

25 D im en sistemas multicomponente; fase gas. Enfoque formal, y complejo: aplicación rigurosa de la teoría molecular para gases, considerando por pares a los componentes de la mecla; la solución simultánea (numérica) del conjunto de ecuaciones; es poco práctico, incluso con el uso de sistemas de cómputo nuevos, porque cada par de ecuaciones implica las restricciones propias del subsistema en turno. El enfoque preferido consiste aplicar en el concepto de difusividad binaria efectiva, es decir considerar la difusión de la especie de interés (i) en l@s otr@s (m). : cambia a: A CDABxA xa A B i CDimxi x A Para meclas de gases ideales: R. B. Bird, W. E. Steart, E.. Lightfoot, Trasnport Phenomena, 2ª. Edición 1 CD im n j1 1 CD im x j i i j x x D n x i i j ij j1 ji n j1 25 j

26 Transferencia de Masa Fin de ª