DISEÑO Y ANÁLISIS DE DESEMPEÑO DE OBSERVADORES ADAPTATIVOS EN ESQUEMAS DE CONTROL MEDIANTE REALIMENTACIÓN COMPLETA DE ESTADOS

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1 DISEÑO Y ANÁLISIS DE DESEMPEÑO DE OBSERVADORES ADAPTATIVOS EN ESQUEMAS DE CONTROL MEDIANTE REALIMENTACIÓN COMPLETA DE ESTADOS Valencia Montaño Mónica Andrea Facultad de Ingeniería Electrónica, Escuela Politécnica del Ejército Av. El Progreso S/N, Sangolquí, Ecuador Resuen En esta investigación se plantea analizar un esquea de control adaptativo cuando se incluye un bloque de estiación de estados que tabién tendría el carácter de adaptativo. Una etapa iportante del desarrollo del proyecto será la identificación en línea de los paráetros de la planta que servirán tanto para el cálculo de la ley de control adaptativo, basada en la realientación de estados, coo para el cálculo del observador adaptativo ediante la reproducción de la dináica de la planta. El proyecto incluirá el análisis de desepeño de observadores adaptativos en esqueas de control por realientación de estados. Para el efecto se ensayará con tres variaciones fundaentales a la propuesta: Ley de control adaptativo y observador de estados constante Ley de control constante y observador adaptativo Ley de control y observador adaptativos El análisis de los esqueas de control de este proyecto está aplicado a sisteas que tienen una entrada y una salida (sisteas SISO), la única inforación que se da al observador es la salida del sistea que se desea controlar, y la entrada del sistea. El esquea a utilizar es el Controlador Adaptativo Autosintonizado STR (Self-Tunning Regulator), debido a su fácil ipleentación y a su autoajuste óptio en base al conociiento de la dináica del proceso a controlar. Para identificar los paráetros de la planta se utiliza el étodo de ínios cuadrados recursivos. Finalente, se desarrollaran rutinas coputacionales y esqueas de siulación en Matlab que peritan el análisis de resultados de los esqueas propuestos. I. INTRODUCCION El control adaptativo otorga al sistea de control una cierta capacidad para juzgar su propio funcionaiento y aplicar las edidas necesarias para corregir sus propios paráetros con el propósito de alcanzar un desepeño óptio ante condiciones eternas. El proyecto actual busca obtener las características deseadas de un sistea de referencia dado ediante el control adaptativo, iplantando un sistea de estiación de estados, en función de las entradas y salidas reales del sistea, debido a que con frecuencia se presenta el problea de que no todos los estados están disponibles para su realientación y no es posible hacer una edición de alguno de los estados. El sistea de estiación de estados llaado Observador, realizará la función de reducir la diferencia entre los estados reales y los estiados, peritiendo así, enviar inforación estiada acerca del valor que toan dichos estados, dando a conocer un aproiado del valor real con un enor argen de error, esta función se puede desarrollar teniendo un copleto conociiento del sistea, es decir, que el odelo que se tiene del sistea refleja la relación entre la entrada y salida del sistea.

2 II. Sistea de Control Adaptativo Un sistea de control adaptativo es aquel que constanteente ide las características dináicas de la planta, las copara con las características deseadas, y usa la diferencia para variar paráetros ajustables del sistea con el fin de antener el coportaiento óptio del sistea, independienteente de las variaciones eternas. A. Control Adaptativo en el Espacio de Estados A través de la identificación del sistea se deterina el odelo adecuado dado un conjunto de datos de entrada/salida, el cual es usado para optiizar el control y la estiación. Un regulador adaptativo, al igual que la realientación en un sistea de control, busca odificar su coportaiento en respuesta a cabios en la dináica del sistea, por tanto el control realientado tiene coo objetivo reaccionar a los cabios del estado o salida del proceso anteniéndolo controlado. La configuración de un control adaptativo se uestra a continuación: III. Identificación en el Espacio de Estados La identificación de Sisteas se basa en construir odelos ateáticos de sisteas dináicos a partir de datos obtenidos del propio sistea, dicho odelo se construye a partir de datos observados. El desarrollo del Control Adaptativo debe basarse en el conociiento de las características dináicas del sistea que se va a controlar. Se denoina Identificación al conjunto de estudios, algoritos y teorías que analizan este conociiento. Resuiendo las forulas del algorito de inios cuadrados: [] Donde: [ ] () () (3) (4) Vector de paráetros en el instante presente Vector de paráetros en el instante anterior Vector de regresión en el instante actual Vector de edición en la salida del sistea en el instante actual Matriz de ganancias Error de Predicción. Este algorito perite realizar la identificación de los paráetros en línea lo cual es uy iportante para el estudio de control adaptativo. Figura... Configuración genérica de un Controlador Adaptativo La figura. está forada por un bucle principal de realientación negativa en el que aparece un regulador ajustable, y otro bucle que sirve para ajustar los paráetros de dicho regulador, dentro de dicho bucle se observa el coportaiento del controlador se copara con un coportaiento deseado y según el resultado de dicha coparación se ajusta los paráetros del regulador, para esto se utiliza un ecaniso de adaptación que puede actuar directaente sobre la señal de control que recibe el proceso. El algorito de ínios cuadrados recursivos da valores a la atriz P y al vector de paráetros θ, y en cada instante k analiza los valores de entrada u(k) y salida y(k) y, para forar el vector regresor (k), y calcular P(k), (k), finalente θ(k): Generalizareos el procediiento realizado para utilizar este algorito en los siguientes pasos:[]. Inicializar los valores del vector θ y la atriz P. Medir las señales de entrada y salida 3. Forar el vector (vector de regresión) 4. Hallar la atriz de ganancias 5. Hallar el error de predicción e 6.

3 7. Calcular los paráetros estiados 8. Calcular la atriz P para el instante siguiente 9. Regresar al punto en el siguiente uestreo A. Identificación por Mínios Cuadrados Recursivos con factor de olvido: El étodo de identificación de inios cuadrados presenta un problea; que no puede detectar cabios en los paráetros a lo largo del tiepo, esto ocurre debido a que la traza de la atriz P se hace uy pequeña; esto se puede solucionar adicionando un factor de olvido λ, al algorito para ponderar ás a las uestras recientes, peritiendo así detectar los posibles cabios en los paráetros luego de un tiepo considerable de funcionaiento, aun siendo la traza de la atriz P uy pequeña. [] Dependiendo del valor del factor de olvido λ se obtiene que λ pequeño, se descartan los datos anteriores uy rápidaente, por tanto se detectan los cabios en los paráetros. λ grande o cercano a la unidad, se detectan inconvenientes para observar los cabios en los paráetros. Por lo general se elige λ entre,98 y,9, pero este valor depende de los valores de cada sistea. Forulas ateáticas utilizando el Algorito de Mínios Cuadrados con Factor de Olvido []: IV. Cálculo de la ganancia del Controlador discreto en el espacio de estados Para el diseño del controlador discreto en el espacio de estados ediante la realientación de las variables de estado, se debe encontrar la atriz de realientación, la cual debe cuplir los paráetros fijados para el diseño. Para hallar la atriz, se utiliza el étodo de diseño por ubicación de polos. Sea el sistea en espacio de estados ( ) ( ) ( ) (9) ( ) ( ) Los polos en lazo abierto están definidos por: ( ) () Se puede definir la ubicación de los polos deseados con la ecuación característica descrita continuación: ( ) ( ) Ley de Control para realientación de estados: ( ) ( ) () De las ecuaciones () y (4) se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Cuyos polos están ubicados en: ( ( )) (4) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] (5) (6) ( ) (7) ( ) (8) Igualando ecuaciones se obtiene el vector de ganancia ( ( )) ( ) (5) Los polos deseados en lazo cerrado pueden ser ubicados dentro del seiplano, donde el sistea sea controlable. Los polos del sistea se eligen para que cuplan las especificaciones del sistea de control.

4 V Observadores El error de estiación es: [3] Los observadores tienen la ventaja de ser robustos a las perturbaciones, variaciones en los paráetros y el ruido del sistea, adeás son herraientas virtuales, que periten estiar las variables de un sistea en base a las ediciones de las señales de salida y entrada del sistea a controlar. En uchos casos las variables de estado no están disponibles para ser realientadas, para lo cual, se utiliza un observador para estiar dichas variables de estado. Eisten dos tipos de Observadores de Estado: Observador de Estado de Orden Copleto: Son aquellos que Observan todas las variables de estado un sistea. Observador de Orden Reducido: Son aquellos que observan solo algunas variables de estado de un sistea. Para nuestro diseño utilizareos un Observador de Orden Copleto. A. Observador de Estado Asuiendo que el sistea es copletaente observable, teneos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) La ecuación del estiador de estados se copone del sistea ás un térino adicional de corrección, coo se describe a continuación [3]: ( ) ( ) ( ) (8) En consecuencia la dináica del error estiado, será: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) (9) Por tanto el problea de diseño del observador de estados se reduce a encontrar la ganancia del observador L, considerando que los autovalores de estén en el seiplano izquierdo, esto es, encontrar los polos por realientación de estados. Para ubicar los polos del observador teóricaente deben estar ás a la izquierda del seiplano izquierdo, que los polos del sistea de realientación de estados, para obtener un estiado adecuado de los estados. B. Diseño de sisteas de control basados en Observadores: Asuiendo que los vectores de entrada u(k) y salida y(k) pueden ser edidos y que el sistea es observable, se puede obtener un observador a partir de un odelo idéntico al de la planta, conectado en paralelo, coo se uestra a continuación: El odelo en tiepo discreto, para un periodo de uestreo T se puede epresar coo: ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] (7) Donde ( ) es el vector de estado estiado El observador reproduce la entrada y la salida del sistea y corrige la ecuación dináica con un térino que es proporcional al error entre la salida del sistea real ( ( )) y la salida estiada ( ( )). Figura 5.. Diagraa de bloques del sistea de control discreto añadiendo un observador de Estados

5 Calculo de la ganancia del Observador: Para hallar la atriz de ganancias L, el sistea debe ser copletaente observable, para lo cual los autovalores de tengan valores deseados. Sea el sistea descrito en la ecuación (6). Ecuación característica para definir los polos deseados del observador: ( ), con error de estado estacionario igual a, a pesar de la incertidubre en los paráetros de la planta, para esto se define el nuevo estado ( ) que es la integral del error entre la referencia y la salida de la planta, se tiene [4]: ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) ( ) () Los polos que definirán la dináica del error actual están en: ( ( )) () Para que los polos se ubiquen en z = ( ) () Igualando (3) y (4) teneos: ( ( )) ( ) (3) Ecuación en la fora canónica: [ ( ) ( ) ] [ ] [ ( ) ( ) ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] [ ( ) ( ) ] (5) Ley de Control ( ) ( ) ( ) (6) Los polos del observador se escogen de anera que la respuesta del observador sea ás rápida que la del sistea (para que esta resulte doinante) típicaente 4 o 5 veces ás rápida. El objetivo del sistea es que la estiación del estado converja rápidaente al valor real de dicho estado, esto se podría lograr si se coloca los polos del observador en cero. VI. Control Integral con Seguiiento a Referencia: Acción Integral con Seguiiento a Referencia Para añadir al diseño un Control Integral, se introduce una entrada de referencia a través del auento de la ganancia N, este valor es sensible a los paráetros de la planta, por lo que presenta un gran problea porque siepre habrá incertidubre en los paráetros de la planta, para solucionar este problea se integrara el error entre la entrada de referencia y la salida, cuyo valor deberá tender a cero, utilizando el estado integrado coo parte de nuestro sistea. El objetivo es que la señal de salida ( ) realice el seguiiento a una entrada de referencia de la señal Donde [4]: (8) ; Si se elige el valor de N tal que el polo integrador de lazo cerrado sea igual a se evita el efecto de la dináica integradora en el sistea de lazo cerrado, esto ayudará ya que la dináica del integrador es uy lenta porque solo está destinada a influir fuerteente en la respuesta de Estado Estacionario. Resuiendo el procediiento para diseñar un controlador Integral:. Auentar al sistea original, en lazo abierto, el orden n, para lo cual se tendrá un nuevo sistea.. Mediante realientación copleta de estados, definir la ubicación deseada de los polos del sistea, incluido el polo del integrador. 3. Calcular N tal que en el sistea de lazo cerrado el polo del integrador sea igual a cero.

6 VII. Esqueas de Control Adaptativo en el Espacio de Estados añadiendo un Observador de estados. El Controlador Adaptativo es aquel que puede odificar su coportaiento en respuesta a cabios en la dináica del sistea y a las perturbaciones a la que fue soetido dicho sistea. Figura 7.. Diagraa de bloques Control Adaptativa y Observador de Estados Constates Figura 7.. Controlador Discreto añadiendo un Observador de estados la figura 7. uestra un esquea de Controlador Discreto adicionando un observador, para que este étodo sea adaptativo se deberá añadir al sistea un bloque del algorito de identificación para que actualice las edidas en cada periodo de uestreo. B. Ley de Control Fija y Observador de Estados Adaptativos En este esquea para el caso del Controlador Fijo, la atriz de ganancia se antiene constante en todo el periodo de uestreo. En el Observador de Estados el algorito de identificación está constanteente actualizando sus valores para obtener los valores finales que da el Algorito de ínios cuadrados recursivos, y así tener un Observador en Adaptativo. El proceso de identificación en línea se lo realiza en paralelo a sistea en el espacio de estados. Este proceso de identificación, se obtiene conociendo los valores de entrada y salida del sistea, para que sean enviados al algorito de identificación, y finalente obtener los valores de los paráetros de la planta. A. Ley de Control Adaptativa y Observador de Estados Fijo En este esquea para el caso del Controlador el algorito de identificación está constanteente actualizando sus valores en cada periodo de uestreo para obtener los paráetros finales de la planta, independienteente de las perturbaciones, y así convertir al controlador en Adaptativo. En el caso del bloque de Observador de Estados fijos, la atriz de ganancia L, tiene valores fijos. Figura 7.3. Diagraa de bloques Ley de Control Fija y Observador de Estados Adaptativos

7 C. Ley de Control y Observador Adaptativos Para el esquea que uestra la figura 7.4, se observa que el bloque de algorito de identificación involucra tanto al Controlador y al Observador de estados, actualizando constanteente los valores que da el algorito de ínios cuadrados recursivos, peritiendo que sean Adaptativos. [ ] c) Igualando la ecuación característica del sistea apliado al polinoio característicos de los polos deseados. [ ( )] ( ) [ ]= ( ) d) Se utiliza el étodo de ubicación de polos para deterinar los valores de las ganancias, ubicando los polos deseados en el plano z ( ) ( )( )( ) e) Se obtiene las ganancias del controlador f) Diseño del Observador de Estados Figura 7.4. Diagraa de bloques Ley de Control y Observador Adaptativos VIII. Procediiento de Diseño Sisteas de segundo orden Para el diseño del controlador y del observador de estados, se parte de los valores que nos da el algorito de ínios cuadrados, para los sisteas de segundo orden (caso de estudio y caso de estudio ). a) El sistea original de atrices discretas en espacios de estado en la fora canónica: [ ] [ ] [ ] b) Apliando la atriz para que el sistea realice un seguiiento a referencia increentando una variable [ ] [ ] ( ) ( ( )) ( ) [ ] ( ) El diseño descrito anteriorente es aplicado para el caso en el que el Controlador y el Observador son adaptativos, para el caso en el que el Controlador y el Estiador son fijos, las atrices utilizadas son las atrices originales del sistea, y sus valores son constantes, en este caso no aplica el étodo de identificación por ínios cuadrados. El diseño anterior se aplica de anera general para sisteas de orden n para los sisteas de cuarto orden (caso de estudio 3) el algorito de ínios cuadrados da 8 valores de W.

8 IX. RESULTADOS DE SIMULACIÓN A. Descripción de los casos de estudio Caso: Figura 9.. Diagraa de fuerzas el otor El objetivo de este caso de estudio es controlar la velocidad de un otor DC y las especificaciones de diseño ipuestas son las siguientes [Ref]: J =. s g.* b =. N**s =e=t =. Ap N * R = oh. L =.5 H. La ecuación de Estado i V L i L R L J J b i dt d Caso : Figura 9.. Diagraa de fuerzas el otor El objetivo de este caso de estudio es controlar el caudal de salida de dos tanques, las especificaciones de diseño son las siguientes: [Ref] B=4 A =3.46 A =.5663 Ecuaciones de Estado: e y q A B A B A B A B Caso 3: Figura 9.3. Diagraa de fuerzas el otor El objetivo de este caso de estudio es controlar la traslación de un sistea ecánico., las especificaciones de diseño son las siguientes: [Ref] = 5 g. = 3 g. = 8 N. = N. C = 35 * s N. Ecuaciones de estado: y y y y u C A q q h h q q q A

9 B. Análisis coparativo de desepeño de los esqueas de control propuestos Control de Velocidad para un Motor de Corriente Continua eléctrica es ínia y noral; cuando la inductancia eléctrica llega a su áio por incertidubre llega al.5%. Controlador Constante Estiador Adaptativo Se debe diseñar un controlador adaptativo y estiador adaptativo que cupla las especificaciones de un overshoot áio de 5% y un tiepo de estableciiento enor o igual que 7 segundos. Figura 9.4. Esquea de siulación Control de velocidad otor DC Controlador Adaptativo - Estiador Adaptativo Figura 9.6. Respuesta del sistea de Control de velocidad otor DC. Controlador Constante Estiador adaptativo Se puede notar que se ha obtenido resultados siilares a los que se obtuvieron en los escenarios en el que el controlador es adaptativo, a ecepción del escenario en que la inductancia eléctrica es áia en la que el tiepo de estableciiento se ha reducido de 9. segundos a 6.8 segundos y el porcentaje de overshoot de.5% a.4%. Controlador Adaptativo Estiador Constante Figura 9.5. Respuesta del sistea de Control de velocidad otor DC Controlador Adaptativo Estiador adaptativo Se concluye que el porcentaje de overshoot está por debajo del porcentaje de la especificación inicial del 5% para los casos en que la inductancia Figura 9.7. Respuesta del sistea de Control de velocidad otor DC. Controlador Adaptativo- Estiador Constante

10 Control de Caudal de Salida de Líquido Se diseñará un sistea de control adaptativo para el control de caudal de salida de un líquido que cupla las especificaciones de un porcentaje overshoot áio de 5%, tiepo de creciiento de 3.6 segundos y un tiepo de estableciiento enor o igual que segundos. estableciiento está entre 5 y 6. segundos, respectivaente. Controlador Constante Estiador Adaptativo Figura 9.8. Esquea de siulación Control de Caudal de dos Tanques Controlador Adaptativo Estiador Adaptativo Figura 9.. Respuesta del sistea de Control de Caudal de salida. Controlador Constante- Estiador Adaptativo Controlador Adaptativo Estiador Constante Figura 9.9. Respuesta del sistea de Control de Caudal de salida. Controlador Adaptativo- Estiador Adaptativo El porcentaje de overshoot del sistea es aceptable cuando la constante de proporcionalidad B a la altura del líquido está entre el valor edio y el valor áio. En estos escenarios, el tiepo de Figura 9.. Respuesta del sistea de Control de Caudal de salida. Controlador Adaptativo- Estiador Constante Control de un sistea de traslación ecánico Se diseñará un sistea de control adaptativo para el control de la posición de una asa en un sistea de traslación ecánico que cupla las especificaciones de un porcentaje overshoot áio de % y un tiepo de estableciiento enor o igual que 3 segundos.

11 Controlador Constante Estiador Adaptativo Figura 9.. Esquea de siulación Control de Traslación de Sistea Mecánico Controlador Adaptativo Estiador Adaptativo Figura Respuesta del sistea de Control de Traslación de un Sistea Mecánico. El tiepo de estableciiento se acerca ucho ás a los 3 segundos, ecepto para el caso en que la tiene su valor áio, y se supera el porcentaje de overshoot de las especificaciones. Controlador Adaptativo Estiador Constante Figura 9.3. Respuesta del sistea de Control de Traslación de un Sistea Mecánico. Controlador El porcentaje de overshoot del diseño está dentro de la especificación de % para la salida y. El tiepo de estabilización está entre 34 y 36.8 segundos, aproiándose al tiepo deseado de 3 segundos. Figura Respuesta del sistea de Control de Traslación de un Sistea Mecánico.

12 Conclusiones Las respuestas de los sisteas de control, para los diferentes casos de estudio, obtenidas al cobinar un controlador adaptativo ás un observador adaptativo presentan un desepeño óptio; puesto que los paráetros de desepeño de los sisteas son próios a los valores deseados. Al realizar el diseño del controlador y observador adaptativo, las atrices de estado utilizadas se foran con los paráetros de los sisteas previaente identificados a través del Algorito de Mínios Cuadrados Recursivos. Ésta identificación últia se la realiza en línea, y perite que el algorito toe los últios valores uestreados de la entrada y salida del sistea. Recoendaciones Es uy iportante la ubicación de los polos del observador. Estos se deberán escoger de anera que la respuesta del observador sea ás rápida que la respuesta del sistea; para lo cual se sugiere colocar los polos del observador en cero, a fin de contrarrestar su efecto doinante. [3]. Colenares, Willia, Estiadores de Estado, Departaento de Procesos y Sisteas, ario/ejercicio7.pdf, Febrero 7. [4]. MR I.. Peddle, Control Systes 44, Discrete State Space Control, Presented/Control%Systes%44/Notes/Disc retestatespace.pdf, Abril 7 [Ref]. Calderón Juan, Análisis de Desepeño de Controladores Adaptativos Discretos en el Espacio de Estados, Proyecto para la obtención del título en Ingeniería Electrónica, Abril 8. OGATA, atsuhiko, Ingeniería de Control Moderno, Tercera Edición, Prentice Hall. PHILLIPS, Charles; HARBOR, Royce, Feedback Control Systes, Tercera Edición, Prentice Hall, 996 Biografía del Autor: REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS []. Moreno José, Estiación de paráetros en controladores de sisteas de ecitación utilizando un étodo de identificación, Maestría en ciencias en ingeniería eléctrica,. []. Modelado e identificación de sisteas, 5º Ingeniería Industrial, Practica 5, Identificación de Mínios Cuadrados Recursivos, - 3, Enero Mónica Andrea nació en Eseraldas, Ecuador, en 984. Ingeniera en Electrónica Autoatización y Control por la Escuela Politécnica del Ejército. Sus áreas de interés son aplicación de autoatización de procesos industriales. Dirección Correo Electrónico: oniquita_@hotail.co

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