7 Control clásico. Alfaomega. Material Web. Ejemplos prácticos con Bode 2

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1 7 Control clásico Capítulo Material Web Ejeplos prácticos con Bode

2 Control clásico Ejeplos prácticos con Bode Esta sección está destinada a presentar diversos ejeplos de prograación para obtener las gráficas de Bode. Coo sistea de estudio será considerado un sistea asa resorte aortiguador con oviiento horizontal Sistea asa resorte aortiguador Considere el sistea asa resorte aortiguador que se uestra en la figura 7.1, el odelo dináico que describe el coportaiento de todos los fenóenos físicos que se encuentran presentes en el sistea ecánico está dado por la siguiente expresión: f = ÿ + bẏ + y (7.1) donde, b, IR + corresponden a la asa, fricción viscosa del aortiguador y constante de rigidez del resorte, respectivaente; y es el desplazaiento del bloque (cuerpo rígido), ẏ es la velocidad de oviiento, la aceleración se encuentra representada por ÿ y la fuerza aplicada es f. Figura 7.1 Sistea asa resorte aortiguador horizontal. En térinos de la frecuencia, el odelo dináico puede ser representado por una función de transferencia que relaciona la respuesta y(s), fuerza aplicada f(s) con la frecuencia natural de oscilación w n y el factor de aortiguaiento ρ: G(s) = y(s) f(s) = 1 s + bs + = 1 s + b s + = 1 s + b s + w n = A s + ρw n s + wn Mectrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

3 7.1 Ejeplos prácticos con Bode 3 donde: A = 1 es la ganancia de la función de transferencia G(s), la frecuencia natural de oscilación está dada por w n = y el factor de aortiguaientoρ = b. El coeficiente de fricción viscosa incluye el fenóeno de fricción interno ás el fenóeno disipativo del aortiguador. Los polos (ceros o raíces del polinoio del denoinador) de la función de transferencia G(s) se obtienen de la siguiente fora: polos(s) = ρw n ± w n ρ 1 Dependiendo del valor nuérico del factor de aortiguaiento ρ se deducen los siguientes casos de estudio: oscilatorio (ρ = 0), sub aortiguado (ρ < 1), aortiguaiento crítico(ρ = 1) y sobre aortiguado (ρ > 1). Oscilatorio ρ = 0 El sistea tendrá una respuesta oscilatoria con un pico áxio cuando el factor de aortiguaiento ρ = 0, los dos polos de la función de transferencia serán coplejos con parte real cero polos(s) = ±w n i (coplejo conjugado). La función de transferencia G(s) adquiere la fora: G(s) = w n. La figura 7. uestra los s +wn resultados de siulación del prograa cap7 bode oscilatorio. descrita en el cuadro 7.1. Tabla 7.1 Paráetros del sistea asa resorte aortiguador horizontal Paráetro Masa Coeficiente de fricción viscosa b Constante de rigidez Ganancia de G(s) A = 1 Frecuencia natural de oscilación w n = Factor de aortiguaiento ρ = b Valor 5 g 0 N-seg/ (caso ideal) 6 N/ /N rad/seg 0 Figura 7. Respuesta oscilatoria: ρ = 0. Mecatrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

4 4 Control clásico 7.1. Código Fuente 7.1 cap7 bode oscilatorio Mecatrónica. Control y Autoatización. Capítulo 7 Control clásico. Fernando Reyes Cortés, Jaie Cid Monjaraz y Eilio Vargas Soto. Grupo Editor: Te acerca al conociiento. Archivo cap7 bode oscilatorio. 1 clc; clear all; 3 close all; 4 forat short 5 %Paráetros del sistea asa resorte aortiguador 6 %Coeficiente de fricción viscosa 7 b=0;%n-seg/. Caso ideal donde el sistea no tiene fricción 8 %Constante de rigidez 9 =6;%N/ 10 =5;%Kg, asa 11 %Frecuencia natural de oscilación w n 1 wn=sqrt(/); 13 %factor de aortiguaiento ρ 14 rho=b/(*sqrt(*)); 15 A=1/;%ganancia A = 1 de la función de transferencia G(s) %Función de transferencia G(s) = nu(s) den(s) = A w n 16 s +ρw ns+wn 17 nu=wn*wn;%nuerador nu(s)=wn 18 Versión de MATLAB 01a den=[1, *rho*wn, wn*wn];%denoinador den(s)=s + ρw n s + w n 19 %función de transferencia G(s) G=tf(A*nu,den); G(s) = A nu(s) 0 den(s) 1 % arreglo de frecuencias especificando el ínio y áxio de frecuencias w=logspace(0,,1000);%genera 1000 puntos entre 10 0 y 10 3 %gráfica de Bode 4 bode(g,w) 5 roots(den); %calcula los polos de la función de transferencia G(s) Mectrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

5 7.1 Ejeplos prácticos con Bode 5 Sub aortiguado ρ < 1 En el caso de que el factor de aortiguaiento ρ < 1, el sistea presenta un aortiguaiento débil, presentando un núero considerable de oscilaciones que se irán desvaneciendo paulatinaente con el tiepo, el estado transitorio es indeseable y puede durar un lapso de tiepo grande, inclusive en estado estacionario se pueden producir un pequeño rizo peranente. La figura 7.3 uestra la gráfica de Bode de G(s). Para obtener los resultados de siulación se utiliza el prograa cap7 bode subaortiguado. el cual contiene el código fuente MATLAB descrito en el cuadro 7.. La agnitud de G(s) tiene una caída suave de 0 decibeles por década y la fase converge a -180 grados. Tabla 7. Paráetros del sistea asa resorte aortiguador horizontal Paráetro Masa Coeficiente de fricción viscosa b Constante de rigidez Ganancia de G(s) A = 1 Frecuencia natural de oscilación w n = Factor de aortiguaiento ρ = Polos de G(s) b Valor 5 g N-seg/ 6 N/ /N rad/seg i i Figura 7.3 Respuesta sub aortiguada: ρ = Mecatrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

6 6 Control clásico 7.. Código Fuente 7. cap7 bode subaortiguado Mecatrónica. Control y Autoatización. Capítulo 7 Control clásico. Fernando Reyes Cortés, Jaie Cid Monjaraz y Eilio Vargas Soto. Grupo Editor: Te acerca al conociiento. Archivo cap7 bode subaortiguado. 1 clc; clear all; 3 close all; 4 forat short 5 %Paráetros del sistea asa resorte aortiguador 6 %Coeficiente de fricción viscosa 7 b=3.5007;%n-seg/ 8 %Constante de rigidez 9 =6;%N/ 10 =5;%Kg, asa 11 %Frecuencia natural de oscilación w n 1 wn=sqrt(/); 13 %factor de aortiguaiento ρ 14 rho=b/(*sqrt(*)); 15 A=1/;%ganancia A = 1 de la función de transferencia G(s) %Función de transferencia G(s) = nu(s) den(s) = A w n 16 s +ρw ns+wn 17 nu=wn*wn;%nuerador nu(s)=wn 18 Versión de MATLAB 01a den=[1, *rho*wn, wn*wn];%denoinador den(s)=s + ρw n s + w n 19 %función de transferencia G(s) G=tf(A*nu,den); G(s) = A nu(s) 0 den(s) 1 % arreglo de frecuencias especificando el ínio y áxio de frecuencias w=logspace(0,,1000);%genera 1000 puntos entre 10 0 y 10 3 %gráfica de Bode 4 bode(g,w) 5 roots(den); %calcula los polos de la función de transferencia G(s) Mectrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

7 7.1 Ejeplos prácticos con Bode 7 Cuando ρ << 1 el efecto de aortiguaiento es uy débil, presentando un núero considerable de oscilaciones que se irán desvaneciendo paulatinaente con el tiepo, la figura 7.4 uestra la gráfica de Bode corresponde a G(s). Los resultados de siulación se obtienen con el prograa cap7 bode subaortiguado1. (ver cuadro 7.3). Observe coo la fase de G(s) converge uy rápido a -180 grados para frecuencias uy bajas y la agnitud de G(s) tiene una caída suave de -50 decibeles por década. Tabla 7.3 Paráetros del sistea asa resorte aortiguador horizontal Paráetro Masa Coeficiente de fricción viscosa b Constante de rigidez Ganancia de G(s) A = 1 Frecuencia natural de oscilación w n = Factor de aortiguaiento ρ = Polos de G(s) b Valor 5 g N-seg/ 6 N/ /N rad/seg e i i Figura 7.4 Respuesta sub aortiguada para ρ = e 04. Mecatrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

8 8 Control clásico 7.3. Código Fuente 7.3 cap7 bode subaortiguado1 Mecatrónica. Control y Autoatización. Capítulo 7 Control clásico. Fernando Reyes Cortés, Jaie Cid Monjaraz y Eilio Vargas Soto. Grupo Editor: Te acerca al conociiento. Archivo cap7 bode subaortiguado1. 1 clc; clear all; 3 close all; 4 forat short 5 %Paráetros del sistea asa resorte aortiguador 6 %Coeficiente de fricción viscosa 7 b=0.007;%n-seg/ 8 %Constante de rigidez 9 =6;%N/ 10 =5;%Kg, asa 11 %Frecuencia natural de oscilación w n 1 wn=sqrt(/); 13 %factor de aortiguaiento ρ 14 rho=b/(*sqrt(*)); 15 A=1/;%ganancia A = 1 de la función de transferencia G(s) %Función de transferencia G(s) = nu(s) den(s) = A w n 16 s +ρw ns+wn 17 nu=wn*wn;%nuerador nu(s)=wn 18 Versión de MATLAB 01a den=[1, *rho*wn, wn*wn];%denoinador den(s)=s + ρw n s + w n 19 %función de transferencia G(s) G=tf(A*nu,den); G(s) = A nu(s) 0 den(s) 1 % arreglo de frecuencias especificando el ínio y áxio de frecuencias w=logspace(0,,1000);%genera 1000 puntos entre 10 0 y 10 3 %gráfica de Bode 4 bode(g,w) 5 roots(den); %calcula los polos de la función de transferencia G(s) Mectrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

9 7.1 Ejeplos prácticos con Bode 9 Aortiguaiento crítico ρ = 1 Si el factor de aortiguaiento ρ = 1 el coportaiento del sistea se le denoina críticaente aortiguado y su respuesta transitoria exhibirá uy pocas oscilaciones o vibraciones ecánica, en la fase estacionaria la respuesta del sistea convergerá en fora lenta. Los resultados de siulación se ilustran en la figura 7.5 y el prograa principal MATLAB se denoina cap7 bode aortiguaiento critico. (consultar cuadro 7.4). Tabla 7.4 Paráetros del sistea asa resorte aortiguador horizontal Paráetro Masa Coeficiente de fricción viscosa b Constante de rigidez Ganancia de G(s) A = 1 Frecuencia natural de oscilación w n = Factor de aortiguaiento ρ = b Valor 5 g = N-seg/ 6 N/ /N rad/seg Dos polos reales iguales de G(s) (s )( s ) 1 Figura 7.5 Respuesta con aortiguaiento crítico ρ = 1. Mecatrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

10 10 Control clásico 7.4. Código Fuente 7.4 cap7 bode aortiguaiento critico Mecatrónica. Control y Autoatización. Capítulo 7 Control clásico. Fernando Reyes Cortés, Jaie Cid Monjaraz y Eilio Vargas Soto. Grupo Editor: Te acerca al conociiento. Archivo cap7 bode aortiguaiento critico. 01a 1 clc; clear all; 3 close all; 4 forat short 5 %Paráetros del sistea asa resorte aortiguador 6 =6;%N/%Constante de rigidez 7 =5;%Kg, asa 8 %Coeficiente de fricción viscosa 9 b=*sqrt(*);%n-seg/ aortiguaiento crítico 10 %Frecuencia natural de oscilación w n 11 wn=sqrt(/); 1 %factor de aortiguaiento ρ 13 rho=b/(*sqrt(*)); 14 A=1/;%ganancia A = 1 de la función de transferencia G(s) %Función de transferencia G(s) = nu(s) den(s) = A w n 15 s +ρw ns+wn 16 nu=wn*wn;%nuerador nu(s)=wn 17 den=[1, *rho*wn, wn*wn];%denoinador den(s)=s + ρw n s + w n 18 %función de transferencia G(s) G=tf(A*nu,den); G(s) = A nu(s) 19 den(s) 0 % arreglo de frecuencias especificando el ínio y áxio de frecuencias 1 w=logspace(0,,1000);%genera 1000 puntos entre 10 0 y 10 %gráfica de Bode 3 bode(g,w) 4 roots(den); %calcula los polos de la función de transferencia G(s) Versión de MATLAB Mectrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

11 7.1 Ejeplos prácticos con Bode 11 Sobre aortiguado ρ > 1 Cuando el factor de aortiguaiento ρ > 1, los dos polos de la función de transferencia son reales, el sistea se coporta con un efecto fuerte de disipación, coo si tuviera acoplado un freno ecánico uy grande, entonces el oviiento oscilatorio no estará presente, ni las vibraciones ecánicas. La figura 7.6 uestra los resultados de siulación obtenidos ediante el prograa cap7 bode sobre aortiguaiento. coo se ilustra en el cuadro 7.5. Tabla 7.5 Paráetros del sistea asa resorte aortiguador horizontal Paráetro Masa Coeficiente de fricción viscosa b Constante de rigidez Ganancia de G(s) A = 1 Frecuencia natural de oscilación w n = Factor de aortiguaiento ρ = b Valor 5 g 8 = N-seg/ 6 N/ /N rad/seg Dos polos reales de G(s) (s )( s ) 4 Figura 7.6 Respuesta sobre aortiguada ρ = 4. Mecatrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas

12 1 Control clásico 7.5. Código Fuente 7.5 cap7 bode sobre aortiguaiento Mecatrónica. Control y Autoatización. Capítulo 7 Control clásico. Fernando Reyes Cortés, Jaie Cid Monjaraz y Eilio Vargas Soto. Grupo Editor: Te acerca al conociiento. Archivo cap7 bode sobre aortiguaiento. 01a 1 clc; clear all; 3 close all; 4 forat short 5 %Paráetros del sistea asa resorte aortiguador 6 =6;%N/%Constante de rigidez 7 =5;%Kg, asa 8 %Coeficiente de fricción viscosa 9 b=8*sqrt(*);%n-seg/ sobre aortiguaiento 10 %Frecuencia natural de oscilación w n 11 wn=sqrt(/); 1 %factor de aortiguaiento ρ 13 rho=b/(*sqrt(*)); 14 A=1/;%ganancia A = 1 de la función de transferencia G(s) %Función de transferencia G(s) = nu(s) den(s) = A w n 15 s +ρw ns+wn 16 nu=wn*wn;%nuerador nu(s)=wn 17 den=[1, *rho*wn, wn*wn];%denoinador den(s)=s + ρw n s + w n 18 %función de transferencia G(s) G=tf(A*nu,den); G(s) = A nu(s) 19 den(s) 0 % arreglo de frecuencias especificando el ínio y áxio de frecuencias 1 w=logspace(0,,1000);%genera 1000 puntos entre 10 0 y 10 %gráfica de Bode 3 bode(g,w) 4 roots(den); %calcula los polos de la función de transferencia G(s) Versión de MATLAB Mectrónica. Control y Autoatización Fernando Reyes, Jaie Cid y Eilio Vargas