1. STR Determinístico

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1 . STR Deterinístico. STR DETERMINÍSTICO.. PLANTEO DEL PROBLEMA.. PARTICULARIZACIONES DEL MÉTODO 8... Cancelación de Polos y Ceros 8... Separación del Control de Perturbaciones y Seguiiento de Referencia... Mejor Rechazo a Perturbaciones 4.3. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO Cálculo de la Ley de Control 3.4. PARAMETRIZACIÓN DE YOULA-KUCERA 4 Clase STR deterinísticos.doc

2 .. Planteo del Problea Proceso A q y B q u v [.] k k k grado de B enor que grado de A. A es ónico. Es un sistea continuo, uestreado, con bloqueador de orden cero, actuador, filtro antialiasing. Las perturbaciones son ipulsos espaciados que se pueden estudiar coo perturbaciones en el valor inicial. Se desea que la salida siga una trayectoria de diseño y tenga acción integral. Ley de control lineal R q u T q r S q y [.] k k k R es ónico. r T( z) R ( z) u B z A z y S( z) Clase STR deterinísticos.doc

3 H H ff fb tiene una realientación y un control en adelanto ( z) ( z) T z S z R z R z [.3] grado de S enor que grado de R. Para el cálculo se reeplaza el controlador en el odelo de la planta ( AR BS ) y k BTr k BRv k [.4] lc el denoinador es A A q R q B q S q A q [.5] resultando una ecuación Diofantina Siepre tiene solución si A y B no tienen raíces counes. El denoinador en lazo cerrado se puede factorear A A q A q lc c o [.6] con Clase STR deterinísticos.doc 3

4 o det ( ΦΓ ) det ( Φ ) Ac z zi L A z zi KC [.7] es la separación del control y el observador Cálculo de T B z T z B z T z Y ( z) R ( z) Rc( z) [.8] A z A z A z c lc c o los ceros se antienen excepto que se cancelen con A lc Se elige T para cancelar el observador T z t A z o o [.9] donde t o se elige para tener ganancia unitaria es decir ( z) tb z o Y z Rc z A [.] c t A ( ) () c o [.] B Clase STR deterinísticos.doc 4

5 Ejeplo.. Doble Integrador ( z ) A z [.] T B( z) ( z ) ecuación diofantina T [.3] ( z z ) R( z) ( z ) S( z) Alc ( z) se busca el control ás siple. El ás siple de todos es R( z ) y S( z) s en este caso resulta st ( ) [.4] z z z Alc z no tiene solución general para un polinoio A Con uno de prier orden R( z) z r y S( z) sz s T [.5] ( z z )( z r) ( z )( sz s) Alc ( z) que es un control proporcional. lc z de segundo orden Clase STR deterinísticos.doc 5

6 3 T T T z r s z r s s z r s Alc z es posible encontrar los coeficientes para cualquier polinoio A Se elige lc 3 A z z p z p z p [.7] s r s resulta 3 p p p p p p T 3 p p 3p T [.8] [.6] lc z de tercer orden. Se elige la raíz real coo raíz del observador Generalente resultan controladores de orden elevado. Se puede obtener un regulador con un integrador en fora explícita haciendo ( )( ) R z z r z S z s z s z s [.9] Clase STR deterinísticos.doc 6

7 Para que el regulador sea causal los grados de S y T tienen que ser enores o iguales al de R. Noralente se considera grado( R) grado( T ) grado( S ) [.] Noralente resulta grado R grado T grado S grado A n [.] y grado( Ac ) n [.] Si se quiere acción integral se auenta en uno el grado del regulador o Clase STR deterinísticos.doc 7

8 .. Particularizaciones del Método... Cancelación de Polos y Ceros Se pueden cancelar polos y ceros suficienteente alejados del uno. Sean los polinoios A AA B B B R S T [.3] donde A y B son los factores a cancelar, son ónicos y estables. el controlador resultante será B R A S A T lc [.4] el polinoio característico en lazo cerrado será A AR BS A B A R B S A B A [.5] los polinoios A y B son factores del polinoio en lazo cerrado Haciendo la factorización lc Clase STR deterinísticos.doc 8

9 A A A AA lc c o [.6] c o se toa B Ac AA o [.7] cancelando se obtiene A AR BS AA [.8] lc c o El ínio regulador causal se obtiene encontrando la única solución para el poli- grado S < grado A noio que cuple La ley de control se escribe BRu ATr ASy [.9] o sea A T S u r y B R R [.3] se cancelan los polos y ceros de la planta y se los ubica en otra parte coo si no existieran. La relación referencia-salida es Clase STR deterinísticos.doc 9

10 y BT tb B A tb [.3] r A A A A c lc c c se deben cancelar solo los odos estables. Se define una zona en donde sí se pueden cancelar ceros. Clase STR deterinísticos.doc

11 ... Separación del Control de Perturbaciones y Seguiiento de Referencia Se intentará hacer algo siilar a variables de estado Sea la respuesta deseada B y Hr r [.3] A para tener un seguiiento perfecto, B pueden cancelar esos ceros. B R S T Por lo tanto BB [.33] Introduciendo A B R A A S B A A A c [.34] La ley de control resulta A B A A S c u r y B A R R [.35] tiene que ser factor de B ya que no se Clase STR deterinísticos.doc

12 c Adeás se cuple la ecuación A A A R B S [.36] y ( ) B A A B A R B S B A B B S B A B S [.37] A R AR A AR AB AR c con lo que la ley de control se rescribe B A A S [.38] u r y y AB BR H ff tiene dos coponentes, una en adelanto con función de transferencia ( z) B z A z B z A z [.39] A z B z A z B z y una realientación proporcional al error entre la salida del odelo y la salida real, con función de transferencia H fb ( z) A B ( z) S( z) ( z) R( z) [.4] Clase STR deterinísticos.doc

13 A z B z u ff r B A ( z) ( z) y S z R z u fb u B z A z y Clase STR deterinísticos.doc 3

14 ... Mejor Rechazo a Perturbaciones Ahora hay dos perturbaciones: v a la entrada e ruido de edición (salida) Se diseña un regulador quedando coo la figura v e r T z S z u r y R z R z u B z A z x y El sistea queda Ax B u v y x e resolviendo [.4] Clase STR deterinísticos.doc 4

15 BT BR BS x r v e AR BS AR BS AR BS BT BR AR y r v e AR BS AR BS AR BS AT BS AS u r v e AR BS AR BS AR BS [.4] Si v es un escalón, B o R deben tener una raíz en. Si v es periódica, de período nt, B o R debe haber n raíces en tal que n vk n vk q vk [.43] Si v es una senoide de frecuencia ω, B o R debe tener una dináica tal que haga y cos T y y [.44] k ω k k El ruido de edición tiene, generalente, alta frecuencia La frecuencia de Nyquist es la áxia frecuencia de interés y corresponde a z. Una fora de eliinar esta frecuencia es hacer que S tenga un térino z R es para perturbaciones a la entrada S es para perturbaciones a la salida. Clase STR deterinísticos.doc 5

16 Ejeplo.. Motor con Cancelación de Ceros el otor es H z con T K e T a e T T b e H K( z b) ( z )( z a) T ( e ) T T [.46] [.45] el cero es real negativo el odelo a seguir es ( q) ( ) B q q p p A q q pq p [.47] no tiene el cero de lazo abierto. Se debe cancelar la función de transferencia en lazo abierto tiene un cero en b. Se factoriza B coo Clase STR deterinísticos.doc 6

17 B z b B K [.48] A A A [.49] por lo tanto B B p p K K [.5] r c r fc T S S R u B B A A y R S T Se hace A B R A A S B A A A c [.5] Clase STR deterinísticos.doc 7

18 r c r fc BAA c A S A S B R u B B A A y La función de transferencia en lazo cerrado resulta SB y T TB RA r SB c S RA SB RA [.5] y TB B A A A B B B B A A r RA SB ABRAA AASBB A RA SB o c c c La ley de control resulta Ru Tr Sy c B A A A A A S u r y ABR c c ABR B A A A A S c u rc y ABR BR [.54] [.53] Clase STR deterinísticos.doc 8

19 o c Adeás se cuple la ecuación A A A R B S [.55] o el observador se puede elegir coo A z [.56] Los grados der y S deben satisfacer ( ) grad R grad A grad A grad A grad S grad ( A) Se eliger de orden cero y S de orden uno. A z a z a [.58] c c c A A A R B S [.59] o c z z a r K s z s z a z a [.6] c c de donde, a ac a c a r s s [.6] K K Adeás [.57] Clase STR deterinísticos.doc 9

20 ( ) z p p T( z) A( z) B ( z) tz K p p T B A A A B A z a z a K c c c c Si la referencia es constante se puede hacer p p T t ( ac a c) [.63] K La ley de control es S BA c BAc S u rc y rc y BR AS BRA BR BRAu BAr SAy c c ( )( ) ( ) [.6] [.64] q b q p q p u p p q ac q ac rc K a a a a ( ) K K c c q p q p q y [.65] Clase STR deterinísticos.doc

21 p p ( ) ( ) ( ) K 3 q p b q p bp q bp u q ac q ac rc 3 sq sp s q sp sp q sp y u p b u p bp u bp u k k k k 3 p p ( r c k a c r c k a c r ck 3) K s y s p s y s p s p y s p y k k k k 3 [.67] [.66] Las dos prieras figuras corresponden a igual odelo pero diferente coportaiento en lazo cerrado. En la tercera se varía el odelo. La oscilación en el control es por la cancelación del cero real negativo. Decrece auentando el período de uestreo. Clase STR deterinísticos.doc

22 Ejeplo.3. Motor sin Cancelación de Ceros el cero aparece en lazo cerrado H B p p z b ( z) B K z b B por lo tanto p p K ( b) b z pz p [.69] [.7] el observador debe cuplir [.68] ( ) grad A grad A grad A grad B [.7] el observador se puede elegir coo A z z o [.7] Los grados der y S deben satisfacer Clase STR deterinísticos.doc

23 ( ) grad R grad A grad A grad A grad S grad ( A) Se eliger de orden cero y S de orden uno. 3 ( ) [.73] z z a z r K z b s z s z p z p z [.74] Se calcula la igualdad para z K b s s p p r b ( ) bb pb p ( b )( b a) K a b s a s a pa p a 3 b, z y z de donde se deterinan los paráetros Adeás p p T( z) A( z) B ( z) z tz K La ley de control es k k k k k ( b) u t r s y s y ru [.77] [.76] [.75] a obteniendo tres ecuaciones Clase STR deterinísticos.doc 3

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25 - Caso Adaptativo Clase STR deterinísticos.doc 5

26 - Ganancia Estática BT BR y r v AR BS AR BS [.78] Se aplica un escalón de r y v, () () () () () () () () B T B R y, A R B S A R B S Si no se adapta y,5656 [.79] Clase STR deterinísticos.doc 6

27 Ganancia estática: Priera figura: si no se adapta. Segunda figura: adaptando Clase STR deterinísticos.doc 7

28 .3. Procediiento de Diseño - Datos: Se necesita: A( z ), B z sin factores counes polinoio característico en lazo cerrado deseado Alc ( z ) térinos deseados en el regulador, Rd ( z ) y Sd ( z ) B ( z) función de transferencia deseada A ( z) - Condición de Exceso de Polos grad A grad B grad A grad B [.8] - Condición de Seguiiento del Modelo B El factor B no debe ser cancelado por lo que se debe cuplir B B [.8] - Condición de Grados de Polinoios se debe cuplir Clase STR deterinísticos.doc 8

29 grad A grad A grad A grad R grad S [.8] - Paso lc d d Factorizar A y B coo A AA B B B [.83] donde A y B son los factores a cancelar. - Paso Resolver la ecuación A RR BSS A [.84] d d lc para calcular R y S - Paso 3 la ley de control es Ru Tr Sy [.85] donde Clase STR deterinísticos.doc 9

30 R S T B A A B R R d A A S S d B A A B B lc [.86] la característica en lazo cerrado es lc ABAA lc [.87] La condición de grado surge de [.84] ya que el ínio regulador se obtiene con [.88] grad S grad A grad R d por lo que, de [.86] grad S grad A grad A grad A grad R grad S d d grad A grad A grad R grad S coo grad ( S ) grad ( R) d d, resulta [.8] [.89] Clase STR deterinísticos.doc 3

31 .3.. Cálculo de la Ley de Control Otra fora de calcular la ecuación diofantina es considerar que se tiene una solución a la ecuación AR BS A lc [.9] AR y la solución de ínio grado, i i BS [.9] i R y i S, Se definen los polinoios R y S de odo que i R XR YR i S XS YS [.9] con X polinoio estable y ónico entonces, reeplazando AR BS XA lc [.93] Alc Si se elige XA lc [.94] A lc y X tal que R y se cuple que los polinoios S Clase STR deterinísticos.doc 3

32 i R XR YR i [.95] S XS YS satisfacen A RR BSS A d d lc [.96] Adeás se debe cuplir que grad X grad R grad S [.97] y el grado de Y d grad Y grad R grad S [.98] d d d Para calcular Y se supone que R d divide a R y Sd divide a S. Los coeficientes de Y se calculan i ( i) ( i) ( i) ( i) d ( i) i X z R z Y z R z parar z X z S z Y z S z para S z i i i i d i [.99] Clase STR deterinísticos.doc 3

33 Ejeplo.4. Acción Integral Agregar acción integral iplica R ( ) Se supone que se ha calculado el controlador con acción integral. R S i i La ínia solución a la ecuación [.9] es B [.] R y S y se desea agregar una A Se introduce un nuevo polo en lazo cerrado en x por lo que X resulta X z x [.] el polinoio Y es un escalar Y y [.] la ecuación [.99] es de la fora (para que R tenga una raíz en ) () () R x R y B [.3] y de donde se despeja y ( ) R ( x ) [.4] B () Clase STR deterinísticos.doc 33

34 el nuevo controlador es R z z x R z S z z x S z ( x ) R ( ) B( z) B() ( x ) R ( ) A( z) B() [.5] Clase STR deterinísticos.doc 34

35 Ejeplo.5. Control del Motor con Acción Integral Planta discretizada bq b G q q aq a [.6] El regulador calculado anteriorente era R( q) q r [.7] S( q) qs s [.8] qt T q [.9] r k b b p p b b b b b b b b a b b ( p p ) b b b k [.] a pa p a b b a b 3 [.] Clase STR deterinísticos.doc 35

36 s k a k s k s La ley de control era u t r s y s y ru [.3] k k k k k i Nuevo diseño: t p p b b b ( x ) R ( ) B( q) B() R q q x R q [.4] i ( x ) R ( ) A( q) B() S q q x S q [.5] i ( x)( r) ( b b ) R q q x q r b q b i ( x )( r ) ( b b ) [.] [.6] S q q x qs s q aq a R q q qr r [.8] i i i [.7] Clase STR deterinísticos.doc 36

37 x r x r Ri q q q r x b rx b b b b b S q q s qs s [.] i i i i [.9] x r x r x r Si q q s q xs s a xs a b b b b b b Nueva ley de control: u t r s y s y s y r u r u [.] k k i k i k i k i k i k [.] Clase STR deterinísticos.doc 37

38 x.8 y x Clase STR deterinísticos.doc 38

39 - Caso Adaptativo x.8, ff x.9, ff Clase STR deterinísticos.doc 39

40 .4. Paraetrización de Youla-Kucera Teorea. Teorea de Youla-Kucera un regulador estable, entonces, todo regu- B z S z Sea un sistea y A( z) R lador estable puede describirse coo: S z S z Q z A z R z R z Q z B z con Q( z ) estable [.3] ( z) - Deostración Priero se debe deostrar que el regulador [.3] es estable, para lo que se introduce Q( z) Y( z) X ( z), con lo que se puede escribir, S XS YA R XR YB [.4] en lazo cerrado queda Clase STR deterinísticos.doc 4

41 AR BS A XR YB B XS YA X AR BS [.5] dado que X y AR BS son estables, el sistea lo será. Para probar de que todos los polinoios son estables, se considera un regulador S R que estabiliza el sistea, dando una función característica AR BS C [.6] de donde, la ecuación [.3] queda SR QSB RS QRA [.7] por lo tanto SR RS SR RS Q AR BS C [.8] que es estable ya que C lo es fig Clase STR deterinísticos.doc 4