1. Regulador PID Introducción Discretización Operador Derivada Discretización por Partes 5

Transcripción

1 . Regulador PID. Regulador PID.. Introducción 2.2. Discretización Operador Derivada Discretización por Partes 5.3. Efecto Windup 6.4. Efecto Bumpless 8.5. Ajuste del PID Relación entre ambos métodos: Método de Asignación de Polos Realimentación con Relé 2.6. Control con Modelo Interno (IMC) Paradigma de diseño para IMC Diseño de F Realización del Controlador IMC Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden 36

2 .. Introducción El regulador más usado es el PID de(t) u(t) = K [ e(t) e(s) ds T ] d T i d (.) t La acción proporcional es el control por realimentación más simple Por ejemplo A Y(s) = U(s) st Si se lo realimenta con un regulador P resulta K A K A Y(s) = sτ R(s) = K A R(s) (.3) K A τ s sτ K A El segundo término de la ecuación (.) muestra que esta acción es proporcional a la integral del error. (.2) 2

3 Este factor dejará de integrar solo cuando el error sea nulo que es el objetivo buscado. El término D es utilizado para mejorar los transitorios del sistema y el comportamiento frente a perturbaciones. En muchos controladores comerciales se hace una modificación a este aporte definiéndolo como: D = - K T st d d dy(t) dt Otra modificación std (.5) std N con N 3 20, que limita el efecto en altas frecuencias En definitiva, el regulador resulta: st U( s) = K br( s) Y ( s) R( s) Y ( s) Y s st st i d N (.4) d ( ) ( ) (.6) 3

4 u.2. Discretización.2.. Operador Derivada k T T =K e e e e d ( ) (.7) k k j k k Ti j= 0 T u k e k e k ( ) k- k-2 - k- k-= p k- i j d e e (.8) j=0 ( ) uk- uk-= k p ek- ek- kiek kd ek- 2 ek- ek-2 (.9) ( ) ( ) uk- uk-= k p ki kd ek - 2 kd ek- kd ek-2 (.0) U(z) α β z γ = z - E(z) - z - -2 (.) 4

5 .2.2. Discretización por Partes ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P t = K br t y t (.2) ( ) ( ) ( ) P kt = K br kt y kt (.3) KT I( ( k ) T) = I( kt) e( kt) (.4) T Td dd D KT d N dt ( ) i dy t = (.5) dt diferencia hacia atrás Td KTdN D( kt) = D ( k ) T T NT T NT y kt y k d ( ) ( ( ) ( )) d Esta aproximación es siempre estable y el polo derivativo tiende a cero con Td 0 El control total es la suma de los tres términos u( kt ) = P( kt ) I ( kt ) D( kt ) (.7) (.6) 5

6 .3. Efecto Windup Antireset wind up. satura el término integral -y KT d s e K v Actuador u - K/T i /s e s T i u 6

7 -y KT d s e K v Modelo u Actuador - K/T i /s e s T i u 7

8 .4. Efecto Bumpless efecto Bumpless evita acciones bruscas de control al pasar de manual a automático. T r - Actuación manual T m s y r PD Manual e T r s Auto u - e s T r Ilustración - Pid con Efecto Bumpless 8

9 α u = k e u - ( - α ) z k k - k- α z - α u = k e = k e z - z - b k k k k - α = z - ( - α ) z - u m k (.8) (.9) u = u e - α e uk= um en manual k k- k k- (.20) 9

10 .5. Ajuste del PID Ziegler-Nichols (942) en frecuencia Control ador P PI PID Kp Ti Td 0,5K c 0,45K c 0,6K c 0,833t c 0,5t c 0,25t c amortiguamiento ¼ Tabla 5-II Regulador PID en cadena cerrada 0

11 Ziegler-Nichols de lazo abierto Ilustración -2 Ajuste del PID por Ziegler-Nichols en lazo abierto Control ador P Kp Ti Td a PI 0,9 a 3L PID, 2 a 2L 0,5L Tabla 5-II Regulador PID en cadena abierta

12 K c a t c = Estos valores se obtienen de los de la ª regla haciendo 2 = 4 L (.2) El criterio de optimización es el mismo que para la ª regla..5.. Relación entre ambos métodos: b G(s) = e s L = T a = bt -st respuesta al escalón: de acuerdo a la segunda tabla el regulador PID será.2 T K = T i= 2T T d= bt 2 método de respuesta en frecuencia (.22) (.23) (.24) 2

13 k t c c = 4T = π (.25) 2bT De acuerdo a esto, el regulador PID será: T K = π T i= 2T T d= 2bT bt 2 (.26) 3

14 - Interpretación (i ) = 0.6 j - ω ct Gr ωc kc ωct d i 2π t c 2 = 0.6 kc j 0.2 tc- tc 2π tc = k c ( j ) es un avance de 23 (.27) - Generalización sea la función de transferencia en lazo abierto j( π φ p ) ω (.28) G p(j ) = r B = r s e p e queremos ubicar esta respuesta a una determinada frecuencia en un punto j( π φ ) s mediante un regulador (.29) jφ ω r (.30) Gr(j ) = r r e 4

15 Podríamos hacer el diseño por el método de margen de amplitud es decir que para Φ s = 0 la amplitud sea r s = / A m siendo ésta un margen de amplitud dado. Por lo tanto se debe cumplir: j( π φ s ) j( π φ p φr) rse = r prre (.3) entonces el regulador será: r s r r = r p (.32) φ r= φ s- φ p k p la ganancia proporcional es la parte real del regulador r s cos( φ s - φ p ) = (.33) r p el ángulo estará dado por ω T d - = tan( φ s - φ p ) ω T i (.34) 5

16 G G p r.5.2. Método de Asignación de Polos. sistema de primer órden k p = s T regulador PI = K st (.35) i (.36) resultando un sistema de segundo órden en lazo cerrado G p Gr G c = p G G r (.37) la ecuación característica será s 2 k p K k p K s = 0 T T T T i (.38) y nuestra condición de diseño dice 6

17 2 2 s 2 ξ ω s ω = 0 (.39) el regulador PI resulta 2 ξ ω T - K = k p T 2 ξωt- = ω T i 2 (.40) se puede hacer algo parecido para un sistema de 2do órden - Caso Discreto del Método de Asignación de Polos. sistema de segundo orden 2 A(z) = z 2 z a B(z) = b z b 2 a (.4) regulador PI 7

18 H r S(z) (z) = R(z) R(z) = ( z - ) R(z) (.42) una forma genérica sería 2 S(z) = s0 z sz s2 R(z) = ( z - )( z r ) (.43) la ecuación característica será 2 ( z 2)( z - )( z ) z a a 2 ( bz b2 )( s0 z sz s2 ) = 0 r (.44) que es de cuarto órden. Se podría especificar un denominador como, - αω h 2 P(z) = ( z - e ) ( z 2 pz p2) (.45) donde 8

19 p -ξωh 2 = - 2 e cos( ωh - ξ ) p 2 = e -2 ξωh (.46) Ejemplo: G p (s) = ( s )( 0.26 s ) (.47) H si el período de muestreo es h = 0. seg z (z) = z z 0.66 p 2 condición de diseño: (.48) ξ = 0.5 ω= 4 α = (.49) P será 2 2 P(z) = ( z ) ( z -.54 z ) (.50) reemplazando 9

20 r= s0 = 6.74 s= s 2 = 3.6 (.5) 20

21 .5.3. Realimentación con Relé Desarrollando en serie de Fourier la salida de un relé, su primer armónico tiene una amplitud de: A r 4d = π (.52) si la amplitud de la salida es a, la ganancia a esa frecuencia será 2 π π a G j = - t c 4d (.53) 2

22 .6. Control con Modelo Interno (IMC) Se puede plantear el siguiente esquema d o r e Q u G y Ĝ la salida es QG QGˆ y = r d Q G G Q G G ( ˆ) ( ˆ) si el modelo es perfecto, o [.54] 22

23 ( ˆ ) y = QGr QG d [.55] o el IMC se puede mostrar como d o r e Q u G y Ĝ 23

24 r C e Q u d o G y Ĝ d o r e Q C = QG ˆ u G y El control es diseñado en base al modelo de la planta ( ˆ ) C = C G [.56]" 24

25 Es muy intuitivo d o r e Q u G y Ĝ está relacionado con el concepto de predictor de Smith 25

26 Si la planta es estable, cómo elegir Q? Si probamos con Q = Gˆ? ( ˆ ) o ( ) y = QGr QG d [.57] ˆ ˆ ˆ o y = G Gr G G d [.58] G Gˆ y = r do Gˆ Gˆ [.59] G y r Gˆ [.60] con Q = Gˆ se obtiene el control perfecto 26

27 Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables 27

28 Q.6.. Paradigma de diseño para IMC Se elige = FGˆinv [.6] siendo G ˆinv una aproximación estable de la inversa de Ĝ y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado. G ˆinv intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d) Si se toma esta condición de diseño se obtiene QG QGˆ y = r do Q G Gˆ Q G Gˆ ( ) ( ) FG ˆ ˆ ˆ invg FGinvG y = r d FGˆ G Gˆ FGˆ G Gˆ inv suponiendo que ( ) inv ( ) o [.62] [.63] 28

29 Gˆ G Gˆ Gˆ [.64] inv inv resulta ( ) y Fr F d [.65] o recordar que elegimos G ˆinv como una aproximación estable de la inversa de Ĝ si Ĝ tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir ˆ ˆ G = G si no es el caso se hace una separación ˆ( ) ˆ ( ) ˆ ˆ B s Be s Bi( s) G( s) = = [.66] As ˆ As ˆ Gˆ inv Bˆe Bˆi ( ) ( ) ( ) s contiene los ceros estables y ( ) s contiene los ceros inestables o de no mínima fase se elige ( s) As ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) = [.67] ( i ) s= 0 Bˆ s B s e inv 29

30 se considera la ganancia estática de B ( s ) no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego).6.2. Diseño de F ( ) o y Fr F d [.68] F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias: - F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre ˆi 30

31 F = Generalmente F se elige de la forma ( β s ) p [.69] se agrega el exponente p de modo de que Q de polos y ceros. Por ejemplo ( ) Gˆ s Gˆ s = 2s, s 5 2s ( ) = ˆ 2 ( ) s, Ginv s F = ˆ 2s β s, Q = FGinv = β s = s 2 2s 5, F = ( β s ) 2 = FG sea bipropia o tenga igual número ˆinv [.70], 2 ˆ s 2s Q = FGinv = [.7] 2 5 ( β s ) 3

32 β pequeño => F rápido β grande => F lenta Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición β se convierte en un potenciómetro de diseño Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo. 32

33 step(tf(,[. ]),tf(,[ ]),tf(,[2 ])) Step Response From: U() Amplitude To: Y() Time (sec.) 33

34 .6.3. Realización del Controlador IMC en la forma IMC d o r e Q u G y Ĝ en la forma "PID" clásica d o r e C PID u G y 34

35 C PID de donde se deduce que Q = [.72] QGˆ Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β - se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropiadas. 35

36 Gˆ Tˆ r Gˆ Q C.6.4. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta Kˆ = ˆ τ s inv el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo 2,2 ˆ τ [.73] [.74] ˆ τ s Kˆ =, F = β s [.75] = FGˆinv [.76] el controlador según IMC es Q FGˆ inv ˆ τ s = = = = QGˆ FGˆ Gˆ Kˆβ s Gˆ β s inv en el caso de un PI paralelo [.77] 36

37 p p Ki C = CPI = Kp [.78] s p K p C PI eligiendo ˆ τ Kˆ β p =, K i ˆ Kβ = [.79] dado β, ˆ τ y ˆK tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ τ ˆ τ s = = [.80] Kˆβ Kˆβs Kˆβs Resumen: - encontrar ˆ τ y ˆK - elegir el controlador PI y β Recordar que con β pequeños se obtiene - rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia 37

38 - actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo % Control PI IMC Sistema de Primer Orden % Sistema continuo Kh = 0; tauh = ; d=poly([-/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón... precision=.0; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure() plot([y]); % período de muestreo T=.; 38

39 % PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/kh; ki = /beta/kh; kd = 0; beta =.2; kp = tauh/beta/kh; ki = /beta/kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Euler s=(q-)/t %ud(i)=ud(i-)a*error(i)b*error(i-) A = kp; B = ki*t-kp Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = ; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(,); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(tfin/t,); ud=zeros(tfin/t,); error=zeros(tfin/t,); 39

40 for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-)a*error(i)b*error(i-); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]); 40

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