SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO

Transcripción

1 SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO LUIS EDO GARCÍA JAIMES POLITÉCNICO COLOMBIANO J.I.C SEGUNDA PARTE

2 CONTROL ADAPTATIVO

3 FUNCIONES DE UN CONTROL ADAPTATIVO

4 ESQUEMAS BÁSICOS DE CONTROL ADAPTATIVO Existen dos tipos principales de controladores adaptativos: Sistemas con adaptación en lazo cerrado (STR, MRAC) Sistemas con adaptación en lazo abierto (Ganancia programable) Para el diseño de algoritmos de control adaptativo se han propuesto diferentes métodos, unos que utilizan criterios de optimización y otros que no los utilizan. Criterio no óptimo: o Asignación de polos y ceros (APPC) o Controladores de tiempo finito o Controladores PID Criterio óptimo: o Controladores de mínima varianza (MVR) o Controladores predictivos generalizados

5 MODELOS DISCRETOS PARA CONTROL ADAPTATIVO

6 IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS La identificación de sistemas tiene por objeto obtener el modelo de un sistema dinámico a partir de datos experimentales. La obtención de un modelo a partir de datos experimentales conlleva las siguientes etapas fundamentales: Recolección de datos Tratamiento previo de los datos obtenidos La Selección del Modelo Estimación de parámetros Validación del Modelo

7 CONTROLADORES AUTOADAPTABLES Estos controladores conforman una estructura subóptima basada en el principio de la separación de las tareas de control e identificación. En estos controladores se aplica el principio de equivalencia cierta pues se supone que los parámetros identificados coinciden con los reales. En el diseño de controladores autoajustables se distinguen tres partes: Un algoritmo recursivo de identificación de parámetros. Un mecanismo de adaptación que realiza la tarea de diseño del controlador Un controlador con parámetros ajustables.

8 ECUACIÓN GENERAL PARA CONTROLADORES LINEALES Para el sistema lineal definido por la función de transferencia de pulso: En donde b 1 0 G P z = y(z) u(z) = B(z 1 ) A(z 1 ) = b 1z 1 + b m z m 1 + a 1 z 1 z d + a m z m Es posible obtener un controlador lineal descrito mediante la función de transferencia de pulso: G R z = U z E z Q z 1 = P z 1 = q 0 + q 1 z 1 + q v z v 1 + p 1 z 1 + p u z u En donde los grados de u y de v y los parámetros p i y q i deben seleccionarse adecuadamente para satisfacer los requerimientos del sistema de control.

9 MÉTODO DE ASIGNACIÓN DE POLOS PARA UN STR El objetivo de este método es diseñar el controlador de modo que los polos del sistema en lazo cerrado, queden ubicados en el lugar deseado de acuerdo a sus especificaciones de funcionamiento. R(z) + - D(z) Q(z -1 ) P(z -1 ) G P (z) B(z -1 ) A(z -1 ) z-d Y(z) La ecuación característica deseada para el sistema en lazo cerrado toma la forma: Δ z 1 = 1 + α 1 z 1 + α 2 z 2 + α l z l = P( z 1 )A(z 1 ) + Q(z 1 ) B(z 1 )z d Esta ecuación genera l ecuaciones simultáneas cuya solución da como resultado los parámetros del controlador. El orden de l está determinado por: l = max m + u, m + d + v

10 ADICIÓN DE INTEGRADOR AL CONTROLADOR STR Para asegurar error de estado estable igual a cero es necesario que el controlador tenga un integrador, con esta condición, el denominador del controlador P(z 1 ) cumple con la igualdad: P 1 = 0 es decir p i = 1 Con la adición del integrador se obtienen l + 1 ecuaciones y el controlador tendrá u + v + 1 parámetros desconocidos q i y p i. La solución de orden mínimo se obtiene haciendo: v = m u = m + d l = 2m + d u i=1

11 CÁLCULO DE PARÁMETROS DEL CONTROLADOR STR Para el sistema definido por: G P z = y(z) u(z) = B(z 1 ) A(z 1 ) = b 1z 1 + b m z m 1 + a 1 z 1 z d + a m z m Los parámetros del controlador por asignación de polos STR Están dados por: p 1 p 2 p m +d q 0 q 1 q m = G R z = U(z) E(z) = Q(z 1 ) P(z 1 ) = q 0 + q 1 z 1 + q v z v 1 + p 1 z 1 + p u z u a m 1 0 a 1 1 a 2 a a m 1 a m a 1 a m1 0 d 0 b 1 b 2 b m 0 0 b 1 b b b m0 0 1 α 1 a 1 α 2 a 2 α m a m α m +1 α 2m+d 1

12 EJEMPLO DISEÑO DE UN STR POR ASIGNACIÓN DE POLOS La figura muestra el sistema de control simplificado de un horno túnel para cocción de cerámica sanitaria. Para sintonizar el controlador de temperatura TRC-1, se aproximó el sistema a un modelo de primer orden con retardo. La función de transferencia obtenida dio: G P S = 1.5e 8s 50S + 1 T = 5min Diseñe un controlador STR de modo que los polos dominantes de lazo cerrado tengan tempo de establecimiento de 120 min y coeficiente de amortiguamiento 0.8

13 SOLUCIÓN: DISCRETIZACIÓN DEL SISTEMA La función de transferencia de pulso del sistema es: HG z = 1 z 1 z N I m G(S) S HG z = 1 z 1 z 1 I m 1.5 S 50S + 1 HG z = z z z 2 HG z = z z z 1 m = 2 d = 1 a 1 = a 2 = 0 b 1 = b 2 = El orden del numerador del controlador es: v = m = 2 El orden del denominador del controlador es: u = m + d = 3 Por lo tanto, la función de transferencia del controlador está dada por: D z = Q(z ) P(z 1 ) = q o + q 1 z 1 + q 2 z p 1 z 1 + p 2 z 2 + p 3 z 3

14 CÁLCULO DE LA ECUACIÓN CARACTERÍSTICA El orden del denominador del controlador es: u = m + d = 3 Por lo tanto, la función de transferencia del controlador está dada por: D z = Q(z ) P(z 1 ) = q o + q 1 z 1 + q 2 z p 1 z 1 + p 2 z 2 + p 3 z 3 Los polos de lazo cerrado deseados, se calculan mediante las ecuaciones: z = e ξω n T θ = 57.3ω n T 1 ξ 2 z = z cosθ ± jsenθ t s = 4 ξω n ω n = 4 ξt s = = rad/min z = θ = 7.15 z = 0.84 ± j0.105 Orden de la ecuación característica: l = max m + u, m + v + d = 5 Se deben asignar tres polos adicionales no dominantes (En el origen) z = z 0.84 j0.105 z j0.105 z 3 = z z z 3

15 z 1 = z z 2 CÁLCULO DEL CONTROLADOR α 1 = 1.68 α 2 = α 3 = 0 α 4 = 0 α 5 = 0 Del numerador y del denominador del sistema se obtuvo: a 1 = a 2 = 0 b 1 = b 2 = Por lo tanto: p 1 p 2 p 3 q 0 q 1 q 2 = Efectuando operaciones resulta: p 1 = , p 2 = , p 3 = , q 0 = , q 1 = , q 2 = 0. La función de transferencia del controlador es: D z = Q(z 1 ) P(z 1 ) = U(z) E(z) = z z z z 3

16 RESPUESTA DEL SISTEMA AL ESCALÓN UNITARIO La ley de control es: u k = e k e k u k u k u(k 3)

17 CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA El controlador de mínima varianza tiene como objetivo minimizar el efecto de las perturbaciones sobre la salida. Esta técnica de control se utiliza cuando la salida del sistema está contaminada por una perturbación estocástica. La estrategia consiste en calcular la señal de control u(k) en función de los valores disponibles en ese instante o sea u k 1, u k 2, y k, y k 1, de tal forma que minimice uno de los siguientes criterios: 1. J = E y(k + d + 1) 2. Control MVR3 2. J = E y k + d + 1 w k + d Control MVR2 3. J = E y k + d + 1 w k + d ru 2 k. Control MVR1

18 SISTEMA CON PERTURBACIONES Si se supone que sobre el sistema actúan perturbaciones estocásticas, el proceso estará descrito por un modelo ARMAX de la forma: Donde: y k = B z A z u k + C z A z v k = z d B z 1 A z 1 u k + C z 1 A z 1 v k A z 1 = 1 + a 1 z 1 + a m z m B(z 1 ) = b 1 z 1 + b m z m C z 1 = 1 + c 1 z 1 + c m z m

19 DISEÑO DE CONTROLADORES DE MÍNIMA VARIANZA Para el diseño de los controladores MVR se utiliza un modelo ARMAX de la forma: y k = B z A z u k + C z A z B z 1 C z 1 v k = z d u k + v k A z 1 A z 1 A z 1 = 1 + a 1 z 1 + a m z m B(z 1 ) = b 1 z 1 + b m z m C z 1 = 1 + c 1 z 1 + c m z m La acción de control debe minimizar uno de los siguientes criterios: J = E y(k + d + 1) 2 J = E y k + d + 1 w k + d J = E y k + d + 1 w k + d ru 2 k Para estimar la ley de control se utiliza la identidad: C z 1 = A z 1 F z 1 + z (d+1) G z 1 F z 1 = 1 + f 1 z 1 + f d z d G z 1 = g 0 + g 1 z 1 + g m 1 z (m 1)

20 CONTROLADOR DE MINIMA VARIANZA MVR3 En este caso la acción de control minimiza el criterio: J = E y(k + d + 1) 2 Modelo: y k = B z A z u k + C z A z B z 1 C z 1 v k = z d u k + v k A z 1 A z 1 Ecuación de diseño: C z 1 = A z 1 F z 1 + z (d+1) G z 1 La ley de control es: G z 1 u k = zf z 1 y k B z 1 v(k) C A n(k) w(k) + - G z.f.b u(k) B A z-d + + y(k)

21 ELIMINACIÓN DEL OFF-SET EN EL MVR3 El controlador de mínima varianza MVR3 puede presentar offset (Error de estado estable) ante cambios en la referencia o cambios en la perturbación, para eliminar el offset se puede adicionar al controlador un integrador así, la ley de control se puede escribir en la forma: G z 1 z 1 + α u k = zf z 1 B z 1 z 1 y k

22 CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA CON SEGUIMIENTO DE REFERENCIA (MVR2) En este caso la acción de control minimiza el criterio: J = E y k + d + 1 w k + d Modelo: y k = B z A z u k + C z A z B z 1 C z 1 v k = z d u k + v k A z 1 A z 1 Ecuación de diseño: C z 1 = A z 1 F z 1 + z (d+1) G z 1 La ley de control es: u k = 1 zf z 1 B z 1 C z 1 w k + d G z 1 y(k)

23 CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA PONDERADO (MVR1) En este caso la acción de control minimiza el criterio: Modelo: J = E y k + d + 1 w k + d ru 2 k y k = B z A z u k + C z A z B z 1 C z 1 v k = z d u k + v k A z 1 A z 1 Ecuación de diseño: C z 1 = A z 1 F z 1 + z (d+1) G z 1 La ley de control es: u k = 1 zf z 1 B z 1 + rc(z 1 ) C z 1 w k + d G z 1 y(k)

24 EJEMPLO DISEÑO DE CONTROLADOR MVR Se desea diseñar un controlador de mínima varianza para un sistema con función de transferencia discreta: G p z = B(z) A(z) = 0.8z z 3 1.3z z T = 0.2 s La salida de dicho sistema se ve afectada por una perturbación estocástica cuyo comportamiento se puede modelar mediante un proceso ARMAX. El modelo de la perturbación estocástica corresponde a un ruido blanco modificado por el filtro: G v z = C(z) A(z) = z3 z z z 3 1.3z z

25 SOLUCIÓN Se reescriben las funciones de transferencia en potencias negativas de z: Identidad de diseño: En donde: G P z = B(z 1 ) A(z 1 ) = F z 1 = 1 + f 1 z 1 + f d z d G z 1 = g 0 + g 1 z 1 + g m 1 z (m 1) 0.8z z z 1 z z 2 G v z = C(z 1 ) A(z 1 ) = 1 z z z z 2 C z 1 = A z 1 F z 1 + z d+1 G(z 1 ) m = 2 d = 1 F z 1 = 1 + f 1 z 1 G z 1 = g 0 + g 1 z 1 1 z z 2 = 1 1.3z z f 1 z 1 + z 2 (g 0 + g 1 z 1 )

26 SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIOFÁNTICA Destruyendo paréntesis y Factorizando se obtiene: 1 z z 2 = 1 (1.3 f 1 ) z 1 + ( f 1 + g 0 )z 2 + (0.4f 1 + g 1 )z 3 Comparando término a término: 1.3 f 1 = f 1 + g 0 = f 1 + g 1 = 0 Resolviendo las ecuaciones anteriores resulta: f 1 = 0.3 g 0 = 0.23 g 1 = 0.12 Los polinomios F(z 1 ) y G(z 1 ) son: F z 1 = z 1 G z 1 = z 1 Con dichos polinomios se obtiene la ley de control para los controladores MVR3, MVR2 y MVR1.

27 CONTROL DE MÍNIMA VARIANZA MVR3 Ley de control MVR3: G z z 1 u k = zf z 1 y k = B z 1 z z 1 y(k) 0.8z z z 1 u k = z 1 y(k) z 2 u k = y k y k 1 0.8u k u(k 2) Set-Point Salida Set-Point Respuesta Respuesta Respuesta Periodos de Muestreo Periodos de Muestreo u k = z z z z 2 1 z 1 y k

28 CONTROL DE MÍNIMA VARIANZA MVR2 El controlador de mínima varianza MVR2 toma la forma: u k = 1 zf z 1 B z 1 C z 1 w k + d G z 1 y(k) u k = 1 z z 1 0.8z z 2 1 z z 2 w(k + d) ( z 1 )y(k) u k = 1 z z z z 2 w(k + d) z z 1 y(k) MVR z 2

29 CONTROL DE MÍNIMA VARIANZA MVR1 El controlador de mínima varianza generalizado MVR1, toma la forma: u k = 1 zb z 1 F z 1 + rc(z 1 ) C z 1 w k + d G z 1 y(k) Con r = 0.05, el controlador de mínima varianza generalizado es: u k = 1 z z 2 w(k + d) z z 1 0.8z z z z z 1 y(k) z 1 0.8z z z z 2 u k = 1 z z z z 2 w k + d z z 1 y(k) VR z 2

30 SIMULACIÓN DEL CONTROLADOR MVR

31 CONTROL PI POR ASIGNACIÓN Y CANCELACIÓN DE POLOS PARA SISTEMA POR La dinámica del sistema se aproxima a la de un sistema POR de la forma: G P S = ke θs τs + 1 El modelo discreto correspondiente para dicho sistema es: G P z = (b 0 + b 1 z 1 ) 1 az 1 z d La función de transferencia del controlador PI toma la forma: D z = M(z) E(z) = q 0 (z k) z 1 Para que el cero del controlador cancele el polo de la planta se hace: k = a Así, la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es: Q z = z d+1 z d + q 0 b 0 z + q 0 b 1 = 0 Si el polo de lazo cerrado se ubica en z = p se obtiene: Q p = p d+1 p d + q 0 b 0 p + q 0 b 1 = 0 Despejando q 0 resulta: q 0 = pd (1 p) b 0 p + b 1

32 EJEMPLO CONTROLADOR PI POR ASGNACIÓN Y CANCELACIÓN En el intercambiador de la figura el objetivo es controlar la temperatura de salida T o (t), regulando el flujo de vapor f v t. La función de transferencia es: T o (S) F v (S) = 1.5e 2.5S 8S + 1 T = 2 min Diseñe para el sistema un controlador PI por asignación y cancelación de polos de modo que el sistema tenga tiempo de establecimiento igual a 20 min

33 SOLUCIÓN La función de transferencia de pulso del sistema es: G P z = G P z = 1 z 1 z N I m G P S S = z z 2 z z z 1 z 2 a = d = 2 b 0 = b 1 = El controlador PI toma la forma: D z = M(z) E(z) = q 0 (z k) z 1 Para que el cero del controlador cancele el polo de la planta: k = El polo dominante deseado es: z = e T τ = e 2 5 = 0.67, por lo tanto: q 0 = pd (1 p) b 0 p + b 1 = El controlador pedido es: (1 0.67) D z = M(z) E(z) = (z ) z 1 q 0 =

34 RESPUESTA DEL SISTEMA

35 CONTROL POR MODELO DE REFERENCIA (MRAC) En esta estrategia de control se selecciona como referencia un modelo que cumpla con las condiciones deseadas para el funcionamiento adecuado de la planta y se desarrolla un mecanismo de control que permita que la planta siga el modelo escogido. El control por modelo de referencia está formado por tres partes fundamentales: El controlador primario: Debe cumplir la condición de hacer posible que el conjunto de la planta y el controlador puedan reproducir el modelo de referencia. El modelo de referencia: Debe seleccionarse con un comportamiento dinámico estable y que pueda ser seguido por el proceso a controlar. La ley de adaptación: esta se puede obtener por diferentes métodos: Método de sensibilidad, método de Lyapunov y método de hiperestabilidad.

36 ELEMENTOS DEL MRAC Se trata de que el sistema controlado siga el comportamiento de un modelo determinado para lo cual se debe generar una señal de control que haga converger la respuesta de la planta a la del modelo para una cierta señal de entrada. Modelo de Referencia y m (k) r(k) + - Controlador Mecanismo de adaptación u(k) Planta e(k) - + y p (k)

37 MRAC PARA SISTEMAS CONTINUOS: MÉTODO DE LYAPUNOV Este método establece que un sistema tiene un punto de equilibrio x = 0 asintóticamente estable, si existe una función V(x) que cumpla con las siguientes condiciones: V(x) : Definida positiva para x 0 V(x) > 0 V x : Definida negativa para x 0 V (x) < 0 V(x) para x V 0 = 0

38 PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL MÉTODO DE LYAPUNOV 1. Encontrar la ecuación de error en la salida: e = y p y m 2. Encontrar la función de Lyapunov como una función del error entre las señales y del error en los parámetros. Esta función es de la forma: V = e T Pe + T Γ 1 ϕ Donde las matrices P y Γ 1 deben ser definidas positivas. 3. Calcular la derivada de la función de Lyapunov. Esta derivada debe ser definida negativa. Por lo general toma la forma: V = e T Qe + termino extra incluyendo φ El primer término garantiza que la derivada es negativa definida, entonces, haciendo el resto igual a cero se tiene una posible solución para la adaptación. 4. Hacer el término extra igual a cero para obtener la ley de adaptación. Normalmente tiene la forma: θ = Γεξ ε, está relacionado con el error e y ξ tiene que ver con el vector de señales.

39 EJEMPLO MRAC PARA SISTEMA DE PRIMER ORDEN Diseñar controlador por modelo de referencia para el sistema de primer orden: G P S = y p(s) U(S) = K τs + 1 SOLUCIÓN: Si se toma como modelo de referencia: G m S = y m (S) R(S) = a S + a El error es: e = y m y p La ecuación de la planta se puede escribir como: dy p dt = Ay p + Bu La ecuación del modelo de referencia se puede escribir como: dy m dt = ay m + ar Para que el error sea cero se debe cumplir que: y p = y m por lo tanto: Ay p + Bu = ay m + ar Despejando u: u = t 0 r S 0 y p

40 MRAC SISTEMA PRIMER ORDEN Los valores apropiados de t 0 y S 0 que mejor se adaptan al sistema de control se pueden determinar utilizando el método de Lyapunov y están dados por: t 0 = γ erdt + t 0 0 S 0 = γ ey p dt + S 0 0 En donde: r Señal de entrada. y p : La salida del proceso. e: El error u: La señal de control. y m : La salida del modelo de referencia. γ: Parámetro de ajuste

41 IMPLEMENTACIÓN DEL MRAC PARA SISTEMA DE PRIMER ORDEN

42 EJEMPLO MRAC PARA SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Sea el sistema de segundo orden: G p S = Y p(s) U(S) = Se toma como modelo de referencia: G m S = Y m (S) R(S) = b o S 2 + a 1 S + a 2 β S 2 + α 1 S + α 2 Se asume como ley de control para el sistema: u = f. r q o y p q 1 y p En donde r es la señal de referencia. Utilizando el método de Lyapunov se obtiene: f = γ o b o e rdt + f 0 q o = γ 1 b o e y p dt + q 0 0 q 1 = γ 2 b o e y p dt + q 1 0

43 IMPLEMENTACIÓN DEL MRAC PARA SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

44 MRAC PARA SISTEMAS DISCRETOS El objetivo es que el proceso con función de transferencia discreta: G p z = y p z 1 B z 1 = z d con U z 1 A z 1 Siga el modelo: A z 1 = 1 + a 1 z 1 + a m z m B z 1 = b 1 z 1 + b 2 z 2 b m z m G m z = y m (z 1 ) W(z 1 ) = B m (z 1 ) A m (z 1 ) z d con A m z 1 = 1 + α 1 z 1 + α m z m B m z 1 = β 1 z 1 + β 2 z 2 β m z m Mediante la aplicación de la ley de control: P z 1 U z = F z 1 W z Q z 1 y p z Con P z 1 = 1 + p 1 z 1 + p m+d 1 z (m +d 1) Q z 1 = q 0 + q 1 z 1 + q m 1 z (m 1)

45 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR UN MRAC DISCRETO La figura muestra el diagrama en bloques del MRAC propuesto. La función de transferencia en lazo cerrado para el sistema de la figura es: G u z = y p z W z = F z 1 B z 1 z d P z 1 A z 1 + Q z 1 B z 1 z d = B m z 1 z d A m z 1 El procedimiento para el diseño es el siguiente: 1. Seleccionar el modelo de referencia adecuado. 2. Reescribir el polinomio B(z 1 ) del proceso en la forma: B z 1 = b 1 z 1 B + z 1 B z 1 En donde: B + z 1 : Contiene los ceros estables del proceso. B z 1 : Contiene los ceros inestables del proceso

46 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR UN MRAC DISCRETO 3. Los ceros estables del proceso se incluyen en el polinomio P(z 1 ) es decir: P z 1 = B + z 1 P z 1 4. Los ceros inestables del proceso deben ser ceros de G w (z), es decir, ceros de B m (z 1 ) 5. Si el grado de G w (z) es menor que el grado de Q z 1 B z 1 z d después de la cancelación de B + z 1, el lado derecho de la ecuación de G w (z) se multiplica y divide por el polinomio R(z 1 ) 6. Los polinomios P z 1, Q z 1 y el filtro F z 1 quedan determinados por las ecuaciones: P z 1 A z 1 + b 1 Q z 1 B z 1 z (d+1) = A m z 1 R z 1 b 1 F z 1 B z 1 z 1 = B m z 1 R z 1

47 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR UN MRAC DISCRETO 7. De la última ecuación de la condición 6 se despeja el filtro F(z 1 ) así: F z 1 = zb m z 1 R(z 1 ) b 1 B (z 1 ) El filtro F z 1 es realizable si B m z 1 es de la forma β 1 z 1 + β 2 z 2 +β m z m con β 1 0 NOTA: En caso de que el sistema tenga solo ceros estables se considera que B z 1 = 1, en este caso la ley de control toma la forma: zb m z 1 R z 1 w k = b 1 P z 1 u k + Q z 1 y p k

48 EJEMPLO CONTROLADOR MRAC La función de transferencia del sistema de enfriamiento de la figura está dada por: G p S = 0.4e 2S 10S + 1 T = 1.5 s Diseñe para el sistema un controlador con modelo de referencia de modo que el sistema, en lazo cerrado siga la dinámica del modelo: G m S = e 2S 6S + 1

49 Los modelos discretos son: SOLUCIÓN EJEMPLO MRAC HG z = (1 z 1 )z N I m G(S) S HG p z = B(z 1 ) 0.038z = A z 1 z 2 (z ) = 0.038z z z 1 z 1 HG m Z) = B m (z 1 ) A m (z 1 ) = z z 2 (z ) B z 1 = b 1 z 1 B + z 1 B z 1 = 0.038z z 1 Por lo tanto, la ley de control es: zb m z 1 R z 1 w k = b 1 P z 1 u k + Q z 1 y p (k) = z z z 1 z 1 m = 2 d = 1 B + z 1 = z 1 B z 1 = 1 Grado de P z 1 = m + d 1 = 2 P z 1 = B + z 1 P z 1 = z 1 (1 + p 1 z 1 ) Grado de Q z 1 = m 1 = 1 Q z 1 = q o + q 1 z 1

50 SOLUCIÓN (2) Condición de los polinomios: P z 1 A z 1 + b 1 Q z 1 B z 1 z (d+1) = A m z 1 R z p 1 z z q o + q 1 z 1 z 2 = z 1 Factorizando: p 1 z p q o z q 1 z 3 = z 1 Comparando término a término y resolviendo las ecuaciones resultantes se obtiene: p 1 = , q o = 1.855, y q 1 = 0 Entonces: P z 1 = z 1 y Q z 1 = Por lo tanto: P z 1 = B + z 1 P z 1 = z z 1 = z z 2

51 SOLUCIÓN MRAC: LEY DE CONTROL La ley de control es: zb m z 1 R z 1 w k = b 1 P z 1 u k + Q z 1 y p (k) z z z 2 w k = z z 2 u k y p (k) Despejando u(k) se obtiene: u k = w k w k u k u k y p (k) Tomando transformada z y reuniendo términos: z z 2 U z = z 1 W z 1.855Y p (z) Es decir: U z = z z z z W z 1.855z 2 z z Y p(z)

52 IMPLEMENTACIÓN Y RESPUESTA CON EL MRAC La figura muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta del mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria z(z ) (z )(z ) 0.038(z ) z 2(z ) 1.855z 2 (z )(z )

53 EJEMPLO: MRAC CON CEROS INESTABLES La figura muestra el sistema de control de nivel de agua de una caldera. W f es el flujo de agua de alimentación y W s es el flujo de vapor que sale de la caldera. La válvula tiene ganancia 10 y constante de tiempo 2 s. El sistema del nivel del domo de la caldera tiene ganancia 3, constante de tiempo de 20 s y un retardo de 2 s. Diseñar un controlador por modelo de referencia para que el sistema en lazo cerrado tenga coeficiente de amortiguamiento de 0.8 y constante de tiempo 12.5s. Periodo de muestreo T = 3 s.

54 SOLUCIÓN La función de transferencia del sistema es: G p S = L(S) W f (S) = 30e 2s (20S + 1)(2S + 1) Al discretizar el sistema con T = 3 s se obtiene: HG p z = z z z z (z ) = z z z z z 2 m = 3 d = 0 A(z 1 ) = z z 2 B z 1 = b 1 z 1 B + z 1 B z 1 B z 1 = z z z 1 b 1 = B + z 1 = z 1 B z 1 = ( z 1 ) El numerador B z 1 tiene un cero fuera del círculo unitario.

55 OBTENCIÓN DEL MODELO DE REFERENCIA Para obtener la función de transferencia discreta del modelo de referencia se tiene: ξ = 0.8 τ = 12.5 s. w n = 1 ξτ = 0.1 rad/s z = e ξw n T = θ = 57.3w n T 1 ξ 2 = o Los polos deseados para el sistema en lazo cerrado son: z = ± j y su ecuación característica es: z z = z z 2 = 0 El modelo de referencia debe tener en el numerador el cero inestable del sistema: HG m z 1 = B m (z 1 ) A m (z 1 ) = Kz 1 ( z 1 ) z z 2 Para que el sistema tenga ganancia unitaria se debe cumplir que: lim z 1 Kz 1 ( z 1 ) z 1 = 1 K = z 2 HG m z 1 = B m (z 1 ) A m (z 1 ) = z 1 ( z 1 ) z z 2

56 CÁLCULO DEL MRAC A m z 1 = z z 2 B m z 1 = z 1 ( z 1 ) La ley de control está determinada por la ecuación: P(z 1 )U z = F z 1 W z Q z 1 y p z Grado de P z 1 : m + d 1 = 2 P z 1 = B + z 1 P z 1 = z 1 (1 + p 1 z 1 ) Grado de Q z 1 : m 1 = 2 Q z 1 = q o + q 1 z 1 + q 2 z 2 Las ecuaciones de diseño son: P z 1 A z 1 + b 1 Q z 1 B z 1 z (d+1) = A m z 1 R z p 1 z z z q o + q 1 z 1 + q 2 z z 1 z 1 = z z 2

57 CÁLCULO DEL MRAC (2) Efectuando operaciones y reuniendo términos semejantes: p q o z p q o q 1 z p q q 2 z q 2 z 4 = z z 2 Comparando término a término se obtiene: p q o = p q o q 1 = p q q 2 = q 2 = 0 Al resolver las ecuaciones anteriores resulta: q o = q 1 = q 2 = 0 p 1 = Es decir: Q z 1 = z 1 P z 1 = z 1

58 CÁLCULO DEL MRAC (3) El filtro F(z 1 ) se obtiene con la ecuación: F z 1 = zb m z 1 R(z 1 ) b 1 B (z 1 ) La ley de control es: = z z 1 ( z 1 ) ( z 1 ) P(z 1 )U z = F z 1 W z Q z 1 y p z = z z 1 U z = W z ( z 1 )y p z Es decir: U z = W z z z 1 ( z 1 )y p z z z 1 La ley de control como ecuación en diferencias es: u k = w k y p k y p k u k u(k 2)

59 IMPLEMENTACIÓN DEL MRAC La figura muestra el diagrama en bloques del sistema de control y la respuesta del mismo ante una entrada con forma de onda rectangular de amplitud unitaria z 2 z z s 2+22s z z z z

60 CONTROL CON GANANCIA PROGRAMABLE La técnica de la ganancia programable (Gain scheduling) utiliza una familia de controladores lineales, para proporcionar el control satisfactorio en diversos puntos de operación del sistema. Este enfoque asume que el sistema se puede representar mediante un modelo parametrizado por ciertas variables, llamadas variables de tabulación o de programación ( scheduling variables ). En este caso, se linealiza el sistema alrededor de distintos puntos de operación, obteniendo una familia de modelos lineales para la cual se diseña una familia de controladores lineales. Los parámetros del controlador son cambiados acorde a los valores que toman las variables de programación.

61 PROCEDIMIENTO PARA DISEÑO DE UN CONTROLADOR CON GANANCIA PROGRAMABLE Para el diseño del controlador con G.P se pueden establecer los siguientes pasos Determinar las variables de programación: Estas variables deben reflejar las condiciones de operación de la planta y permitir establecer expresiones simples que relacionen los parámetros del controlador con las variables de ajuste. Obtener el modelo del proceso para diferentes puntos de operación: estos puntos deben estar parametrizados por las variables de programación. Calcular los parámetros del controlador para los diferentes puntos de operación: Se calculan los parámetros del controlador para un determinado número de condiciones de trabajo, en función de las variables de programación, empleando algún método de diseño apropiado. Seleccionar el controlador en función de las variables de programación: según el punto de operación en que se encuentre el proceso, se selecciona automáticamente el controlador diseñado para dicho punto de operación.

62 EJEMPLO: CONTROLADOR CON GANACIA PROGRAMABLE La figura muestra la respuesta de un intercambiador de calor ante escalones aplicados en diferentes zonas de operación. La temperatura se midió con un instrumento calibrado de 0 a 100 ºC y la apertura de la válvula se da en porcentaje. Diseñar para el sistema un controlador PI con ganancia programable.

63 PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DEL CONTROLADOR La dinámica del intercambiador se aproximó a un sistema POR. Se obtuvo un modelo para cada uno de los escalones aplicados, se discretizan los modelos y para cada uno se calculó un controlador PI utilizando el método de Ziegler-Nichols. Modelos continuo y discreto: Controlador PI: G p S = Ke θ S τs + 1 HG z = (1 z 1 )z N I m G(S) S D z = q oz + q 1 z 1 Formulas empleadas para el cálculo del controlador: θ = θ + T 2 q o = K C 1 + T 2τ i K C = 0.9τ Kθ τ i = 3.33θ q 1 = K C 1 T 2τ i

64 ESTIMACIÓN DE LOS MODELOS Y CÁLCULO DE LOS CONTROLADORES En la tabla se presentan los diferentes modelos estimados en el proceso de identificación y los parámetros de los controladores calculados para cada modelo

65 ECUACIONES DE REGRESIÓN PARA EL CÁLCULO DE LOS CONTROLADORES Para el cálculo de los parámetros del controlador q o y q 1 se utilizaron ecuaciones de regresión. Dichas ecuaciones de regresión, se obtienen a partir de los valores de los puntos de operación de la temperatura y de los modelos de primer orden con retardo correspondientes. Las ecuaciones para el cálculo de q o y de q 1 que se han de utilizar para estimar el controlador son: q o = T T T T q 1 = T T T T

66 CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DEL CONTROLADOR EN MATLAB clc T=[ ] qo=[ ]; q1=[ ]; coeqo=polyfit(t,qo,4); coeq1=polyfit(t,q1,4); T1=20:80; qo1=polyval(coeqo,t1); q11=polyval(coeq1,t1); figure(1) plot(t1,qo1,t,qo,'*') title('valores DE qo') figure(2) plot(t1,q11,t,q1,'*') title('valores DE q1' q 0 = T T T T q 1 = T T T T

67 GRÁFICAS DE LOS COEFICIENTES DEL CONTROLADOR

68 IMPLEMENTACIÓN DEL MRAC EN MATLAB

69 GANANCIA PROGRAMABLE PARA TANQUES INTERCONECTADOS La dinámica de los tanques interconectados de la figura se describe mediante las ecuaciones diferenciales no lineales: dh 1 dt = q i 0.5 h 1 h 2 dh 2 dt = 0.5 h 1 h h 2 Para el diseño del controlador se proponen como puntos de equilibrio: q i = 0.4, q i = 0.8, q i = 0.6 y q i = 0.2. a) Linealice el sistema alrededor de cada uno de los puntos de operación establecidos. b) Obtenga, para cada punto de operación, la matriz de ganancia de realimentación incluyendo integrador de modo que los polos de lazo cerrado del sistema queden ubicados en S = 0.1, S = 0.2 y S = 0.5.

70 LINEALIZACIÓN: PUNTOS DE EQUILIBRIO La dinámica del sistema linealizado se puede representar mediante la ecuación de estado: h = h 1 h 2 A = h 1 = Ah + Bq o f 1 f 1 h 1 h 2 f 2 f 2 h 1 h 2 y = Ch B = f 1 q o f 2 q o C = 1 0 Las derivadas parciales se calculan en el punto de equilibrio: h 1 (0) h 2 (0) q o (0) Los puntos de equilibrio cumplen con la condición: h i = 0 es decir: q i 0.5 h 1 h 2 = h 1 h h 2 = 0 Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para q i = 0.4 se obtiene que el punto de equilibrio es: h 1 (0) h 2 (0) q o (0) =

71 LINEALIZACIÓN: MATRICES A, B Y C Para el cálculo de las matrices A, B y C con h 1 (0) h 2 (0) q i (0) = Se tiene: f 1 = 0.25 = h 1 h 1 h 2 f 1 = 0.25 = h 2 h 1 h 2 f 1 q i = 1 f 2 = 0.25 = h 1 h 1 h 2 f 2 = = h 2 h 1 h 2 h 2 f 2 q i = 0 El sistema linealizado es, entonces: h 1 h 2 = h 1 h q i y = 1 0 h 1 h 2

72 CÁLCULO DE LA MATRIZ DE GANANCIA DE REALIMENTACIÓN La matriz de ganancia de realimentación del sistema incluyendo integrador está dada por la fórmula de Ackerman: K = B AB A 2 B A n 1 B 1 φ(a) En donde: A = A 0 C 0 B = B 0 φ A = A n + a 1 A n 1 + a 2 A n 2 + a n Siendo a 1, a 2, a n los coeficientes de la ecuación característica deseada: Entonces: A = S n + a 1 S n 1 + a 2 S n 2 + a n = B = 1 0 0

73 La ecuación característica deseada es: MATRIZ K1 Y MATRIZ Ki S S S = S S S = 0 φ A = A A A I = B AB A 2 B = K = K = K 1 = K i = [0.016]

74 MATRICES K1 Y Ki PARA LOS DIFERENTES PUNTOS DE EQUILIRIO En la tabla se presentan los valores de la matriz de ganancia de realimentación y de la ganancia del integrador para cada punto de operación q i PTO OPERACIÓN K K 1 K i Las ecuaciones de regresión para las matrices son: K11 = q q q K12 = q q q Ki = 0.04 q

75 SIMULACIÓN DEL SISTEMA CON GANANCIA PROG.

76 RESPUESTA DEL SISTEMA CON GANANCIA PROG.

77 CONTROL PREDICTIVO Es una estrategia de control que se basa en la utilización de forma explícita de un modelo del proceso para predecir el valor de las variables controladas a lo largo de un horizonte temporal especificado por el usuario, calculando el valor de las variables manipuladas para hacer que en ese horizonte las variables controladas alcancen sus valores de referencia. El control predictivo tiene como objetivo resolver de forma efectiva, problemas de control y automatización de procesos industriales que se caractericen por presentar un comportamiento dinámico complicado, multivariable, y/o inestable. Uno de los inconvenientes del control predictivo es su alto costo computacional y el tener que disponer de un modelo matemático muy cercano a la planta real para obtener un buen desempeño del controlador

78 ESTRATEGIA DEL CONTROL PRDEDICTIVO En cada instante t y haciendo uso del modelo del proceso se predicen las salidas futuras y(t + k t) para un determinado horizonte, llamado horizonte de predicción. Las salidas predichas, dependen de los valores conocidos de las entradas y de las salidas pasadas y de las señales de control futuras u t + k t Las señales de control futuras u t + k t se calculan optimizando un determinado criterio en el que se pretende mantener el proceso lo más próximo posible a la trayectoria de referencia w t + k. Sólo la señal de control u(t t) se envía al proceso mientras que las demás señales de control calculadas se desechan, puesto que en el siguiente instante de muestreo ya se conoce y(t + 1) y se repite el paso 1 con este nuevo valor y todas las secuencias son actualizadas.

79 ESTRUCTURA BÁSICA EL CONTROL PREDICTIVO Para llevar a cabo la estrategia propuesta, se usa una estructura como la mostrada en la figura. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso, basándose en las señales de control futuras propuestas. Estas señales son calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la función de coste así como las restricciones ESTRATEGIA DEL GPC ESTRUCTURA DEL GPC

80 FORMULACIÓN DEL CONTROL PREDICTIVO GENERALIZADO El GPC utiliza un modelo CARMA (Controller Auto-Regressive Moving-Average). Para aplicaciones industriales resulta más conveniente el uso de un modelo CARMA integrado, dando lugar al CARIMA, descrito por la ecuación: En donde: = 1 z 1 A z 1 y t = z d B z 1 u t 1 + C z 1 e z 1 A z 1 = 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a na z na B z 1 = b o + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b nb z nb Para simplificar se considera que C z 1 = 1, así la ecuación se puede escribir en la forma: B z 1 d y t = z A z 1 u t e z 1 A z 1

81 PREDICCIÓN ÓPTIMA El algoritmo del Control Predictivo Generalizado consiste en aplicar una secuencia de señales de control que minimice la función de costo: N 2 N u J N 1, N 2, N u = δ j [y(t + j t) w(t + j)] 2 + λ j [Δu t + j 1 ] 2 j =N 1 j =1 y(t + j t): Es la predicción óptima de la salida del proceso j pasos adelante. N 1 : Horizonte mínimo de predicción. N 2 : Horizonte máximo de predicción. N u : Horizonte de control. δ(j) y λ(j):secuencias de ponderación. En la práctica δ j = 1 y λ(j) variable w(t + j): Es la trayectoria futura de referencia o Set-point. El objetivo es el cálculo de la secuencia de control futura u t, u t + 1 de tal manera que la salida futura del proceso y(t + j) se aproxime lo mejor posible a w(t + j).

82 PREDICCIÓN ÓPTIMA Aplicando el algoritmo de la división, el último término del modelo CARIMA, se puede escribir en la forma: 1 A z 1 = E j z 1 + z j F j (z 1 ) A z 1 Para simplificar: A z 1 = A, B z 1 = B, E z 1 = E, F z 1 = F. Entonces: Haciendo A = A = 1 z 1 A 1 = AE j + F j z j se obtiene: 1 = AE j + F j z j AE j = 1 F j z j F j = 1 AE j z j Haciendo G j = BE j la ecuación del modelo CARIMA se puede escribir así: y t + j = G u t + j d 1 + F j y t + E j e t + j La mejor predicción de y(t + j) se obtiene cuando e t + j = 0, es decir: y t + j = G u t + j d 1 + F j y t

83 FORMA MATRICIAL DE LA ECUACIÓN DE PREDICCIÓN La ecuación de mejor predicción se puede escribir en forma matricial así: Donde: y = y(t + d + 1 t) y(t + d + 2 t) y(t + d + N t) G z 1 = y = Gu + F z 1 y t + G z 1 Δu t 1 G = g o 0 0 g 1 g o 0 g N 1 g N 2 g o u = z[g d+1 z 1 g 0 ] z 2 [G d+2 z 1 g 0 g 1 z 1 ] z N [G d+n z 1 g 0 g 1 z 1 g N 1 z (N 1) ] Δu(t) Δu(t + 1) Δu(t + N 1) F z 1 = F d+1 (z 1 ) F d+2 (z 1 ) F d+n (z 1 ) Los dos últimos términos de la ecuación de predicción dependen solo del pasado por lo tanto, pueden agruparse en un solo término f, dando lugar a: y = Gu + f

84 OBTENCIÓN DE LA LEY DE CONTROL La función de costo a minimizar en el control predictivo generalizado es: N 2 N u J N 1, N 2, N u = δ j [y(t + j t) w(t + j)] 2 + λ j [Δu t + j i ] 2 j =N 1 j =1 Reemplazando y en esta ecuación y con δ j = 1 se obtiene: N 2 N u J N 1, N 2, N u = [ Gu + f w(t + j)] 2 + λ j [Δu t + j i ] 2 j =N 1 j =1 Al minimizar esta expresión y resolviendo para Δu se obtiene la ley de control: Δu = K w f Siendo K, la primera fila de K T = (G T G + λi) 1 G T

85 EJEMPLO DE CONTROL PREDICTIVO La figura representa un horno en el cual el material que entra a temperatura T i debe salir a temperatura T. La F de T que relaciona la temperatura del horno con el flujo de combustible es: G z = T(z) F(z) = 0.4(z + 0.5) z 2 (z 2 0.6z + 0.4) T = 0.5s Diseñar un controlador predictivo con horizonte máximo de predicción igual a 5, horizonte máximo de control 5 y factor de ponderación del esfuerzo de control 1.5

86 SOLUCIÓN La función de transferencia del sistema se puede escribir como: G z = 0.4z z z 1 z z 2 m = 2 d = 2 Horizonte mínimo de predicción: N 1 = d + 1 = 3 Horizonte máximo de predicción: N 2 = 5 Horizonte máximo de control: N u =5 A z 1 = 1 0.6z z 2 B z 1 = z 1 A z 1 = 1 z 1 A = 1 1.6z 1 + z 2 0.4z 3 Predicciones E j +1 = E j + f j,0 z j F j = (1 E j A)z j G j = E j B

87 CÁLCULO DE LAS PREDICCIONES E 1 = 1 E 1 = 1 F 1 = (1 E 1 A)z G 1 = E 1 B E 2 = E 1 + f 1,0 z 1 F 1 = 1.6 z z 2 G 1 = z 1 E 1 = z 1 F 2 = (1 E 2 A)z 2 G 2 = E 2 B E 3 = E 2 + f 2,0 z 2 F 3 = (1 E 3 A)z 3 G 3 = E 3 B E 4 = E 3 + f 3,0 z 3 F 4 = (1 E 4 A)z 4 G 4 = E 4 B E 5 = E 4 + f 4,0 z 4 F 5 = (1 E 5 A)z 5 F 2 = z z 2 G 2 = z z 2 E 3 = z z 2 F 3 = z z 2 G 3 = z z z 3 E 4 = z z z 3 F 4 = z z 2 G 4 = z z z z 4 E 5 = z z z z 4 F 5 = z z 2 G 5 = E 5 B G 5 = z z z z z 5

88 ECUACION DE PREDICCIÓN La ecuación de predicción entre N 1 = 3 y N 2 = 5 es: y = F z 1 = G z 1 = y(t + d + 1 t) y(t + d + 2 t) y(t + d + N t) F d+1 F d+2 F d+3 = G d+1 G d+2 G d+3 = y = Gu + F z 1 y t + G z 1 Δu t 1 = F 3 F 4 F 5 = G 3 G 4 G 5 y(t + 3 t) y(t + 4 t) y(t + 5 t) = G = G d+1 G d+2 G d+3 = G 3 G 4 G 5 = z z z z z z z z z z z z

89 ECUACIÓN DE PREDICCIÓN y = Gu + F z 1 y t + G z 1 Δu t 1 y(t + 3 t) y(t + 4 t) y(t + 5 t) = u(t) u(t + 1) u(t + 2) z z z z z z 2 y t Es decir: y t + 4 t y t + 5 t y t + 6 t z z z z z z 2 u(t 1) = u t u t + 1 u t u t u t u t y t 0.92y t y t u t u t u t y t 0.672y t y t u t u t u t y t y t y t 2

90 La ley de control es: CÁLCULO DE LA LEY DE CONTROL u = K(w f) En donde K es la primera columna de (G T G + λi) 1 G T. Con λ = 1.5 se obtiene: Entonces Δu = (G T G + λi) 1 G T = K = w t 0.84 u t u t u t y t y t y t 2 w t u t u t u t y t y t y t 2 w t u t u t u t y t y t y t 2 Δu(t) = w t Δu t Δu t Δu t y t y(t 1) y(t 2)

91 IMPLEMENTACIÓN DE LA LEY DE CONTROL u = u t u t u t u t y t Finalmente: y t y t w(t) U z = z 4 z z z 2 W z z z z z z z z 2 Y z z

92 CONTROL PREDICTIVO EJEMPLO 2 Para el sistema de control de la figura diseñe un controlador predictivo. Horizonte de predicción 3, horizonte de control 3, λ = 1 y periodo de muestreo T = 2 s. SOLUCIÓN: La función de transferencia de pulso para el sistema es: HG z = 1 z 1 I m N 1 = d + 1 = 1 N 2 = 3 N u = 3 A z 1 = z 1 B z 1 = z 1 A z 1 = 1 z z S 8S + 1 = z z z 1 m = 2 d = 0 A(z 1 ) = z z 2

93 PREDICCIONES Las ecuaciones para obtener la predicción son: E j +1 = E j + f j,0 z j F j = 1 E j A z j G j = BE j E 1 = 1 E 1 = 1 F 1 = 1 E 1 A z G 1 = BE 1 E 2 = E 1 + f 1,0 z 1 F 2 = 1 E 2 A z 2 G 2 = BE 2 E 3 = E 2 + f 2,0 z 2 F 3 = 1 E 3 A z 3 G 3 = BE 3 F 1 = z 1 G 1 = z 1 E 2 = z 1 F 2 = z 1 G 2 = z z 2 E 3 = z z 2 F 3 = z 1 G 3 = z z z 3

94 ECUACIÓN DE PREDICCIÓN La ecuación de predicción está dada por: En donde: y = y(t + d + 1 t) y(t + d + 2 t) y(t + d + N t) y = Gu + F z 1 y t + G z 1 Δu t 1 G = g o 0 0 g 1 g o 0 g N 1 g N 2 g o u = Δu(t) Δu(t + 1) Δu(t + N 1) G z 1 = y t+2 y t+3 y t+4 = z[g d+1 z 1 g 0 ] z 2 [G d+2 z 1 g 0 g 1 z 1 ] z N [G d+n z 1 g 0 g 1 z 1 g N 1 z (N 1) ] u t u t+1 u t+2 + F z 1 = z z z -1 y t F d+1 (z 1 ) F d+2 (z 1 ) F d+n (z 1 ) u t-1

95 LEY DE CONTROL La ecuación anterior se puede escribir en la forma: y = Gu + f y(t + 2) y(t + 3) y(t + 4) = u(t) u(t + 1) u(t + 2) u t y t y(t 1) u t y t y(t 1) u t y t y(t 1) Finalmente, la ley de control es: u = K(w f) En donde K es la primera fila de la matriz: (G T G + λi) 1 G T Con λ = 1 (G T G + λi) 1 G T = K =

96 IMPLEMENTACIÓN DE LA LEY DE CONTROL Δu t = w t Δu t y t y(t 1) u t = u t u t y t y t w t Tomando la transformada z a la ecuación anterior: z z 2 U z = W z z 1 Y(z) Es decir: U z = z 2 z z z z z z

97 CONTROLADOR POR EL MÉTODO DE RAGAZZINI El método Truxal-Ragazzini, permite diseñar un controlador D(z) de modo que la secuencia de error e(kt), ante una señal de referencia particular, sea cero tras un número N de periodos de muestreo y se mantenga así, sin oscilaciones. Para el sistema de control discreto mostrado en la figura, la función de transferencia de lazo cerrado es: G w z = C(z) R(z) = D z HG(z) 1 + D z HG(z) Si se especifica cuál debe ser el comportamiento de la planta en lazo cerrado, es decir, si se especifica G w (z), el controlador D(z) resultante es: D z = 1 HG z G w z 1 G w z

98 RESTRICCIONES PARA EL DISEÑO POR RAGAZZINI El problema consiste en establecer e implementar restricciones específicas sobre G w (z) de modo que el controlador sea realizable. Dichas restricciones son: 1. Restricción de causalidad: Para que D(z) en la ecuación sea causal, G w z debe cumplir con la condición: G w (z) z= = G w z = b oz n + b 1 z n 1 + b n z n + a 1 z n 1 + a n En donde: z n + a 1 z n 1 + a n = 0, es la ecuación característica deseada 2. Restricción de estabilidad: Si HG(z) tiene polos o ceros fuera del círculo Z= unitario, se deben cumplir las siguientes condiciones: = 0 1 G w (z) debe tener como ceros todos los polos de HG(z) que estén fuera del círculo unitario. G w (z) debe tener como ceros todos los ceros de HG(z) que estén fuera del círculo unitario.

99 RESTRICCIONES PARA EL DISEÑO POR RAGAZZINI 3. Restricción de exactitud: Como G w (z) es la función de transferencia del sistema en lazo cerrado, entonces el error está dado por: E z = 1 G w z R z Si el sistema es tipo 1, con constante de error de velocidad Kv, debe tener un error de estado estable igual a cero ante una entrada en escalón unitario y 1/Kv de error de estado estable ante una entrada en rampa unitaria, es decir: Para un escalón unitario : G w (z) z=1 = 1 Para una rampa unitaria: d G w (z) dz z=1 = 1 TK v La aplicación de las restricciones anteriores y el cumplimiento de las especificaciones impuestas al sistema, permiten el diseño del compensador.

100 EJEMPLO 1: DISEÑO DE CONTROLADOR POR RAGAZZINI La figura representa el esquema de una antena diseñada para rastrear un satélite. La dinámica del sistema que describe el movimiento de la antena se puede aproximar mediante la expresión: G p S = θ(s) U(S) = 0.02 S(S + 0.2) Diseñar un compensador según Ragazzini de modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga tiempo de crecimiento de 10 s, sobreimpulso máximo del 10% y coeficiente estático de error de velocidad igual a 2.

101 SOLUCIÓN: OBTENCIÓN DEL MODELO EN LAZO CERRADO HG z = 1 z 1 I G p S S = 1 z 1 I 0.02 S 2 S La ubicación deseada para los polos de lazo cerrado está dada por: De las condiciones del problema: z = e ξw n T θ = 57.3w n T 1 ξ 2 == (z ) z 1 (z ) M p = e πξ 1 ξ = e πξ 1 ξ 2 ξ = t r = ξ w n w n = ξ t r w n = rad/s z = θ = 21 o z = ± j0.273 La ecuación característica deseada es: z z = 0 Como el sistema es de segundo orden, G w (z) debe ser de la forma: G w z = b o z 2 + b 1 z + b 2 z z

102 RESTRICCIONES PARA LA SOLUCIÓN a) Restricción de causalidad : G w z z = 0 b o = 0 b) Restricción de estabilidad: no se aplica pues G w (z) no tiene polos ni ceros fuera del círculo unitario. c) Restricción de exactitud : Entrada escalón Entrada Rampa G w z z=1 = b o + b 1 + b = 1 b 1 + b 2 = Ec C 1 d G w (z) dz z=1 = 1 TK v z z b o z + b 1 b o z 2 + b 1 z + b 2 2z z z z=1 = b b 2 = Ec. C 2 Resolviendo las ecuaciones C 1 y C 2 se obtiene: b 1 = , b 2 = 0.378

103 CÁLCULO DEL CONTROLADOR La ecuación del controlador es: D z = 1 HG z G w z 1 G w z G w z = z z z = (z ) z z G w z = z z z z Reemplazando en la ecuación del controlador: = z 1 (z ) z z D z = z 1 (z ) (z ) (z ) z 1 (z ) D z = z (z ) z (z )

104 RESPUESTA DEL SISTEMA CON EL CONTROLADOR El controlador presenta "efecto timbre", debido al polo ubicado en z = Para obviar el problema se reemplaza dicho polo por una ganancia que se obtiene haciendo en él z = 1, como se indica a continuación: D z = z (z ) z (z ) = z 1 ( z 1 ) z 1 ( z 1 ) D z = z 1 ( z 1 ) z 1 ( ) = z (z ) z(z )

105 EJEMPLO 2: DISEÑO DE CONTROLADOR POR RAGAZZINI La función de transferencia de pulso de un sistema discreto en lazo abierto es: HG z = 0.4(z + 1.5) z(z 0.8) Diseñar un controlador según el método de Ragazzini de modo que el sistema, en lazo cerrado, tenga polos ubicados en z = 0.4 y z = 0.5 y error de estado estable igual a cero ante una entrada en escalón unitario. SOLUCIÓN: la función de transferencia del sistema tiene un cero por fuera del círculo unitario y se puede escribir en la forma: HG z = 0.4z z 2 0.8z La ecuación característica deseada es: Por lo tanto G w (z) es de la forma: z 0.4 z 0.5 = z 2 0.9z = 0 G w z = b oz 2 + b 1 z + b 2 z 2 0.9z + 0.2

106 RESTRICCIONES PARA LA SOLUCIÓN a) Restricción de causalidad: Por lo tanto: G w z z= = 0 b o = 0 G w z = b 1 z + b 2 z 2 0.9z b) Restricción de estabilidad: HG(z) tiene un cero inestable, por lo tanto G w (z) debe tener como cero el cero inestable de HG(z) es decir: G w z = (z + 1.5)b 1 z 2 0.9z c) Restricción de exactitud: el sistema en lazo cerrado es tipo cero, para que tenga error cero al escalón unitario se debe cumplir que: G w z z=1 = 1 (z + 1.5)b 1 z 2 0.9z z=1 = 1 b 1 = 0.12 G w z = 0.12(z + 1.5) z 0.4 (z 0.5)

107 CÁLCULO DEL CONTROLADOR La ecuación del controlador es: D z = 1 HG z G w z 1 G w z 1 G w z = (z + 1.5) z 0.4 (z 0.5) = z2 1.02z z 0.4 (z 0.5) D z = 1 HG(z) G w (z) 1 G w (z) = z(z 0.8) 0.4(z + 1.5) 0.12(z + 1.5) z 0.4 (z 0.5) z z z 0.4 (z 0.5) D z = M(z) E(z) = 0.3z(z 0.8) z 1 (z 0.02)

108 CONTROL CON MODELO INTERNO (IMC) Los métodos de control que incorporan dentro del controlador un modelo del proceso son conocidos como control con modelo interno o IMC. La figura a) muestra un sistema de control realimentado en donde GP(S) es el modelo de la planta y G c (S) es el controlador del sistema. La figura b) muestra el diagrama de bloques básico del sistema de control basado en modelo, en donde G p (S) es un modelo de la planta G p (S), en la práctica se hace G p (S) = G p (S) y G c S es el modelo del controlador con modelo interno IMC.