MATRIZ DE EQUILIBRIO

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1 MATRIZ DE EQUILIBRIO DE ESTRUCTURAS TRIANGULADAS DE BARRAS ARTICULADAS CON CARGAS EN LOS NODOS Jose L. Fernandez Cabo Departaento de Estructuras ETS de Arquitectura de Madrid. Universidad Politécnica de Madrid. ARCHIVO DIGITAL UPM: Madrid 2 de Junio 22 (v4) Licencia Creative Coons tipo: Reconociiento NoCoercial SinObraDerivada (by nc nd)

2 . Introducción La palabra clave de toda la teoría de estructuras es sin duda equilibrio. El análisis de una estructura se hace iponiendo las condiciones de equilibrio ya sea en prier o segundo orden en condiciones estáticas o dináicas. Decios que la estructura es isostática cuando el siple uso de las ecuaciones de equilibrio perite obtener los esfuerzos de la estructura. Esta cuestión sólo queda copletaente clara cuando soos capaces de establecer y estudiar dichas ecuaciones. Eso es precisaente lo que vaos a hacer en este texto aunque liitado al el caso de estructura trianguladas articuladas con cargas en los nodos. Se plantearán las ecuaciones para el caso general espacial. El uso de ordenadores ha potenciado el étodo de los desplazaientos frente al de las fuerzas ya que su ipleentación es ás sencilla. En dicho étodo la cuestión clave es el ensablaje de la atriz de rigidez de estructura; que es de hecho nace de las plantear las ecuaciones del equilibrio en térinos de los grados de libertad cineáticos es decir los oviientos en los nodos. Pero para ello no es necesario plantear el equilibrio en térinos de esfuerzos; de hecho nuéricaente trabajando con el ordenador no es rentable hacerlo. Esto hace que uchos textos sólo aborden el estudio de la atriz de rigidez lo que sin duda desdibuja la cuestión central: el equilibrio. Pero desde el punto de vista pedagógico es indispensable plantear las ecuaciones del equilibrio en su fora ás pura es decir en función de los esfuerzos. Adeás desde el punto de vista teórico la cuestión es de capital iportancia aunque no es objeto de este texto entrar con detalle en el porqué de esa iportancia. El lector puede consultar el trabajo pionero de Livesley (97) de la escuela de Cabridge y cuya obra ha tenido una gran influencia en el análisis de estructuras; o el ás reciente de Ha (99) que ha servido en gran edida de base para el trataiento aquí expuesto; y que es un texto ucho ás orientado al estudiante. REFERENCIAS Ha K.H Structural Analysis. Concordia University. Canada. Livesley R. K. 97. Métodos atriciales para el cálculo de estructuras. Editorial Blue Madrid.

3 2. Notación variables del problea convenio de signos y ábito de la solución 2..Notación Los escalares se representan por inúsculas en cursiva (noral sin negrita). El signo de ultiplicación entre se oite coo regla general (no sólo entre escalares). Por ejeplo a indica la ultiplicación de por el escalar a. Los vectores se representan por inúsculas en cursiva y en negrita y por defecto indican un vector coluna que adeás se cierra siepre con un corchete. Para el vector fila se usa el síbolo de traspuesta. Por ejeplo: 2 T a= ; a = { 2 } T = [ 2 ] Las atrices se representan por ayúsculas con cursiva y en negrita. Por ejeplo: A= Para la atriz diagonal se podrá usa un corchete especial: B= 2 = En los dibujos que representan la estructura los núeros asociados a los nodos no llevan ningún síbolo adicional pero los asociados a las barras se insertan en un rectángulo. Por ejeplo: 2.2.Variables del problea y convenio de signos Si la estructura está en equilibrio lo está en su conjunto y en cada una de sus partes. Las ecuaciones de equilibrio se plantearán nodo a nodo es decir en sus partes lo que iplica por un lado a las fuerzas nodales (cargas en los nodos) y por otro a los esfuerzos en la barras en este caso sólo norales o axiles ya que se trata de barras articulas y sólo se aditen fuerzas nodales. Pero adeás sólo se plantea el equilibrio asociado a los grados de libertad (GDL). Veáoslo sobre un sencillo ejeplo.

4 Y 2 X 45 o 2 45 o Fig. Ejeplo de nueración de nodos y barras En dicha figura aparece adeás el convenio para uno de los dos sisteas de signos usados el de fuerzas nodales o acciones que coincide adeás con el de los oviientos de los nodos. Coo en cualquier otro ábito del análisis de estructuras anejaos en total dos sisteas de signos totalente independientes (Fig. 2) el sistea de fuerzas nodales o acciones y oviientos de los nodos. La geoetría juega tabién con el sistea y para el sistea 2 de esfuerzos y deforaciones. Sistea Sistea 2 Y + X Geoetría acciones y oviientos Esfuerzos y deforaciones Fig. 2 Convenio de signos para el sistea de geoetría fuerzas nodales o acciones y oviientos de los nodos; y para el sistea 2 de esfuerzos y deforaciones. Las ecuaciones de equilibrio se plantean nodo a nodo. Gráficaente (ver Fig. ) resulta ás intuitivo. Para hacerlo analíticaente coo luego vereos es iprescindible la claridad en el convenio de signos antes definido o 45 o 45 o 45 o Fig. Equilibrio en el nodo 2 El esquea gráfico de la Fig. iplica en realidad dos ecuaciones de equilibrio la de equilibrio de fuerzas en vertical y horizontal. Y eso a su vez iplica que el nodo 2 no tiene coaccionado ni el oviiento vertical ni el horizontal. Es decir el desplazaiento del nodo 2 en vertical y horizontal son dos de los GDL de esta estructura.

5 Lo que finalente hareos será precisaente un trataiento sisteático analítico de los equilibrios de fuerzas en vertical y horizontal nodo a nodo en todos los GDL. Al plantear la atriz de equilibrio supondreos conocidas las fuerzas nodales y el problea consiste por tanto es conocer los esfuerzos norales de las barras que son finalente las variables del problea. 2..Ábito de la solución El equilibrio nodo a nodo se plantea en la posición inicial de la estructures lo que se denoina prier orden. El trataiento del segundo orden pasa por aquí de anera que el caino recorrido no es estéril.

6 . Equilibrio de la barra aislada: contribución al equilibrio global Casi siepre hay alternativas a la hora de tratar un problea aunque al final el resultado sea el iso. Priero y de una fora clásica pensareos en la contribución de una barra cualquiera a la atriz de equilibrio y en concreto al equilibrio de los nodos i y j a los que se une dicha barra (Fig. 4). jy jx jy Y jx X Fig. 4 Contribución de la barra al equilibrio de los nodos (ij) que la definen. En la Fig. 4 se uestra equilibrio en los nodos i y j a los que se une la barra. Nótese que nos ateneos al convenio de signos antes definido. Del equilibrio en los nodos i y j se deducen las siguientes ecuaciones:... pix = f cosα piy = f cos β... pjx = f cosα pjy = f cos β... Si llaaos l a la longitud de la barra se tiene: cosα = cos β = x y j j x l i y l i Esas ecuaciones coo se verá enseguida nos dan la pauta para ensablar el efecto de una barra cualquiera dentro de la atriz de equilibrio.

7 Obviaente puede haber otras barras que confluyan en los nodos i y j. El esquea ahora ostrado uestra la contribución sólo de la barra pero que ejeplifica el étodo para definir la contribución de cualquier otra barra unida a cualesquiera dos nudos de la estructura. Consideraos el vector de de fuerzas nodales p y el de esfuerzos f ordenados del siguiente odo:... pix f p... iy p=... ; f = f ; p... jx p jy fb... b* 2 n* Donde n es el núero total de nodos (de oento no consideraos las coacciones lo hareos después aunque se podría coo tabién vereos plantear el equilibrio directaente para los GDL punto en el que de uno u otro odo hay que acabar) y b el núero total de barras. De acuerdo con esa organización de los datos y con la Fig. 4 la contribución de la barra en la atriz de equilibrio H será: ( coluna )... p... cos α... f ix p... cos β iy... = f p... cos α jx + p jy... + cos β... fb b* 2 n* 2 n* b p = H f 2n* 2n*b b* El trabajar con los cosenos directores perite generalizar el planteaiento para el caso de D de fora directa coo se uestra a continuación.

8 ( coluna ) cos α... pix p... cos β... iy f p... cos γ... iz = f p = H f p... + cos α... jx... n* n*b b* p... + cos β... jy fb p jz... + cos γ... b* n* nb * Donde ( α βγ) son los cosenos directores definidos por la dirección de la barra con los convenios antes definidos con los ejes globales (xyz) respectivaente; y siendo por tanto cosγ z z = j i l A partir de aquí el problea se reduce priero a ir suando las contribuciones de cada una de las barras; y segundo a eliinar las ecuaciones asociadas a coacciones pues el equilibrio se plantea sólo en los GDL. El equilibrio en las coacciones se plantea pero en una fase posterior y peritirá obtener el valor de las reacciones. Si se quisiera una optiación nuérica del proceso se podría plantear el equilibrio directaente sólo en los GDL pero pensaos que el étodo expuesto tiene ventajas pedagógicas. Por otra parte cabiar el algorito para seleccionar sólo las ecuaciones asociadas a los GDL es uy siple y tabién se ostrará. La atriz de equilibrio no es en principio cuadrada. La estructura es isostática si los esfuerzos pueden obtenerse usando exclusivaente dichas ecuaciones de equilibrio. Esto iplica que para que la estructura sea isostática la atriz H debe ser cuadrada y su rango áxio (lo que iplica que su deterinante no sea nulo).

9 4. Ordenación de los datos a tratar sobre un ejeplo La Fig. 5 uestra la sencilla estructura que se usará de base para el ejeplo que es de hecho la usada anteriorente para ejeplificar la nueración de barras y nodos. Y 2 X 45 o 2 45 o Fig. 5 Nueración de nodos y barras Nueradas barras y nodos queda definida la atriz de conectividad. Nótese que a cada barra se le asigna no sólo una dirección sino tabién un sentido definido del nodo inicial al final. Habitualente se usa el criterio de considerar coo origen el nodo de núero ás bajo. Es iportante resaltar que ese criterio no es obligatorio pero sí la definición de un sentido necesario para definir unívocaente los cosenos directores de cada barra. La atriz de conectividad del ejeplo es: i j atriz de conectividad = 2 La fila corresponde por tanto a la barra núero ; la priera coluna corresponde al nodo inicial i y la segunda al nodo final j. Al considerar que i ( nodo inicial) < j ( nodo final) se está asuiendo iplícitaente el sentido de las barras coo i j es decir desde el nodo i hasta el nodo j (véase la Fig. 6).

10 2 Fig. 6 Sentido iplícito asuido por las barras en el ejeplo para el cálculo de los cosenos directores. El siguiente paso es nuerar los GDL de la estructura debidaente sustentada i.e. la estructura incluyendo sus coacciones. Finalente vaos a usar sólo los activos es decir sin las coacciones. Coo ya se ha dicho con el fin de que se entienda ejor el proceso en un prier algorito priero nuerareos todos los posibles GDL (es decir el de la estructura sin coaccionar) y luego ipondreos las coacciones anejando ya los GDL de la estructura con sus coacciones; i.e. lo que verdaderaente se puede denoinar la estructura. 2 La fora ás siple y sisteática es nuerar con el orden de los nodos y expandiendo el núero de eleentos en concordancia con el áxio GDL oviientos u por nodo. Se usa adeás el criterio de = coaccionado y = libre. Según esto en el ejeplo: ux u y 2 u 2x u2 y u x u y Fig. 7 vector que define los GDL (oviientos en este caso) de la estructura De acuerdo con ello la atriz de equilibrio sin coacciones H T es: 2 cosα cosα 2 cosα cosα2 cos β cos β2 cos β cos β2 cosα cosα 2 cosα cosα H T = cos β cos β cos β cos β cosα2 cosα cosβ2 cosβ cosα2 cosα cosβ2 cosβ

11 Y considerando finalente las coacciones establecidas la atriz de equilibrio final (realente la única atriz de equilibrio pues este no puede establecerse sin coacciones) H es: ux u y cosα cosα 2 u 2x cosα cosα GDL cos β cos β H = = 2 cos β cos β u y cosα2 cosα u cosα2 cos α x u y

12 5. Algorito de ensablaje: ipleentación en Maple Se va a explicar un algorito que ipleenta los pasos anteriores en Maple de fora ya general en D y usando adeás el iso ejeplo. Ref.: ensablaje atriz equilibrio 22_6_2a_v4 restart; with(linearalgebra): Nu_Nod:=;#nuero de nodos Nu_Bar:=;#nuero de barras Nu_Nod := Nu_Bar := H_t:=Matrix(Nu_Nod*Nu_Bar);#diension de la atriz de equilibrio total sin coacciones H_t := Coor_Nod:=Matrix(Nu_Nod): Coor_Nod:=Matrix([[][][2]]);#coordenadas de los nodos en XYZ Coor_Nod := 2

13 Coac_Nod:=Matrix(Nu_Nod): Coac_Nod:=Matrix([[][][]]);#coacciones de los nodos en XYZ; =coaccionado =libre Coac_Nod := erece la pena ponerlo en fora de vector en paralelo a los g.d.l. y a las acciones nodales está en el orden antes definido ( p ix p iy p iz ) Coac_Nod_Vec:=Vector(Nu_Nod*); Coac_Nod_Vec := for i fro to Nu_Nod do Coac_Nod_Vec[*i-2]:=Coac_Nod[i]: Coac_Nod_Vec[*i-]:=Coac_Nod[i2]: Coac_Nod_Vec[*i]:=Coac_Nod[i]: end do; Coac_Nod_Vec := Coac_Nod_Vec 2 := Coac_Nod_Vec :=

14 Coac_Nod_Vec 4 := Coac_Nod_Vec 5 := Coac_Nod_Vec 6 := Coac_Nod_Vec 7 := Coac_Nod_Vec 8 := Coac_Nod_Vec 9 := Coac_Nod_Vec; Coac_List:=[]; Coac_List := [] lista grados de libertad coaccionados List_Coac for i fro to (Nu_Nod*) do if Coac_Nod_Vec[i]= then Coac_List:=[op(Coac_List) i] end if: end do: Coac_List; [ 2689 ] Lista de grados de libertad activos en donde se plantean las ecuaciones de equilibrio

15 Equil_List:=[]; Equil_List := [] for i fro to (Nu_Nod*) do if Coac_Nod_Vec[i]= then Equil_List:=[op(Equil_List) i] end if: end do: Equil_List; [ 457 ] Conec_Nod:=Matrix(Nu_Bar2):#atriz de conectividad de los nodos Conec_Nod:=Matrix([[2][][2]]); 2 Conec_Nod := 2 Cos_Dir_Bar:=Matrix(4Nu_Bar);#ordenación de los cosenos directores (l=priera filan) y la longitud de la barra L=cuarta fila según la atrix de conectividad definda Cos_Dir_Bar := for i fro to Nu_Bar do ini:=conec_nod[i]:fin:=conec_nod[i2]:#se calcula en núero de nodos inicial y final

16 Cos_Dir_Bar[4i]:=((Coor_Nod[fin]- Coor_Nod[ini])^2+(Coor_Nod[fin2]- Coor_Nod[ini2])^2+(Coor_Nod[fin]- Coor_Nod[ini])^2)^.5:#longitud Cos_Dir_Bar[i]:=(Coor_Nod[fin]- Coor_Nod[ini])/Cos_Dir_Bar[4i]: Cos_Dir_Bar[2i]:=(Coor_Nod[fin2]- Coor_Nod[ini2])/Cos_Dir_Bar[4i]: Cos_Dir_Bar[i]:=(Coor_Nod[fin]- Coor_Nod[ini])/Cos_Dir_Bar[4i]: end do: Cos_Dir_Bar; for j fro to Nu_Bar do ini:=conec_nod[j]:fin:=conec_nod[j2]:# nudos inicial y final de cada barar H_t[*ini-2j]:=-Cos_Dir_Bar[j]: H_t[*ini-j]:=-Cos_Dir_Bar[2j]: H_t[*inij]:=-Cos_Dir_Bar[j]: H_t[*fin-2j]:=Cos_Dir_Bar[j]:

17 H_t[*fin-j]:=Cos_Dir_Bar[2j]: H_t[*finj]:=Cos_Dir_Bar[j]: end do: ontaje de la atriz de equilibrio H que tiene por tanto en cuenta las coacciones ontaje de H por borrado de las filas coaccionadas H:=DeleteRow(H_tCoac_List); H := P_t:=Vector([-]); := P_t - Las siguientes instrucciones van a ontar el vector de fuerzas nodales para la estructura debidaente coaccionada. p nops(equil_list);#da el núero de operandos de la lista P:=Vector(nops(Equil_List)); P :=

18 for i fro to nops(equil_list) do P[i]:=P_t[Equil_List[i]]: end do: P; - esfuerzos N:=MatrixVectorMultiply(MatrixInverse(H)P); N := Al igual que sucede con el ensablaje de la atriz de equilibrio el hacerlo priero para la estructura sin coaccionar y luego para la coaccionada (la que realente es una estructura) es una cuestión puraente educativa. No obstante desde el punto de vista práctico y aunque algo ás costoso en tiepo de ordenador este procediiento ofrece la ventaja de ir cabiando las coacciones de la estructura y obtener la nueva atriz de equilibrio a partir de la total previaente ensablada.

19 6. Algorito 2 de ensablaje: ipleentación en Maple Fig. 8 Ejeplo de estructura triangulada de barras articuladas 7. Notas finales