CAPÍTULO UNO. NOCIONES SOBRE MUESTREO Y RECONSTRUCCIÓN DE SEÑALES.

Transcripción

1 CAPÍULO UNO. NOCIONES SOBRE MUESREO Y RECONSRUCCIÓN DE SEÑALES. I.. INRODUCCIÓN. La figura. represena un clásic esquema de cnrl digial. La señal a cnrlar, y(), es muesreada a ravés de un cnveridr analógic digial A/D y cmparada cn el valr de referencia ( se-pin) r(n) almacenad en una psición de memria del sisema de micrcómpu en el cual se implemena el cnrladr digial. La infrmación que resula de esa cmparación (señal de errr discrea), es prcesada pr el micrcmpuadr, que mediane un algrim recursiv, genera una señal de mand discrea u(n) que es cnverida en analógica a ravés de un cnveridr D/A. Esa secuencia de peracines es realizada cada segunds, siend el períd de muesre. Sisema de micrcómpu. Acuadr de pencia. r(n) e(n) u(n) u() D D/A AC. + - y(n) A/D Prces G(s) Perurbación p(). + y() Figura.. Esquema básic de cnrl digial. En el esquema de la figura pueden disinguirse ds ips de señales: - Señales cninuas analógicas. Sn aquellas definidas para d insane de iemp (u(), y(), p()). - Señales de iemp discre. Sn aquellas únicamene definidas en ls insanes de iemp = n, siend n un númer ener y el períd de muesre (r(n), e(n), u(n)). A ls efecs de simplificar deerminadas expresines, la siguiene nación ambién será empleada para las señales discreas: f n = f (n ). (-) Desde el pun de visa del análisis y diseñ de sisemas de cnrl muesreads, el esquema de la figura. n difiere del clásic esquema de ex de la figura.2.

2 p() r + - e() e(n) D u(n) D/A u() Prces + G(s) y() Figura.2. Esquema simplificad de cnrl digial. Si se preende analizar el cmpramien del sisema de la figura.2 (.), uilizand las herramienas maemáicas que se emplean en sisemas analógics, se chca cn el primer incnveniene: n exise la ransfrmada de Laplace de una señal que sól esá definida en alguns puns, y pr cnsiguiene n ds ls blques de la figura.2 pueden ser mdelads cn funcines de ransferencia. Para bviar el incnveniene ciad en el úlim párraf, se planeará un mdel del cnjun cnveridr A/D - cnrladr digial - cnveridr D/A, que vis desde sus exrems presene el mism cmpramien que ese cnjun y además que las señales en su inerir, aunque disinas a las reales, permian el emple de nuesrs cncimiens referids a sisemas cninus. I.2. MODELO DEL MUESREADOR (CONVERSOR A/D) Y RECONSRUCOR DE SEÑAL (CONVERSOR D/A). La figura.3 a) muesra el cnjun A/D D/A a mdelar. En las pares b) y c) de la figura.3 se indican las señales f(), f(n) y y() que crrespndienes a la pare a). a) f() F(s) A/D f(n) D/A y() Y(s) b) f () f (n) 2 (n-) n 2

3 c) y() f () 2 (n-) n Figura.3. a)cnjun a mdelar. b)señal cninua f(), y discrea f(n). c)señal cninua f() y recnsruida y(). La señal recnsruida y() puede ser expresada a parir de una sumaria de escalnes desplazads en el iemp dnde: [ ( n ) ( ( n + ) ] y ( ) = f ( n ) µ µ ), (-2) si n µ ( n ) =. (-3) 0 si < n Lueg, la ransfrmada de Laplace de la señal recnsruida y(), resula: ns nss e e Y ( s) = f ( n ) (-4) s perand: s ns e Y ( s) = f ( n ) e. (-5) s El primer facr de la ecuación (-5), a pesar de ser una expresión en el dmini frecuencial cmplej s, da idea de l que sucede en el iemp, ya que crrespnde a una peración lineal enre ls valres de las disinas muesras de la señal f(n) desplazads en el iemp en = n. Lueg, si a ls efecs de la mdelización se asigna ese facr a la ransfrmación de Laplace de la señal muesreada F (s), el segund facr de la ecuación (-5), crrespnde a la ransferencia del recnsrucr de señal que denminarems (s). Es decir: cn: Y ( s) = F *( s) ( s) (-6) 3

4 ns * ( s) = f ( n e (-7) F ) s e ( s) =. (-8) s Para cmplear el mdel, fala ahra, definir el blque que relacina la ransfrmada de Laplace F(s) de la señal cninua cn la rasfrmada F*(s) asignada a la señal muesreada (figura.4). f() F(s) f * ()? (s) F * (s) y() Y(s) Figura.4. Mdelización del muesreadr y recnsrucr. eniend en cuena que la rasfrmada inversa es ambién una peración lineal, la ani ransfrmada de F*(s) resula: dnde: f *( ) = f ( n ) δ ( n ) (-9) f * ( ) = f ( ) δ ( ), (-0) δ ( ) = δ ( n ) (-) represena a un ren de impulss (figura.5). Es decir, que la señal f*() puede cnsiderarse cm un ren de impulss mdulads pr f(). δ () 2 n Figura.5. ren de impulss δ (). 4

5 De ese md, el cnjun muesreadr y cnveridr D/A mdelad pr medi de ds blques elemenales. El primer (el muesreadr), mdula la señal a muesrear cn un ren de impulss. El segund, nrmalmene denminad recnsrucr de señal de rden cer, enrega en su salida un valr cnsane igual al pes del úlim impuls de enrada. Según la mdelización previa, la acción cnjuna de ls blques A/D, cnrladr digial D y cnveridr D/A debe inerprearse de la siguiene frma: - El mdel del cnveridr A/D enrega en su salida un ren de impulss, cada un de ells pesad cn el valr de la señal analógica en el insane = n crrespndiene. - El cnrladr digial prcesa, a ravés de un algrim recursiv, ls pess de ls impulss de enrada y cada segunds enrega en su salida un impuls pnderad cn el resulad de la ecuación recursiva. - Pr úlim, la acción inegral del recnsrucr de señal cnviere el ren de impulss enregad pr el cnrladr digial en una señal escalnada. I.3. CONENIDO ARMÓNICO DE LA SEÑAL MUESREADA. El ren de impulss δ () es una función periódica que puede ser desarrllada en serie de Furier, siend: dnde: n jn δ ( ) = c e, (-2) c n = 2 2 δ n ( ) e j d. (-3) De la figura.5, se bserva que denr del inerval de inegración (-/2, /2), la función δ () sól esá definida para = 0. Es significa que c n es igual a / e independiene del valr n. Lueg, reemplazand la ecuación (-3) en (-2) resula una nueva expresión para el ren de impulss δ ( ) = = n e j n, (-4) que reemplazada en (-0), permie bener una expresión alernaiva para la señal de salida del muesreadr (ecuación (-9)): f * ( ) = f ( ) n e j. (-5) Aplicand el erema del desplazamien empral de la ransfrmada de Laplace : a la expresión (-5) se biene A parir de esa ecuación se bserva que: F λ { f ( ) e } = F( s λ) L (-6) * ( s) = F( s j n ). (-7) 5

6 - La ransfrmada F*(s) de la señal muesreada f*() iene infinis pls y cers. - La ransfrmada F*(s) cniene, enre rs, ls pls de la ransfrmada de la señal cninua F(s). - Ls pls de la ransfrmada F*(s) se repien periódicamene en. - En principi n puede decirse nada acerca de ls cers, ls cuales se bienen de la facrización de la expresión (-7). Sin mayres dificulades puede planearse una expresión cerrada de la ransfrmada F*(s) (ecuacines (-7) (-7)): F * ( s) = de F( λ) ( sλ ) en pls de F ( λ ) residus e. (-8) Ejempl. Deerminar la ransfrmada de Laplace de la señal que se biene al muesrar la señal cninua f()=-e -. eniend presene que F ( s) =, s( s + ) F*(s) puede calcularse empleand la ecuación (-8) F * ( s) = residus de λ= 0 λ( λ + ) λ= * ( ) + e e F s = s ( s ). e ( sλ ) Las figuras.6 a) y b) muesran la lcación de pls y cers de las ransfrmadas F(s) y F*(s) de las señales analógica y muesreada respecivamene. Se bserva que es psible definir una región del plan s, nrmalmene denminada banda base, limiada pr ds recas hriznales definidas pr: = ±, 2 que se repie periódicamene cada. Se bserva ambién, cm ya fue cmenad, que la lcación de ls pls de F*(s) en la banda base cincide cn la de ls pls de F(s). a) j b) j - Figura.6. a) Diagrama cer-plar de F(s). b) Diagrama cer-plar de F*(s). 6

7 Si se desea calcular el cnenid armónic de la señal muesreada f*() basa cn evaluar el apre de ls pls y cers de F*(s) en s=j. aciend ese reemplaz en (-7) el especr resula: F *( j) = F( j + j n ), (-9) Debid a la repeición periódica de ls pls y cers de la banda base a l larg de d el plan s, ambién es periódic el cnenid armónic de f*(). Se ve así, claramene, que el muesre inrduce un cambi susancial en el especr de la señal f(), que deermina una disrsión debid a la aparición de cmpnenes que n esaban en la enrada. a) F() - b) F * () -2-2 Figura.7. a)cnenid armónic de f(). b)cnenid armónic de f*(). 7

8 De acuerd al erema del muesre: una señal analógica cn cmpnenes armónics limiads pr una frecuencia f max puede ser recnsruida a parir de sus muesras siempre que ésas se men a inervals de iemp </(2 f max ). N bsane el enunciad del erema implica una ciera idealización pues en realidad:. La mayría de las señales n esán esricamene limiadas en frecuencia, si bien la ampliud de sus armónics decae para frecuencias elevadas. 2. Aún en el cas de ener </(2 f max ) sería necesari emplear un filr pasa bajs ideal para recnsruir la señal analógica, y ese filr n es realizable. Pr ess mivs el prces de muesre inrduce una disrsión irreversible (aliasing), y pr ende, n es psible recuperar la señal riginal en frma exaca. Cuan menr sea el grad de cumplimien de las cndicines del erema, mayr será la superpsición de especrs cnigus, cm puede verse en la figura.8. Aún cnsiderand un filr ideal, la zna rayada aparecerá, rebaida a frecuencias menres (zna ennegrecida). Si el períd de muesre es elegid en frma incrreca, la nda que se recupera puede diferir apreciablemene de la riginal. Para reducir al mínim el slapamien de especrs y a su vez eviar la influencia del ruid y ras señales espúreas, se suele efecuar un prefilrad analógic anes del muesre (filrad anialiasing). F * () Τ Figura.8. Superpsición de especrs. 8

9 I.4. RECONSRUCCIÓN DE SEÑALES. Exisen diversas maneras de inerplar y exraplar una señal discrea a ls efecs de bener una señal analógica. Aquí, sól se cnsidera el recnsrucr de rden cer, que es aquel que maniene cnsane, en su salida, el úlim valr de la muesra de enrada. Ese recnsrucr es el más emplead en aplicacines de cnrl aumáic. Recnsrucr de rden cer. La expresión de la función de ransferencia de un recnsrucr de rden cer fue planeada en la sección I.3 (ecuación (-8)). Una alernaiva para calcular esa función de ransferencia es, direcamene calcular la ransfrmada de Laplace de la respuesa impulsinal (h()) del recnsrucr ane una exciación impulsinal (figura.9). a) b) h() δ() Figura.9. a) Exciación Impulsinal. b) Respuesa del recnsrucr de rden cer. Lueg: ( s) = { h( ) } = L{ µ ( ) µ ( )} L (-20) ( s) = s s e s e = s s. (-2) La respuesa en frecuencia del recnsrucr de rden cer puede ser benida a parir del siguiene desarrll: lueg: ( j) j j 2 j 2 j 2 e 2 e e e = =, (-22) j 2 j ( j) ( 2) j 2 sen = e, (-23) 2 y eniend presene que: resula: π =, (-24) 2 9

10 siend: ( j) ( j) ( j) = = π = + θ ( π ) jπ sen π ( π ) sen π e 0 si θ = π si sen sen ( π ) ( π ) < 0 (-25). (-26) > 0 La figura.0 muesra las curvas de módul y fase de la respuesa en frecuencia. Se bserva la caracerísica pasabajs que presena el recnsrucr de rden cer, esa caracerísica hace que a la salida del recnrucr predminen las cmpnenes de baja frecuencia de la señal muesreada (es decir básicamene las que crrespnden a la banda base). Debid a que la ganancia n es cnsane en el rang de frecuencias 0< < y a que la aenuación n es infinia para las frecuencias de las bandas superires, es que la señal recnsruida difiere de la muesreada (figura.3). (j) 4π 2π π π 2π 4π (j) π 2π 4π 4π 2π -π Figura.0. Respuesa en frecuencia del recnsrucr de rden cer. a) Curva de módul. b) Curva de fase. 0