Synchronization of Fractional-Order Systems of the Lorenz type: The Non- adaptive Case

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1 Synchronization of Fractional-Order Systems of the Lorenz type: The Non- adaptive Case E. Delgado, M. A. Duarte, Senior Member, IEEE Abstract This paper presents a synchronization method for fractional order systems of the Lorenz type with known parameters. First we include a study of the isolated behavior of the fractional order Lorenz system (FOLS). Then a master and a slave FOLS are considered and appropriate control signals are designed and applied to the slave system, in order to achieve the synchronization of both systems. These control signals were designed applying the extended Routh-Hurwitz criterion to fractional order systems (FOSs). Simulation results show that synchronization is achieved when all control signals are used, as well as when a reduced number of control signals are employed. 1 Keywords Lorenz s Systems Synchronization, Fractionary Systems. I. INTRODUCCIÓN L OBJETIVO de la sincronización de dos sistemas E dinámicos que evolucionan en forma separada, uno denominado maestro y otro esclavo, es que se acoplen o coincidan en una trayectoria de evolución común a partir de un cierto instante en adelante. Esta sincronización puede ser realizada bajo la hipótesis de que los parámetros de ambos sistemas se conocen (sincronización no adaptiva o simplemente sincronización) o bien suponiendo que dichos parámetros son desconocidos (sincronización adaptable). Las primeras investigaciones relacionadas con sincronización de sistemas caóticos realizadas por Pecora y Carroll[1], atrajeron la atención de científicos e investigadores empleando este concepto en aplicaciones tan diversas como seguridad de sistemas de comunicaciones[2] o sincronización en sistemas biológicos[3]. Hasta el momento se han consolidado diferentes tipos de sincronización entre las que se puede citar la sincronización generalizada[4], sincronización por fase[5], sincronización por retraso[6] y antisincronización[7]. Por otra parte, el cálculo fraccionario ha sido desarrollado desde hace algo más de 300 años, con aplicaciones en ingeniería y física[8]. Su desarrollo ha permitido explicar en forma interdisciplinaria diversos fenómenos tales como sistemas con viscoelasticidad[9], polarización dieléctrica[10], algunos sistemas de finanzas [11] y procesamiento de imágenes, procesamiento de señales y control automático[12]. En años recientes, el estudio del caos y la sincronización de sistemas con dinámica fraccionaria han atraído la atención de autores en distintos campos. Se han estudiado diversos tipos de sistemas tales como el sistema de Rössler[13], el sistema de Duffing modificado de orden fraccionario[14] y el sistema de Chen y de Lü[15], entre otros. En este trabajo se estudia la sincronización de sistemas de orden fraccionario del tipo Lorenz con parámetros conocidos, empleando el criterio de Routh Hurwitz extendido al caso fraccionario, usando diversas de señales de control. El artículo está estructurado de manera que en la Sección II se presenta el planteamiento del problema de sincronización fraccionaria y la solución propuesta. En la Sección III se muestran los resultados correspondientes a las simulaciones de sincronización de sistemas fraccionarios del tipo Lorenz, con parámetros conocidos. Finalmente, en la Sección IV se extraen las principales conclusiones del trabajo II. PLANTEAMIENTO SOLUCIÓN DEL PROBLEMA Consideremos la sincronización de dos sistemas dinámicos del mismo tipo, representados en variables de estado; uno denominado sistema maestro y el otro llamado sistema esclavo, descritos por las ecuaciones =( ), =( ) +() (1) donde q es el orden de la derivada fraccionaria,,, son los estados del sistema maestro y esclavo respectivamente, : : son campos vectoriales y U(t) es la señal de control a diseñar para lograr la sincronización de ambos sistemas. El objetivo es encontrar dicho U(t) tal que lim =0 (2) es decir que ambos sistemas se sincronicen excepto por un factor de escala α (sincronización generalizada proyectiva, GPS), que en este estudio se supondrá escalar y constante. Cuando q=1 se tiene el caso de derivadas enteras, que corresponde a un caso particular de derivadas de orden fraccionario, y que ha sido profusamente estudiado en la literatura técnica[5]. En este estudio consideraremos el problema de sincronización de dos sistemas de orden fraccionario del tipo Lorenz definidos como: =( ) = = (3) E. Delgado, Departamento de Ingeniería Eléctrica y Advanced Mining Technology Center, Universidad de Chile, Santiago, efredy.delgado@gmail.com M. A. Duarte, Departamento de Ingeniería Eléctrica y Advanced Mining Technology Center, Universidad de Chile, Santiago, mduartem@ing.uchile.cl

2 =( ) + = + = + donde en este caso =[ ] y = [ ]. En el caso q=1 se trata de un sistema denominado Lorenz[16], y se sabe que presenta un comportamiento caótico para los siguientes valores de los parámetros: = 10, = 28, = 8/3. La pregunta que se trata de responder, es cómo hacer que ambos sistemas a ser sincronizados, alcancen y mantengan un régimen común a partir de un determinado instante de tiempo. Más aún, cómo lograr esta tarea cuando los sistemas son de orden fraccionario con parámetros conocidos. A continuación, presentaremos una nueva metodología de sincronización basado en la extensión del criterio de Routh Hurwitz a sistemas de orden fraccionario. A. Comportamiento del sistema de Lorenz de orden fraccionario aislado En primer lugar se analizó el comportamiento aislado de un sistema fraccionario del tipo Lorenz, con el fin de observar el tipo de evolución que presenta y comparando con respecto al caso de sistemas de Lorenz (q=1). A partir de las simulaciones realizadas para el sistema, se observó que el comportamiento caótico se presenta cuando se modifica el orden de la derivada fraccionaria. Además, las condiciones iniciales definen hacia qué atractor evolucionará el sistema. Es así como se obtiene un comportamiento caótico cuando el orden de las derivadas fraccionarías satisface 0,99 q 1,17. A partir de q=1,18 el sistema presenta un comportamiento inestable. Para valores q < 0,98 los sistemas tienden asintóticamente a uno de los atractores del sistemas original de Lorenz (q=1), el cual dependerá de las condiciones iniciales que posea el sistema. B. Sincronización no adaptable Supongamos que los parámetros de ambos sistemas (3) y (4) son completamente conocidos. Se define el error de sincronización () =[ ] como (4) () = () () (5) donde =, =, = y es una constante escalar real. Por otra parte, de (3) y (4) se obtiene que la dinámica del error de sincronización queda definida por = / =( + ( 1 )( 3 ) + )/ (7) =( ( 1 ) 2 + )/ La idea de elegir estas señales, es eliminar las no linealidades del sistema (6). Al usar las señales (7)) el sistema presentado en (6) se convierte en un sistema lineal, con señales de entrada =[ ], las que se definirán a continuación de manera adecuada. Si escogemos como una combinación lineal de los errores de sincronización con parámetros A, B, I de la siguiente forma = + + = + + = + + (8) la dinámica del error de sincronización queda finalmente definida por un sistema lineal e invariante dado por = 1 (9) Para sistemas dinámicos lineales e invariantes en el tiempo de orden fraccionario, el criterio de estabilidad presentado en [18] enuncia que la estabilidad de un sistema de la forma [,, ] =[,, ] queda garantizada, si las raíces del polinomio característico (los valores propios de la matriz de evolución del sistema o bien los polos de la función de transferencia) se encuentran fuera del sector determinado por la condición ( ) > ; = 1,2 (10) donde = max(, ) ; y es un valor propio del sistema. Para los sistemas dinámicos fraccionarios es posible variar la frontera de estabilidad que se tiene en los sistemas tradicionales de orden entero. Es decir, se puede prolongar la región de estabilidad (por ejemplo, a lugares en los cuales el sistema entero es inestable), con esto se gana una mayor flexibilidad a la hora de establecer puntos de trabajo de un sistema dinámico. La región de estabilidad se muestra en la Fig. 1. =( ) = + ( )( ) (6) = ( )( ) Escogemos las señales de control de la siguiente manera:

3 Figura 1. Región de estabilidad para sistemas lineales invariantes fraccionarios. Para el análisis de estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo, con derivadas fraccionarias según Caputo, se puede usar la extensión del criterio de Routh Hurwitz de orden fraccionario[19]. Las condiciones para garantizar la estabilidad de sistemas de tercer orden para el caso [0,1), resultan ser suficientes pero no necesarias. Ellas dependen del valor (positivo o negativo) que tenga el discriminante del polinomio característico, D(P). Si el discriminante (D(P) > 0) es positivo implica que todas las raíces son reales y cuando el discriminante es negativo (D(P) < 0) implica que existe solamente una raíz real y un par de raíces complejas conjugadas. Cuando el polinomio característico tiene orden 3 y está definido por, () = el discriminante tiene una expresión dada por, () =18 +( ) 4 ( ) 4( ) 27( ) (11) En este caso las condiciones para garantizar estabilidad y cumplir con el criterio definido en (10), resultan ser las siguientes, Si D(P) > 0, entonces debe cumplirse > 0; > 0 > (12) S () < 0, > 0; > 0 = (13) Basado en estos criterios, se analizará la sincronización de sistemas de orden fraccionario con parámetros conocidos e invariantes en el tiempo, descritos por la ecuación (9). C. Sincronización empleando señales U 1, U 2 y U 3 Si suponemos que D(P) < 0, y si se eligen las señales de control, haciendo A, Β 0, y cero los demás parámetros de (8),es decir, = + ; + ( 1 )( 3 ) ; = ( 1 ) 2 x x x -σ -β -1 jω 0 qπ/2 qπ/2 ; no es posible lograr la sincronización de los sistemas (3) y (4). En el caso que D(P) > 0 se utilizan condiciones indicadas en (12). Usando las mismas señales definidas anteriormente se logra la sincronización para valores A > -11, y ciertos valores de B determinados por A. Mientras que para -13,6 < A -11, Inestable Inestable σ no se logra la sincronización porque en ese rango existe un polo en el eje real positivo, independiente del valor de B [17]. D. Sincronización empleando las señales U 2 y U 3 Veamos ahora el caso en que se usa con parámetros D, E 0, y los demás parámetros de la ecuación (8) cero. Es decir, las señales de control a usar son = +, y =( ( 1 ) 2 ). En este caso y suponiendo que D(P) < 0 se analizan las condiciones derivadas del criterio de Routh- Hurwitz de orden fraccionario (13), las cuales resultan ser, ) > 0 > 13,66 eligiendo E = -12, las restantes condiciones quedan ) >0 >39,266 ) = = 326,054 ) () <0 >39,025 Del análisis de las condiciones anteriores, es posible lograr la sincronización para un rango -13,6 < E < -11, y ciertos valores de D definidos por la elección de E. En la Tabla I se muestran, a modo de ejemplo, dos casos en que se logra la sincronización de ambos sistemas. TABLA I. DOS CASOS DE SINCRONIACIÓN CON D (P) <0, EMPLEANDO SEÑALES DE ENTRADA U 2 U 3. E D q -13,6 139,54 < 0,973-11,2 1550,54 < 0,999 Empleando las mismas señales definidas anteriormente, para el caso en el que D (P) > 0, se logra la sincronización para E > -11 y ciertos valores de D dependiendo del valor de E. En este caso, la velocidad de convergencia es mayor cuando el valor de D, está más cerca de su cota superior. En la Tabla II se muestran dos ejemplos donde se logra la sincronización. TABLA II. DOS CASOS DE SINCRONIACIÓN CON D (P) > 0, EMPLEANDO SEÑALES DE ENTRADA U 2 U 3. E D Q ,01 > ,01 > 1 Por otra parte, para el rango -13,6 < E < -11, no se logra la sincronización de los sistemas independiente del valor escogido para D. III. RESULTADOS NUMÉRICOS Como el eje central del trabajo es analizar la sincronización de sistemas de orden fraccionario del tipo Lorenz, en esta sección se mostrarán simulaciones que muestran que bajo ciertas condiciones el fenómeno de sincronización se logra. En las simulaciones se utilizó el método Runge Kutta de cuarto orden para resolver las ecuaciones diferenciales, así como la utilización del bloque nid de la herramienta Ninteger, para cálculo fraccional desarrollada por Mata de Oliveira para Simulink de Matlab [20].

4 El estado inicial para el sistema maestro y para el sistema esclavo se escogió como ( 8, 5,6) y (10, 10, 10), respectivamente. Para este estudio se tomó un factor de escala =2 y se analizaron diferentes valores de q. En la Fig. 2 se puede ver el comportamiento del error de sincronización para q=0,9 y usando las tres señales de control definidas en la en la Sección 2.3, es decir parámetros A=10, B=12 y los restantes parámetros cero. En este caso los polos del sistema (9) se encuentran en -16,3523, -4,6477 y -2,6600. Con esto se cumple el criterio de estabilidad establecido en (12) para cualquier valor (0,2). error Figura 4.. Evolución del error de sincronización para q=0,9, usando las tres señales de control (A=10, B=12 y los restantes parámetros cero) con = error En la Fig. 5 se pueden ver las trayectorias de los sistemas maestro y esclavo en el espacio de estado (x,y,z) con α =2. No hay convergencia a un solo punto de equilibrio del sistema por el factor de escala impuesto. Figura 1. Evolución del error de sincronización para q=0,9, usando las tres señales de control (A=10, B=12 y los restantes parámetros cero) con α =1. En la Fig. 3 se muestran las trayectorias en el espacio de estado para los sistemas maestro y esclavo. En la figura, se puede ver la evolución de los dos sistemas y su convergencia a uno de los puntos de equilibrio del sistema de Lorenz de orden entero. Figura 5.. Trayectorias de los sistemas para q=0.9, usando las tres señales de control definidas (A=10, B=12 y los restantes parámetros cero) com =. En la Fig. 6 se puede apreciar la evolución del error de sincronización usando dos señales de entrada, U 2 y U 3, como las definidas en la Sección 2.4 y usando valores para D = 326,054 y para E = -12. Con estos valores, los polos del sistema (9) quedan ubicados en 0,5 ± 53,57i y en 2,66, por lo cual el orden de la derivada fraccionaria debe satisfacer la condición q < 0,994. En caso de la Fif. 6 se simuló el sistema para q=0,9. Se puede ver que la señal correspondiente al error e 3 es más lenta debido a que está asociada a la constante de tiempo definida por el parámetro β del sistema, el cual permanece inalterado en esta solución propuesta. Figura 3.. Trayectorias de los sistemas para q=0.9, usando las tres señales de control (A=10, B=12 y los restantes parámetros cero) con α =1. En la Fig. 4 se puede ver el comportamiento del error de sincronización para q=0,9 y usando las tres señales de control definidas en la Sección C, es decir parámetros A=10, B=12 y los restantes parámetros cero. No existe mayor diferencia con la evolución presentada en la Fig. 2, salvo por el factor de escala α =2.

5 error En la Fig. 9 se muestra la evolución del sistema maestro y esclavo en el espacio de estado (x, y z). Se aprecia que no hay una convergencia de la trayectoria a uno de los dos puntos de equilibrio del sistema de Lorenz original (q=1), como ocurre con el caso de α =1. Figura 6. Error de sincronización para sistemas fraccionarios tipo Lorenz con q=0,9, usando señales U 2 y U 3, (D= , E=-12 y los restantes parámetros cero) con =. En la Fig. 7 se muestra la evolución del sistema maestro y esclavo en el espacio de estado (x, y z). Se aprecia la convergencia de la trayectoria a uno de los dos puntos de equilibrio del sistema de Lorenz original (q=1). Figura 9. Evolución de la sincronización de los sistemas Lorenz maestro y esclavo de orden fraccionario q=0,9, con una señal U 2 y con parámetros D y E 0, α =2. Figura 7. Evolución de la sincronización de los sistemas Lorenz maestro y esclavo de orden fraccionario q=0,9, con una señal U 2 y U 3 (D= , E= - 12 y el resto de parámetros cero) con = Para el caso de la Fig 8., se simuló el sistema con q=0,9 y con =2, la evolución de los errores de sincronización es igual al de la Fig. 6. error Figura 8.. Error de sincronización para sistemas fraccionarios tipo Lorenz con q=0,9, usando señales U 2 y U 3,(D= , E=-12y los restantes parámetros cero) con = IV. CONCLUSIONES En este trabajo se presentó la sincronización no adaptable para sistemas del tipo Lorenz de orden fraccionario. Empleando señales de control convenientemente elegidas, el error de sincronización queda descrito por un sistema lineal e invariante en el tiempo de orden fraccionario. Luego, mediante la utilización del criterio de Routh Hurwitz extendido, se obtienen las condiciones suficientes para garantizar la sincronización. Se observó que el comportamiento del sistema tipo Lorenz fraccionario aislado, presenta diferentes comportamientos dependiendo del orden fraccionario que se escoja. Es así que se obtiene un comportamiento caótico cuando q satisface 0,99 q 1,17. Para q 1,18, el sistema presenta un comportamiento inestable. Para valores de q < 0,98, el sistema tiende asintóticamente a uno de los atractores del sistemas original de Lorenz (q=1), dependiendo de las condiciones iniciales que se elijan para el sistema. A partir de las simulaciones realizadas, se concluye que la sincronización de dos sistemas fraccionarios del tipo Lorenz se puede lograr, mediante tres o dos señales de control, convenientemente elegidas, que permitan eliminar los términos no lineales de la dinámica del error de sincronización, y que a la vez la evolución del error de sincronización quede definida por un sistema lineal e invariante de orden fraccionario. Es importante destacar que la sincronización se logra solo para ciertos valores de los parámetros del sistema y de las señales de control. Actualmente se está investigando los aspectos teóricos de este problema para el caso de la sincronización adaptable fraccionaria, es decir cuando los parámetros del sistema son desconocidos, de manera de encontrar las condiciones analíticas bajo las cuales es posible garantizar la sincronización, problema para el cual no existe hoy día solución completa.

6 AGRADECIMIENTOS Los resultados informados en este trabajo han sido financiados por Conicyt a través del Proyecto Fondecyt Improvements of Adaptive Systems Performance by using Fractional Order Observers and Particle Swarm Optimization y del Proyecto Basal FB0809 Centro de Tecnología para la Minería. REFERENCIAS [1] L. Pecora y T. Carroll, «Synchronization in chaotic systems,» Physics Review Letter, vol. 64, pp , [2] R. Femat y G.Solis-Perales, Robust synchronization of chaotic systems via feedback, Springer, [3] L. Kocarev y U. Parlitz, «General Approach for chaotic Synchronization with applications to communication,» Physics Review Letter, vol. 74, pp , [4] W. J.Freeman, «Characteristics of the synchronization of brain activity imposed by finifte conduction velocities of axons,» International Journal of Bifurcation and chaos, vol. 10, pp , [5] Wang.y.Guan, «Generalized synchronization of continuous,» Chaos Solitons and Fractals, vol. 27, pp , [6] G.Santoboni, A..Pogromsky y H.Nijmeijer, «An observer for phase synchronization of chaos,» Physics Letters A, vol. 291, pp , [7] G.-H Li.y S.-P.hou, «An observer Based anti-synchronization,» Chaos, Solitons and Fractional, vol. 29, pp , [8] R. Hilfer, Applications of Fractional Calculus in physics, New Jersey: World Scientific, [9] R.Bagley y R. Calico, «Fractional Order state equations for the control os viscoelastically damped structures,» Journal Guid. Control Dyn., vol. 14, pp , [10] H.Sun, A. Abdelwahab y B. Onaral, «linear approximation of transfer function with a pole of fractional power,» IEEE Transaction automation control, vol. 29, nº 5, pp , [11] M. Abdelouahab, N.-E. Hamri y J. Wang, «Chaos control of a fractional order financial system,» Mathematical Problems in engineering, vol. ID , pp. 1-18, [12] L. Podlubny, «Fractional order systems and PID controllers,» IEEE Transactions Automation Control, vol. 44, pp , [13] C. Li y G. Chen, «chaos and hyperchaos in the fractional order Rössler equations,» Physica A statical Mechanics and its Applications, vol. 341, pp , [14].-M. Ge y C.-. Ou, «Chaos synchronization of fractional order modified Duffing systems with parameters excited by chaotic signal,» Chaos Solitons and Fractals, vol. 4, pp , [15] K. Sun,. Wang y J. Sprott, «Bifurcations and chaos in fractional order simplified Lorenz systems,» International Journal of bifurcations and Chaos, vol. 20, pp , [16] E. Lorenz, «Deterministic non-periodic flow,» Journal atmospheric Science, vol. 20, pp , [17] E. Delgado-Aguilera and M.A. Duarte-Mermoud, «Synchronization of fractional order systems of Lorenz type: Non adaptive case». (In Spanish). Proceedings of the 20th Congress of the Chilean Association of Automatic Control (ACCA), IFAC, IEEE-Chile, Santiago, Chile, November 12-16, Proceedings in CD, Paper No. 11, pp [18] D. Matignon, «Stability results for fractional differential equations with applicaionts to control processing,» Proceedings computational engineering in systems and applications Multiconference IMACS, vol. 2, pp , [19] E. Ahmed, A. El-Sayed y H. El-Saka, «On some Routh- Hurwitz conditions for fractional order differential equational and their applications in Lorenz, Rössler, Chua and Chen Systems,» Physics Letter A., vol. 358, pp. 1-4, [20] V. D. Mata de Oliveira, Fractional Robust System Control- PhD Thesis, Lisboa, Efredy Delgado-Aguilera received the Engineering degree in Electrical Engineering from Universidad Nacional de Colombia Bogotá, Colombia, in He obtained his master's degree at the same University in Industrial Automation in In 2012 he obtained his Masters in Electrical Engineering at the University of Chile His current research interest are applications of control and automation techniques and modeling. Manuel A. Duarte-Mermoud received the degree of Civil Electrical Engineer from the University of Chile in 1977 and the M.Sc., M.Phil. and the Ph.D. degrees, all in Electrical Engineering, from ale University in 1985, 1986 and 1988 respectively. Currently, he is a Professor at the Electrical Engineering Department of the University of Chile. His main research interests are in robust adaptive control (linear/nonlinear and integer/fractional systems), system identification, signal processing and pattern recognition. He is focused on applications to energy, mining and wine industry, sensory systems and electrical machines and drives.