Sobre la estabilidad globalmente asintótica de sistemas singulares no lineales

Transcripción

1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Sobre la estabilidad globalmente asintótica de sistemas singulares no lineales B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez Instituto de Matemática Multidisciplinar, Universidad Politécnica de Valencia, Camino de Vera s/n, Valencia. s: bcanto@mat.upv.es, mccoll@mat.upv.es, esanchezj@mat.upv.es. Palabras clave: sistema singular, sistema no lineal, estabilidad globalmente asintótica, Lyapunov Resumen En este trabajo se estudia el problema de la estabilidad global para sistemas singulares no lineales. Para ello se utiliza la definición de estabilidad asintótica según Lyapunov. Los resultados obtenidos son una generalización de dicho problema para el caso de sistemas no lineales estándar. 1. Preliminares Por lo general, los modelos matemáticos que representan procesos atmosféricos, ecológicos, de ingeniería, biológicos y económicos son sistemas no lineales. Uno de los problemas más importantes en el estudio de modelos es la estabilidad del proceso. En el caso de sistemas lineales es conocido que si el sistema es asintóticamente estable, la estabilidad asintótica se mantiene para todos los estados. Desafortunadamente en el caso no lineal, esto no es suficiente, y es cuando aparece el concepto de estabilidad globalmente asintótica, [1] y [5]. Recientemente varios autores han tratado estos temas, pero sólo unos pocos trabajos generalizan estos resultados para los sistemas singulares no lineales. En este trabajo se estudia el concepto de estabilidad global que juega un importante papel en los problemas referentes a la estabilización de los sistemas en su forma espacioestado. Para ello se aplica la teoría de estabilidad de Lyapunov. Se resuelve el problema para distintas clases de sistemas no lineales, aportando ejemplos numéricos con el fin de ilustrar los resultados obtenidos. A continuación introducimos algunas definiciones y propiedades que se usan a lo largo del trabajo. Consideramos un sistema singular no lineal dado por 1

2 B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez Ex(k + 1) = f (x(k)), k N (1) donde E R n n es una matriz singular, x(k) R n representa el estado y f : R n R n es una función continuamente diferenciable en R n. Se dice que un vector x R n es un punto de equilibrio del sistema (1) si verifica que Ex = f(x ). Si se denota por x 0 el estado inicial, se pueden extender las definiciones habituales de estabilidad para el caso estándar, dadas en [4], al caso singular. Definición 1.1 Consideramos el sistema (1). i) El punto de equilibrio x de (1) es estable si dado ɛ > 0, existe δ = δ(ɛ) > 0 tal que x 0 x < δ entonces x(k) x < ɛ, para todo k 0. Dicho punto de equilibrio es inestable si no es estable. ii) El punto de equilibrio x de (1) es atractor si µ = µ(0) tal que x 0 x < µ entonces lím k x(k) = x. iii) El punto de equilibrio x de (1) es asintóticamente estable si es estable y atractor. La región donde se verifica la propiedad de estabilidad asintótica se llama dominio de atracción. La propiedad de estabilidad, en el sentido de Lyapunov, se da en términos de las matrices definidas. Una matriz A R n n es (semi) definida positiva si es simétrica y x T Ax > 0 ( x T Ax 0 ) para todo x R n distinto de cero. El término (semi) definida negativa significa que A es (semi) definida positiva. Denotamos por A > 0 (A 0) donde A es una matriz (semi) definida positiva y por A < 0 (A 0) donde A es una matriz (semi) definida negativa. El concepto de función de Lyapunov se muestra en la siguiente definición. Definición 1.2 Sea V : R n R una función de valores reales. El decremento de la variación de V relativo al sistema se define como V (x(k)) = V (x(k + 1)) V (x(k)). La función V es una función de Lyapunov si V es continua y el decremento V (x) 0. En [4] aparece un resultado sobre el análisis de la estabilidad del punto de equilibrio cuando el sistema considerado es estándar, es decir, E = I. Teorema 1.1 Si V es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio x y satisface V (x ) = 0 y V (x) > 0, entonces x es estable. Si, además, V (x) < 0, siempre que x x, entonces x es asintóticamente estable. Cuando el sistema a estudiar es un sistema lineal singular dado por Ex(k + 1) = Ax(k) con E, A R n n, la respuesta del puede darse en términos de los valores propios generalizados (finitos e infinitos) del par (E, A). Para asegurar que el sistema admite solución necesitamos la propiedad de regularidad del par (E, A). En la siguiente definición recogemos los conceptos básicos para un par de matrices (para más detalles, ver [2] y [7]). 2

3 Estabilidad globalmente asintótica Definición 1.3 Consideramos el par (E, A). Este es regular si det(λe A) 0, es causal si grado(det (λe A)) = rg(e), es Schur estable si es regular y todos sus valores propios se encuentran en el interior del círculo unidad en el plano complejo. Y finalmente, el par (E, A) es admisible si es regular, causal y Schur stable. El siguiente resultado sobre la estabilidad del par (E, A) se encuentra en [9]. Teorema 1.2 Si el par (E, A) es admisible entonces para cada matriz (semi) definida positiva Q la ecuación A T P A E T P E = Q (2) tiene una única solución (semi) definida positiva P. Inversamente, si existen dos matrices definidas positivas P y Q que satisfagan (2), entonces el par (E, A) es admisible. Además, usando la función generalizada de Lyapunov, (ver [8]), dada por V (x) = x T E T P Ex, se obtiene el siguiente resultado (ver [3] y [10] ). Teorema 1.3 El par (E, A) es admisible si y sólamente si existe una matriz simétrica invertible P tal que E T P E es una matriz semidefinida positiva y A T P A E T P E es una matriz definida negativa. 2. El problema de la estabilidad globalmente asintótica Si la estabilidad asintótica se mantiene para todos los estados iniciales, es decir, si la trayectoria converge en el punto de equilibrio, entonces se obtiene el concepto de estabilidad globalmente asintótica. Dicho concepto queda formalizado en la siguiente definición. Definición 2.1 El punto de equilibrio x de (1) es globalmente asintóticamente estable si es asintóticamente estable y el dominio de atracción es todo el espacio R n. Si el sistema es estándar (E = I) y x es asintóticamente estable entonces la estabilidad del sistema es global. Este no es el caso del sistema no lineal, donde es necesario añadir alguna condición a la función de Lyapunov. Teorema 2.1 [4] Si V es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio x del sistema x(k + 1) = f(x(k)) que satisface V (x ) = 0 y V (x) > 0, V (x) < 0, siempre que x x, y V (x) cuando x, entonces x es globalmente asintóticamente estable. En este trabajo estudiamos los sistemas singulares no lineales dados por Ex(k + 1) = f (x(k)). Si rg(e) = n 1 < n entonces, sin pérdida de generalidad, este sistema puede escribirse como ( ) ( ) ( ) In1 O x1 (k + 1) f1 (x(k)) = (3) O O x 2 (k + 1) f 2 (x(k)) 3

4 B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez donde x 1 (k) R n 1, x 2 (k) R n 2, f 1 : R n R n 1 y f 2 : R n R n 2, n 1 + n 2 = n, son funciones continuamente diferenciables en R n. Obsérvese que por la estructura del sistema (3), x = (x 1 T x 2 T ) T es un punto de equilibrio si f 1 (x ) = x 1 y f 2(x ) = 0. Esto significa que los puntos de equilibrio del sistema (3) vienen determinados a partir de los del subsistema estándar. Es decir, si x 1 es un punto de equilibrio de x 1 (k + 1) = f 1 ( x(k)), (4) con x(k) = (x T 1 (k) 0)T, y satisface que f 2 ((x 1 T 0) T ) = 0, (5) entonces x = (x 1 T 0) T es un punto de equilibrio de (3). Inversamente, si f 2 satisface que la solución de f 2 (x(k)) = 0 es x(k) = x(k), entonces cualquier punto de equilibrio x de (3) se construye como (x 1 T 0) T, siendo x 1 un punto de equilibrio de (4) que satisface la condición (5). En el siguiente resultado se establecen condiciones que aseguren esta propiedad para sistemas singulares no lineales, usando, para ello, la función de Lyapunov. Teorema 2.2 Supongamos que el sistema singular no lineal (3) tiene solución. Sea f 2 tal que la matriz Jacobiana J = f 2 es invertible para todo x, y f 2 (x(k)) = 0 implica x 2 x 2 (k) = 0. Si V es una función de Lyapunov para el punto de equilibrio x tal que i) V (x ) = 0, V (x) > 0 y V (x) < 0, siempre que x x, y ii) V (x) cuando x entonces x es globalmente asintóticamente estable. Demostración. Como f 2 (x(k)) = 0 implica que x 2 (k) = 0, la solución del sistema (3) es x(k) = (x T 1 (k) 0)T y satisface x 1 (k + 1) = f 1 ( x(k)) 0 = f 2 ( x(k)). (6) A partir de V (x) definimos V 1 (x 1 ) = V ( x) y directamente se comprueba que V 1 (x) es una función de Lyapunov que satisface todas las condiciones que aseguran que el punto de equilibrio x 1 del sistema estándar (4) es globalmente asintóticamente estable. Por lo tanto, el punto de equilibrio x = (x 1 T 0) T del sistema (3) es globalmente asintóticamente estable. A continuación, damos algunas condiciones sobre la función f 1 con el propósito de construir una función de Lyapunov apropiada. Teorema 2.3 Supongamos que el sistema singular no lineal (3) tiene solución. Sea f 1 tal que satisfaga f 1 ( x(k)) < x(k) siendo x(k) = (x T 1 (k) 0)T, y sea f 2 tal que la matriz Jacobiana J = f 2 x 2 es invertible para todo x y f 2 (x(k)) = 0 implica que x 2 (k) = 0, entonces x es globalmente asintóticamente estable. 4

5 Estabilidad globalmente asintótica Demostración. Aplicando la hipótesis en el sistema (3) tenemos que su solución x(k) = (x 1 (k) T 0) T satisface (6). Construyendo V (x) = Ex, tenemos que V (x) > 0 y V (0) = 0 y además, V (x(k)) = V (x(k + 1)) V (x(k)) = f 1 ( x(k)) x(k) < 0 y V (x) cuando x. Como ejemplo de un sistema singular que satisface las condiciones del teorema anterior, podemos considerar un sistema compartimental del tipo (3) tomando f 2 (x) = Ax 2, con A una matriz invertible. Para ilustrar el desarrollo teórico realizado incluimos el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.1 Consideramos el sistema singular no lineal (3) dado por x 11 (k + 1) x 12 (k + 1) x 21 (k + 1) x 22 (k + 1) = 0,25x 12 (k)[x 22 (k) + 1] 0,5x 11 (k) x 21 (k) x 22 (k) x 22 (k)x 2 21 (k) Entonces, como x = (x T 1 (k) 0)T, tenemos f 1 ( x(k)) = 0,5 0,25x 2 12 (k) + x2 11 (k) < x(k). Por otra parte, se verifican las condiciones sobre f 2, es decir J = f 2 es invertible, y x 2 f 2 (x(k)) = 0 implica x 2 (k) = 0. Por lo tanto, la hipótesis del Teorema 2.3 se satisface y el sistema es globalmente asintóticamente estable. Además, la solución de este sistema es x = (x T 1 (k) 0)T, siendo x 1 (k) la solución del subsistema estándar ( x 1 (k + 1) = 0 0,25 0,5 0 ) x 1 (k). Como los valores propios de la matriz se encuentran dentro del círculo unidad, la solución del subsistema estándar es globalmente asintóticamente estable. A continuación se consideran algunos tipos especiales del sistema dado en (3) que admiten un estudio particular. Para ello, introducimos en primer lugar los siguientes conjuntos de funciones F y F, F = {φ : R R / φ(x) x y φ(0) = 0} { } F = Φ : R n R n / Φ(x) = (φ 1 (x 1 ),..., φ n (x n )) T, φ i F, i = 1,..., n, y los conjuntos de matrices M y M, M = { P 1 R n 1 n 1 / P 1 = diag(p 1i ) > 0 }, M = { P R n n / P = diag(p 1, P 2 ) with P 1 M, n 1 < n }. Si ahora consideramos el sistema. Ex(k + 1) = AΦ(x(k)) (7) donde A R n n y Φ : R n R n es una función continuamente diferenciable en R n, Φ F, podemos establecer el siguiente resultado. 5

6 B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez Teorema 2.4 Sea el sistema (7). Si existe una matriz P M tal que A T P A E T P E es una matriz definida negativa, entonces la solución cero de (7) es globalmente asintóticamente estable. Demostración. Como P M entonces V (x) = (Ex) T P Ex = x T 1 P 1x 1 > 0, y V (x (k)) = V (x (k + 1)) V (x (k)) Para x(k) 0 con Φ (x(k)) = 0 tenemos = Φ T (x(k)) A T P AΦ (x(k)) x T (k)e T P Ex(k). V (x (k)) = x T (k)e T P Ex(k) = x T 1 (k)p 1 x 1 (k), entonces V (x (k)) es definida negativa. Y en el caso en que x(k) 0 y Φ (x(k)) 0, como Φ F, Φ T (x(k)) E T P EΦ (x(k)) = n 1 i=1 n 1 n 1 p 1i (φ i (x i (k))) 2 = p 1i φ i (x i (k)) 2 i=1 p 1i x i (k) 2 = x T (k)e T P Ex(k). i=1 Por lo tanto, V (x(k)) = φ T (x(k)) A T P Aφ (x(k)) φ T (x(k)) E T P Eφ (x(k)) φ T (x(k)) ( A T P A E T P E ) φ (x(k)). De aquí V (x (k)) es definida negativa. Con el fin de ilustrar el resultado obtenido en el Teorema 2.4 se muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 2.2 Consideramos un sistema dado por E = , A = Usando la matriz diagonal P = A T P A E T P E = y Φ (x(k)) F. es una matriz definida negativa. De forma análoga a la demostración del Teorema 2.4 comprobamos que V (x) = x x 2 12 > 0., 6

7 Estabilidad globalmente asintótica Por otra parte, para x(k) 0, si Φ (x(k)) = 0 tenemos que y si Φ (x(k)) 0 obtenemos V (x(k)) φ T (x(k)) V (x (k)) = (x x 2 12) < 0, φ (x(k)) < 0. Por lo que la solución del sistema es globalmente asintóticamente estable. En el caso en que el sistema venga dado por donde Φ F y obtenemos los siguientes resultados. Ex(k + 1) = Φ (Ax(k)), k N (8) ( A1 O A = O I n2 ), (9) Proposición 3 Sea A dada en (9) y Φ F. Entonces Φ(Ax) < A 1 x 1, x R n y si P M con P 2 < 0 entonces Φ T (Ax)P Φ(Ax) < (A 1 x 1 ) T P 1 (A 1 x 1 ). Demostración. Por la estructura de la función Φ y de la matriz A, ( ) Φ1 (A Φ(Ax) = 1 x 1 ), Φ 2 (x 2 ) y por tanto, Φ(Ax) < Ax A 1 x 1, x R n. Por otra parte, si P 2 < 0 y teniendo en cuenta Φ T (Ax)P Φ(Ax) = Φ T 1 (A 1x 1 )P 1 Φ 1 (A 1 x 1 ) + Φ T 2 (x 2)P 2 Φ 2 (x 2 ), tenemos que Φ T (Ax)P Φ(Ax) < (A 1 x 1 ) T P 1 (A 1 x 1 ). Teorema 3.1 Sea el sistema (8). Si existe una matriz P M tal que A T P A E T P E < 0, entonces la solución cero de (8) es globalmente asintóticamente estable. Demostración. A partir de la condición del teorema se sigue que A T 1 P 1A 1 P 1 < 0 y P 2 < 0. Entonces V (k) = (Ex) T P Ex = x T 1 P 1x 1 > 0, y V (x (k)) = Φ T (Ax(k)) P Φ (Ax(k)) x T (k)e T P Ex(k). Para x(k) 0 con Φ (Ax(k)) = 0 V (x (k)) = x T (k)e T P Ex(k) = x T 1 (k)p 1 x 1 (k), entonces V (x (k)) es definida negativa. Y si x(k) 0 con Φ (Ax(k)) 0, usando la Proposición 3 V (x (k)) x T 1 (k)a T 1 P 1 A 1 x 1 (k) x T 1 (k)p 1 x 1 (k) = x T 1 (k) ( A T 1 P 1 A 1 P 1 ) x1 (k). Por lo que V (x (k)) es definida negativa. 7

8 B. Cantó, C. Coll, E. Sánchez Referencias [1] C. I. Byrnes, W. Lin. Losslessness, feedback equivalence, and the global stabilization of discrete-time nonlinear systems. IEEE Trans. Automat. Control, vol.39, no.1 (1994), [2] L. Dai, Singular Control Systems, Springer-Verlag, [3] C.H. Fang, L. Lee, and F.R. Chang. Robust control analysis and design for discrete-time singular systems. Automatica, vol.30, no.11 (1994), [4] E. Kaszkurewicz and A. Bhaya, Matrix diagonal stability in systems and computation, Birkhauser Verlag, [5] V.S. Kozyakin, A. Bhaya, E. Kaszkurewicz. A global asymptotic result for a class of totally asynchronous discrete nonlinear systems. Math. Control Signals Systems, vol.11 (1999), [6] H. Kwakernaak and R. Sivan, Linear Optimal Control Systems, Wiley and Sons Inc., [7] F.L. Lewis, A survey of linear singular systems. Circuits Systems Signal Processing, vol.5 (1986), [8] P. Misra, Numerical solution of generalized Lyapunov equations for descriptor systems. Proc. 30th Annual Allerton Conf. Comm. Control, Comp., (1992). [9] T. Stykel. Stability and inertia theorems for generalized Lyapunov equations. Linear Algebra Appl., vol.355 (2002), [10] S. Xu, C. Yang. Stabilization of discrete-time singular systems: a matrix inequalities approach. Automatica, vol.35 (1999),