SIMULACIÓN ANALÍTICA DEL COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE MUROS DIAFRAGMA DE MAMPOSTERÍA SUJETOS A CARGAS LATERALES.

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1 Revisa de Ingeniería Sísmica No (2001) SIMULACIÓN ANALÍTICA DEL COMPORTAMIENTO NO LINEAL DE MUROS DIAFRAGMA DE MAMPOSTERÍA SUJETOS A CARGAS LATERALES. Agusín Orduña (1) y A. Gusavo Ayala (2) RESUMEN En ese arículo se presena un modelo no lineal de elemenos finios de inerés en el análisis de muros de relleno de mamposería en marcos de concreo reforzado someidos a cargas laerales no cíclicas, se describen brevemene los modelos consiuivos uilizados para los maeriales. La validez del modelo se comprueba mediane un ejemplo ilusraivo cuyos resulados reproducen saisfacoriamene a los experimenales. Como aplicación prácica de ese esudio se dan las bases para el desarrollo de una herramiena simplificada de análisis de marcos rellenos, úil en el diseño sísmico de edificios. El modelo simplificado se basa en susiuir al muro diafragma por res barras biariculadas en compresión, con comporamieno elaso-plásico perfeco. Arículo recibido el 23 de febrero de 2001 y aprobado para su publicación el 11 de mayo de Se aceparán comenarios y/o discusiones al arículo hasa cinco meses después de su publicación. 1 Insiuo de Ingeniería, Universidad Nacional Auónoma de México. Ciudad Universiaria. Apdo. posal , Coyoacán, CP México, D.F. México el. (525) , fax (525)

2 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala INTRODUCCIÓN Las endencias acuales de diseño sísmico de esrucuras basado en desempeño, requieren conocer con dealle el comporamieno no lineal de las esrucuras desde el inicio de ése, hasa niveles alos de deformación laeral. Los méodos de análisis elásico lineales, en general, no proporcionan la información necesaria para el diseño, por lo que deben ser susiuidos por écnicas y programas de análisis no lineal. Sin embargo, los ingenieros de la prácica requieren de modelos no lineales de elemenos esrucurales que sean suficienemene simples para su uso coidiano, y que, al mismo iempo, represenen en forma realisa su comporamieno. El comporamieno de esrucuras de marcos es mejor enendido que el de oros sisemas esrucurales, ya que la mecánica de maeriales ha proporcionado, en los elemenos barra, una herramiena suficienemene precisa para su análisis, ano para los inervalos lineal como no lineal. El problema se complica, y mucho, cuando se incluyen muros en las crujías de los marcos, debido a que no exise un modelo simple, como en el caso de las barras, que represene el comporamieno de esos elemenos y su relación con los que lo confinan. El problema se orna aún más complejo cuando el muro es de mamposería, ya que el comporamieno de ese maerial es mucho menos conocido que el del acero o el del concreo. Eso es así a pesar de que la mamposería es uno de los maeriales consrucivos más aniguos, con más de diez mil años de hisoria, y a pesar de que desde hace más de 40 años se realizan invesigaciones de calidad sobre su comporamieno. Enre las razones principales del desconocimieno de su comporamieno se pueden mencionar: la complejidad de su comporamieno mecánico; el gran número de variables que es necesario omar en cuena para su esudio; y que algunas de ellas, como las propiedades de los maeriales, la calidad de la mano de obra, las condiciones de conaco enre el muro y el marco o la adherencia enre morero y piezas, son muy difíciles de conrolar y/o cuanificar. Es cosumbre común en el diseño de edificios despreciar la conribución de los muros de relleno. Se argumena que si el marco esá diseñado para resisir las acciones laerales a las que esará sujeo durane su vida úil, la presencia de los muros es una reserva de resisencia. Además, es común que esos muros sean colocados y reirados de acuerdo con las diferenes necesidades de los ocupanes del inmueble durane su vida úil. Sin embargo, la presencia de muros de relleno debe considerarse en el diseño de una esrucura, ya que se ha comprobado que modifican drásicamene el comporamieno sísmico de marcos respeco al que se observaría en su ausencia. Los muros de relleno incremenan susancialmene la rigidez de los marcos, con lo que se reducen los períodos naurales de vibración, y se modifican las acciones sísmicas a las que esará sujeo. Esos muros ambién incremenan significaivamene la resisencia a cargas laerales de la esrucura, pueden conribuir a la disipación de energía durane un sismo, y aunque un muro de mamposería simple se compora de manera frágil, con un buen deallado del marco se pueden 70

3 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros obener comporamienos dúciles de la esrucura. La ineracción enre muro y marco a lo largo de las zonas de conaco modifica ano la magniud como la disribución de los elemenos mecánicos en rabes y columnas, al ignorar la presencia de los muros algunas secciones pueden quedar sobradas en resisencia, y oras escasas. Sin embargo, ese aspeco no ha sido esudiado con dealle, la mayoría de las invesigaciones se han concenrado en el comporamieno global de ese ipo de esrucuras. Los muros de relleno usados con un buen crierio ingenieril pueden mejorar susancialmene el comporamieno sísmico de edificios; sin embargo, cuando se usan en disribuciones irregulares en plana o elevación, pueden llegar a ser la causa del colapso de esrucuras, por efecos de orsión o cambios bruscos de rigidez con la alura. También pueden producir daño cuando son ignorados en el diseño, aún cuando esén disribuidos regularmene. El problema de ineracción marco-muro de relleno esá aún lejos de ser resuelo. Exise la necesidad de conar con más resulados experimenales que difícilmene podrá obenerse dado el alo coso involucrado en ese ipo de esudios. Una salida alerna a ese problema es desarrollar procedimienos analíicos que permian simular esos experimenos, y a parir de ellos proponer modelos de análisis menos elaborados para su uso en aplicaciones coidianas de la ingeniería esrucural. Esos modelos deben nurirse de información experimenal adecuada con sus necesidades, relaiva a las propiedades mecánicas de los maeriales, y deben validarse con resulados experimenales en modelos compleos. Para lograr lo anerior es necesario incremenar la comunicación enre experimenalisas y analisas. El desarrollo que ha enido la compuación en las úlimas décadas ha permiido la aplicación del Méodo de los Elemenos Finios (MEF) al análisis de esrucuras de formas y comporamienos complejos. Por ello es que el MEF consiuye acualmene una de las herramienas fundamenales para el esudio del comporamieno de elemenos y esrucuras de mamposería; principalmene en el ámbio de la invesigación, ya que la gran canidad de recursos que requiere un análisis no lineal con elemenos finios hace que su uso sea inadecuado para la prácica común de la ingeniería. Lo anerior ha sido reconocido por diversos invesigadores quienes han realizado esudios con diferenes grados de refinamieno mediane el uso del MEF. Desgraciadamene, la mayoría de esos esudios se ha orienado a la solución de problemas elásicos, y en algunos casos los efecos no lineales se consideran de una manera gruesamene aproximada. Esos esudios han dado lugar a elemenos esrucurales equivalenes a los muros que, si bien permien incluir su efeco en el comporamieno global de la esrucura, no permien conocer su comporamieno local aún en el inervalo lineal. Para esudiar el comporamieno de muros diafragma en marcos de concreo reforzado en ese rabajo se discuen los aspecos que se consideran más imporanes del comporamieno de muros diafragma de mamposería. Se desarrolla un modelo no lineal de elemenos finios de un 71

4 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala marco de un nivel y una crujía con un muro diafragma de mamposería sin huecos. Se describen sus caracerísicas y se comenan algunas experiencias adquiridas durane el proceso de solución y de calibración del mismo. Finalmene, con base en la información obenida del análisis, se propone un modelo simplificado, consisene en res elemenos diagonales, para el análisis de marcos con muros de relleno sujeos a cargas sísmicas. COMPORTAMIENTO DE MUROS DIAFRAGMA DE MAMPOSTERÍA La mamposería es un maerial de consrucción elaborado con piezas, que pueden ser de disinos maeriales y ipos, unidas enre sí por medio de junas de morero. Las piezas y el morero ienen propiedades mecánicas disinas, además, las superficies de unión enre ellos presenan caracerísicas que influyen de una manera muy imporane en el comporamieno mecánico del conjuno. Por ello la mamposería es un maerial no homogéneo, aunque para muros que conienen a un gran número de piezas, y desde un puno de visa macroscópico, se puede considerar como homogénea. La forma recangular prismáica de las piezas, su colocación en parones generalmene regulares, y la presencia de las junas de morero que acúan como planos de debilidad en direcciones bien definidas, sugieren que la mamposería es un maerial oróropo con direcciones principales normal y paralela a las junas horizonales. El comporamieno no lineal de la mamposería como maerial proviene de dos fuenes principales. La primera es el comporamieno no lineal que presenan odos los maeriales a parir de ciero nivel de deformaciones, esa caracerísica se hereda a los elemenos esrucurales y a las esrucuras. En ese caso, los comporamienos no lineales de las piezas y del morero, son cualiaivamene similares a los del concreo: en ensión uniaxial se iene una resisencia muy baja, comporamieno prácicamene lineal hasa el esfuerzo máximo y falla frágil o casi frágil. En compresión uniaxial la resisencia es mucho mayor, el comporamieno es marcadamene no lineal con esfuerzos crecienes con la deformación hasa un máximo, y que luego disminuyen hasa un valor residual consane. Sin embargo, cuaniaivamene las propiedades mecánicas ano lineales como no lineales de las piezas, pueden ser muy disinas a las del morero. La segunda fuene de no linealidad es el comporamieno de la superficie de unión enre piezas y morero, en donde ocurre agrieamieno por ensión (o separación) y deslizamieno debido a esfuerzos angenciales. En muros que fallan por corane ese aspeco deermina en forma muy significaiva el comporamieno global del elemeno esrucural. El comporamieno de muros no confinados ni reforzados ane la acción de cargas laerales depende fundamenalmene del nivel de carga verical. Cuando la carga verical es baja o nula, ocurre agrieamieno en las junas de la pare inferior debido a los esfuerzos de ensión 72

5 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros producidos por el momeno flexionane, y conduce a una falla frágil del muro. Cuando se iene una carga axial mayor, el agrieamieno se mueve hacia la diagonal en compresión, debido a la ensión diagonal que produce el corane, y se presena en forma de escalera a lo largo de las junas horizonales y vericales. Al aumenar aún más la carga verical, el agrieamieno diagonal empieza a afecar ano a las junas como a las piezas. Y a niveles odavía mayores de carga verical, se presena aplasamieno en las esquinas en compresión anes que el agrieamieno diagonal. Los niveles de carga verical en los que ocurre la ransición enre cada ipo de falla, dependen de las caracerísicas mecánicas del morero, las piezas y la inerfaz enre ellos; por ejemplo, con un morero o inerfaz muy débil y piezas resisenes, la carga verical necesaria para que fallen las piezas debe ser muy grande, en comparación de la que se requeriría en una mamposería con morero e inerfaces resisenes y piezas débiles. En muros diafragma sujeos a carga horizonal, la carga verical sobre el muro se va incremenando conforme aumena la primera debido precisamene al efeco confinane del marco. La disribución de esfuerzos de conaco enre el muro y el marco depende de la rigidez relaiva enre ésos, y de la relación de aspeco del muro. Por lo que, dependiendo de esos facores, la falla del muro puede esar enre el agrieamieno diagonal y el aplasamieno de las esquinas cargadas. Cuando la relación alura a ancho es grande y con ella la pendiene de la diagonal en compresión, se desarrolla una fuerza verical ala sobre el muro, por ello son comunes en esos casos las fallas por aplasamieno en las esquinas o por agrieamieno diagonal que incluye a las piezas. Con relaciones alura a ancho pequeñas, las fuerzas horizonales se ransmien principalmene por corane con fuerzas vericales pequeñas sobre el muro, en esos casos son comunes las fallas por deslizamieno a ravés de las junas. Adicionalmene a los comporamienos no lineales de la mamposería como maerial, descrios arriba, los muros diafragma presenan un comporamieno no lineal ane cargas laerales debido a efecos geoméricos que se producen en la inerfaz enre el muro y el marco que lo confina. Exisen dos casos, el primero cuando se iene una separación inicial enre el muro y el marco, produco de la conracción de la mamposería, o de una holgura insuficiene cuando se inena aislar al muro del marco. En ese caso inicialmene rabaja solamene el marco, hasa que su desplazamieno es suficiene para cerrar la aberura inicial, enonces empieza a ener conaco con el muro y se inicia el rabajo en conjuno. Ese proceso de cerramieno es gradual conforme aumena la carga laeral, pero, en general, no llega a haber conaco en odo el perímero del muro. El segundo caso se presena cuando inicialmene hay conaco enre muro y marco, pero al aplicar una carga laeral, los disinos parones de deformación de ambos elemenos producen que se empiecen a separar en las esquinas en ensión, debido a la poca o nula resisencia de la inerfaz ane esas acciones. Cuando exise una pequeña separación enre muro y marco la resisencia máxima es prácicamene la misma que cuando no exise al separación, aunque la carga de 73

6 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala agrieamieno puede reducirse ligeramene (Moghaddam y Dowling, 1987). En ambos casos se presena deslizamieno enre las superficies de conaco, que se debe ambién a los diferenes parones de desplazamieno del muro y el marco. Es imporane evaluar la magniud de los esfuerzos coranes que aparecen por efeco de la fricción enre ambas superficies ya que modifican susancialmene el comporamieno del conjuno (Combescure e al, 1995). El comporamieno ane cargas laerales de marcos de concreo o de acero con muros diafragma de mamposería, se puede describir en forma muy general, por medio de las siguienes eapas o modos de falla (Moghaddam y Dowling, 1987), fig 1: i. Separación: A niveles bajos de carga ocurre separación enre el muro y el marco en las esquinas alejadas de la diagonal en compresión, eso sucede en odos los casos. ii. Aplasamieno de esquina: En el caso en que el marco sea muy flexible, los esfuerzos de compresión en la esquina cargada se concenran en una superficie pequeña y ocurre aplasamieno de la mamposería en esa zona. A medida que el marco sea más rígido, y pueda por lo ano disribuir mejor los esfuerzos, la zona de aplasamieno se exiende hacia el cenro del muro. a) b) c) d) Figura 1. Modos de falla de marcos con muros de relleno de mamposería (Moghaddam y Dowling, 1987); a) separación; b) aplasamieno de esquina; c) agrieamieno inclinado; d) falla de la columna en ensión. 74

7 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros iii. iv. Agrieamieno inclinado: Si el marco es suficienemene rígido para eviar el aplasamieno del muro, enonces ocurre agrieamieno a lo largo de la diagonal en compresión, a causa de los esfuerzos principales de ensión en dirección perpendicular. Ese comporamieno no implica el colapso y en muchos casos se pueden alcanzar niveles de carga significaivamene mayores que el correspondiene al agrieamieno. Falla de la columna en ensión: La combinación de esfuerzos de ensión y de corane en la columna izquierda de la figura, puede producir la falla de ésa, principalmene si es de concreo y no iene el suficiene refuerzo ransversal y/o longiudinal. Es menos común que falle la columna derecha porque la compresión incremena, hasa ciero nivel, su resisencia al corane. Mehrabi e al (1994) presenan un desglose más deallado de los posibles mecanismos de falla de marcos con muros de relleno, fig 2. Ellos clasifican a los ipos de falla en cinco grupos: falla por flexión (A), agrieamieno a media alura (B), agrieamieno inclinado (C), deslizamieno en las junas horizonales (D) y aplasamieno de esquina (E). Figura 2 Mecanismos de falla de marcos con muros de relleno (Mehrabi e al. 1994). Tipos de falla posibles: falla por flexión (A), agrieamieno a media alura (B), agrieamieno inclinado (C), deslizamieno en las junas horizonales (D) y aplasamieno de esquina (E) 75

8 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala Resulados experimenales obenidos por varios invesigadores en el Insiuo de Ingeniería de la UNAM y resumidos por Meli (1979), indican que las caracerísicas del marco confinane no ienen una influencia significaiva en el comporamieno del muro anes de la aparición del agrieamieno diagonal. Sin embargo, la reserva de resisencia y la ducilidad dependen especialmene de la resisencia a fuerzas coranes en las esquinas del marco; ya que si ésa resisencia es baja, la griea diagonal se prolonga en el marco y la capacidad de carga ya no aumena significaivamene, mienras que si la esquina del marco es resisene, la carga puede aumenar apreciablemene hasa que se produzca la falla por aplasamieno de la mamposería. MODELO NUMÉRICO Para esudiar de manera analíica el comporamieno de muros de mamposería confinados con marcos de concreo, se elaboró un modelo no lineal de elemenos finios de un marco de concreo reforzado de una crujía y un nivel con un muro de mamposería sin huecos. Para el modelo se uilizó el código DIANA (TNO 1996). Tano el marco de concreo como el muro de mamposería se modelaron con elemenos cuadriláeros de cuaro nudos en esfuerzo plano con inegración gaussiana de 2x2. Alrededor del muro se inrodujeron elemenos inerfaz de cuaro nudos para unirlo con el marco y con la superficie inferior que represena a la viga de cimenación, la cual se supone infiniamene rígida. Esos elemenos inerfaz modelan la posible separación y el posible deslizamieno en el perímero del muro, para su inegración numérica se uilizó una cuadraura de concenración (cuadraura de Lobbao), ya que se ha comprobado que es más adecuada en ese ipo de elemenos que una inegración coninua (TNO 1996). El acero de refuerzo del marco se modeló con un recurso disponible en DIANA que consise en agregar la rigidez del refuerzo a la del elemeno que represena al concreo. Las barras longiudinales se modelaron en forma discrea, mienras que el acero ransversal se modeló como uniformemene disribuido. Para el comporamieno mecánico del concreo se omó un modelo de plasicidad incluido en el código DIANA, que combina los crierios de falla de Von Mises para falla en compresión, y de Rankine para falla en ensión, lo que resula en la función de falla siguiene (TNO 1996) { f f R ( σ, κ R ) = σ 1 f ( κ R ) 2 2 ( σ, κ ) = σ σ σ + σ f ( κ ) VM VM c VM ; & κ ; & κ R VM = & ε = P P 2 P 2 P ( & ε ) ( ) ( ) ) & ε 2 + & ε 3 (1) donde σ 1 y σ 2 son los esfuerzos principales, las κ i son variables inernas de esado o deformaciones plásicas equivalenes; f κ ) y f κ ) son las resisencias en ensión y en ( R c ( VM P compresión uniaxiales respecivamene; las ε i son las deformaciones plásicas principales; y el 76

9 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros puno sobre una variable indica derivación con respeco al iempo. En la fig 3.a se presena gráficamene esa función. En compresión el comporamieno es lineal hasa un ercio de la resisencia, a parir de ese puno la relación σ-ε sigue una ley parabólica, con su máximo en f c y con energía de fracura G fc dada (TNO, 1996). En la fig 3.b se muesra la ley de endurecimieno. En ensión el comporamieno es lineal hasa f, y a parir de aquí el ablandamieno se modela por medio de una ley exponencial con energía de fracura G f dada. Físicamene G f es la energía necesaria para generar una superficie uniaria de griea, es común acepar que esa canidad es una caracerísica inrínseca de cada maerial. Numéricamene es el área bajo la curva esfuerzo conra ancho de griea. En la fig 4 se indica que el área bajo la curva esfuerzo-deformación es la energía relaiva de fracura g f. La relación enre la energía de fracura G f y la energía relaiva de fracura g f es: G f = g f h (2) donde h es el ancho de banda del maerial, en el caso de elemenos finios, se ha demosrado que ese parámero depende de la geomería del elemeno. Para cuadriláeros es común omar a h como la raíz cuadrada del área del elemeno. La mamposería iene un comporamieno mecánico oróropo, que se acenúa en la eapa de comporamieno no lineal, sin embargo, en el presene rabajo se consideró siempre comporamieno isóropo por varias razones. La primera es que acualmene se cuena con muy poca información experimenal acerca del comporamieno oróropo de la mamposería, y hasa donde llega el conocimieno de los auores, no hay esudio alguno al respeco hecho con mamposerías mexicanas, por lo que sería muy avenurado inenar asignar propiedades oróropas a un modelo. Además, un comporamieno isóropo debe ser suficiene para capar la respuesa general de la esrucura porque las direcciones en las que ocurre la plasificación y el agrieamieno son muy similares en odo el muro y en oda la hisoria de carga. Ora razón es que los modelos de plasicidad oróropos incorporados en DIANA se limian a comporamieno elaso-plásico perfeco el cual esá muy alejado del de la mamposería, sobre odo si se quiere modelar su comporamieno no lineal. Ora limiane para considerar un modelo oróropo es que con los méodos de análisis acuales no se puede combinar con los modelos de fracura, lo que los hace odavía menos apos para represenar el comporamieno de la mamposería. Es deseable que los modelos de plasicidad oróropa, como el desarrollado por Lourenço (1996), se ornen disponibles en los programas de análisis no lineal de elemenos finios. Eso permiiría una modelación más precisa que incluya odos los posibles modos de falla de la mamposería, por ejemplo, el deslizamieno a lo largo de las junas horizonales, que no puede modelarse con un modelo isóropo. 77

10 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala Para el modelo de comporamieno de la mamposería se uilizó el crierio de Von Mises para falla en compresión, y un crierio lineal para ensión, como se indica en la fig 4.a. El modelo de comporamieno en compresión es parabólico, como en el modelo del concreo, y el de ensión esá basado en la eoría de la fracura con ablandamieno de Hordijk (TNO, 1996), fig 4.b. En la mecánica de la fracura se reconoce que al iniciarse la formación de una griea, la rigidez en corane del maerial se reduce. Con ese fin se inroduce el facor de reención de corane β, menor que la unidad y mayor que cero, que muliplica al módulo de corane G, en ese caso se omó un valor consane de β= Ese valor es demasiado pequeño y no iene una jusificación física o experimenal; sin embargo, numéricamene ofrece la venaja de eviar que los esfuerzos principales giraren lo suficiene como para que se inicie la formación de ora griea, con diferene orienación, en un mismo elemeno. a) σ 1 f b) σ g f f c f c /3 f σ 2 ε f c /3 g fc f c Figura 3. Modelo de comporamieno para el concreo; a) crierio de falla combinado Von Mises- Rankine; b) ley de endurecimieno Los elemenos inerfaz de cuaro nudos que se uilizaron para modelar el conaco enre el muro y el reso de la esrucura ienen rigideces elásicas, normal y angencial, dadas por: E D = m Gm n D = (3) donde E m y G m son los módulos de Young y de corane del morero respecivamene, y es el espesor de la juna que se esá represenando. Esas rigideces se inerprean físicamene como el valor del esfuerzo que es necesario aplicar a la inerfaz para producir un desplazamieno relaivo uniario correspondiene con dicho esfuerzo. Para el comporamieno no lineal se uilizó el crierio de falla de Coulomb, con un límie en el esfuerzo de ensión (cu off), como se muesra en 78

11 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros la fig 5. El comporamieno en dirección normal del elemeno es elaso-plásico perfeco. Se uiliza reención de corane consane, con un valor nulo de la rigidez reducida, lo que implica ambién comporamieno elaso-plásico perfeco. La mariz de rigideces angene para ese ipo de elemenos queda expresada por (TNO 1996) k = h + k n 1 an( φ ) an( ψ ) + k k k n n k ( h + k ) an( φ ) k n k an( ψ ) k ( + an( φ ) an( ψ )) h k n (4) donde h = f / κ, k n y k son las rigideces elásicas normal y angencial respecivamene, φ y ψ son los ángulos de fricción y de expansión respecivamene, y es el esfuerzo angencial. Es evidene de la ec 4 que si el ángulo de fricción es diferene que el de expansión, la mariz resula ser asimérica. La expansión depende del nivel de esfuerzos confinanes en razón inversa, del grado de rugosidad de las superficies en conaco, y de la canidad de desplazamieno angencial. Inicialmene iene un valor alo (0.2<an(ψ)<0.75) y a medida que se produce el deslizamieno, las rugosidades se liman y la expansión iende a cero. Lourenço (1996) encuenra que suponer un valor nulo para ese parámero da buenos resulados. El ángulo de fricción ambién disminuye con el deslizamieno, hasa un valor residual. Lo anerior implica que en general se ienen valores diferenes para φ y ψ, lo que, a su vez, produce marices angenes asiméricas. Para el acero de refuerzo se supone un comporamieno elaso-plásico perfeco, y se considera que exise adherencia perfeca con el concreo. Esa hipóesis es basane razonable en marcos con muros de relleno, según los resulados que reporan Mehrabi e al (1994), quienes a) σ 1 f c f f σ f c Figura 4. Modelo de fracura para mamposería; a) crierio de falla; b) modelo de ablandamieno de Hordijk (TNO 1996). 79

12 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala analizan un marco de concreo reforzado con y sin relleno, y con y sin deslizamieno del acero de refuerzo. Encuenran que en el caso del marco sin relleno, el deslizamieno del refuerzo influye significaivamene en la respuesa, mienras que en el marco con relleno ese fenómeno no es significaivo. Figura 5. Crierio de falla de Coulomb. Para enconrar la solución de sisemas no lineales se recurre a procedimienos aproximados que combinan méodos incremenales y méodos ieraivos. Para ese modelo se inenaron varios de los méodos ieraivos más comunes y considerados los más eficienes, como son: Newon-Raphson, Newon-Raphson modificado, el de la mariz secane, enre oros; sin embargo, no se pudo convergir a soluciones más allá de unos cuanos incremenos de carga, ya sea porque no se alcanzaba el crierio de convergencia, o porque el error se hacía mayor con cada ieración, aún usando écnicas avanzadas como el conrol de la longiud de arco, o el amaño ópimo del incremeno de carga ( line search ). El méodo que permiió enconrar soluciones aproximadas para cualquier nivel de deformación fue el de la mariz de rigidez lineal, que consise en uilizar durane odo el proceso la mariz de rigideces que se obiene inicialmene, anes de que ocurra ningún comporamieno no lineal. Ese méodo iene las venajas de que la mariz de rigideces es posiiva definida y simérica, y que se facoriza una sola vez en odo el proceso. Sin embargo, iene las desvenajas de requerir un mayor número de ieraciones para alcanzar la convergencia, comparado con oros méodos, y que la solución aproximada oscila mucho alrededor de la solución exaca real (fig 7). Cabe mencionar que ese méodo ieraivo puede conducir a que el análisis siga ruas de carga-deformación erróneas; sin embargo, los resulados obenidos en ese caso parecen ser correcos, pueso que las configuraciones deformadas, los parones de agrieamieno, y las curvas fuerza-desplazamieno concuerdan con el comporamieno esperado. 80

13 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros EJEMPLO DE APLICACIÓN Con el fin de calibrar el modelo numérico y obener mayor información del comporamieno de marcos con muros de relleno, se elaboró un modelo de elemenos finios con base en los daos reporados por Meli y Salgado (1969) de uno de sus ensayes experimenales. Aunque esricamene el modelo experimenal es de mamposería confinada, el comporamieno de ese ipo de esrucuras es muy similar al de los marcos con muros de relleno, además, no se conaba con información experimenal deallada de algún experimeno en un marco relleno auénico. Las caracerísicas geoméricas del modelo se muesran en la fig 6.a. Las piezas eran abiques de barro recocido, con dimensiones nominales de 6x12x24 cm, y con un módulo de Young de E p =11,000 kg/cm 2. El morero empleado en las junas enía una proporción de 1:3 en cemeno:arena con una resisencia a la compresión f b =285 kg/cm 2. La resisencia a la compresión de la mamposería era de f m =102 kg/cm 2. La resisencia a la compresión del concreo del marco era f c =237 kg/cm 2. Los casillos esaban reforzados con cuaro varillas longiudinales de 5/8 in de diámero, y esribos de 1/4 in a cada 20 cm. El acero de refuerzo era de ipo esrucural con esfuerzo de fluencia nominal de 4,000 kg/cm 2. Los casillos se colaron una vez erminada la consrucción del muro. La carga horizonal se aplicaba progresivamene para producir incremenos de deformación angular prefijados, conrolados por medio de la deformación de una de las diagonales. Meli y Salgado (1969) reporan que en el experimeno el muro se agrieó cuando la carga laeral alcanzó las 6.43 on, y la deformación angular era de 1.11x10-3. Después la carga se incremenó hasa un máximo de on cuando el muro había alcanzado una deformación angular de 13.4x10-3. La malla de elemenos finios empleada se muesra en la fig 6.b. Los elemenos inerfaz que unen al muro con el reso de la esrucura ienen un espesor nulo. Después de un proceso de calibración en el que se manuvieron consanes las propiedades del marco de concreo reforzado y de la inerfaz, se llegó a los parámeros que se indican en la abla 1, el espesor de la juna enre muro y marco se supuso de 1 cm. Una descripción deallada del proceso de calibración puede consularse en Orduña (2000). Respeco a los valores asenados en la abla 1 se pueden hacer los siguienes comenarios. El esfuerzo de fluencia del acero en ensión es el reporado por Meli y Salgado (1969), para el esfuerzo de fluencia en compresión se omó el mismo valor, y para el módulo de Young, un valor comúnmene acepado en la lieraura. La resisencia en compresión del concreo es la obenida experimenalmene; mienras que para la resisencia en ensión se omó el 10% del valor anerior; el módulo de Young se calculó de acuerdo con DDF (1996); el módulo de Poisson es el comúnmene acepado en la lieraura. Los valores de las energías de fracura en compresión y en ensión, difícilmene pueden obenerse de manera experimenal, los 81

14 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala Figura 6. Modelo de marco y muro confinado; a) caracerísicas geoméricas del modelo experimenal de Meli y Salgado (1969); b) malla de elemenos finios del modelo numérico. 82

15 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros Tabla 1. Parámeros del modelo numérico. E ν f c G fc f G f c an(φ) an(ψ) kg/cm 2 - kg/cm 2 kg.cm/c kg/cm 2 kg.cm/c kg/cm m 2 m 2 Mamposería Concreo 1.2x Acero 2x Inerfaz valores usados han dado buenos resulados en análisis numéricos de oros auores, por ejemplo: Lourenço (1996) o Ros (1988). Para la mamposería se omó un módulo de Poisson comúnmene acepado en la lieraura. Las resisencias y las energías de fracura en compresión y ensión, así como el módulo de Young de la mamposería, fueron los parámeros que más sufrieron ajuses en el proceso de calibración, los valores indicados son los que dieron mejores resulados en cuano a que la respuesa del modelo numérico fuera similar a la del experimenal. De hecho puede observarse que la resisencia en compresión en el modelo numérico es muy inferior a la medida experimenalmene en prismas de mamposería. Ese hecho es indicaivo de que el modelo numérico aún iene muchas deficiencias para reproducir correcamene el comporamieno de ese ipo de esrucuras, pero ambién de que es necesario obener información experimenal acorde con las necesidades de los modelos numéricos acuales. Finalmene, para la inerfaz enre muro y 2 marco, se consideró una cohesión de c = 2.5kg / cm que es un valor recomendado por Meli (1979) basado en evidencia experimenal; y la angene del ángulo de fricción se omó igual a 0.75, ese es un valor razonable según varios auores (Lourenço 1996, Mehrabi e al.1996, Meli 1979). El ángulo de expansión se omó igual a cero porque ese valor ha dado buenos resulados en oros rabajos (Lourenço 1996). En la fig 7 se comparan las curvas carga conra deformación angular de los modelos experimenal y numérico. En esa figura se observa un comporamieno muy similar de los dos modelos hasa anes del agrieamieno diagonal del muro, en donde el modelo experimenal reduce ligeramene su carga anes de reomar una rigidez posiiva. En el modelo numérico el agrieamieno ocurre a una carga ligeramene menor que en el experimenal, sin embargo, después del agrieamieno, el comporamieno vuelve a ser muy similar en ambos. En la úlima eapa, el modelo experimenal pierde rigidez más rápidamene que el numérico. Para explicar ese comporamieno se han considerado dos hipóesis aún no verificadas. La primera es que el comporamieno de esrucuras en las que el agrieamieno ocurre como una sola griea, no puede ser modelado adecuadamene por medio del enfoque de la fracura disribuida, en cuyo caso la 83

16 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala fracura discrea debería de dar mejores resulados, aunque a un coso mucho mayor. La ora posible explicación es que en los modelos de comporamieno considerado no se reconoce ninguna reducción en la resisencia en compresión de los maeriales cuando se ha iniciado el agrieamieno. P (on) 14.0 numérico experimenal γ Figura 7. Gráfica carga conra deformación angular PROPUESTA DE MODELO DE DIAGONALES Como una aplicación prácica de los resulados obenidos de modelos numéricos como el presenado en la sección anerior, se propone el desarrollo de un modelo simplificado de muro para el análisis de marcos con rellenos. El objeivo principal de proponer un nuevo modelo para el análisis de muros diafragma es inenar reproducir lo mejor posible la disribución de elemenos mecánicos en el marco obenidos mediane un análisis no lineal, con el fin de que el diseño del mismo sea congruene con las soliciaciones a las que esará expueso durane un sismo inenso; al mismo iempo que se pueda reproducir adecuadamene el comporamieno global. Debido a que únicamene se cuena con resulados de un modelo de elemenos finios, no fue posible calibrar el modelo simplificado para su aplicación general, por ello, la propuesa se limia a senar las bases para el desarrollo de dicho modelo. Se ilusra, mediane el ejemplo del muro esudiado en la sección anerior, que es posible definir los parámeros del modelo simplificado de al manera que se cumpla con el objeivo señalado arriba. 84

17 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros Los elemenos mecánicos cambian no sólo en magniud, sino ambién en disribución, debido principalmene al cambio en la longiud de conaco con el muro, a medida que ocurre el daño en la esrucura. Traar de modelar los cambios en la longiud de conaco implicaría que no sólo las propiedades mecánicas del modelo fueran cambianes, sino ambién su geomería, y eso lo haría demasiado complejo para su uso en la prácica común de la ingeniería. Por lo anerior se consideró que el modelo uviera una longiud de conaco consane para odo su comporamieno. La longiud de conaco que se consideró más represenaiva es la que se presena inmediaamene después de que ocurre el agrieamieno del muro. Por una pare, porque la carga que ransmie el muro no aumena mucho después del agrieamieno; y por ora pare, porque se espera que en una esrucura bien diseñada, para niveles de desempeño relacionados con el daño, la mayoría de los muros deben alcanzar al menos la carga de agrieamieno durane el sismo más inenso que probablemene se presene en su vida úil. El modelo que se propone consise en susiuir al muro por res elemenos armadura que únicamene pueden omar fuerzas axiales de compresión (fig 8), de manera similar al propueso por Chrysosomou e al (1992). El elemeno en la diagonal modela el comporamieno de una Figura 8. Modelo de res diagonales; a) Idealización del rabajo de un muro como un punal en compresión; b) modelo propueso para análisis. franja de muro que inicialmene oma buena pare de la carga, pero cuya conribución en la ransmisión de cargas disminuye noablemene cuando ocurre el agrieamieno del muro. Los 85

18 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala elemenos excénricos inicialmene ransmien una pare pequeña de la carga, pero modifican las disribuciones de elemenos mecánicos del marco, y permien, además, omar en cuena la posible excenricidad con la que se ransmie la carga del muro al marco. Cuando ocurre el agrieamieno del muro y el elemeno cenral pierde rigidez, los elemenos excénricos oman un porcenaje mayor de la carga. Eso es congruene con lo observado en el modelo de elemenos finios, en donde, para las eapas finales, se observa una reducción de los esfuerzos principales en la franja cenral del muro, y la formación de franjas laerales a ravés de las cuales se ransmien los esfuerzos. A los elemenos se les asigna comporamieno elaso-plásico perfeco, porque es el más sencillo para represenar comporamieno no lineal. La rigidez inicial del elemeno cenral se define a parir del esado de la esrucura anes de producirse el agrieamieno del muro. Cuando se alcanza ese esado, la diagonal cenral fluye. El segundo esado que se considera imporane es el correspondiene a la deformación angular de γ= Ese valor es en ciero modo arbirario, deben hacerse esudios encaminados a deerminar ese parámero, e incluso ese segundo esado o esado úlimo puede considerarse dependiene del nivel y ipo de desempeño que se quiera lograr. Las rigideces de las diagonales excénricas esán definidas por el comporamieno enre el agrieamieno del muro y la deformación máxima; esos elemenos fluyen cuando se alcanza ese esado. Con el fin de verificar que es posible definir los parámeros de un modelo como el propueso, de manera al que se cumplan los objeivos señalados, se procedió a calibrar un modelo con la esrucura esudiada en el capíulo anerior. Debido a que lo que se preende validar es el modelo que susiuye al muro, el modelo del marco se conservó exacamene igual al descrio en la sección anerior; se eliminaron los elemenos que represenan al muro y a la inerfaz, y se agregaron los res elemenos barra del modelo propueso. Exisen res conjunos de variables que definen el comporamieno del modelo propueso, el primero es la ubicación de las diagonales excénricas, el segundo esá inegrado por las rigideces de los elemenos, y el ercero por sus resisencias. La ubicación de las diagonales debe esar relacionado con la longiud de conaco enre el muro y cada uno de los elemenos que lo confinan (en ese caso se incluye la viga de cimenación). Se observó que una buena elección es colocar los exremos de los elemenos diagonales en los punos donde se inicia el conaco al momeno de producirse el agrieamieno del muro; sin embargo, es necesario considerar un mayor número de casos para dar una recomendación general en ese senido. 86

19 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros Para definir las rigideces y resisencias de cada uno de los elemenos diagonales, se esudió la disribución de los esfuerzos de conaco enre muro y marco en los esados de agrieamieno y deformación máxima. Se supuso que la diagonal cenral debería omar la fuerza resulane de los esfuerzos de conaco en zonas definidas, ano de la viga como de la columna, con base en la recomendación que se hace en DDF (1996), respeco a que el corane con el que debe diseñarse un elemeno de concreo reforzado es aquel que se presena a un perale del paño del apoyo. De esa forma las dos zonas de conaco enre muro y marco quedan divididas en res subzonas, y la resulane de los esfuerzos de conaco en ellas se pueden asociar con cada una de las res diagonales del modelo. Esas subzonas de conaco definen, asimismo, las áreas ransversales de los elemenos diagonales. Nuevamene es imporane aclarar que el crierio adopado para dividir la zona de conaco en res subzonas es arbirario, cuando se cuene con un mayor número de casos esudiados, se podrá deerminar un crierio más adecuado. La fig 9 muesra la proporción de la carga laeral que oman el marco y el muro para algunos pasos de carga, desaforunadamene no se cuena con un desglose de cargas similar para el modelo experimenal, por lo que no se puede esablecer una comparación. Para separar la carga que oma el marco se sumaron los coranes en los exremos inferior de la columna izquierda y superior de la columna derecha. Se hizo de ese modo porque el corane en el exremo inferior de la columna derecha incluye pare de la carga que oma el muro y que ransmie nuevamene al marco a ravés de esa columna. El corane que oma el muro se calculó como la diferencia enre el oal y el que oma el marco. Se puede observar que el corane en el muro se incremena con una endencia bilineal, eso refuerza la propuesa de hacer que la diagonal cenral fluya al producirse el agrieamieno del muro. De esa forma la suma de las rigideces iniciales de las res diagonales debe ser la rigidez de la primera rama de esa curva, mienras que la segunda rama, define la suma de las rigideces de las diagonales excénricas. En la fig 10 se muesra el modelo con las res diagonales; al lado de cada una de ellas aparece un número para idenificarlas. Las diagonales excénricas se conecan en los punos en los que erminan las zonas de conaco. Puede observarse que los exremos de esas diagonales no coinciden con nudos del modelo del marco; eso se hizo así porque en el úlimo elemeno inerfaz donde hay conaco, exise esfuerzo en un exremo, mienras que en el oro exremo el esfuerzo es nulo, por lo que se considera que deja de haber conaco a la miad del elemeno. Para hacer la conexión se resringieron linealmene los desplazamienos de los nudos exremos de la diagonales, en función de los desplazamienos de los nudos adyacenes del modelo del marco. 87

20 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala 16.0 P (on) 14.0 m08j experimenal 8.0 muro marco γ Figura 9. Coranes que oman el muro y el marco. Figura 10. Modelo de res diagonales y numeración de las mismas. 88

21 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros Se hicieron una serie de análisis de ese modelo, en los que se fueron modificando los módulos de Young de las diagonales hasa obener un comporamieno global similar al presenado por los modelos de elemenos finios y experimenal. Las resisencias se definieron de manera que la diagonal cenral fluye cuando alcanza la carga de agrieamieno, mienras que las diagonales exernas fluyen cuando alcanzan la carga correspondiene con el esado úlimo. Las propiedades de los elemenos equivalenes se deerminaron por prueba y error; sin embargo, la inención es que, una vez que se cuene con una canidad suficiene de modelos así obenidos para diferenes casos, se puedan obener reglas de aplicación general. De la forma descria se llegaron a definir los valores de los parámeros de los elemenos diagonales que se indican en la abla 2 con los cuales se obiene la curva carga conra deformación angular que se muesra en la fig 11. En esa figura se incluyen, con fines comparaivos, las curvas obenidas con el modelo de elemenos finios y con el modelo experimenal, además, se muesran los coranes que oman el muro en el modelo de elemenos finios, y las diagonales en el modelo simplificado. Se observa que el modelo de res diagonales se compora en forma muy similar a los oros dos. La fluencia de las diagonales excénricas ocurre anes de la deformación angular de 0.006; sin embargo, eso hace que las curvas sean más parecidas enre sí. Asimismo, se observa que el corane que oman las diagonales en el modelo simplificado concuerda aproximadamene con el que oma el muro en el modelo de elemenos finios hasa la deformación de Poco anes de ese puno, las diagonales han fluido y no ienen más rigidez, mienras que el muro sigue omando más carga aparenemene. Ya se comenó en el capíulo anerior que esa fala de ablandamieno del muro es la posible causa de las discrepancias para deformaciones grandes enre los modelos experimenal y numérico. Tabla 2. Propiedades de los elemenos diagonales equivalenes. Elemeno A E f m cm 2 kg/cm 2 kg/cm , , ,

22 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala V() muro en modelo de EF experimenal 3 diagonales diagonales en modelo simplificado elem. fin γ Figura 11. Gráficas carga conra deformación angular de los res modelos, del muro en el modelo de elemeno finios y de las diagonales en el modelo simplificado. En la fig 12 se muesran los elemenos mecánicos obenidos con ambos modelos en el esado de deformación máxima. Las res gráficas superiores muesran los diagramas de momeno flexionane. La de la izquierda corresponde con la columna izquierda del marco, el eje verical es el eje del elemeno, mienras en que el eje horizonal se represenan los valores del momeno. La gráfica de la derecha corresponde con la columna derecha y los ejes ienen significados análogos a los de la columna opuesa. La gráfica cenral represena el momeno flexionane sobre la viga en su eje verical, mienras que el eje horizonal corresponde con el eje del elemeno esrucural. Las gráficas de la pare cenral e inferior de la figura represenan las fuerzas corane y normal, respecivamene, y su inerpreación es análoga a las gráficas de momeno flexionane. Se aprecia que exise buena semejanza enre ambos modelos. Las diferencias en las formas de los diagramas eran de esperarse por la disina manera en que se ransmien las cargas al marco. Sin embargo, el modelo de res diagonales, a diferencia de los basados en una sola diagonal, permie aproximar la variación de los elemenos mecánicos en los exremos de los elemenos del marco. Aquí es imporane mencionar que, para un mayor refinamieno del modelo propueso, se debería esudiar la posible modificación de las rigideces de las porciones de los elemenos del marco que se encuenran enre la diagonal y el nudo. Eso con el fin de igualar las deformaciones en esos ramos, que en el caso real ocurren por fuerzas disribuidas, mienras que en el modelo 90

23 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros Momeno 2 elemeno finio 1 res diagonales Corane Fuerza normal Figura 12. Comparación de elemenos mecánicos en el marco enre el modelo simplificado y el modelo de elemenos finios para la deformación máxima. 91

24 Agusín Orduña y A. Gusavo Ayala simplificado ocurren por fuerzas concenradas con cambios bruscos en las fuerzas corane y normal, y en la pendiene del diagrama de momenos. Además, en el caso real, se ransmien esfuerzos angenciales en el paño de los elemenos del marco, lo cual va en conra de una de las hipóesis básicas de la eoría de vigas. Eso jusifica realizar un esudio deallado del comporamieno de los elemenos del marco en la zona de conaco con el muro, con fines no únicamene de análisis, sino para esudiar las implicaciones que ese fenómeno pudiera ener en el diseño. Las propuesas acuales de diseño sísmico basado en el desempeño de las esrucuras, paren del supueso de que el comporamieno de una esrucura se puede caracerizar suficienemene, si el modelo de la esrucura se somee a una carga laeral monóonamene creciene, y se obiene la curva carga conra desplazamieno laeral (evidenemene que los escalares carga y desplazamieno laerales deben ser definidos de manera conveniene). Esa curva oma en cuena el comporamieno no lineal de la esrucura, y se inerprea como la envolvene del comporamieno de la esrucura cuando es someida a cargas cíclicas alernanes. Debe noarse que el modelo propueso depende de la dirección de la carga, para carga en la dirección conraria, debe cambiarse la posición de los elemenos barra, orienándolos con la ora diagonal del muro. Los efecos de la degradación de resisencia y de rigidez, disipación de energía y daño progresivo por comporamieno hiseréico, enre oros; son omados en cuena por ese enfoque mediane la definición de especros de diseño adecuados para cada ipo de esrucura, maerial esrucural o ipo de desempeño que se quiere conrolar. Se deben hacer esudios adicionales para definir ales especros, esudios que deberán omar en cuena los efecos mencionados arriba, pero que salen de los alcances del presene rabajo. Por oro lado, es imporane mencionar que el presene rabajo se limia a proponer las bases para el desarrollo de un modelo simplificado de análisis. Para desarrollar compleamene el modelo simplificado, primero es necesario conar con écnicas de modelado por elemenos finios más adecuadas a ese ipo de esrucuras, calibradas y comprobadas con un número suficiene de ensayos experimenales, para, como segundo paso, realizar esudios paraméricos que permian esablecer reglas generales para definir los parámeros del modelo simplificado en cualquier caso prácico. Se mosró que es posible susiuir al muro de mamposería por res elemenos diagonales y obener un comporamieno similar al original, ano a nivel global como a nivel local. Es evidene que en eapas poseriores del desarrollo del presene modelo, y sobre odo, en su uilización prácica, el marco de concreo reforzado ambién debe ser susiuido por elemenos barra, con comporamieno y parámeros mecánicos cuidadosamene seleccionados. 92

25 Simulación Analíica del Comporamieno No Lineal de Muros CONCLUSIONES El comporamieno de marcos con muros de relleno de mamposería sujeos a cargas laerales es muy complejo, con efecos no lineales prácicamene desde el inicio de la carga, modos de falla muy diversos, enre oras dificulades. Su modelado, aún con el méodo de los elemenos finios, no es sencillo, requiere omar en cuena muchos fenómenos que no son comúnmene incluidos en programas de análisis no lineal, al es el caso de los elemenos inerfaz o modelos oróropos de comporamieno. Se cuena con muy poca información experimenal de los parámeros necesarios para esos modelos, especialmene los que se refieren a la pare del ablandamieno por deformación, como son las energías de fracura en ensión y en compresión, el comporamieno oróropo, adherencia enre morero y piezas, así como enre morero y concreo. En la lieraura, aún la especializada, se habla muy poco y muy vagamene acerca de qué méodos de solución de sisemas no lineales son más adecuados a cada caso, y sobre las olerancias recomendables para lograr cieros niveles de precisión. A pesar de esas dificulades, en ese rabajo se demosró que, con base en la limiada información exisene, es posible definir modelos numéricos basados en el méodo de los elemenos finios, como el presenado, capaces de reproducir saisfacoriamene el comporamieno de esas esrucuras, al menos hasa los niveles de disorsión permiidos por los reglamenos de consrucción. Es imporane mencionar que, para exploar el poencial de ese ipo de modelos numéricos, es necesario conar con información experimenal adecuada que los respalde. El modelo de res diagonales cuyas bases se propusieron en ese rabajo iene el poencial de represenar las principales caracerísicas del comporamieno, ano global como local, de muros diafragma de mamposería. Una vez desarrollado compleamene puede converirse en una herramiena poderosa, de aplicación prácica, para el análisis y diseño de esrucuras con ese ipo de elemenos. AGRADECIMIENTOS Se agradece el parocinio de ese rabajo por el Insiuo Mexicano del Peróleo por medio del proyeco FIES Desarrollo de modelos numéricos y herramienas de sofware para evaluar el proceso de fracura en esrucuras de acero y concreo someidas a cargas esáicas y/o cíclicas aplicando a la mecánica de fracura. El primer auor agradece al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología la beca que le oorgó para realizar sus esudios de maesría. 93