Teoría de la Computabilidad

Transcripción

1 Teoría de la Computabilidad Lenguajes, gramáticas y autómatas Lenguajes L={w=a n b n n>0} Módulo 2: Lenguajes Libres de Contexto y Sensibles al Contexto GR Lenguajes regulares? Departamento de Cs. e Ing. de la Computación Universidad Nacional del Sur Bahía Blanca, Argentina 1 AF ER Ya hemos visto que existen lenguajes que no son regulares 2 Lenguajes, gramáticas y autómatas Con las herramientas de las que disponemos, no podemos construir un autómata que reconozca las cadenas de la forma a n b n, ni una gramática para producir estas cadenas... Evidentemente hemos alcanzado un límite en nuestro poder de cómputo... GR AF ER Lenguajes regulares Decimos que encontramos un límite pues conocemos una tarea que no podemos realizar. 3 Lenguajes, gramáticas y autómatas Es lógico entonces preguntarnos... tiene el lenguaje L={a n b n n>0} una gramática que lo genere? y un autómata que reconozca sus cadenas? Veremos que así como existen lenguajes regulares, existen otros tipos de lenguajes, con sus respectivas gramáticas y autómatas. De esta forma expandimos nuestro poder de cómputo para poder trabajar con estos lenguajes. LRs cuál será el límite definitivo? existe? hay algo que nunca podremos computar? 4 Leng. Libre de Contexto (LLC) y Sensibles al Contexto (LSC) Por ejemplo, un AF (o una ER, o una GR): podrá reconocer elementos tales como una expresión aritmética en un lenguaje de programación? Veremos a continuación lenguajes algo más complicados que los lenguajes regulares. Para ello estudiaremos otras clases de gramáticas, que surgen de restringir las reglas de producción permitidas, usando distintos criterios. Estas gramáticas nos permiten generar lenguajes más complejos. 5 Gramáticas Libres de Contexto (GLC) Las gramáticas libres de contexto (GLC) son muy importantes para describir sintaxis de lenguajes de programación. Se dicen libres de contexto pues las reglas de producción prescinden del entorno: dicen cómo reemplazar un no terminal sin hacer referencia al contexto en el que se encuentra: La parte izquierda de es siempre un símbolo no terminal. Ej: los diagramas de Conway de Pascal pueden asociarse a una GLC. 6

2 Gramáticas Libres de Contexto (GLC) Gramáticas con libertad de contexto P = { S a S a, S bs b, S c } De lado izquierdo, siempre UN símbolo no terminal... S... No importa el contexto en el que se encuentra S... asa... Se reemplaza el no terminal por la cadena indicada en la regla de producción 7 8 Gramáticas Sensibles al Contexto (GSC) Gramáticas con sensibilidad al contexto P = { S asb, as csc, S c } De lado izquierdo, símbolos terminales y/o no terminales... as csc... Se hace referencia al contexto en el que se encuentra S Se reemplaza el no terminal y su contexto por la cadena indicada Libre de Contex. vs. Sensible al Contex. Gramáticas con libertad de contexto P = { S asa, S bsb, S c} S G > asa Gramáticas con sensibilidad al contexto P = { S asb, as csc, S c } S G > asb G > absba G > abcba G > cscb G > cccb en la regla de producción 9 10 Clasificación de gramáticas de Chomsky Entre 1950 y 1960, el lingüista norteamericano Noam Chomsky desarrolló una clasificación de las gramáticas. Su idea: modelar los lenguajes naturales, con miras a traducción automática Noam Chomsky Gramáticas Tipo 0 (G EF ) Gramáticas Tipo 1 (G SC ) Gramáticas Tipo 2 (G LC ) Gramáticas Tipo 3 (Gramáticas Regulares) Gramáticas (repaso) Recordemos... Def.: Una gramática estructurada por frases (GEF) es una 4-upla G=(Vn,Vt,S,P), donde V n = conj.finito de símbolos no terminales (o auxiliares) V t = conj. finito de símbolos terminales S = símbolo inicial,s V n P = conj.finito de reglas de producción. Estudiaremos clases de gramáticas que surgen al tipificar las reglas de producción permitidas

3 Gramáticas: tipos 0,1,2 y 3 Def.: Una gramática G=(V n,v t,s,p). Diremos que G es de: Tipo 0: si la única restricción en cada regla es (V n V t )* V n (V n V t )* Tipo 1: si es de tipo 0, y se verifica long( ) long( ) Tipo 2: si es de tipo 1, y en cada regla, se cumple que V n Tipo 3: si es de tipo 2, y en cada regla, se cumple que V n,y V t obien (V t V n ) Gramáticas: tipos 0,1,2 y 3 Restricciones para (V n V t )* V n (V n V t )* long( ) long( ) V n V t o bien (V t V n ) Gramática Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Tipo Gramáticas tipos 3 y 2: características Las gramáticas tipo 3 o regulares generan los lenguajes especificados por las ERs. S 1, S 0S, S 1S Las gramáticas tipo 2 o libres de contexto permiten, en la izquierda de sus producciones, un único simbolo V n.el contexto no influye al aplicar una regla de producción. S a, S b, S asa, S bsb 15 Gramáticas tipo 1: características Las gramáticas tipo 1 o sensibles al contexto permiten producciones donde a la izquierda puede haber varios símbolos ( contexto ) rodeando a un no terminal. Si existe una regla C i AC d C i C d, donde A (V n V t )* V n (V n V t )*, y C i,c d,,c i,c d (V n V t )* Aquí C i yc d forman el contexto a izq. y der. al cual es sensible el no terminal A. En otras palabras, A puede ser reemplazado por cuando esté entre C i yc d. 16 Ejemplo 1 Defina una gramática para generar las cadenas de L={wcz w {a,b}*, z=reverso de w}. Ejemplos: aacaa, bacab L. V n ={S,T 1,T 2,T 3 }, V t ={a,b,c}, P={ S asa, S bsb, S c} Esta es una gramática libre de contexto. La parte izq. de cada regla es un V n y la parte derecha pertenece a (V n V t ) + 17 Ejemplo 2 Supongamos querer una gramática para generar las cadenas de L={a n b n c n n>0}. Ejemplos: aabbcc, abc L. V n ={S, A, C}, V t ={a,b,c}, P={ S abc aabc, A abc aabc, Cb bc, Cc cc} Esta es una gramática sensible al contexto (ej: el no terminal C sólo puede ser reescrito como c si en alguna cadena aparece una c adelante). 18

4 Ejemplo 3 Supongamos querer una gramática para generar las cadenas de L={w=a 2n n 0} (Ej: aa, aaaa,...) V n ={S, X, Y, Z}, V t ={a}, P={ S, S YXXY, YX YZ, ZX XZ, ZY XXXY, X a, Y } Esta es una gramática donde long( ) long( ) se verifica casi para todas las reglas, pero no para S ey. Luego ni siquiera es tipo 1, sino de tipo Cadena nula: un caso especial... En las gramáticas de tipo 1 y 2, debía respetarse que (V t V n )*, y esto implica como caso particular que = Recordemos que las reglas de tipo A son reglas borradoras, y su admisión dificulta predecir el comportamiento de los lenguajes afectados. Convención usual adoptada: aceptar reglas S sólo si S no aparece en la parte derecha de las producciones. Luego S solo es usado en un único paso de una derivación (el inicial). Nota: la jerarquía de Chomsky indica que las gramáticas tipo 1 no pueden tener reglas borradoras (y por ende tampoco las de tipo 2 y tipo 3). 20 Ejemplo con regla borradora Consideremos una gramática para L={a n b n n 0} V n ={S,R}, V t ={a,b}, P={S, S R, R arb, R ab} Esta es una gramática libre de contexto. Si bien hay una regla borradora S, ésta respeta la condición antes mencionada. Teorema de la cadena nula en G SC Teo. de cadena nula: Si L es un lenguaje generado por una gramática sensible al contexto, entonces L-{ } yl { } también lo es Lenguajes y gramáticas Las gramáticas generan lenguajes, y al clasificar las gramáticas obtenemos también una clasificación de lenguajes De qué tipo es un lenguaje L? Debe distinguirse entre el tipo de lenguaje y la gramática asociada a él. Buscaremos una gramática del mayor tipo posible para determinar la pertenencia de un lenguaje a una cierta clase. Analogía: en qué cjto. ubicamos al 2? Complejos Reales Enteros Naturales 23 Tres gramáticas alternativas - Ejemplo Sea L={program} (la palabra reservada de Pascal). Veamos gramáticas alternativas: G 1 =(V n,v t,s,p), V n ={S,A,B}, V t = {p,r,o,g,r,a,m}, P={S AB, A pro, B gram} G 2 =(V n,v t,s,p), V n1 ={S}, V t = {p,r,o,g,r,a,m}, P 1 ={S program} G 3 =(V n,v t,s,p), V n ={S,R,O,G,R 2,A,M}, V t = {p,r,o,g,r,a,m}, P={ S pr, R ro, O og, G gr 2, R 2 ra, A am, M m } 24

5 Tres gramáticas alternativas! Sea L={w=a 2n n>0}. G 1 =(V n1,v t1,s,p), V n1 ={S,X,Y,Z}, V t1 ={a}, P 1 ={ S,S YXXY, YX YZ, ZX XZ, ZY XXXY, X a,y } G 2 =(V n1,v t1,s,p 1 ), V n2 ={S}, V t2 ={a}, P 2 ={ S aa, S asa} G 3 =(V n2,v t2,s,p 3 ), V n3 ={S}, V t3 ={a}, P 3 ={ S aas, S aa} 25 Lenguaje de Tipo i Def: Sea L un lenguaje.diremos que L es de tipo i si existe una gramática G de tipo i tq. L =L(G), con i es maximal en la jerarquía de Chomsky. L={a n b n n 0} de qué tipo es? Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Lo genero con G de tipo 0? Lo genero con G de tipo 1? Lo genero con G de tipo 2? Lo genero con G de tipo 3? L={a n b n n 0} es tipo 2 26 Gramáticas Libres de Contexto Ejemplo Def.: Una gramática libre de contexto G=(Vn,Vt,S,P), donde V n = conj.finito de símbolos no terminales V t = conj. finito de símbolos terminales S = símbolo inicial,s V n P = conj.finito de reglas de producción, donde V n y (V n V t )* Sea G una gramática libre de contexto G 1 =(V n,v t,o,p), V n ={O,A,S,V,F}, V t = {robot, naranja, pelota, patea, ataja}, P={ O FVF, F S, F SA, A naranja, S pelota, S robot, V ataja, V patea } Derivación: O G > FVF G >SVF G >SVS G > robot VS G > G > robot patea S G > robot patea pelota Capacidades de las G LC Con GLCs, podemos resolver problemas tales como: Cadenas de paréntesis balanceados en expresiones aritméticas Apareamiento de begin-ends Correspondencia if-then-else-end if Ejemplo Consideremos el alfabeto V t = {(,),+,*,x 1,x 2 }, G=(V n,v t,e,p), V n ={E,T,F}, P={E E+T, E T, T T*F, T F, F (E), F x 1, F x 2 } Derivación para ( x 1 *x 2 +x 1 )* ( x 1 +x 2 ) E G > T G >T*F G >F*F G > (E) *F G > (E+T) *F G > (T+T) *F G > (T*F +T) *F G > (F*F +T) *F G > (x 1 *F +T) *F G > (x 1 *x 2 +T) *F G+ > (x 1 *x 2 +x 1 )* ( x 1 +x 2 ) 29 30

6 Aplicaciones de las G LC Aplicaciones de Gramáticas Libres de Contexto: Especificación de la sintaxis de los lenguajes de programación. Generadores de analizadores YACC. Lenguajes de marcado tipo HTML XML DTD (describen la semantica del texto que se especifica en un HTML) 31