Capítulo III: Aspectos teóricos generales de la reconstrucción de imágenes en sistemas proyectivos

Transcripción

1 Capítulo III: Aspectos teóricos generales de la reconstrucción de imágenes en sistemas proyectivos Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 43

2 3.1. Reconstrucción 2D En los capítulos anteriores hemos introducido la técnica PET y se han sentado sus fundamentos físicos. En la reconstrucción 2D, a pesar de que la imagen final reconstruida sea habitualmente tridimensional, sólo se generan imágenes bidimensionales. La imagen 3D se forma al final del proceso apilando las imágenes 2D reconstruidas (fig. 15). Figura 15. En la imagen tomográfica, se reconstruir una imagen 3D a partir de sus imágenes 2D (cortes o rodajas). En el ejemplo se utilizan cortes coronales. En el caso de la tomografía por emisión de positrones, la propiedad que conforma la imagen es la actividad del radiofármaco inyectado a un sujeto. Los datos de partida que nos ofrece el tomógrafo rpet son las líneas de respuesta o LORs donde se encuentran los puntos o coordenadas espaciales en los que se ha producido un fenómeno de aniquilación. Estas líneas permiten generar proyecciones de la imagen que se pretende reconstruir (fig. 16). Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 44

3 Figura 16. Idea de proyección. Una proyección representa una suma a lo largo de una dirección. Es decir, el valor de la proyección en un punto para un determinado ángulo θ 0 es la suma de los valores de una determinada característica a través de una línea (o rayo) que forma un ángulo θ 0 dentro de una región de interés. Matemáticamente, el proceso de proyección se describe mediante la transformada de Radon, dada por [25]: + 2 θ ( ') = x ( x) δ ( x n ') P x d f x (1) donde n, (cosθ, sinθ) es un vector unitario normal al rayo de la proyección, x es un vector en el rayo de la proyección y d 2 x=dxdy. La figura 17 representa gráficamente la transformada: Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 45

4 Figura 17. Geometría de un sistema de proyecciones por rayos paralelos. P θ (x ) se denomina proyección, y la imagen que estamos considerando es f ( x ) = f ( xy., ) La función delta de Dirac selecciona los caminos rectilíneos que son paralelos al conjunto de proyecciones. A pesar de que el sistema de detección es capaz de darnos el conjunto total de proyecciones del objeto, en el análisis debemos considerar, en primera instancia, las proyecciones obtenidas mediante rayos paralelos. Así, para proyecciones paralelas, se tiene que: Pθ+ π( x') = Pθ( x') (2) y por consideraciones geométricas básicas, la transformación x =x (x) viene dada por: Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 46

5 x' = xcosθ + ysinθ y' = xsinθ + ycosθ (3) Dado que la rotación es una transformación que conserva el área (el jacobiano de dicha transformación es la unidad), nuestra proyección en el sistema transformado (x,y ) viene dada por: θ ( '') = ' ( ') δ ( ' '') = ' ( '', ') P x d x f x x x dy f x y (4) Podemos reescribir esta última ecuación como: P ( x') = dy' f( x ') (5) θ + El siguiente paso será calcular la transformada de Fourier de la proyección, que resulta ser: Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 47

6 + 2 d x' f( x')exp jwx [ '] + 2 d f( )exp jw [ ] [ ] S ( w) = dx' P ( x')exp jwx' = θ + = = = x x x n θ (6) Por otro lado, la transformada de Fourier bidimensional de f ( x ), F(u,v)=F(u), será: + 2 F( ) d f( )exp j [ ] u = x x u x (7) que aplicando la transformación al plano polar en el dominio de Fourier, queda: + u = wcosθ 2 Fw (, θ ) = d f( )exp[ j ] v= wsinθ x x x n (8) Comparando las ecuaciones (6) y (8), queda comprobado que S ( w) = F( w, θ ) (9) θ Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 48

7 Que no es otra cosa sino el teorema de cortes de Fourier, teorema del corte central o teorema de la proyección (el nombre varía según la bibliografía consultada) y sobre el cual se basan los métodos analíticos de reconstrucción de imágenes que se presentan a continuación. La informática del tomógrafo rpet nos presenta esta información sobre las proyecciones del objeto de interés en un archivo denominado modo lista, que no es más que una sucesión de dos tipos de eventos: Evento de sincronismo: información sobre la posición angular de los detectores. Evento de datos: aniquilaciones vistas por cada pareja de detectores, indicando energía medida y coordenadas en los detectores (z,y). Para emplear técnicas analíticas de reconstrucción, el primer paso es representar toda la información de la que se dispone de una forma ordenada en una estructura conocida como sinograma. El sinograma es una estructura en la que se alinean las proyecciones para los sucesivos ángulos, es decir, se organiza el número de cuentas (rayos detectados en coincidencia) representando en el eje vertical la distancia al origen de coordenadas (ρ ó r) y en el eje horizontal el ángulo (θ). Si esta estructura bidimensional que se forma se representa como una imagen asignando un nivel de gris a cada valor del sinograma, se puede obtener lo siguiente: Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 49

8 Figura 18. Sinograma de un punto sobre el origen (arriba) y a una distancia d del origen (abajo). La figura 18 muestra dos ejemplos: el sinograma que se genera al proyectar un punto situado en el origen de coordenadas (imagen superior) y otro para el caso de un punto situado a una distancia d del origen. Se puede observar que θ varía de 0 a π (eje horizontal) y ρ de 0 a ρ max (eje vertical). El sinograma debe su nombre al hecho de que, como se aprecia, cada punto (x,y) en el espacio del objeto contribuye con una sinusoide al sinograma, siendo la amplitud de dicha sinusoide x + y (distancia entre el punto y el origen de 2 2 coordenadas) y la fase proporcional a y x 1 tan ( / ). El sinograma es la superposición de todas las sinusoides, ponderadas por el valor de f ( xy,, ) y nos ofrece la información necesaria para reconstruir la imagen. Nos referiremos a él como p θ ( ρ ) ó p () r, ya que es habitual encontrarse con ambas notaciones según la bibliografía consultada. θ Si f ( xy, ) es la distribución espacial de la densidad de la actividad que se desea visualizar, el sinograma de una sección (imagen 2D) es [26]: Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 50

9 (10) P( ρθ, ) = f( x, y) ds = f( ρ cos( θ ) ssin( θ ), ρ sin( θ ) + scos( θ )) ds ( ρθ, ) línea línea donde se ha hecho un cambio de variable de cartesianas a polares, por conveniencia, dadas las características del sistema. Por definición, la expresión (10) corresponde a la transformada de Radon de la función f ( xy., ) En otros términos, dicha transformada se puede definir en un punto como la integral del objeto sobre el hiperplano perpendicular al vector que une el origen del sistema de coordenadas con el punto considerado, donde se tiene que para el caso 2D (el que nos ocupa), el hiperplano sería una línea mientras que en el caso 3D dicho hiperplano sería un plano, como se muestra en la figura 19. Figura 19. Interpretación geométrica de la transformada de Radon. Así pues, en principio, para recuperar f ( xy, ) a partir del sinograma P( ρ, θ ) no hay más que realizar una transformada inversa de Radon. Esto es así para el caso en el que son despreciables las atenuaciones en el medio, ya que no tiene en cuenta que la actividad que proviene de un punto más lejano o que tenga que atravesar más estructuras (o estructuras con mayor absorción) hasta alcanzar el detector habrá sido atenuada. Para simplificar el problema, lo Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 51

10 que se hace en PET es una corrección de la atenuación, y a partir de ahí se plantea el problema, ya dentro del marco de la transformada de Radon. En función de la base matemática sobre la que sustentan, las técnicas de reconstrucción que permiten recuperar el volumen a partir de sus proyecciones se dividen en dos grupos: técnicas analíticas: se basan en el teorema del corte central. técnicas iterativas: basadas en métodos de resolución de sistemas de ecuaciones Técnicas analíticas Las técnicas analíticas se basan en el anteriormente demostrado teorema del corte central, o teorema de cortes de Fourier o teorema de la proyección. Entre ellas se encuentran los siguientes métodos: métodos directos de Fourier convolución en el espacio de la señal y filtrado en la frecuencia A continuación realizaremos un análisis de estos métodos, y nos centraremos especialmente la convolución en el espacio de la señal y el filtrado en la frecuencia, ya que es aquí donde podemos encontrar el método de retroproyección filtrada, el cual analizaremos e implementaremos para realizar la reconstrucción de imágenes en la consola MMWKS para rpet. A modo de resumen, podemos representar en el siguiente gráfico (figura 20) todas las técnicas posibles (y la notación utilizada), si bien es cierto que no todas ellas presentan las mismas ventajas [28], como se estudiará Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 52

11 posteriormente. Partimos de p, el sinograma o proyecciones del objeto f, el cual se quiere reconstruir. Figura 20. Esquema general con las relaciones entre los distintos conceptos y, por tanto, todas las posibilidades de reconstrucción Métodos directos basados en Fourier Interpretando las expresiones matemáticas anteriores, el teorema de cortes de Fourier afirma que: La transformada unidimensional de Fourier de la proyección de una imagen f (x, y), obtenida a partir de rayos paralelos entre sí y formando un ángulo θ con el eje x, es el corte o muestreo de la transformada bidimensional de Fourier de la imagen F(u, v) a lo largo de una línea que forma un ángulo θ con el eje u. Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 53

12 Esto mismo se puede representar alternativamente de una manera gráfica según la figura 21: Figura 21. Representación gráfica del teorema de cortes de Fourier. Según este teorema, si tenemos las infinitas proyecciones de una imagen, podemos obtener la imagen calculando una transformada bidimensional inversa de Fourier, puesto que la transformada de Radon en el caso bidimensional coincide con la transformada de Fourier. La función imagen f(x,y) se obtiene a partir de F(u, v) usando la transformada inversa, + + j2 π ( ux+ vy) f ( x, y) F( u, v) e dudv = (11) Consideremos nuestros datos en el dominio de la frecuencia (Fourier), donde son representados en un sistema polar en el que el muestreo es no uniforme: más denso en el centro (bajas frecuencias) y con una densidad de Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 54

13 muestreo proporcional a 1/ ω. Este muestreo en polares del que se dispone en el sinograma es incompatible con la FFT inversa, que será la mejor opción (con ciertas consideraciones prácticas que veremos en el siguiente capítulo) para aproximar la transformada inversa de Fourier. Por tanto, el paso obvio será realizar un cambio de coordenadas de polares a cartesianas, que irá ligado a un error de interpolación que será mayor en las altas frecuencias. Este paso se conoce como gridding, y se ilustra en la figura 22. Figura 22. Operación de gridding (interpolación de muestras polares a cartesianas) El algoritmo, que se ilustra en la figura 23, se puede resumir en los siguientes pasos [28]: 1. Realizar la transformada Fourier 1D (mediante el algoritmo FFT) de cada p θ (.) para obtener P θ (.) para cada θ. 2. Se rellena la TF 2D de la imagen, con muestreo polar F(ρ,θ). 3. Convertir al dominio de la imagen en cartesianas (gridding). 4. Tomar la transformada inversa de Fourier 2D (2D-iFFT). Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 55

14 Figura 23. Reconstrucción por método directo basado en el teorema del corte central Métodos basados en retroproyección filtrada A pesar de que el teorema del corte central de Fourier sugiere un algoritmo sencillo de reconstrucción, es conveniente reescribir las ecuaciones y presentarlas como un nuevo algoritmo [25,28,29]. Como primera aproximación, se puede visualizar cómo retroproyectando los datos disponibles (proyecciones), podemos recuperar la imagen original. Esta idea intuitiva se muestra en la figura 24 mediante un ejemplo para una imagen que consiste en una elipse, y se puede observar como, a medida que aumentamos el número de ángulos θ (en este caso, retroproyecciones), conseguimos recuperar mejor la imagen original. Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 56

15 Figura 24. Idea de retroproyección. Para desarrollar este algoritmo, partimos de las ecuaciones del teorema del corte central de Fourier y se cambian las variables de rectangulares (u,v) a polares (ρ,θ) mediante las siguientes relaciones de transformación: u = ρ cosθ v = ρ sinθ dudv = ρdρdθ (12) de forma que la transformada inversa de la imagen se convierte en : Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 57

16 2π 2 ( cos ) f ( xy, ) F(, ) e j πρ x θ + ysen θ ρ θ d d = ρ ρ θ (13) 0 0 Y la ecuación (13) se puede rescribir teniendo en cuenta las variaciones por separado de θ y además que F(ρ,θ + 180) = F(-ρ,θ): = ρ θ ρ ρ θ 0 π j2πρt f ( xy, ) F(, ) e d d donde t x cos θ y sin = + θ (14) Finalmente, sustituyendo la transformada bidimensional F(ρ,θ) por la transformada unidimensional de la proyección S θ (ρ), obtenemos: ω ω ω θ θ π π 2 (, ) ( ) j πωt f xy = Sθ e d d = Qθ( td ) 0 0 (15) que podemos expresar como una operación de filtrado (convolución): π 0 [ ] f ( xy, ) = Pθ ( t) ht ( ) dθ (16) Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 58

17 donde el filtro tiene una respuesta en frecuencia H(ρ)= ρ. La suma de las diferentes proyecciones filtradas (una por cada θ) permiten estimar así la imagen f ( xy., ) En la figura 25 se muestra gráficamente el efecto de la operación de filtrado junto a la de retroproyección. El problema es que este filtro amplifica las altas frecuencias, y por tanto el ruido, por lo que suele tomarse una ventana (tipo Hamming, por ejemplo), tal que a bajas frecuencias sea similar a ρ, pero a altas frecuencias caiga para hacerse 0. Figura 25. Efecto del filtro rampa en el algoritmo FBP. Otro problema con el que nos encontramos es el del submuestreo de datos (proyecciones), que introduce errores en la reconstrucción. El ancho de banda de las proyecciones debe ser mayor que la más alta frecuencia capaz de ser captada con una f s dada, además el número óptimo de proyecciones debe ser similar al de muestras/proyección, para cumplir con el teorema de Nyquist y adaptarse al tamaño del más pequeño objeto que se desea ver (resolución). Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 59

18 Todos estos problemas prácticos serán analizados en el capítulo posterior, en el que se estudia la implementación real del método de la retroproyección filtrada Técnicas iterativas Una alternativa a las técnicas analíticas para la reconstrucción de imágenes en sistemas proyectivos consiste en las llamadas técnicas iterativas [28] En este apartado nos limitaremos a citar estas técnicas, ya que no se han implementado en la consola MMWKS y su explicación detallada escapa a los objetivos del proyecto final de carrera. Se trata de métodos investigados desde hace más de 15 años que requieren unos grandes recursos informáticos y, dependiendo de los datos, suelen llegar a obtener mejores resultados que las técnicas analíticas descritas anteriormente. La idea fundamental de los métodos iterativos es optimizar alguna función de coste dentro de un sistema de ecuaciones generalmente complejo y sujeto a ciertas restricciones, de la forma: w f + w f + w f w f = p n n 1 w f + w f + w f w f = p n n 2 w f + w f + w f w f = p m1 1 m2 2 m3 3 mn n m Una propiedad bastante positiva de los métodos de reconstrucción iterativos es que es posible introducir la llamada matriz del sistema, que contiene pesos o ponderaciones que reflejen la naturaleza del problema y las características del sistema de adquisición, ya sea de emisión de positrones, de Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 60

19 rayos X, etc. Esto permite a los algoritmos dirigir las soluciones a unos requerimientos clínicos específicos. Las técnicas iterativas más habituales, válidas tanto para reconstrucción 2D como 3D, son las siguientes [25,29]: Maximum likelihood-expectation maximisation (ML-EM) Ordered subset expectation maximum (OSEM) Space-alternative generalized expectation maximum (SAGE) Least squares minimization (LSQ) Algebraic reconstruction technique (ART) Maximum a posteriori (Bayesian) approach (MAP) Maximum entropy (ME) Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 61

20 3.2. Reconstrucción 3D En este apartado se realiza una breve descripción de métodos de reconstrucción 3D [29], es decir, aquéllos que utilizan toda la información disponible y obtienen directamente una imagen 3D. Hay que reseñar que estos métodos han sido implementados en la consola MMWKS, pero no forman parte del trabajo realizado en este Proyecto Fin de Carrera, que se centra exclusivamente en el método de retroproyección filtrada (técnica de reconstrucción 2D). Los métodos de reconstrucción 3D utilizan simultáneamente los datos de todas las proyecciones del objeto para reconstruir directamente una imagen tridimensional, sin considerar el volumen como una pila de imágenes bidimensionales. Este hecho conlleva claramente dos consecuencias: La resolución final de la imagen aumenta considerablemente, sobre todo debido al hecho de que el ruido afecta en mucha menor medida (entre otros factores porque se dispone de más cuentas que en caso 2D, por tanto mejor estadística y SNR). El tiempo de procesado del algoritmo también aumenta considerablemente, siendo a menudo éste el factor crítico que hace decidir si realmente es práctico usar un método de reconstrucción 3D. Por tanto, habrá que decidir, según cada aplicación, si es conveniente usar una técnica u otra. Por lo general, la resolución que ofrece el método de retroproyección filtrada (2D) es suficientemente buena y no compensa usar un método de reconstrucción 3D debido a que requiere un tiempo de procesado mucho mayor (entre 5 y 10 veces). Sólo en contadas ocasiones, en las que los Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 62

21 datos disponibles (proyecciones o sinograma) sean muy ruidosos, se suele justificar el uso de un algoritmo de reconstrucción 3D Fundamentos de la reconstrucción 3D En primer lugar, hay que tener en cuenta que las proyecciones deben definirse con otro parámetro adicional (un nuevo ángulo): en 2D la dirección de proyección queda determinada por el ángulo θ, mientras que en 3D son necesarios dos ángulos: θ y φ, tal y como muestra la figura 26. Figura 26. Ángulos necesarios en 2D (izquierda) y 3D (derecha) para determinar la dirección de proyección. Aplicando transformadas de Fourier 2D a los planos (u,v) del teorema de cortes de Fourier, ˆ (,,, ) ˆ (,,, ) j2 π( uυu+ vυv) F θφυu υv f θφu v e dudv = = (17) Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 63

22 j2 π( uυu+ vυv) f ( sτ uα vβ) e dudvds = + + Esta última ecuación (17) nos indica una relación directa con la transformada de Fourier tridimensional de la función f () r. j2πr υ F( ) f( ) e d υ r r (18) = j 2πr υ f () F() e d r υ υ (19) = donde υ representa al vector frecuencias (tridimensional). Ahora, los parámetros de integración de la ecuación (17) se cambian por x, y y z, es decir, por el vector r. Si τ, α y β son ortogonales, se tiene que: r = sτ+ uα+ vβ u = αr y v = βr (20) ˆ (,,, ) ( ) j2 πr ( υuα+ υvβ) F θφυu υv = f e d r r (21) Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 64

23 Este interesante resultado nos pone de manifiesto que la transformada de Fourier bidimensional de las integrales de línea es precisamente la transformada de Fourier tridimensional de la función que se pretende reconstruir [28]. Fˆ ( θ, φυ,, υ ) = F ( υα+ υβ ) (22) u v u v Este es el teorema de cortes de Fourier en el espacio tridimensional, e implica que la función f () r puede reconstruirse aplicando una transformada de Fourier 2D al sinograma para todos los valores de ( θ, φ ), para finalmente recuperar el volumen deseado empleando una transformada inversa de Fourier 3D. A partir de este punto, el desarrollo continúa hasta obtener las ecuaciones del método 3D-FBP o 3DRP (retroproyección 3D), pero se sale del objetivo del proyecto. Por tanto, nos limitaremos a comentar algunas características cualitativas del método, que ha sido implementado en la consola MMWKS. En este método, se da la particularidad de que disponemos de información redundante, como se ilustra en las figuras 27 y 28. Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 65

24 Figura 27. Transformación en el caso 3D para las proyecciones con θ=0. Como se aprecia, si disponemos de las proyecciones del objeto para un ángulo θ dado (0 en el caso ilustrado), en el dominio de Fourier ya tenemos toda la información necesaria para reconstruir el objeto inicial. Pero el algoritmo contempla la retroproyección para todos los ángulos θ, apareciendo así una redundancia (ver los puntos en la intersección de los planos de proyección definidos para cada ángulo en la figura). Figura 28. Redundancia en las proyecciones para el caso 3D. Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 66

25 Este efecto se corrige gracias al filtro de Colsher, en forma de cono (figura 29), equivalente al filtro rampa que aparece en la 2D-FBP. Figura 29. Representación gráfica del filtro de Colsher. Una peculiaridad que aparece en este método y que no ocurría en el caso 2D es que ahora no se dispone de todos los rayos necesarios en las proyecciones: hay ciertos valores de θ para los que la geometría de los bloques detectores hace imposible registrar ciertas LORs, como muestra la figura 30. Figura 30. 3DRP: el problema de la falta de proyecciones (rayos oblicuos truncados). Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 67

26 Por lo tanto, habrá que estimar de alguna manera los datos que nos faltan. Esta estimación se suele hacer proyectando de nuevo los datos existentes para completar así los sinogramas incompletos, siendo esta operación la que consume un mayor tiempo en el algoritmo y lo hace considerablemente más lento que el 2D-FBP. Una variante que pretende precisamente reducir este cómputo es el algoritmo FAVOR (FAst VOlume Reconstruction), del que no entraremos en detalle por razones obvias, que también ha sido implementado en la consola MMWKS y ofrece mejor calidad que el método 2D-FBP sin requerir tanto tiempo como el 3D-FBP. De esta forma, se puede resumir el método 3D-FBP mediante el diagrama de bloques que se muestra en la figura 31. Figura 31. Esquema simplificado del método de reconstrucción 2D-FBP. Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 68

27 El proceso de Rebinning axial La propia geometría del sistema detector de radiación hace que durante el proceso de adquisición se registren LORs correspondientes a varias rodajas. Si consideramos una reconstrucción 2D, sólo trabajaremos con secciones o rodajas por separado, y aunque únicamente nos interesan los datos de cada rodaja individual, disponemos de información adicional a la estrictamente necesaria para reconstruir una sección o corte de la imagen, en forma de proyecciones oblicuas. [30]. En otras palabras, para cada corte bidimensional del volumen, además de los rayos coplanares a la sección considerada, se dispone de otros rayos que no pertenecen a ese plano, debido a la propia estructura en forma matricial de los detectores. Esto se muestra en la figura 32, donde se representa un esquema simplificado con únicamente 4 filas de cristales centelleadores en cada matriz en un bloque detector, y se comprueba que para cada sección, además del rayo rojo (el que consideramos en el plano de la imagen 2D que se va a reconstruir), se reciben todas las posibilidades de rayos entre cristales centelleadores de cada bloque detector. Hay que destacar que sólo se está considerando el eje Z, y que en cada plano XY se utilizan todas las posibles combinaciones de rayos (de ahí saldrán los ángulos θ). Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 69

28 Figura 32. Diagrama simplificado de LORs detectadas en el eje Z. En el sistema rpet, dado que tenemos 35 filas y 30 columnas en la matriz de cristales, tendremos 35 sinogramas directos 7, formados por los rayos rojos de la figura 32. Pero además, nos encontramos con muchos más datos (rayos en color marrón) formando los sinogramas oblicuos. El proceso de rebinning axial consiste en agrupar los rayos no coplanares con los coplanares para cada sección, lo que permite disponer de los datos registrados en la forma conveniente para su tratamiento dentro de una reconstrucción 2D. Es decir, según el esquema de la figura 32, a los rayos de 7 Si nombramos a los cristales detectores con un par de números (Z,Y), donde Z toma valores entre 1 35 dentro de una misma columna de la matriz e Y los toma entre 1 30 dentro de una misma fila, los sinogramas directos se forman con los rayos entre las parejas de detectores (Z i,y n ) - (Z m,y n ), mientras que los oblicuos lo hacen con los rayos entre las parejas (Z i,y j ) - (Z m,y n ), con j n. Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 70

29 color rojo se le suman los rayos marrones, y la forma en la que se hace esta operación dependerá del tipo de rebinning. De esta manera, se aprovechan los rayos que a priori no son necesarios para reconstruir una rodaja y se añaden a los que sí lo son. En realidad, esta es una operación de vital importancia, ya que la cantidad de datos de que se dispone en PET suele ser muy pequeña en comparación con otras imágenes tomográficas (como TAC), lo que hace que la imagen final reconstruida sea más ruidosa. Por tanto, mediante el rebinning, conseguimos mejorar un poco la estadística y relación señal-ruido al aprovechar los datos de los sinogramas oblicuos. Sin embargo, también sucede que puede empeorar la calidad de la imagen final reconstruida si excedemos una cantidad moderada de rayos cruzados, ya que no hay que olvidar que en el algoritmo de reconstrucción se están considerando como directos y por consiguiente este proceso no deja de ser una aproximación. Los 3 tipos de rebinning más utilizados son SSRB, MSRB y FORE. En el presente proyecto final de carrera se ha decidido implementar el primero de ellos debido a que se encuentra muy contrastado, mientras que el MSRB está en entredicho (publicaciones recientes confirman que este algoritmo no aporta realmente beneficios con respecto al SSRB) y el FORE es quizá un algoritmo excesivamente complejo que será objeto de estudio para las posibles líneas futuras del desarrollo de la consola MMWKS SSRB (Single Slice ReBinning) El algoritmo SSRB [Daube-Witherspoon et al., 1987] se basa en una aproximación muy simple, aplicable sólo en las cercanías del plano axial considerado, es decir, será válido sólo para una pequeña apertura angular en torno al eje Z. Asigna una LOR entre dos cristales detectores (o rayo cruzado) Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 71

30 al sinograma directo de la rodaja (transaxial) que queda en medio, es decir, axialmente entre los 2 cristales. En otras palabras, considera sinogramas oblicuos adyacentes como directos. En la figura 33 se muestra esta técnica aplicada a un sinograma en concreto. De nuevo se realiza el estudio para el eje axial (eje Z) y se están obviando todas las distintas combinaciones entre cristales de una misma fila. Los rayos marrones (sinogramas oblicuos) se sumarían al rayo rojo, que es el que define el sinograma directo. Figura 33. Representación gráfica del algoritmo SSRB: los rayos marrones (sinogramas cruzados) de suman al rayo rojo, que es el que define el sinograma directo. Como se ha reseñado anteriormente, este método de rebinning es el que ha sido implementado en la consola MMWKS, dando unos excelentes resultados. El número de sinogramas adyacentes considerado para sumar a uno directo se controla mediante un parámetro (Axial difference), que aparece configurado por defecto a 10 y es introducido por el usuario. Cuanto menor sea, menos rayos se consideran en la reconstrucción y por tanto se dispone de menos estadística, empeorando la calidad de la imagen final (se vuelve más ruidosa). Pero tampoco conviene aumentarlo demasiado, ya que lejos de la rodaja definida por el sinograma directo, la aproximación en la que se basa deja Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 72

31 de ser válida y la imagen reconstruida pierde resolución por este aplastamiento de sinogramas. Figura 34. Reconstrucción 2D-FBP de imagen de ratón con MMWKS, vista coronal. A la izquierda, usando 2D-FBP sin rebinning. A la derecha, usando SSRB-10. La figura 34 muestra dos imágenes de un ratón reconstruidas con la herramienta desarrollada para la consola MMWKS, donde una no emplea rebinning y la otra ha empleado el algoritmo SSRB con una diferencia axial de 10. Se comprueba cómo el uso del SSRB mejora de forma significativa la relación señal a ruido MSRB (Multi-Slice ReBinning) El algoritmo MSRB [Lewitt et al., 1994] es un rebinning más sofisticado que el anterior, donde un sinograma S i,j contribuye a todas las rodajas k tales que las LORs definidas entre las filas de cristales i y j dentro de una pareja de bloques detectores interseccionan la rodaja k dentro del field of view caracterizado por un radio transaxial R FOV. Es decir, según el esquema de la figura, cada rayo oblicuo (color marrón) o sinograma oblicuo se sumaría de Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 73

32 forma ponderada a todos los rayos directos (color rojo) o sinogramas directos con los que se cruza. De esta manera, el sinograma S k se construye como una media ponderada de todos los sinogramas S i,j que satisfacen esta condición. Otra diferencia con respecto al SSRB es que tras la reconstrucción de todas las imágenes 2D (una por cada sinograma S k ), cada columna de vóxels tiene que ser deconvolucionada por medio de un algoritmo iterativo multiplicativo, que se encuentra descrito en [Lewitt et al., 1994]. El algoritmo MSRB es más preciso que el SSRB, pero por el contrario está supeditado a la presencia del ruido en los datos, ya que a veces puede sufrir problemas de inestabilidad en los casos de datos muy ruidosos. Además, según los últimos estudios, parece ser que realmente no aporta mejoras significativas con respecto al algoritmo SSRB, sino que únicamente añade complejidad al método de reconstrucción FORE (Fourier ReBinning) El algoritmo FORE [Lewitt et al., 1994] es el algoritmo de rebinning que fue desarrollado en último lugar. En este caso, el criterio que se toma para decidir cuáles de los rayos oblicuos son sumados a una determinada rodaja transaxial se basa en la relación frecuencia-distancia de los datos en el espacio de Fourier [Defrise et al., 1995; Lewitt et al., 1994]. Al igual que los anteriores, este algoritmo distribuye la información de los datos 3D (sinogramas oblicuos) dentro de una pila de sinogramas directos (datos 2D), y la imagen es reconstruida de forma bidimensional corte a corte, usando por ejemplo el método de retroproyección filtrada. Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 74

33 FORE requiere un paso preliminar: un remuestreo de los datos de los que se dispone. Consideremos un tomógrafo cilíndrico con N filas en la matriz de cristales centelleadores en cada bloque detector, con un field of view con radio R FOV y su eje sobre el eje Z, como lo hemos hecho hasta ahora en el sistema rpet. Con esta premisa, nos disponemos a determinar la relación frecuencia-distancia para los datos 3D. En primer lugar, se toma la transformada de Fourier de un sinograma p ( ρ, θ, z,tan φ ) donde ρ y θ son las variables ordinarias del sinogramas según hemos estudiado, z = ( z z )/2 el valor medio de las coordenadas axiales de 2 detectores en coincidencia y tan φ = ( z z ) / 2R la tangente del ángulo entre una LOR y el plano transaxial: A B r A B 2π ρmax jωρ = r (23) 0 ρmin jkθ P( ω, k, z,tan φ) dθ dρp ( ρ, θ, z,tan φ) e r Donde k representa el índice (número entero) de la serie de Fourier, y ω la frecuencia espacial continua, que se corresponde con la coordenada ρ. Los sinogramas son muestreados con θ [0, π ), debido a que la información que se registra en la semicircunferencia complementaria es obviamente la misma. Por tanto, los sinogramas con θ [0,2 π ) se puede completar mediante la relación: p ( ρ, θ + π, z,tan φ) = p ( ρ, θ, z, tan φ) (24) r r Si ahora sustituimos la ecuación (23) dentro de la ecuación (24): Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 75

34 P( ω, k, z,tan φ) = r x + y ρ max 2π = dxdy dθ f ( x, y, z + tan φ( xsinθ + y cos θ)) e 0 ikθ iω( xcosθ+ ysin θ) (25) Para valores altos de k y ω, la fase de la exponencial en la ecuación (25) varía muy rápidamente con θ, por lo que la exponencial oscila muy rápidamente entre valores positivos y negativos. Si la función f es lo suficientemente suave, esto conllevará una aportación despreciable a la integral más interna sobre θ. Por tanto, la única aportación significativa a la integral * viene de los valores de θ próximos a los θ que hacen la fase estacionaria: ( kθ + ω( xcosθ + ysin θ)) = k+ ω( xsinθ + ycos θ) = 0 θ (26) 2 2 donde k ω x + y. Esta ecuación tiene 2 soluciones dentro del intervalo [0,2 π ), ambas correspondientes a la misma distancia (con signo) t = ( xsinθ + ycos θ ) a lo largo de una LOR. La distancia t se mide sobre la proyección transaxial de la LOR, desde su punto medio. De esta forma, cada componente frecuencial ( k, ω ) recibe contribuciones principalmente de puntos situados a una distancia fija t = k/ ω en todas las LORs del sinograma original. La aproximación de fase estacionaria se obtiene cambiando el tercer argumento de la ecuación (21), xsinθ + ycosθ, por k / ω y factorizando posteriormente f fuera de la integral: Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 76

35 2π k jkθ jω( xcosθ+ ysin θ) ω (27) x + y ρ max 0 P ( ω, k, z,tan φ) dxdyf ( x, y, z tan φ) dθe r donde el cambio axial, k ( tan φ ), es independiente de las coordenadas del plano ω transaxial x e y, por lo que esta última ecuación se puede rescribir de una forma más simple: k Pr( ω, k, z,tan φ) Pr( ω, k, z tan φ,0) (28) ω La ecuación (28) constituye la base sobre la que se sustenta el algoritmo FORE, ya que permite el rebinning de los elementos de la transformada de Fourier bidimensional de un sinograma oblicuo con una oblicuidad tanφ y semirrodaja z a los elementos de la transformada de Fourier de una k. sinograma directo ( tanφ = 0 ) para la rodaja z tanφ ω La relación equivalente en la aproximación SSRB es: k Pr( ω, k, z,tan φ) Pr( ω, k, z tan φ,0) (29) ω Reconstrucción Cuantitativa de Imágenes en un Tomógrafo PET de Alta Resolución para Animales 77