8. Modelos. probabilísticos

Transcripción

1 8. Modelos probabilísticos

2 Matemáticas 4º ESO Opción B 1. Probabilidad simple. Ley de Laplace. Probabilidad geométrica 2. Paseos aleatorios y tiempos de espera 3. Muestras, simulación y modelos 4. Tablas de contingencia y diagramas de árbol. Probabilidad compuesta 5. Gráficos y parámetros estadísticos 6. Diagramas de dispersión. Ajuste de una recta 238

3 Modelos probabilísticos 1. Probabilidad simple. Ley de Laplace. Probabilidad geométrica ESTABILIDAD DE LAS FRECUENCIAS Seguramente ya sabes que si lanzas una moneda muchas veces (cuantas más mejor), la frecuencia (relativa) que esperas para la aparición de cara (éxito) es 1 / 2. Efectúa 10 lanzamientos de una moneda, anotando la frecuencia relativa de éxito. Recoge la información obtenida en tu clase y dibuja la gráfica que dé la frecuencia relativa de éxito según el número de pruebas: Comprueba que, en cada caso, la frecuencia relativa obtenida se acerca cada vez más a la esperada. Al efectuar un gran número de pruebas de un experimento aleatorio, se observa que las frecuencias relativas de un suceso A se acercan cada vez más y más a un cierto número, estabilizándose en torno a él. Este número se llama probabilidad del suceso A y se representa por p(a). Esta propiedad se conoce como ley de los grandes números. 239

4 Matemáticas 4º ESO Opción B CHINCHETAS Se lanza una chincheta al aire. Puede caer con la punta hacia arriba o tocando el suelo. A cuál de las dos posibilidades apostarías?. Para fundamentar un poco tus opiniones, efectúa 30 lanzamientos de una chincheta y anota los resultados. La información obtenida en tu clase puedes recogerla en una tabla como la siguiente: RESULTADOS RECUENTO FRECUENCIAS Qué conclusiones obtienes?. Qué probabilidad asignarías a cada uno de los resultados?. Hay ocasiones en que la experiencia que se va a realizar tiene unas condiciones de simetría tales que es posible conocer, antes de efectuar ninguna prueba, cuál será la probabilidad de un suceso. Posteriormente, la experimentación dará unos resultados que confirmarán la conjetura previamente formulada. La probabilidad asignada al suceso antes de experimentar se llama probabilidad a priori. Pero hay otras ocasiones en las que no tenemos ninguna referencia a priori. Entonces sólo la experimentación dará unos resultados que serán tanto más fiables, cuanto mayor sea el número de pruebas realizadas. En este caso, la probabilidad asignada al suceso coincide con su frecuencia relativa (para un elevado número de pruebas) y se llama probabilidad a posteriori. 240

5 Modelos probabilísticos LEY DE LAPLACE En algunos experimentos aleatorios, podemos suponer que, por las condiciones de simetría, todos los sucesos elementales son equiprobables. En estos casos, la probabilidad de cada suceso elemental es: 1 p(suceso elemental)= nº de sucesoselementales de E Si los sucesos elementales son equiprobables, entonces la probabilidad de cualquier suceso A es: nº de sucesos elementales de A nº decasos favorablesal suceso A p(a) = nº total de sucesos elementales nº decasos posibles Esta fórmula se conoce como ley de probabilidad de Laplace. 1) En el experimento aleatorio de lanzar cuatro monedas diferentes, calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: A=obtener dos caras, B=obtener al menos una cruz, C=obtener tres caras. 2) De una urna que contiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Sacar una bola roja; b) Sacar una bola verde; c) Sacar una bola roja o verde; d) Sacar una bola no roja. 3) Calcula la probabilidad de tener cuatro hijas en las familias formadas por cuatro hijos. 241

6 Matemáticas 4º ESO Opción B TRES MONEDAS Lanzamos al aire tres monedas y observamos los resultados obtenidos. Consideramos los siguientes sucesos: A=salir una cara, B=salir alguna cara y C=no salir cara. Calcula pa, pb, pc, pa B, pa C, pa C, pa C, pb C, pb C conclusiones.. Extrae Si dos sucesos A y B son incompatibles, entonces pa B pa pb. Si dos sucesos A y B son compatibles, entonces pa B pa pb pa B SUCESOS CONTRARIOS Aplicando la regla de Laplace, puedes comprobar que: La probabilidad del suceso seguro es igual a 1: p(e)=1 La probabilidad del suceso imposible es igual a 0:p()=0 Si A y A son sucesos contrarios, entonces se cumple que p A A p A p A p E 1 Por lo tanto se cumple que: la suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios es igual a la unidad. p A pa 1 pa 1 pa Luego: la probabilidad de un suceso es igual a uno menos la probabilidad del suceso contrario, fórmula que es muy útil en el cálculo de probabilidades. 1) Halla la probabilidad de no sacar ningún oro al extraer una carta de la baraja. 2) Halla la probabilidad de obtener al menos una cara en el lanzamiento de cinco monedas. 3) Cuál es la probabilidad de no sacar un cuatro cuando lanzamos un dado cúbico?. 4) Lanzamos tres dados. Calcula la probabilidad de obtener por lo menos un cuatro. 242

7 Modelos probabilísticos URNAS 1) De la urna de la figura se extraen sucesivamente dos letras al azar. Es muy fácil obtener dos A seguidas?. 2) Construye todas las palabras posibles usando tres letras elegidas entre las letras A, B y C. 3) De la urna de la figura, se extraen sucesivamente tres letras al azar para formar una palabra. Qué palabras se pueden formar?. MONEDAS a) Un jugador, A, apuesta por la obtención de al menos una cara en dos lanzamientos de una moneda contra otro B, que apuesta por lo contrario. En qué proporción han de efectuarse las apuestas para que el juego sea justo?. b) Se lanzan dos monedas. Se admiten tres tipos de apuestas: En ambas aparece cara. En ambas aparece cruz. Son distintos los resultados de ambas. Tu apuesta?. 243

8 Matemáticas 4º ESO Opción B TABLERO En una feria, una caseta ofrece el siguiente juego: Sobre un tablero 4 4 de cuadrados de 4 cm de lado, se lanza una ficha de 3 cm de diámetro. Se ganan 10 euros si la ficha queda en el interior de uno de los cuadrados y se pierde en caso contrario. Cada partida cuesta 1 euro. a) Qué probabilidad hay de ganar en una partida?. b) Es justo el juego?. Cómo habría que modificarlo para que lo fuese?. c) Juega con tus compañeros de grupo 30 partidas anotando los resultados. Recoge la información obtenida en tu clase en una tabla de recuento y halla la ganancia media. d) Modifica las apuestas para que el juego sea justo. e) Modifica el tamaño de la ficha para que el juego sea justo. f) Modifica el tamaño del tablero para que el juego sea justo. g) Investiga qué ocurre si se utilizan tableros con casillas hexagonales, triangulares o rectangulares. 244

9 Modelos probabilísticos DIANA Lanzamos dardos al azar sobre la diana de la figura adjunta. Utilizando la tabla de números aleatorios, simula 50 lanzamientos. Cuántos dardos esperas que caigan en cada una de las tres zonas indicadas?. MÁS DIANAS Imagina que lanzamos un dardo sobre cada una de las dianas de la siguiente figura. Cuál es la probabilidad de que el dardo quede en la zona coloreada de cada diana?. OTRA DIANA Lanzamos un dardo sobre esta diana. Cuál es la probabilidad de acertar en la zona coloreada?. 245

10 Matemáticas 4º ESO Opción B 2. Paseos aleatorios y tiempos de espera SALE SEIS Se tira un dado hasta que sale un seis. Cuántas tiradas se necesitan, por término medio, para que vuelva a salir otro seis?. a) Efectúa lanzamientos reales de un dado cúbico (o simúlalos con una tabla de números aleatorios o una calculadora), anotando en cada caso el número de tiradas necesarias para que salga 6. Repite la experiencia 20 veces. b) Recoge la información obtenida en tu clase mediante una tabla de recuento. Dibuja el histograma correspondiente. Calcula la media, moda y desviación típica. Es representativa la media?. Qué conclusiones puedes extraer?. Partiendo del estado inicial I, si sale un 6 la experiencia finaliza, es un estado final, y 1 6 es la probabilidad de transición; si sale un resultado distinto de 6, probabilidad de transición 5 6, hay que continuar lanzando y pueden ocurrir dos cosas: Obtener un 6, se llega al estado final. La probabilidad de transición de que esto ocurra es 1 6. No obtener un 6, probabilidad de transición 5 6, con lo que se vuelve a la misma situación y se debe continuar lanzando el dado. En este estado aparece un bucle, ya que puede repetirse una y otra vez. Si colocas una ficha en el estado I, no puedes decidir a qué estado (seis, no seis) pasa sin lanzar una vez el dado. Pero si colocas 6 fichas en I, es decir, empiezas el recorrido con 6 fichas, tras seis tiradas del dado por término medio, una de ellas pasará el estado seis y las 5 restantes al estado no seis. La ficha que ha alcanzado el estado seis ya no se mueve, pero para poder mover las 5 fichas del estado no seis necesitamos que entre una ficha más. La única forma de conseguir esto es volviendo a introducir en el estado inicial I otras 6 fichas y repitiendo el recorrido según las probabilidades de transición. 246

11 Modelos probabilísticos Continua el proceso y recoge los resultados en una tabla como la siguiente: Nº FICHAS EN ESTADO INICIAL Nº DE TIRADAS ESTADO INTERMEDIO (NO SEIS) ESTADO FINAL (SEIS) a) Cuántas tiradas han sido necesarias, por término medio, para que las seis fichas iniciales pasen al estado final?. b) Cuántas tiradas serán necesarias, por término medio, para que una ficha pase al estado final?. c) Cuántos lanzamientos del dado serán necesarios, por término medio, para que salga un seis?. DADOS POLIÉDRICOS a) Cuántas veces hay que lanzar, por término medio, un dado tetraédrico para obtener un 4?. b) Cuántas veces hay que lanzar, por término medio, un dado octaédrico para obtener un 8?. EL RATÓN Y EL QUESO Observa el laberinto que representa el siguiente grafo. Tiene una entrada y dos salidas: una guardada por un gato y otra en la que hay un trozo de queso. Un ratón está en la entrada y avanza por el laberinto. En cada cruce elige al azar uno de los dos caminos posibles. Si llega al queso, sale del laberinto relamiéndose, pero si tropieza con el gato, está irremisiblemente perdido, el gato será el que se relama y se atuse los bigotes. Cuál es la probabilidad de que salga del laberinto con vida y bien alimentado?. Y de que se lo coma el gato?. 247

12 Matemáticas 4º ESO Opción B Buscando su destino, el ratón puede ir por muchos caminos distintos: requieren todos el mismo tiempo para recorrerlos?. Cuánto tiempo le costará al ratón acabar, bien o mal, su paseo por el laberinto, si tarda un minuto en recorrer la distancia que separa dos nudos consecutivos?. APUESTAS Dos jugadores A y B con 3 y 2 fichas respectivamente. Se lanza un dado cúbico (o moneda); si sale par (cara), el jugador A paga una ficha a B y si sale impar (cruz), B paga una ficha a A. El juego acaba cuando uno de los jugadores se queda sin fichas. a) Cuál es la probabilidad de que gane A?. Y de que gane B?. b) Si cada lanzamiento tarda un minuto, cuánto durará por término medio la partida?. c) Juega con tu compañero 20 partidas, anotando los resultados. Recoge la información de tu clase en una tabla como la siguiente y extrae conclusiones. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Total GANA A GANA B Nº TIRADAS Puedes simular este juego mediante un paseo aleatorio sobre el siguiente segmento: El estado inicial es 0 (que, a su vez, es un estado intermedio) y en cada punto se desplaza al azar una unidad a la izquierda o a la derecha. Los estados +1 y +2 representan el número de fichas que ha perdido el jugador B; por tanto es un estado final, absorbente, el paseo finaliza y gana A. Los estados negativos indican el número de fichas perdidas por A, de forma que 3 es otro estado absorbente, en el que gana el juego B. El grafo correspondiente a este paseo aleatorio es el siguiente: Simula el juego con fichas y completa la siguiente tabla: Nº FICHAS QUE INICIAN EL PASEO ESTADOS INTERMEDIOS ESTADOS FINALES Nº PASOS

13 Modelos probabilísticos Analiza los resultados de la tabla: Cuántas fichas han iniciado el paseo y lo han finalizado?. De ellas, cuántas han llegado al estado +2 y cuántas al estado 3?. Qué probabilidad tiene A de ganar?. Y el jugador B?. Cuántos pasos son necesarios para que todas las fichas que han iniciado el paseo lo finalicen?. Cuál es el número medio de lanzamientos necesario para que termine el juego?. Cuánto durará por término medio cada partida?. PASEO DE LA HORMIGA Una hormiga realiza un paseo aleatorio sobre las aristas de un tetraedro (en cada vértice elige al azar una de las aristas concurrentes). Si empieza el paseo en el vértice O, cuánto tardará por término medio en volver al punto de partida?. PASEOS ALEATORIOS Con varios dados como el de la figura, con números enteros en sus caras, puedes simular paseos aleatorios. a) Disponemos de una recta graduada y colocamos una ficha en el origen. Dependiendo de los resultados del lanzamiento del dado, desplazamos la ficha un cierto número de lugares, en un sentido u otro. Si sale resultado positivo, hacia la derecha; si negativo, a la izquierda. Hay muchas posibilidades de llegar al punto 3 por este procedimiento?. Y de llegar al 3?. Cuántos lanzamientos habrá que efectuar, por término medio, para volver al origen?. 249

14 Matemáticas 4º ESO Opción B b) Tomando como origen el punto O, en el cual colocamos la ficha de salida, podemos combinar dos escalas, una vertical y otra horizontal, análogas a las anteriores. Ahora lanzamos dos dados (uno para abcisas y otro para ordenadas), o bien un mismo dado dos veces consecutivas, y desplazamos la ficha según los resultados obtenidos. Cuál será la distancia media de la ficha al origen después de 6 tiradas?. Es fácil o difícil que vuelva la ficha al origen?. QUINIELAS Cuántas veces hay que lanzar, por término medio, un dado de hacer quinielas para obtener una X?. Un dado de este tipo tiene tres caras marcadas con 1, dos caras con X y una cara con 2. GAS Supón que en un recipiente A hay un gas, bastante raro, con sólo tres moléculas. Estas moléculas pueden pasar al recipiente B a través de un agujero. Simularemos este movimiento del siguiente modo: Cada segundo se sortea al azar uno de los números 1, 2, 3. La bola cuyo número ha salido en el sorteo cambia de recipiente. Describe los estados posibles del sistema (bolas gas), si sólo nos interesa el número de bolas que hay en los recipientes. Qué estados crees que van a aparecer con más frecuencia a lo largo del tiempo?. Efectúa al menos 60 simulaciones y concluye: Qué estado es más frecuente?. Qué tiempo hay que esperar para que, saliendo de dicho estado, retorne a él?. 250

15 Modelos probabilísticos ESCARABAJO Un escarabajo parte del centro O del cuadrado de la siguiente figura. Invierte 1 segundo en recorrer cualquiera de los doce pequeños segmentos. Se para cuando vuelve al punto O. Cuánto tardará, por término medio, en volver a O?. HORMIGA Una hormiga se pasea por las aristas de un cubo de alambre como el de la figura, partiendo del punto O. En cada vértice elige al azar uno de los tres caminos que parten de él. Al llegar al punto P un pájaro, que la estaba esperando con ansia, se la come. Cuánto tiempo estará la hormiga paseándose por el cubo, por término medio, si le cuesta un minuto recorrer cada arista?. 3. Muestras, simulación y modelos CUÁNTOS PECES HAY EN EL ESTANQUE? En un estanque hay peces de una sola especie. Queremos saber cuántos hay, pero, como el agua está muy turbia, no podemos contarlos a simple vista. Decidimos sacar unos cuantos, marcarlos para distinguirlos de los otros, devolverlos al agua, sacar una segunda muestra en la que esperamos que haya peces marcados y sin marcar. a) Con esta información, podrías dar dos valores (máximo y mínimo) entre los cuales esté comprendido el número de peces del estanque?. b) Supongamos que hemos marcado 10 peces, los hemos devuelto al agua y, en una segunda muestra hemos extraído 20 peces de los que hay 2 marcados. Cuántos peces crees que habrá aproximadamente en el estanque?. 251

16 Matemáticas 4º ESO Opción B LAS JUDÍAS Para contar el número de judías que hay en una bolsa procedemos así: 1) Sacamos un puñado de ellas, las señalamos, las contamos (187, por ejemplo) y las devolvemos a la bolsa. 2) Revolvemos largamente para que se mezclen y volvemos a extraer un buen montón, 411, de las cuales hay 44 señaladas. Cuántas judías hay en la bolsa?. Población es el conjunto de individuos, cuyas características se pretenden estudiar. Muestra es un subconjunto de la población. En Estadística se necesita obtener una muestra de n elementos de una población de N individuos con el propósito de extraer conclusiones sobre la población a través de la muestra. Si la población es muy numerosa no tiene sentido obtener información de todos sus individuos, por razones de tiempo y dinero. Para recoger información acerca de la población se selecciona una muestra, es decir un subconjunto de la población y se efectúa con sus individuos una encuesta. Algunas preguntas de interés : Cómo seleccionar la muestra para que sea representativa de la población y no esté sesgada?. Cuál es el tamaño idóneo de la muestra?. Si la muestra es demasiado pequeña puede que la información obtenida no sea representativa de la población. Al aumentar el tamaño de la muestra se obtiene una mejor información, pero el tamaño no puede ser excesivo, por razones económicas. Es fiable la información obtenida en la muestra?. Hasta qué punto es representativa de la población la información contenida en la muestra?. Estas cuestiones sobre tamaño y nivel de confianza de una muestra se estudian en INFERENCIA ESTADÍSTICA. Cómo se selecciona una muestra? Para que la muestra sea representativa, debe ser una imagen miniaturizada de la población. Los caracteres interesantes en la muestra deben aparecer en la muestra con la misma proporción que en la población. Para que esto ocurra y la información no presente sesgos, seleccionamos los individuos que componen la muestra al azar, mediante un sorteo. La muestra obtenida por este procedimiento se conoce con el nombre de muestra aleatoria. En el caso de muestra aleatoria, todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad n / N de formar parte de ella. 252

17 Modelos probabilísticos NÚMEROS ALEATORIOS Al aumentar el tamaño de una muestra, obtenemos una información mayor y más precisa sobre la población de procedencia. Pero no siempre es posible obtener una muestra de gran tamaño, por razones económicas y de tiempo. En estos casos se recurre a la simulación. Con un dispositivo electrónico parecido a una ruleta decimal se generaron hasta un millón de dígitos que aparecieron en 1955 en un libro titulado Un millón de dígitos al azar. Una tabla de números aleatorios es una colección de dígitos que se han obtenido por este procedimiento (o por otros equivalentes, como por ejemplo, por medio de urnas y bolas, dados decimales, etc). Los dígitos están organizados en grupos de cinco cifras. Para usar la tabla, elegimos un dígito de partida y leemos los números a partir de él. La lectura puede hacerse en cualquier orden: verticalmente, horizontalmente, en diagonal. Con la tabla de números aleatorios podemos simular cualquier sorteo. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda es equivalente a leer los dígitos de la tabla: si sale cifra par, convenimos que ha salido cara; si sale impar, cruz. Así, si leemos la tabla desde el principio, en dirección horizontal, obtenemos: que equivale a X X X X X X C C X C... siendo C=cara y X=cruz. Estos resultados cambian si leemos la tabla de otra forma. Otro ejemplo: para sortear 5 premios entre 50 personas, asignamos un número a cada una de las 50 personas y, a continuación, tomamos tiras de dos cifras de la tabla (hasta obtener en total cinco tiras válidas), admitiendo como válidos los números 01, 02, 03, 04,..., 50 y rechazando los números que pasan de 50. Así, si leemos la tabla desde el principio, en dirección vertical, obtenemos: Las personas afortunadas son las que tienen por números de orden 18, 19 y 27. Las que tienen números de orden 18 y 27 reciben dos premios cada una. Lógicamente el sorteo podría haber tenido otro resultado si hubiésemos leído la tabla de una manera diferente. a) Simula con la tabla de números aleatorios 12 lanzamientos de un dado cúbico. b) Simula con la tabla de números aleatorios 15 lanzamientos de un dado para hacer quinielas (dado cúbico que tiene tres caras marcadas con 1, dos caras marcadas con X y una cara marcada con 2). c) Simula un sorteo de 10 premios entre 150 personas. d) Simula 10 repeticiones del experimento consistente en lanzar simultáneamente tres dados cúbicos y construye la correspondiente tabla de frecuencias, anotando el número de seises obtenido en cada lanzamiento. 253

18 Matemáticas 4º ESO Opción B GENERA NÚMEROS ALEATORIOS a) Utilizando un dado decimal (tiene diez caras iguales) construye una tabla de números aleatorios de 100 dígitos, efectuando para ello 100 lanzamientos del dado y anotando los resultados. Cuenta el número de veces que aparece cada dígito y construye la tabla de frecuencias correspondiente. b) Si unes tus resultados a los de tus compañeros tendrás una tabla con 3000 números aleatorios. Cuenta el número de veces que aparece cada dígito en esta macro-tabla y construye la tabla de frecuencias correspondiente. USA LA CALCULADORA Las calculadoras y los ordenadores permiten obtener de forma rápida y sencilla series de números aleatorios. La mayoría de calculadoras científicas disponen de la función RAN#, que se suele activar con la combinación de teclas SHIFT. Cada vez que se activa esta función aparece en pantalla un número aleatorio entre 0 y 1 con un número predeterminado de cifras decimales (generalmente tres decimales). Ignorando el cero inicial y la coma decimal, consideramos los dígitos restantes como una secuencia de números aleatorios que podemos usar de la misma forma que la tabla de números aleatorios. Cada vez que necesitemos más dígitos volveremos a activar la función RAN#, hasta obtener la cantidad deseada de cifras. Si necesitamos trabajar con números de una cifra, leemos los dígitos de uno en uno, si necesitamos números aleatorios de dos cifras, los leemos de dos en dos, etc. a) Cómo simular con la calculadora un juego con tres resultados posibles, 0, 1 y 2, que tienen como probabilidades respectivas 0 2, 0 5 y 0 3?. Simula en total 20 partidas. b) Utiliza una calculadora para simular 20 lanzamientos de dos monedas y construye la tabla de frecuencias correspondiente. Extrae conclusiones de la tabla. 254

19 Modelos probabilísticos DADOS Cómo podrías construir una tabla de números aleatorios con un dado icosaédrico?. Y con un dado cúbico?. Justifica las respuestas. UNA RULETA Una ruleta está dividida en 10 sectores iguales. Dividimos la ruleta en tres trozos: el A, que incluye los sectores 1, 2 y 3; el B, que incluye los sectores del 4 al 8; y el C que incluye los sectores 9 y 0. Simula con la calculadora 50 tiradas de esta ruleta y construye la correspondiente tabla de frecuencias. Comenta los resultados. DOBLE SEIS Se sabe que es ventajoso apostar por la aparición de al menos un seis en cuatro lanzamientos sucesivos de un dado cúbico. A cuántos lanzamientos es ventajoso apostar por la obtención de un doble seis con dos dados?. 255

20 Matemáticas 4º ESO Opción B SONDEO ELECTORAL Se ha realizado una encuesta para conocer las intenciones de voto de los españoles por un determinado partido político A. En la ficha técnica del sondeo, leemos que el límite máximo de error es 2 8 %, es decir, 2 8 puntos de porcentaje, con una probabilidad del 95 %. En dicha encuesta se estima que el partido A obtendrá un porcentaje de votos del 33 %. Entre qué valores mínimo y máximo puede fluctuar el porcentaje de votos del partido A, con una probabilidad del 95 %?. Si a es el porcentaje mínimo y b el máximo, se cumple que a 33 2' 8, b 33 2' 8. El intervalo (a, b) se llama intervalo de confianza con un nivel de confianza del 95%. Se cumple que la probabilidad de que el porcentaje p de votos del partido A esté entre a y b es del 95%, o sea: p a p b 0' 95. ESTATURA MEDIA a) Para estimar la estatura media de los 934 estudiantes de un instituto, extraemos una muestra de 53 de ellos. La media de la muestra es cm. Expresa este resultado sabiendo que en la ficha técnica se dice que el error máximo es de 1 8 cm, con una probabilidad de b) Si con el mismo estudio anterior admitimos que se cometa un error de 2 6 cm, el nivel de confianza, será superior o inferior a 0 90?. c) Cómo podríamos aumentar el nivel de confianza manteniendo la cota de error en 1 8 cm?. 256

21 Modelos probabilísticos DECRECIMIENTO Material: Cincuenta dados de parchís, una tabla de resultados y apuestas para cada jugador. Reglas del juego: Un juego para dos jugadores. Se lanzan los cincuenta dados y se retiran los que muestren la cara seis. Se lanzan de nuevo los que quedan y se retiran de nuevo los que caigan mostrando seis. Se repite el proceso hasta que no quede ninguno, contando el número de veces que hay que repetir la experiencia. Antes de empezar a jugar, cada jugador hace una apuesta sobre el número de lanzamientos necesarios. Una vez realizados los lanzamientos, cada jugador anota en su tabla la diferencia entre su apuesta y el número obtenido. Se juega 10 veces. El ganador es quien, al final de la partida, obtenga una suma menor de sus diferencias. PARTIDA APUESTA Nº LANZAMIENTOS DIFERENCIA TOTAL... a) Recoge la información obtenida en tu clase en una tabla de frecuencias. Cuál es el número de lanzamientos necesario para eliminar todos los dados?. Qué valor es más representativo, la moda o la media?. b) Dibuja la gráfica de la relación funcional nº de tiradas realizadas nº de dados sin retirar. Estudia las características de esta gráfica. La situación anterior es un modelo de la desintegración radiactiva, proceso por el que ciertas sustancias pierden masa a lo largo del tiempo, hasta desintegrarse. Este proceso es exponencial, es decir se ajusta, aproximadamente, a un modelo del tipo y a2'7 b x, donde y es el número de partículas supervivientes y x el tiempo transcurrido. En un proceso de desintegración se llama vida media al tiempo necesario para que la cantidad de sustancia radiactiva se reduzca a la mitad. c) Cuál crees que es la vida media de la población inicial de dados?. Primero formula una conjetura y después trata de ajustar un modelo exponencial a los datos que has obtenido en los lanzamientos. 257

22 Matemáticas 4º ESO Opción B d) Haz un estudio parecido al anterior, suponiendo que se lanzan dados tetraédricos y no cúbicos, de forma que, en cada tirada, se eliminan todos aquellos que muestren un 4. e) Repite el mismo estudio suponiendo que se lanzan dados octaédricos, de formar que, en cada tirada, se eliminan todos aquellos que muestren un 8. f) Investiga qué ocurre si en lugar de dados se lanzan monedas, eliminando cada vez todas aquellas que muestren cara. Extrae conclusiones. INDIFERENCIA Dos jugadores, A y B, se disponen a jugar sobre un tablero 4 4 del modo siguiente: Ambos disponen de 16 fichas, de diferente color para cada jugador. Cada jugador coloca 8 fichas sobre su medio tablero y guarda las otras 8 en reserva. Así pues, al principio del juego, la mitad del tablero se cubre con fichas de un color (negras, por ejemplo) y la otra mitad con fichas de otro color (blancas, por ejemplo). Se lanza ahora una moneda. Si sale cara, una ficha blanca puede ser reemplazada por una negra de la reserva. Si el resultado es cruz, una ficha negra puede ser sustituida por una blanca de la reserva. Gana el que logra llenar todo el tablero con sus fichas. Estudia este juego: Cuáles son las situaciones más frecuentes?. Hay una estrategia ganadora?. Estudia las tasas de nacimiento y muerte de las fichas. EQUILIBRIO Para este juego es necesario un tablero con coordenadas horizontales y verticales, un par de dados para seleccionar un cuadrado del tablero y fichas de dos colores, en número suficiente para llenar el tablero con cualquier color

23 Modelos probabilísticos Dos jugadores por turno colocan al azar sus fichas en el tablero hasta que todos los cuadrados están llenos. Se lanzan los dos dados. La ficha seleccionada por los dados es sustituida por otra ficha de las reservas del color oponente. En cada lanzamiento el ganador (que tiene más fichas sobre el tablero) recibe un punto por cada ficha en exceso sobre la mitad de los cuadrados del tablero. Al final del juego (por ejemplo, después de 30 tiradas) cada jugador suma sus puntos y divide la suma por el número de veces que ha lanzado los dados. Gana el que obtenga mayor puntuación. Estudia este juego: estados posibles, frecuencia de aparición de cada estado con el tiempo, tasas de nacimiento y muerte de las fichas según la variación de la población de fichas. CATÁSTROFE Este juego es igual que el anterior, pero difiere en el cambio de fichas. En lugar de reemplazar la ficha seleccionada por los dados por una ficha de color contrario, se dobla la ficha seleccionada a expensas del color contrario. Por ejemplo, si el dado selecciona un cuadro con una ficha blanca, otra blanca de las reservas puede sustituir a cualquier ficha negra del tablero. Haz un estudio parecido al del juego anterior. EVOLUCIÓN Se dispone de fichas de cuatro colores en número suficiente para llenar el tablero con cualquier color. Al comienzo del juego se colocan al azar, y en igual número los cuatro tipos de fichas en el tablero. Se lanzan un par de dados, aplicándose la siguiente regla: 1) La ficha elegida por los dados es eliminada del tablero y colocada en la reserva. Se vuelven a lanzar los dos dados, para elegir un cuadro no vacío. 2) La ficha elegida por el dado es doblada, es decir, se toma de la reserva una ficha del mismo color y se coloca en el cuadro vaciado por el lanzamiento previo de los dados. El juego termina cuando un color ha llenado completamente el tablero. Enumera los estados posibles. Estudia las probabilidades de transición entre ellos y la frecuencia de aparición de cada uno. Halla las tasas de nacimiento y muerte con respecto a la variación de la población de fichas. 259

24 Matemáticas 4º ESO Opción B 4. Tablas de contingencia y diagramas de árbol. Probabilidad compuesta AFICIONES a) Cuáles son las aficiones de tus compañeros de centro?. Cómo podrías saberlo?. Es necesario preguntar a todos ellos? Para recoger información de una población no es necesario obtener todos los datos, sino solamente los correspondientes a una parte de la población, a una muestra. Posteriormente, usaremos los datos de la muestra para inferir conclusiones sobre el comportamiento de la población. Surgen entonces algunas preguntas de interés: Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que sea representativa de la población?. Cómo debe seleccionarse la muestra para que la información no esté sesgada?. Hasta qué punto es fiable la información obtenida de la muestra?. Es válido predecir el comportamiento de la población basándose en los datos de la muestra?. b) Vamos a diseñar una encuesta para conocer las aficiones preferidas en tu centro. Piensa en cómo se puede diseñar la encuesta: Qué preguntas hacer. Cómo formular las preguntas para que no condicionen la respuesta. A cuántas personas hay que preguntar. A qué personas hay que preguntar. Cómo debe seleccionarse la muestra. c) Con el modelo de encuesta diseñado, recoge información de tu centro sobre aficiones de tiempo libre. Construye tablas de frecuencias como las siguientes: AFICIONES PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO TOTAL Cine Teatro TV Música Fútbol Baloncesto Atletismo Motociclismo Informática Excursiones TOTAL 260

25 Modelos probabilísticos d) Representa gráficamente la información obtenida utilizando distintos diagramas: Dibuja, en unos mismos ejes, un diagrama de barras que muestre el número de aficionados a cada actividad para cada uno de los cursos. Dibuja, en unos mismos ejes, un diagrama de barras que muestre el número de aficionados a cada actividad para cuarto curso comparándolo con el total de encuestados. Haz lo mismo para comparar el total con los estudiantes de primero. Comenta las diferencias que observes. Dibuja un diagrama de sectores que muestre la información del total de encuestados. Dibuja un diagrama de sectores que muestre la información de cuarto curso y compáralo con el correspondiente al total de encuestados. e) Analiza la información obtenida: Qué proporción de estudiantes de primero hay en la muestra?. Y de segundo?. Qué proporción de encuestados son aficionados al cine?. Y a la música?. Qué proporción de estudiantes de tercer curso son aficionados al cine?. Y al atletismo?. Si elegimos al azar un estudiante de tu centro, cuál es la probabilidad de que sea aficionado a la Informática?. Y al teatro?. Elegimos al azar un estudiante de segundo curso. Qué probabilidad hay de que sea aficionado al fútbol?. Y de que sea aficionado al baloncesto?. Elegimos al azar un estudiante de tu centro y resulta ser aficionado al motociclismo. Hay muchas posibilidades de que sea de primero?. Y de que sea de cuarto?. Elegimos al azar un estudiante de tu centro. Designamos: A = el estudiante elegido es de segundo curso. B = el estudiante elegido es aficionado al cine. Entonces el suceso que consiste en que el estudiante elegido es aficionado al cine sabiendo que es de segundo curso, se representa por B/A y se llama suceso B condicionado por A. La probabilidad de este suceso, es decir, la probabilidad de que el estudiante elegido sea aficionado al cine sabiendo que es de segundo curso, se representa por p(b/a) y se llama probabilidad condicionada. 261

26 Matemáticas 4º ESO Opción B TABLA DE CONTINGENCIA Se han observado 50 enfermos de la piel tratados con un nuevo antibiótico y otros 70 enfermos no tratados. Anotadas las curaciones al cabo de dos semanas, los resultados han sido los siguientes: TRATADOS NO TRATADOS CURADOS NO CURADOS a) Qué probabilidad hay de que un enfermo curado haya sido tratado?. b) Qué probabilidad hay de que un enfermo curado no haya sido tratado?. Una tabla como la siguiente recibe el nombre de tabla de contingencias, ya que en ella figuran todas las probabilidades o contingencias de los sucesos A y B, A y no B, no A y B, no A y no B. A no A TOTAL A y B p noa y B p(b) B p no B p A y nob noa y nob p p(no B) TOTAL p(a) p(no A) 1 Teniendo en cuenta que el suceso no A es el suceso contrario de A (que se indica por A ), podemos expresar la tabla de contingencias de esta otra forma: A A TOTAL B pa B A B B pa B A B p p(b) p p( B ) TOTAL p(a) p( A ) 1 Las tablas de contingencias, junto con los diagramas de árbol, son herramientas muy útiles para el cálculo de probabilidades y la estadística. URNAS Disponemos de dos urnas M y N. La primera contiene 7 bolas negras y 3 blancas, y la segunda 5 negras y 3 blancas. Se saca una bola al azar de una de las dos urnas, elegida también al azar, y resulta ser blanca. Qué probabilidad hay de que proceda de la urna M?. 262

27 Modelos probabilísticos LAS TRES FICHAS Disponemos de tres fichas: La primera tiene sus dos caras de color verde. La segunda tiene sus dos caras de color amarillo. La tercera tiene una cara de cada color. El jugador A muestra por una cara una cualquiera de las fichas. Si el jugador B adivina de qué ficha se trata, gana; en caso contrario gana A. Quién crees que tiene ventaja, A ó B?. DADOS NO TRANSITIVOS Construye cuatro dados como los de la figura: Te proponemos el siguiente juego con ellos: El primer jugador elige un dado. El segundo elige uno de los tres que quedan. Cada uno lanza su dado y gana quien obtenga mayor puntuación. Qué jugador prefieres ser, el primero o el segundo?. UNA URNA a) En una urna hay 3 bolas blancas y 2 verdes. Se extrae una bola al azar. Cuál es la probabilidad de que aparezca bola verde?. La bola extraída se vuelve a meter en la urna y se repite la prueba. Cuál es la probabilidad de sacar bola verde otra vez?. Depende este resultado de la primera prueba?. 263

28 Matemáticas 4º ESO Opción B b) En la misma situación del apartado anterior, si después de la primera prueba no se vuelve a meter la bola en la urna, cuál es la probabilidad de sacar bola verde en la segunda extracción?. Depende ahora de lo que haya ocurrido la primera vez?. c) En la misma situación de apartados anteriores, sacamos una bola y luego otra. Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean verdes?. Distingue dos casos, según que la primera bola extraída se devuelva o no a la urna. Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la realización del otro. Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurran simultáneamente es igual al producto de sus probabilidades. Es decir: A y B son independientes si se cumple pa B pa pb. En caso contrario, se dice que A y B son dependientes, lo que significa que la probabilidad de uno de ellos depende de la realización del otro. Por ejemplo, si en la actividad anterior llamamos: A=sale bola verde en la primera extracción. B=sale bola verde en la segunda extracción. Se cumple que: Si las extracciones se hacen con devolución, los sucesos A y B son independientes. Si las extracciones se hacen sin devolución, los sucesos A y B son dependientes. SUCESOS INDEPENDIENTES? Di si son dependientes o independientes los sucesos A y B y calcula la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos: a) Se lanza una moneda dos veces. A=sale cara la primera vez. B=sale cara la segunda vez. b) Se lanza dos veces un dado. A=sale 3 la primera vez. B=sale número impar la segunda vez. c) Se lanzan un dado azul y otro verde. A=sale 6 en el dado azul. B=sale número par en el dado verde. d) Se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de una urna que tiene 2 bolas verdes y 3 amarillas. A=la primera bola es amarilla. B=la segunda bola es amarilla. 264

29 Modelos probabilísticos 5. Gráficos y parámetros estadísticos BARRAS, RECTÁNGULOS Y SECTORES Supongamos que repetimos un experimento cierto número de veces, N. FRECUENCIA ABSOLUTA de un resultado es el número de veces que ocurre dicho resultado cuando el experimento se repite un cierto número de veces. Se representa por f. FRECUENCIA RELATIVA : expresa la relación entre la frecuencia absoluta de un resultado y el número total de repeticiones del experimento. Se representa por f r. FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA= Nº TOTAL DE PRUEBAS f r = f N Ejemplo.- Hemos lanzado simultáneamente cuatro monedas del mismo tipo, anotando el número de caras obtenidas. En total hemos realizado 117 lanzamientos, obteniendo los siguientes resultados: X Nº DE CARAS f FRECUENCIA Construye la distribución de frecuencias relativas. Expresa las frecuencias relativas en forma de porcentaje y dibuja los diagramas de puntos, de barras y de rectángulos. En este caso, la distribución de frecuencias relativas o tabla de frecuencias relativas es: X Nº DE CARAS f r F. RELATIVA 0,077 7,7 % 0,222 22,2 % 0,368 36,8 % 0,273 27,3 % Estos datos podemos representarlos usando distintos tipos de diagramas: 0,06 6 % PUNTOS BARRAS RECTÁNGULOS En esta figura se representa el DIAGRAMA DE SECTORES asociado a los datos del problema. El ángulo correspondiente a cada sector se determina de forma que sea proporcional a la frecuencia. Así, el ángulo correspondiente a 1 CARA se obtiene de la siguiente forma : 265

30 Matemáticas 4º ESO Opción B 117 lanzamientos corresponden a 360 o x 117 x = x = Procediendo de forma parecida, obtenemos los siguientes resultados: RESULTADO 0 CARAS 1 CARA 2 CARAS 3 CARAS 4 CARAS ÁNGULO 28 O 80 O 132 O 98 O 22 O o HISTOGRAMAS 1) Dibuja el diagrama de rectángulos de la siguiente distribución de frecuencias: INTERVALOS Entre 15 y 20 años Entre 20 y 30 años Entre 30 y 40 años Entre 40 y 60 años FRECUENCIAS ABSOLUTAS 10 empleados 35 empleados 25 empleados 30 empleados Observa que la diferente anchura de los intervalos en este diagrama falsea la realidad, ya que parece que el último intervalo tenga mayor frecuencia, lo que no es cierto. Para evitar este problema se utiliza el histograma, que es un diagrama de rectángulos en el que el área de cada rectángulo es igual a la frecuencia correspondiente. La altura de cada rectángulo (que se denomina densidad de frecuencia) se calcula mediante la siguiente fórmula: Densidad de frecuencia = frecuencia longitud del intervalo 2) Halla las densidades de frecuencia y dibuja el histograma correspondiente a los datos del apartado anterior. PIRÁMIDE DE POBLACIÓN La siguiente gráfica es una pirámide de población. Representa dos histogramas, uno para hombres y otro para mujeres. Nos informa de la distribución de población de un país según su relación con la actividad económica en 1992 (en millones de personas). a) Halla aproximadamente el número de hombres y mujeres en edad de trabajar que había en b) Halla aproximadamente el número, así como el porcentaje, de hombres y mujeres ocupados. c) Compara la población de hombres y mujeres parados. En qué intervalo de edades se encuentra el mayor número de parados en el grupo de hombres y en el de mujeres?. 266

31 Modelos probabilísticos MONEDAS Hemos lanzado simultáneamente cuatro monedas del mismo tipo, anotando el número de caras obtenidas. En total hemos realizado 117 lanzamientos, obteniendo los siguientes resultados: Calcula el número medio de caras obtenidas. Si disponemos de una tabla de frecuencias: X Nº DE CARAS f FRECUENCIA DATOS X X 1 X 2 X X N FRECUENCIAS f f 1 f 2 f f N entonces, la media X de los datos se calcula mediante la fórmula: N X i i1 N i1 f X En general, la disposición práctica para el cálculo de la media aritmética es la siguiente: X f Xf X 1 f 1 X 1 f 1 X 2 f 2 X 2 f X n f n X n f n N P f i i Por lo tanto, la media aritmética es P X o bien N X f X, f 267

32 Matemáticas 4º ESO Opción B EDADES En la siguiente tabla se muestra la distribución de edades de los trabajadores de una empresa. Calcula la edad media. EDADES FRECUENCIA Si los datos están agrupados en intervalos, para calcular la media aritmética se utilizan como valores las llamadas MARCAS DE CLASE que son los valores medios de cada intervalo. MENTIR CON ESTADÍSTICAS Dos empresarios discuten sobre el sueldo de sus empleados. Uno de ellos asegura que el salario más representativo de su empresa es de 1713,33 euros; el segundo niega esto, diciendo que el más representativo es de 1400 euros. Observa la distribución de sueldos de la empresa. A cuál de los dos le darías la razón?. SUELDO Nº DE EMPLEADOS Al valor más frecuente en una estadística se le llama MODA y se representa por m. Hay ocasiones en que la moda es más representativa que la media y viceversa. ATLETISMO a) En un campeonato de atletismo se enfrentan dos equipos A y B de 50 corredores cada uno en la prueba de 200 metros. La distribución de tiempos en cada uno de los equipos es la siguiente: TIEMPO (segundos) EQUIPO A (frecuencia) EQUIPO B (frecuencia) Qué equipo ha conseguido mejor tiempo?. Para decidirte, calcula la media y la moda y dibuja el histograma correspondiente a cada equipo. Cuál crees que debe obtener mejor clasificación?. 268

33 Modelos probabilísticos En algunos problemas no basta con tener la media y la moda, es necesario también medir la dispersión de los datos respecto al centro (respecto de la media). Para ello se puede usar un parámetro estadístico llamado rango que es la diferencia entre el máximo y el mínimo dato. Es más usual utilizar la desviación típica o desviación estándar, que se obtiene así: 2 X i f i X i f i X i - X Xi - X 2 X - X f i N P Q En esta tabla se cumple: media aritmética: Llamamos varianza al cociente: Q V = N X V = P N X i - X f i 2 f i La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza. Es decir: = V X i La desviación típica indica un promedio de las desviaciones de dada dato X i a la media X. X f i 2 f b) Calcula los rangos y las desviaciones típicas correspondientes a los dos equipos de corredores. Con este dato, qué equipo debe tener mejor clasificación?. USA TU CALCULADORA Consulta en el manual de tu calculadora cómo efectuar cada uno de los pasos que se indican a continuación: Activa el modo SD de tu calculadora: MODE SD. Borra el contenido de la memoria estadística, pulsando INV AC ó SHIFT AC. Introduce datos y frecuencias del siguiente modo: DATO x FRECUENCIA M + X 1 x f 1 M + X 2 x f 2 M X n x f n M + Para calcular la media, activa la función X, pulsando INV 7 ó SHIFT 7. Para calcular la desviación típica, activa la función n, pulsando INV 8 ó SHIFT 8. Además puedes hallar: f mediante la función X 2 f mediante la función X f mediante la función n donde el símbolo significa suma. 269

34 Matemáticas 4º ESO Opción B a) Utilizando la calculadora, halla la media y la desviación típica de la siguiente distribución: X f b) Cómo puedes usar la calculadora para borrar datos?. Cómo puedes desactivar el modo SD, volviendo al modo de uso normal?. TU CLASE Te proponemos que recojas información sobre tu clase en los siguientes aspectos: número de hermanos. tiempo invertido para desplazarse de casa al instituto. tallas y pesos. a) Con los datos obtenidos, dibuja: un diagrama de barras para la información referida al número de hermanos. un diagrama de rectángulos para el tiempo de desplazamiento. un diagrama de rectángulos para los pesos. En los dos últimos casos te será útil agrupar los datos en intervalos. Cómo puedes hacerlo?. b) Un histograma es un diagrama de rectángulos en el que el área de cada rectángulo es igual a la frecuencia del intervalo correspondiente. Dibuja el histograma de las tallas de tu clase. c) Analiza la información obtenida: Cuántos hermanos tienen tus compañeros por término medio?. Cuál es el tiempo medio de desplazamiento al instituto?. Cuál es la talla media de la clase?. Y el peso medio?. Hay mucha dispersión en el número de hermanos?. Y en la talla?. Y en el peso?. Y en el tiempo de desplazamiento?. Cuál de las cuatro magnitudes consideradas te parece más dispersa?. 270

35 Modelos probabilísticos BALONCESTO En la siguiente tabla tienes los puntos totales conseguidos por cada uno de los jugadores de dos equipos de baloncesto en la pasada liga: EQUIPO A EQUIPO B a) Calcula la media y desviación típica de cada equipo. Qué equipo es mejor?. b) Qué equipo tiene puntuaciones menos dispersas en torno a la media?. El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media de un conjunto de datos estadísticos. CV X Se suele expresar en porcentaje y sirve para comparar y medir la dispersión relativa de distintas poblaciones. En general, no es menos dispersa la población que presenta menos desviación típica, sino la que presenta un menor coeficiente de variación, ya que la dispersión depende también del valor de la media. No es lo mismo una desviación de 5 frente a una media de 10 que una desviación de 5 frente a una media de 100. Siendo las desviaciones típicas iguales, en el segundo caso hay menor dispersión relativa, lo que se traduce en un menor valor del coeficiente de variación. DOS EMPRESAS Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 10 millones de pesetas y una desviación típica de ptas. En otra empresa más pequeña B, la media es 1 5 millones de pesetas y la desviación típica ptas. Calcula mediante el coeficiente de variación, cuál de las dos tiene más variación relativa. MERCADOS El volumen de exportaciones de una empresa tiene una media mensual de dólares, con desviación típica de dólares. La misma empresa vende mensualmente, en el mercado interior, un promedio de 50 millones de pesetas, con desviación típica de 4 3 millones. Qué mercado es más estable, el mercado interior o el exterior?. 271

36 Matemáticas 4º ESO Opción B SOCIOLOGÍA En un grupo de sociología se han obtenido estas puntuaciones en un test de habilidad mental: Comprueba si en el intervalo (m-, m+) se encuentra aproximadamente el 68% de los datos, siendo m la media y la desviación típica. SOLDADOS Las estaturas aproximadas de 4350 soldados son las siguientes: Estatura (en m) Nº de soldados Decimos que los soldados que tienen su estatura entre m+ y m+3 son altos; si la tienen entre m-3 y m- son bajos, y son normales si la tienen entre m- y m+. Calcula, aproximadamente, el porcentaje de bajos, normales y altos que hay en la muestra. En los ejercicios anteriores habrás observado que en el intervalo [m-, m+] se encuentran, aproximadamente el 67 % de los datos. También se cumple que: En el intervalo [m-, m+] se encuentra el 67% de los datos. En el intervalo [m-2, m+2] se encuentra el 75% de los datos. En el intervalo [m-3, m+3] se encuentra el 89% de los datos. En el intervalo [m-4, m+4] se encuentra el 94% de los datos. En el intervalo [m-5, m+5] se encuentra el 96% de los datos. En general, es muy poco probable que un dato se aparte de la media más de tres desviaciones típicas. Este resultado es el Teorema de Tchebycheff y puedes utilizarlo para obtener intervalos centrados en la media que contengan un cierto % de los datos. De esta forma se pueden clasificar los datos estadísticos en bajos, altos y normales. 272

37 Modelos probabilísticos MATERNIDAD En una maternidad se han tomado los pesos (en kg) de 50 recién nacidos, obteniendo estos resultados: a) Calcula la media y la desviación típica b) Halla intervalos, centrados en la media, que contengan el 75 %, 89 %, 94 % y 96 % de los datos, respectivamente. RITMO CARDÍACO A un grupo de 30 personas se le ha tomado el número de pulsaciones por minuto (ritmo cardíaco) y se han obtenido los siguientes resultados: a) Calcula la media y la desviación típica. b) Halla intervalos, centrados en la media, que contengan el 75 %, 89 % y 94 % de los datos, respectivamente. 273

38 Matemáticas 4º ESO Opción B FRECUENCIAS ACUMULADAS La frecuencia acumulada correspondiente a un determinado valor es la suma de todas las frecuencias de los valores anteriores a él más su propia frecuencia. Por ejemplo, hemos efectuado 100 lanzamientos de cuatro monedas obteniendo estos resultados: X Nº DE CARAS f FRECUENCIA La frecuencia acumulada de X=2 es F(2) f(0) f(1) f(2) La frecuencia acumulada de X=4 es F(4) f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) 100. La frecuencia absoluta acumulada correspondiente al último dato coincide con el tamaño muestral N. La frecuencia relativa acumulada correspondiente al último dato es igual a 1. Si los datos están agrupados en intervalos, las frecuencias acumuladas, absolutas o relativas, se representan se la siguiente forma: Por el extremo derecho de cada intervalo se traza una vertical de altura igual a la frecuencia acumulada, absoluta o relativa, correspondiente. Se unen por una poligonal los extremos de estas verticales. Se completa la poligonal uniendo el extremo izquierdo del primer intervalo con el extremo superior de la primera vertical. La gráfica así obtenida se llama polígono de frecuencias acumuladas. 1) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas correspondiente a los 100 lanzamientos de las cuatro monedas. 2) La distribución de trabajadores de una empresa según su edad es la indicada en esta tabla: EDADES (años) FRECUENCIA (nº trabajadores) Construye la tabla de frecuencias absolutas y relativas acumuladas y dibuja el polígono de frecuencias absolutas acumuladas. 274

39 Modelos probabilísticos GAS NATURAL La siguiente gráfica es un polígono de frecuencias acumuladas que muestra los distintos usos del gas natural en Termia es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de una tonelada de agua en 1º C. a) Qué cantidad de energía procedente del gas natural se consumió en total durante el año 1990?. b) A qué se destinó la mayor cantidad de gas natural en 1990?. USOS DEL GAS NATURAL La siguiente tabla recoge las previsiones para el año 2020 de los usos del gas natural. Dibuja el polígono de frecuencias acumuladas correspondiente. USOS PREVISIÓN DEMANDA GAS NATURAL AÑO 2020 (millones de termias) Doméstico comercial Industrial Usos no energéticos 7200 Cogeneración Generación eléctrica convencional

40 Matemáticas 4º ESO Opción B MEDIANA La mediana de una distribución estadística es el valor que deja a su izquierda un número de datos igual a los que deja a su derecha; es decir, se trata del valor central de la distribución. Se representa por M. Ejemplo 1.- Las calificaciones de 7 alumnos en Lengua y de otros 8 en Matemáticas han sido las siguientes: En las notas de Lengua, la nota 6 deja tres notas a su izquierda y tres a su derecha; es el valor central, porque el número de dados es impar. En las de Matemáticas, como no hay una calificación central, tomamos la media aritmética de las dos centrales: M = '. Si el número de datos es impar, la mediana coincide con el valor central. Si el número de datos es par, hay dos valores centrales; entonces, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Ejemplo 2.- Las notas que obtuvieron 32 alumnos de una clase, en Matemáticas, en la primera evaluación fueron las siguientes: X f En primer lugar hay que ordenar todos los datos en orden creciente, teniendo en cuenta que hay dos 1, dos 2, tres 3, cinco 4, siete 5, etc. 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10 Como hay 32 datos (que es par), hay dos valores centrales, cuyas posiciones son y En la posición 16 hay un 5 y en la posición 17 hay un 5. Luego la mediana es M =

41 Modelos probabilísticos También podemos calcular la mediana en este caso utilizando las frecuencias acumuladas: X f F Como el número de datos N=32 es par, la mediana es media aritmética de los dos valores centrales que ocupan las posiciones N y N , que a la vista de la tabla de frecuencias acumuladas, son 5 y 5, respectivamente, ya que en dicha tabla se observa que desde la posición 12 hasta la posición 18 los datos son siempre 5. Por lo tanto la mediana 5 5 es: M = 5. 2 Si el número de datos N es par, hay dos valores centrales, cuyas frecuencias acumuladas son N 2 y N 2 1. Entonces la mediana es la media aritmética de estos dos valores centrales. Si el número de datos N es impar, hay un valor central, cuya frecuencia acumulada es N +1. Entonces la mediana es este valor central. 2 Si los datos están agrupados en intervalos, para hallar la mediana dibujaremos el polígono N de frecuencias acumuladas, trazaremos una horizontal por la frecuencia acumulada 2 hasta alcanzar a la gráfica y la proyección sobre el eje horizontal será la mediana. 1) Las temperaturas medias en las capitales de 12 países europeos, en grados centígrados, son: Amsterdam 13 Atenas 25 Berlín 14 Bruselas 15 Copenaghe 11 Dublín 14 Lisboa 20 Londres 15 Luxemburgo 15 Madrid 20 París 15 Roma 22 Calcula en esta distribución estadística la media, la moda y la mediana. 2) Esta tabla recoge las medidas de las cinturas de 100 personas. Calcula la mediana. Cintura (cm) Frecuencias

42 Matemáticas 4º ESO Opción B CUARTILES Los cuartiles Q 1, Q 2 y Q 3 son los valores que dividen la distribución en cuatro partes iguales, es decir, de igual porcentaje. El primer cuartil deja por debajo un 25% de los datos y por encima un 75%. El segundo cuartil deja un 50% de datos por debajo y un 50% por encima. El tercer cuartil deja por debajo un 75% de los datos y un 25% por encima. El segundo cuartil coincide con la mediana. Decir, por ejemplo, que el precio de un coche está en el tercer cuartil significa que dicho coche es más caro que el 75% de los coches del mercado y que es más barato que el 25% restante. Para hallar los cuartiles de una tabla de frecuencias acumuladas basta tener en cuenta que: La frecuencia acumulada asociada al primer cuartil Q 1 es igual a 4 N. La frecuencia acumulada asociada al segundo cuartil Q 2 es igual a 2 N. La frecuencia acumulada asociada al tercer cuartil Q 3 es igual a 3 N. 4 Si los datos están agrupados en intervalos, para calcular los cuartiles basta dibujar el polígono de frecuencias acumuladas y trazar rectas horizontales por las frecuencias N N 3 acumuladas, y, hasta alcanzar a la gráfica. Las proyecciones sobre el eje 4 2 4N horizontal son los cuartiles. Llamamos rango intercuartílico a la diferencia entre el primer y el tercer cuartil, es decir se cumple que: R = Q 3 Q 1. El rango intercuartílico contiene el 50% de los datos de la muestra. El uso de los cuartiles y del rango intercuartílico permite determinar intervalos centrados en la mediana que contengan la mitad de los datos muestrales. 1) En una clase de 30 alumnas y alumnos se hace una encuesta para conocer el número de hermanos que tienen cada uno y los resultados son los siguientes: Nº HERMANOS FRECUENCIA a) Amplia la tabla con dos columnas que contengan los datos correspondientes a las frecuencias y porcentajes acumulados. b) Observando los datos de la tabla, sabrías hallar la mediana y los cuartiles?. 278

43 Modelos probabilísticos 2) En una clase se recogen datos sobre el tamaño de las viviendas en las que residen los estudiantes. Los resultados se indican en la siguiente tabla: SUPERFICIE (m 2 ) 40, 60 60, 80 80, , , 140 FRECUENCIA a) Representa gráficamente el polígono de frecuencias acumuladas. b) Trazando paralelas al eje X a la altura de los siguientes porcentajes: 25 %, 50 % y 75 %, obtén a partir de la gráfica los valores de los cuartiles y la mediana. Interprétalos. ANDAR Se ha observado en una muestra de 30 niños la edad, en meses, a la que empiezan a andar, obteniéndose los siguientes resultados: Meses Frecuencia a) Justifica por qué la media es superior a la mediana. b) Halla un intervalo de edades centrado en la mediana que contenga al 50% de los datos. c) A partir de qué edad se encuentra el 25% de los niños mas tardíos en comenzar a andar?. LANZAMIENTOS DE UN DADO Los resultados obtenidos al lanzar un dado 200 veces vienen reflejados en la siguiente tabla: Número de puntos Repeticiones x y 35 a) Determina las frecuencias que faltan, x e y, sabiendo que la puntuación media es 3 6. b) Calcula la mediana y halla un intervalo centrado en la mediana que contenga al 50% de los datos. UN TEST En un test, compuesto de 10 preguntas, a un grupo de 40 personas, se dan los siguientes resultados: Nº de respuestas [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) Nº de personas a) Representa gráficamente la distribución. b) A partir de qué valor se encuentra el 75% de las personas que han obtenido mejor resultado?. c) A partir de qué valor se encuentra el 25% de las personas que han obtenido mejor resultado?. 279

44 Matemáticas 4º ESO Opción B DIAGRAMAS DE CAJA Los diagramas de caja son representaciones gráficas de una distribución estadística unidimensional en las que se reflejan cinco parámetros: límite inferior, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y límite superior. A partir de estos cinco parámetros se pueden obtener fácilmente otros dos parámetros: el rango y el rango intercuartílico. Además también dan una medida de la simetría o asimetría de la distribución, del sesgo y de la dispersión. Ejemplo.- Las calificaciones finales de una clase han sido las siguientes: Calificaciones Nº de alumnos Construye el diagrama de cajas y extrae de él toda la información que puedas. El límite inferior es: L 1 3 El límite superior es: L S 9 Si efectuamos los cálculos correspondientes, obtenemos que: El primer cuartil es: Q 1 4, 5 ; La mediana es: M=5; El tercer cuartil es: Q 3 6, 5 Por tanto, el diagrama de cajas es el siguiente: A la vista del diagrama de cajas, se observa que: 1) El bigote de la izquierda es algo más corto que el bigote de la derecha, lo que indica que las calificaciones de la cuarta parte más baja de la clase están algo más concentradas que las calificaciones de la cuarta parte con calificaciones más altas. 2) También se observa que la parte izquierda de la caja, que corresponde a los alumnos que han obtenido calificaciones entre el 25% y el 50%, es menor que la de la derecha, lo que indica que las calificaciones de estos últimos alumnos están más dispersas. 3) Es fácil ver que el rango es: L S L Y que el rango intercuartílico es: Q 3 Q1 6, 5 4, 5 2. También se observa que la distribución es asimétrica y ligeramente sesgada hacia la derecha. Estudiando el número de hijos de 30 familias elegidas al azar en una ciudad, se han observado los siguientes datos: Calcula la mediana y los cuartiles e interpreta su significado. Representa el diagrama de cajas. 280

45 Modelos probabilísticos CONTAMINACIÓN La siguiente tabla muestra las concentraciones de dióxido de azufre y humo en una zona de tráfico denso de la ciudad de Valencia, durante cada mes de Zona Trànsit dens Diòxid de sofre Fum Gener Febrer Març Abril Maig Juny Juliol Agost Setembre Octubre Novembre Desembre Mitjana Anual Nota: Concentracions en micrograms / m3 Font: Laboratori Municipal. Ajuntament de València a) Representa gráficamente los datos, mediante diagramas de cajas. b) Halla la mediana y los cuartiles de las dos distribuciones e interpreta los resultados. CONTAMINACIÓN ACÚSTICA El nivel sonoro se mide a partir de un mínimo que se establece en el umbral de percepción del oído humano, este es de 0 db (decibelios), entorno a 130 db se sitúa el nivel del dolor. La O.C.D.E. establece como recomendable valores inferiores a los 65 db. Aquí tienes algunos niveles sonoros de referencia: Sonido de fondo en el campo: entre 15 y 20 db. Sonido en una biblioteca: en torno a 35 db. Sonido de una conversación: en torno a 65 db. Sonido del tráfico: en torno a 70 db. Sonido de un avión despegando: en torno a 120 db. Los siguientes datos proceden del Servicio de Medio Ambiente del Ayuntamiento de Valencia. Las medidas del nivel sonoro se toman en tres puntos de la ciudad: Nuevo Centro, Plaza de España y Pista de Silla. La información indica niveles promedios durante un día para las distintas franjas horarias. Las mediciones se han hecho en el cuarto trimestre de

46 Matemáticas 4º ESO Opción B NIVEL SONORO EN db. Media por hora del día Hora Nuevo Centro Plaza de España Pista de Silla a) Dibuja, en unos mismos ejes, tres gráficas que muestren la evolución, durante el día, del nivel sonoro en cada punto de referencia (Nuevo Centro, Plaza de España y Pista de Silla). Cada una de las gráficas obtenidas se llama serie temporal, porque muestra la evolución en el tiempo de una variable aleatoria. Las hemos dibujado en los mismos ejes para poder establecer comparaciones entre ellas. b) Cuál es el nivel de ruido en cada uno de los puntos de referencia a las 6 de la mañana?. Y a las 14 horas?. A qué horas del día hay un nivel de ruido superior a 72 db?. En qué lugares?. c) Cómo evoluciona el nivel sonoro a lo largo del día?. Redacta un pequeño informe. d) Cuál es el mayor nivel de ruido durante el día?. A qué hora?. Dónde?. Y el menor?. A qué hora?. Dónde?. Se cumple la recomendación de la O.C.D.E.?. e) Dónde hay más contaminación acústica, en Nuevo Centro o en la plaza de España?. Investiga según las diferentes horas del día. f) Habrá mucha variación en la gráfica en otras épocas del año?. Y en otros años?. 282

47 Modelos probabilísticos 6. Diagramas de dispersión. Ajuste de una recta RUIDO Y VEHÍCULOS Material: papel milimetrado, regla graduada, calculadora. a) La siguiente tabla indica el número de turismos matriculados y el nivel de ruido por trimestre en la ciudad de Valencia durante el periodo Representa gráficamente estos datos en una hoja de papel milimetrado, situando en el eje horizontal el número de turismos y en el eje vertical el número de decibelios. Turismos matriculados Nivel medio sonoro en db 1995 Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Cómo debes elegir las escalas de los ejes?. Tiene sentido unir los puntos de la gráfica?. A la vista de la gráfica, crees que existe una relación entre el número de turismos y el nivel de ruido?. Si la relación anterior existe, crees que se puede expresar mediante una fórmula?. La gráfica obtenida se llama diagrama de dispersión o nube de puntos y muestra la relación de dependencia entre dos magnitudes. Si los puntos están próximos a una recta, se dice que hay correlación entre dichas magnitudes; si los puntos están muy dispersos y no parecen seguir ningún patrón, se dice que no hay correlación entre las dos magnitudes. Conforme los puntos estén más y más próximos a una recta la correlación es mayor. Si al aumentar una magnitud, aumenta la otra, la correlación es positiva; si al aumentar una magnitud, la otra disminuye, la correlación es negativa. Podemos cuantificar esta idea con un número r denominado coeficiente de correlación, medido en una escala de 1 a 1, de forma que si r está próximo a 1, la correlación es negativa, si r = 0 ó próximo a 0, no hay correlación y si r está próximo a 1, la correlación es positiva. He aquí unos ejemplos: 283

48 Matemáticas 4º ESO Opción B Qué valor del coeficiente de correlación asignarías al diagrama nº de turismos nº de decibelios que has construido anteriormente?. b) Intenta construir lo más aproximadamente que puedas una recta que se ajuste a la nube de puntos, de forma que la distancia de los puntos a dicha recta sea lo menor posible. Esta recta se llama recta de ajuste o recta de regresión. c) Qué ocurrirá si continua aumentando el número de turismos matriculados?. Qué nivel medio de ruido cabe esperar en el trimestre en que se matriculen 8000 turismos?. Y cuando se matriculen 9000?. Si el ritmo de crecimiento se mantiene, ha de pasar mucho tiempo para que se alcancen vehículos matriculados en un trimestre?. d) Qué grado de seguridad te merecen las estimaciones que has hecho anteriormente?. e) Te atreves a construir una fórmula que represente la recta de ajuste que has dibujado?. Compara los resultados con los de tus compañeros. ESTUDIO Y TV a) Recoge información de tu clase sobre el número de horas diarias que dedican tus compañeros al estudio y a ver la televisión. Resume la información en una tabla de doble entrada: HORAS ESTUDIO HORAS TV b) Representa gráficamente la nube de puntos y asígnale un coeficiente de correlación. 284

49 Modelos probabilísticos Te sugerimos que hagas lo siguiente: Por los extremos de cada intervalo traza rectas paralelas a los ejes. De esta forma, la gráfica queda dividida en casillas. Pues bien, dibuja en cada casilla tantos puntos como indique la frecuencia respectiva. Así, si la frecuencia es 2, 5 ó 6, dibujarás en la casilla correspondiente: c) Dibuja lo más aproximadamente que puedas una recta de ajuste. d) Maribel dedica al estudio una hora y media diaria. Podrías decir, de manera aproximada, cuánto tiempo dedica diariamente a ver la televisión?. Es fiable la estimación realizada?. e) Intenta encontrar una fórmula que represente la recta de ajuste. RUÍDO Y MOTOCICLETAS La siguiente tabla muestra el número de motocicletas matriculadas cada trimestre en la ciudad de Valencia, durante el período Haz un estudio como el indicado en las siguientes actividades para averiguar el tipo de correlación que existe entre el número de motos matriculadas y el nivel de ruido. Motocicletas matriculadas Nivel medio sonoro en db 1995 Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre Primer trimestre Segundo trimestre Tercer trimestre Cuarto trimestre

50 Matemáticas 4º ESO Opción B Dibuja el diagrama de dispersión y asígnale un coeficiente de correlación. Dibuja lo más aproximadamente que puedas la recta de ajuste. Qué nivel de ruido cabe esperar cuando el número de motos matriculadas sea de 500?. Hasta qué punto es fiable la estimación anterior?. TALLA Y PESO Mucha gente cree que a mayor talla, mayor peso. Estarán en lo cierto?. Sabemos, por ejemplo, que hay personas que pesan menos que otras de menor altura. Existirá alguna relación entre talla y peso?. Para averiguarlo, recoge información de tu clase en una tabla de doble entrada como la siguiente: TALLA PESO Si agrupas los datos en intervalos, podrás ahorrarte mucho trabajo. Con los datos obtenidos haz una gráfica PESO TALLA a) Cómo puedes representar las frecuencias correspondientes a cada par de intervalos?. b) A la vista de la gráfica obtenida, crees que existe alguna relación entre talla y peso?. Qué tipo de relación?. Fuerte?. Débil?. c) Podrías ajustar los puntos obtenidos mediante una recta?. 286

51 Modelos probabilísticos PADRES E HIJOS La altura de 10 padres y de su primer hijo varón está reflejada en la siguiente tabla: TALLA DEL PADRE (X) TALLA DEL HIJO (Y) a) Representa la nube de puntos. b) Existe correlación entre las tallas de padre e hijo?. c) En caso afirmativo dibuja la recta de regresión. d) Qué altura cabe esperar en un hijo cuyo padre mide 182 cm?. TEMPERATURA La latitud en grados y la temperatura máxima en ºC en un mismo día del año son: CIUDAD LATITUD (X) TEMPERATURA (Y) Acapulco Barcelona Calcuta Dakar Estambul Jerusalén Karachi La Coruña a) Representa la nube de puntos. b) Existe correlación entre latitud y temperatura?. c) En caso afirmativo dibuja la recta de regresión. 287

52 Matemáticas 4º ESO Opción B CUIDADO CON LAS ESTADÍSTICAS Qué opinas de algunas de estas afirmaciones?. Todas ellas se han hecho basándose en datos estadísticos, de forma que las magnitudes que se citan están correlacionadas. 1) Los niños con los pies grandes tienen mejor ortografía. Significa esto que el tamaño del pie nos informa sobre la calidad de la ortografía de los niños?. 2) En el sur de Francia, los municipios con mayor tasa de divorcio tienen generalmente menor tasa de mortalidad. Será bueno divorciarse para vivir más años?. 3) Los países que añaden flúor al agua tienen tasas de cáncer mayores que otros que no lo añaden. Es el flúor, en concentraciones elevadas, perjudicial para la salud?. 4) Los accidentes de circulación se producen, generalmente, en vehículos que circulan con velocidad moderada. Pocos accidentes ocurren a 180 km/h. Quiere esto decir que es más seguro circular a gran velocidad?. 5) En una determinada región del sur de Italia se observó con el paso del tiempo que hubo un fuerte crecimiento de la población al mismo tiempo que aumentó el número de cigüeñas. Significa esto que a los niños los traen las cigüeñas?. Ten en cuenta que la correlación entre dos magnitudes puede deberse al azar o a otras causas. El hecho de que dos variables estén correlacionadas no quiere decir que una sea causa de la otra necesariamente. 288