Arquitecturas de Computadores. 2 Representación de la Información Prof. Javier Cañas R.

Transcripción

1 Arquitecturas de Computadores 2 Representación de la Información Prof. Javier Cañas R.

2 Temario. De la Información 2. Sistemas Numéricos Posicionales 3. Conversión entre Bases Numéricas 4. Introducción a la Aritmética Computacional 5. Códigos

3 De la Información Una de las ideas más recurrentes de nuestro mundo actual es que vivimos en una sociedad de la información, información es poder. Nuestra disciplina se denomina Informática Qué es información?. Cómo se representa? La respuesta está muy lejos de ser simple. Más aún, se ha ido modificando con el tiempo.

4 ... Información Uno de los aportes más novedosos al tema fue realizado por dos chilenos: Francisco Varela y Humberto Maturana quienes elaboraron la llamada Teoría de Santiago. Según esta teoría, la cognición no es la representación de un mundo con existencia independiente, sino un constante alumbramiento de un mundo a través del proceso de la vida.

5 ... Información El lenguaje juega entonces un papel fundamental: La realidad depende del lenguaje. Según Maturana y Varela, No existe una realidad independiente del observador. Lo Real es el misterio de la vida y del universo. La realidad la descubrimos a través de los procesos de comunicación.

6 ... Información Cualquier ser vivo, a través de su propio proceso, va dando luz no al mundo, sino a su mundo, el cual es dependiente de su propia estructura. Los humanos compartimos un mundo abstracto de lenguaje y pensamiento a través del cual creamos juntos nuestro propio mundo.

7 ... Información La idea convencional es que la información está ahí afuera, para ser recogida por el cerebro, pero el significado no reside en el fragmento que extraemos, sino en el contexto que fue extraído. Por ejemplo un semáforo en rojo no dice nada para alguien que no forma parte de nuestra cultura.

8 Representación de la Información Según Maturana y Varela, no existe información en términos absolutos. Existen convencionalismos que representan fragmentos de la realidad y que al estar dentro de contextos culturales les damos sentido.

9 ... Representación Qué significa entonces Procesar información? Para entender mejor este tema diremos que hay distintos espacios, dependiendo de las abstracciones que se hagan.

10 ... Representación Espacio Mental Espacio del Lenguaje Tres! Espacio Tipográfico 3 Espacio Material Computador Bits: La unidad de información es el bit

11 Información Analógica e Información Digital El manejo de la información se suele dividir en procesamiento analógico y procesamiento digital. Un procesador analógico procesa información analógica y un procesador digital procesa información digital. Qué significa esto? - En primer lugar, la representación de ambas informaciones se realiza utilizando señales.

12 Información Análoga La información analógica se representa por señales analógicas y la información digital por señales digitales Una señal se expresa como una función del tiempo. Por ejemplo: g(t)

13 .. Inf. Análoga Cuando g(t) es una función continua en términos matemáticos, se dice que g(t) es una señal analógica. Cada nivel aporta información g(t) t

14 Información Digital Cuando g(t) es una función discreta, se dice que g(t) es una señal digital. Sólo los niveles discretos aportan información. g(t) 4 niveles t

15 Ejemplos Información Analógica: - Señales ECG - Audio - Instrumentos con agujas indicadoras (ej. relojes) Información Digital - Variación del IPC - Instrumentos con indicadores numéricos

16 Observaciones Es importante considerar que en último término, todo es analógico porque físicamente todo es continuo (excepto a nivel atómico). Lo digital se refiere sólo a la forma de procesar, en la cual se enfatiza lo discreto. La información analógica es posible digitalizarla, y la información digital es posible transformarla en analógica (ej. CD DDD)

17 ... Observaciones Por qué conviene digitalizar? - Se evita el error acumulativo de los sistemas analógicos - - Se evita la deriva(drift) es decir, errores introducidos por variaciones térmicas de transistores Se logra reducir los costos (VLSI)

18 2 Sistemas Numéricos Posicionales Por convención el sistema numérico comúnmente usado es el sistema decimal. El sistema numérico decimal es un sistema llamado posicional porque el valor de un dígito depende de la posición en la cual se encuentra. En otras palabras, un número en el sistema decimal corresponde a un polinomio en base

19 El Sistema Decimal Por ejemplo, el número 693 se puede expresar por el polinomio: En general:

20 ... Sistema Decimal {d,d2,...,dm} se denominan dígitos. Los dígitos constituyen los únicos símbolos representables. Si las base es b, existen b dígitos representables. Para la base decimal, estos dígitos son:,,2...9

21 ... Sistema decimal La notación anterior se puede extender a números con punto o coma decimal. Por ejemplo: En general:

22 Sistema binario Si la base b=2, el sistema numérico se denomina sistema binario. El conjunto de dígitos representables es {,}. Este conjunto se denomina bits. Por ejemplo: Para eliminar problemas de interpretación, la base se indica con un subíndice. Por ejemplo 9

23 ... Sistema binario También se puede generalizar para números con punto decimal:

24 Otras Bases Interesantes Si la base b=8, el sistema numérico se denomina sistema octal. El conjunto de dígitos es {,,2,...7}. Por ejemplo: Si la base b=6, el sistema numérico se denomina sistema Hexadecimal. El conjunto de dígitos es {,,2,...9,A,B,C,D,E,F}. Por ejemplo:

25 Las Bases Octal y Hexadecimal Las bases octal y hexadecimal tienen gran importancia en Arquitecturas de Computadores porque permiten representar información binaria en forma compacta. En el lenguaje C se pueden representar constantes octales y hexadecimales: Ejemplo: const int i=56; // el prefijo indica octal const int j=xa9; // el prefijo x indica hexadecimal

26 3 Conversión entre Bases Numéricas Conversión Binaria decimal: Para convertir números enteros decimales en binarios se dividen sucesivamente los cuocientes por 2 y se registran los restos de la división. Por ejemplo: Convertir 9 a binario 9:2=9:2=4:2=2:2=:2= // // // // // Restos El número binario es 2

27 ... Conversión Para simplificar la conversión, la división es mejor hacerla en forma tabular. Por ejemplo: Convertir 9 a binario = 2

28 ... Conversión Para convertir números fraccionarios se multiplica sucesivamente la parte fraccionaria por 2. La parte entera corresponde al número binario Por ejemplo: Convertir.753 a binario.753*2=.56 la parte entera es y se remueve.56*2=.2 la parte entera es y se remueve.2*2=.24 la parte entera es.24*2=.48 la parte entera es El número se puede aproximar a. 2

29 ... Conversión La forma tabular es también en este caso más fácil para convertir números fraccionarios. Por ejemplo: Convertir.75 a binario El número se puede aproximar a. 2

30 ... Conversión La división de números enteros o la multiplicación de números fraccionarios se puede generalizar para la conversión entre cualquier base. Hay que tener en cuenta que la aritmética debe corresponder a la base original.

31 ... Conversión Por ejemplo convertir 478 a base octal. En este caso la aritmética utilizada es decimal El resultado es 736 8

32 ... Conversión Siguiendo con el ejemplo anterior, el número 7368 se puede convertir en decimal evaluando el polinomio correspondiente. Otro ejemplo convertir 478 a base Hexadecimal: El resultado es DE 6

33 Conversión Binario- Hexadecimal-Octal Las bases numéricas que son potencias de dos tienen una interesante propiedad que permite una rápida conversión. Por ejemplo b=8=2 3. También b=6=2 4. En general si b=2 n, basta separar en grupos de n bits y convertir sólo el grupo.

34 Ejemplo Ejemplo, convertir a hexadecimal: A D 6 B Ejemplo, convertir a octal:

35 Observaciones Esta propiedad justifica el amplio uso de números octales y hexadecimales como forma de compactar la representación de números binarios. Usaremos esta representación en los lenguajes de máquina y para expresar códigos. Ejemplo dirección MAC adaptador de red: :6:8:DC:3:CC Se expresa un número de 48b

36 4 Introducción a la Aritmética Computacional Los computadores actuales son binarios. La información que maneja un computador es almacenada en dispositivos de hardware llamados Registros. Se denomina ancho de registro al número de bits que puede almacenar. Los procesadores de tecnología actual tienen registros de ancho 32 bits y 64 bits.

37 Registros Usaremos la siguiente notación para representar registros. Por ejemplo un registro de 6b: Un grupo de 8 bits se denomina octeto. Se denomina Byte a un conjunto de bits que normalmente son un octeto. De aquí en adelante consideraremos que un Byte es equivalente a un octeto. Como notación se usa b para bits y B para Byte. El registro anterior tiene 6b o 2B.

38 ... Registros La información que puede manejar un computador está limitada por el tamaño de los registros. Por ejemplo con un registro de 6b, el mayor entero representable es: Valor máximo= 65535

39 Representación de números negativos Cómo representar números que tienen punto decimal?. Cómo representar números negativos?. La primera pregunta la postergaremos para mas adelante. Tal como se vio anteriormente, los computadores tienen una aritmética que se denomina de precisión finita debido a la limitación que imponen los registros de hardware

40 ... Números negativos Por convención se utiliza el bit más significativo para representar el signo. Los números positivos tienen un cero y los negativos un uno en el bit más significativo. Número positivo Número negativo

41 ... Números negativos Existen tres formas de representar números negativos: - Signo y Magnitud (S-M) - Complemento uno (C-) - Complemento dos (C-2) Los números positivos se representan de la misma forma en las tres formas. Por razones que se explican mas adelante, todos los computadores modernos utilizan Complemento dos.

42 Signo y Magnitud En S-M la magnitud del número corresponde al valor absoluto. Para ejemplificar consideremos un registro de 5b La magnitud es 3, luego vale -3 Cuál es el rango representable en un registro de ancho n?

43 ... Signo y Magnitud Como la representación es finita, conviene representar los números en una circunferencia en vez de una recta infinita. Por ejemplo si el ancho de los registros es 5 bits queda:

44 ...Signo y Magnitud Se puede observar que existen dos ceros: + y -. Como se verá mas adelante esto puede traer serias complicaciones en los cálculos aritméticos En general si el ancho de los registros es n, el rango representable está dado por:

45 Complemento Uno El Complemento de un número se obtiene complementando cada bit. Para ejemplificar consideremos representar el -3 en un registro de 5b Primero se considera +3 Luego se complementa cada bit

46 ... Complemento uno Por ejemplo si el ancho de los registros es 5 bits queda:

47 ...Complemento Uno Se puede observar que al igual que en SM, también existen dos ceros: + y -. En general si el ancho de los registros es n, el rango representable está dado por:

48 Complemento Dos El Complemento 2 de un número N en un registro de ancho n se obtiene calculando 2 n -N. Para ejemplificar consideremos representar el -3 en un registro de 5b: Número en C-2

49 ... Complemento dos Una forma más fácil de obtener el C-2 es calcular el C- y después sumar uno. Para ejemplificar consideremos representar el -3 en un registro de 5b 3 + C- de -3 Número en C-2

50 ... Complemento Dos Por ejemplo si el ancho de los registros es 5 bits queda:

51 ... Complemento Dos Se puede observar que en este caso sólo hay una representación para el cero. Esto significa una asimetría en las representaciones ya que el valor absoluto del máximo número negativo, es mayor que el máximo positivo En general si el ancho de los registros es n, el rango representable está dado por:

52 Sumas de Registros Primero consideraremos sumas en C-2 ya que es el caso más frecuente en los procesadores actuales. Para sumar en C-2 se suman los números en forma binaria. La única precaución se debe observar al sumar números que tienen el mismo signo ya que podría ocurrir rebalse (overflow). Esto significa que el resultado no cabe en los bits disponibles en el registro.

53 Sumas binarias Carry salida Carry salida Carry entrada + + No hay carry de entrada y se genera carry de salida Hay carry de entrada y se genera carry de salida

54 Ejemplos Ejemplo: 8+ (-3) en registros de ancho 5b en C-2 Resultado en C-2

55 Sumas de Registros: Overflow Ejemplo: 8+ 9 en registros de ancho 5b Cambió el signo! Se genera carry Se genera carry que entra a la última etapa

56 Detección de overflow Para detectar overflow en C-2 hay que observar el carry que entra al bit de signo y el carry que se genera en el bit de signo. Ocurre overflow cuando ambos carry son diferentes. Las unidades aritmética de procesadores tienen lógica que permite detectar automáticamente esta situación.

57 Sumas en Complemento Uno Si bien no hay procesadores modernos que usen C-, estas sumas son usadas en algoritmos de detección de errores en transmisión de datos (Checksum IP). Ejemplo: 8+ (-3) en registros de ancho 5b.

58 Ejemplo en C- + End Around Carry Resultado en C-

59 Punto Flotante La aritmética que soporta números como por ejemplo se denomina Punto Flotante porque representa números para los cuales el punto decimal no está fijo como los enteros. Cualquier computador construido después de 98 adopta el estándar IEEE 754.

60 Notación Científica decimal point! exponent! Sign, magnitude! 23! -24! 6.2 x.673 x! Mantissa! Sign, magnitude! radix (base) IEEE F.P. ±.M x 2! e - 27!

61 Representación IEEE 754 Precisión Simple Representación en el estándar IEEE 754 :! precisión simple! El exponente actual es:! e = E - 27! sign!! 8! 23! S! E! M! exponent:! excess 27! binary integer! < E < 255! S! E-27! N = (-) 2 (.M)! = =...! mantissa:! sign + magnitude, normalized! binary significand w/ hidden! integer bit:.m!

62 ... Representación IEEE 754 La magnitud de los números que se pueden representar están en el rango: (.) a 2 27 (2-2 ).8 x -38 a 3.4 x 38

63 Ejemplo Representar el número -.75 en punto flotante precisión simple. - Sol. El número -.75 es -3/2 2, o sea -2/2 2 o también Este número en notación científica es: -. 2.x2. - Normalizando queda: -. 2.x2 -.

64 ... Ejemplo Como la representación en precisión simple es: (-) S x (+Mantisa) x 2 (E -27) El exponente se representa en exceso 27, lo que significa sumar 27 al exponente actual. Por lo tanto queda: E=27-=26 El resultado es: (-) x (+.2)x2 (26-27)

65 ... Ejemplo bit 8 bit 23 bit

66 5 Códigos Un código es una relación entre dos conjuntos de símbolos. El dominio es un conjunto arbitrario, por ejemplo letras, símbolos gráficos, números. El codominio es un conjunto de strings de bits.

67 ... Códigos Los códigos son un pilar fundamental de los Sistemas de Computación. La Teoría de Códigos es la disciplina que estudia sus propiedades. a Dominio Codominio B

68 El Código BCD Cómo representar el número 995? Una solución es convertirlo a binario: 995 = 2 La dificultad de este método es que se dificulta la entrada de datos porque es necesario convertir. La conversión se hace cuando se conoce el número completo.

69 ... El Código BCD El Código BCD permite una conversión fácil entre números decimales y binarios. Es útil en teclados numéricos Decimal BCD Decimal BCD Ejemplo: 29=

70 El Código Gray El Código Gray tiene interesantes propiedades que se utilizarán en el próximo capítulo. El Código Gray se define de la siguiente manera: - Código Gray de un bit= {,} - Dado un Código Gray de d-bits, se puede construir un Código Gray de (d+)-bits haciendo una lista del Código Gray con prefijo, seguido de una lista del Código Gray en orden inverso con prefijo

71 Ejemplo

72 Ejemplo: Código Gray de 3 bits G(i) i Se define el inverso G - (i)=j ssi G(j)=i Ejemplo: G - (6) = G(i)

73 Códigos ASCII y EBCDIC Qué pasa si se desean representar otros símbolos? El código más utilizado es código llamado ASCII (American Standard Code of Information). Otros códigos son el EBCDIC utilizado en algunos terminales IBM

74 Código Hamming El Código Hamming es un código que tiene la capacidad de corregir errores. Se puede ocupar para detectar errores en dos bits o corregir un error simple. Matemáticamente, para un número entero m>2, existe un código con m bits de paridad y 2 m -m- bits de datos.

75 Hamming: Codificación Numerar los bits comenzando con desde la izquierda: Los bits que son potencias de 2 son bits de paridad:

76 ... Codificación Los demás son bits de datos: p p2 p4 p p2 p4 p8 p8

77 ... Algoritmo codificación Los bits de paridad p, p2, p4 y p8 dan paridad a un conjunto de bits: p={,3,5,7,9} p2={2,3,6,7,} p4={4,5,6,7} p8={8,9,}

78 Ejemplo Se desea codificar el mensaje:. Lo primero es ubicar el mensaje en los bits de datos: Se calcula p, p2, p4 y p8: - p={,3,5,7,9}= - p2= {2,3,6,7}= - p4= {4,5,6,7}= - p8= {8,9}=

79 ... Ejemplo La palabra a transmitir es entonces: Supongamos ahora que hay un error en el bit 5:

80 ... Ejemplo Se calcula el or-ex de todos los bits de paridad: - p={,3,5,7,9}= - p2= {2,3,6,7}= - p4= {4,5,6,7}= - p8= {8,9}= El bit errado está en la posición: p8 p4 p2 p= es decir es el quinto bit!

81 Arquitecturas de Computadores 2 Representación de la Información Prof. Javier Cañas R.