Teoremas y métodos generales en el cálculo de circuitos de corriente alterna

Transcripción

1 Teoremas y métodos generales en el cálculo de circuitos de corriente alterna Objetivos 1. Aplicar los teoremas y métodos generales de análisis de circuitos eléctricos, en la solución de circuitos de corriente alterna, utilizando la metodología impartida en el material y el texto. Sumario - Métodos generales y teoremas en corriente alterna Bibliografía básica: Texto. Análisis de Circuitos en Ingeniería William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición Capítulo 10. Epígrafes 10.9, y Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño y Lic. Raúl Lorenzo Llanes. Introducción Como se ha visto, tanto la ley de Ohm como las leyes de Kirchhoff se cumplen en los circuitos para cualquier tipo de estímulo y, por tanto, todos los principios, teoremas y métodos generales de análisis de circuitos lineales estudiados para estímulos de corriente directa que se basan en estas leyes, también son válidos en circuitos lineales con estímulos de corriente alterna, en forma fasorial. En consecuencia, para estímulos de corriente alterna, se continuará trabajando con estos teoremas y métodos generales en términos de impedancias, admitancias y fasores corrientes y tensiones (amplitud o eficaces según el caso). 1

2 Ejemplo 1 a) Determinar la corriente I 2 aplicando el teorema de Thévenin. b) Qué valor debería tener la carga, considerada a la derecha de los puntos a y b, para que en ella se disipe la máxima potencia activa? 1. Hacer el dipolo activo. Cómo se hace el dipolo activo? Se hace quitando la rama a la derecha de los puntos a y b. 2. Cálculo de la tensión de circuito abierto V th = (V ab ) oc. Aplicando divisor de tensión: V 0 =20-180V a) Cómo aplicar el teorema de Thévenin para determinar I 2? 3. Cálculo de la Z th Cómo se calcula? Z Th =15,8-71,6 = 5 - j 15 Ω 4) Circuito equivalente de Thévenin y circuito total con la subred que se había eliminado. Cómo se calcula la corriente pedida? I 2 = 1, A activa? b) Qué valor debería tener la carga para que en ella se disipe la máxima potencia Representando el dipolo activo por medio de su circuito equivalente de Thévenin, el teorema plantea que la potencia activa en la carga es máxima cuando Z = Z * th, por tanto Z = (Z th )*= 5 + j 15 Ω Resumen: Se han empleado las técnicas circuitales ya conocidas, pero fasorialmente (operatoria con números complejos). 2

3 Ejemplo 2 Se muestra el diagrama fasorial (DF) del dipolo pasivo lineal de la figura. La frecuencia es 50 Hz. Determine a) parámetros del circuito equivalente paralelo. b) Represente el triángulo de corrientes c) Calcule las componentes activa y reactiva fasoriales del fasor corriente eficaz d) Qué elemento del circuito equivalente paralelo está asociado a cada componente? De acuerdo con el DF, cuál es la naturaleza predominante del dipolo, inductiva o capacitiva? En consecuencia, cualquier circuito equivalente, de qué tipos de elementos consta? Para hallar el equivalente paralelo, calculamos Z o Y? a) Y = I / V = / = 0, = 0,02 j0,035 S G p = 0,02 S R p = 50Ω y como B L = 0,035 S L p = 0,092H quedando el circuito equivalente como se muestra c) Del DF las componentes de la corriente son: I a = A e I r = 3, A d) Calcule la corriente en cada elemento y demuestre que I a circula por el resistor y I r por el inductor (elemento reactivo). 3

4 Ejemplo 3 Plantear las ecuaciones necesarias para determinar la tensión v o (t) aplicando el método de las corrientes de malla, si v s (t)=10 2 cos (2t) V 1- Cuál es el método general más ventajoso, conveniente, adecuado? Mallas o nodos? B?, n? B =3 y dos nodos n =2. El número de ecuaciones linealmente independientes en cada método: B - n +1 = 2 ecuaciones de corrientes de malla n 1 = 1 ecuación de tensiones de nodo Aunque es factible aplicar el método de las tensiones de nodo, se aplicará el método pedido de corrientes de malla. Pasando a la representación fasorial: X L = 4 Ω, X C = 4 Ω y V s = V 2. Transformaciones para aplicar mallas? No hay. 3. Árbol?, Eslabones? Sentido de referencia de las corrientes de malla? das 4. Forma general del sistema de ecuaciones? Para una red con estímulo de corriente alterna Z 11 I m 1 + Z 12 I m 2 = Σ V 1 Z 21 I m 1 + Z 22 I m 2 = Σ V 2 Calculando los coeficientes del sistema de ecuaciones: Z 11= 4 + j2 Ω, Z 12 = Z 21 = - j2 Ω, Z 22= 4 + j2 Ω, V 1 = V, V 2 = 0V El sistema de ecuaciones es: (4 + j2 ) I m 1 - j 2 I m 2 = j2 I m 1 + (4 + j2 ) I m 2 = 0 Resolviendo: I m 2 = 0, A I 0 = I m 2 = 0, A Aplicando ley de Ohm: V 0 = 4 I 0 = 3, V La respuesta es: v 0 (t)= 5cos(2t ) V Resumen: Necesidad de plantear el circuito fasorialmente, y el resto es similar a lo aprendido en corriente directa pero trabajando con números complejos en lugar de números reales. 4

5 Conclusiones La aplicación circuital de los métodos generales y teoremas en corriente alterna es esencialmente igual que en el caso de las redes resistivas. Si se quiere plantear el sistema de ecuaciones necesarias para determinar la tensión V RL aplicando el método general más adecuado, qué se debe hacer? 1- Cuál es el método general más ventajoso, conveniente, adecuado? Mallas o nodos? Se selecciona el método de los de nodos. 2. Transformaciones para aplicar nodos? Se unen los puntos equipotenciales y se transforman las fuentes reales de tensión en fuentes reales de corriente 3. Nodo de referencia? El nodo de referencia o tierra (potencial cero), se selecciona arbitrariamente. En este caso seleccionamos el potencial de referencia cero, y V RL = V 1. El circuito queda como se muestra. 4. Forma general del sistema de ecuaciones? Y 11 V 1 - Y 12V 2 - Y 13V 3 = I 1 - Y 21V 1 + Y 22V 2 - Y 23V 3 = I 2 - Y 31V 1 - Y 32V 2 + Y 33V 3 = I 3 En este caso de 1 solo nodo Y 11 V 1 = I 1 Y 11 = 1/2 + 1/(1+j3) + 1/(-j4) = 0,6 - j 0,05 S = 0,602-4,76 0 S Sustituyendo: 0,602-4,76 0 V 1 = , V x Poniendo V x en función de V 1, por divisor de tensión en la red original: V x = V 1 (1/(1+ j3)) Sustituyendo y resolviendo V 1 =14,7 157,6 0 V y V RL =14,7 157,6 0 V Resumen: Se han empleado las técnicas circuitales ya conocidas, pero ahora fasorialmente (operatoria con números complejos). Orientaciones para el trabajo independiente Estudie la bibliografía señalada, Capítulo 10. Epígrafes 10.9, y Ejemplos 10.7 y Prácticas y Ejercicios 53, 55, 57. Realice los problemas que se muestran a continuación 1- Calcular la lectura del amperímetro Z 0 = j4 Ω Z 1 = 7 Ω Z 2 = 14 Ω Z 3 = 28 Ω Z 4 = 2- j10 Ω Z 5 = 1+ j 5Ω Respuesta: 10 A Z eq = V 2-Determinar I 6 si: Z 1 = 6Ω Z 2 = -j20ω Z 3 = Z 4 = Z 5 = 12 Ω Z 6 = j 2,5 Ω E= V Observaciones: No simultanee ecuaciones innecesariamente. 5

6 Piense como calcular I 6 sin alterar la rama de la incógnita. Si no se le ocurre algo, piense en algún teorema útil y en transformaciones de fuentes reales y después.. 3-Sabiendo que E = V, calcule la corriente I a aplicando el método general más adecuado. Respuesta: nodos V 2 = V 3 = V I 3 = 0 A 4- Se sabe que V 1 = 40V y que V 2 = 50V. La primera tensión retarda a la 2da en 90 0 Z 1 =2 - j4 Ω Z 2 =2 + j4 Ω Z 3 = j5 Ω Z 4 = j10 Ω Z 5 = -j 5 Ω Calcule las lecturas de los amperímetros Observaciones: en este caso piden todas las corrientes y se justifica la aplicación de un método general. Por supuesto, elija el más adecuado que es Sugerencia: tome V 2 en la referencia Respuesta: nodos 19 A 14,14 A 8,94 A 4,47 10 A Se comenzará el análisis de los conceptos y fórmulas de los distintos tipos de potencia, o conjunto de magnitudes que caracterizan a la transferencia de energía en corriente alterna. Qué es la potencia activa? Qué la reactiva? Qué es la potencia aparente? Qué es el factor de potencia? Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría, CUJAE. Cuba 6