Una nota sobre la fórmula de Taylor

Transcripción

1 Una nota sobre la fórmula de Taylor Ernesto Acosta Gempeler Escuela Colombiana de Ingeniería Universidad Nacional de Colombia Resumen. Usando la formulación de diferenciabilidad a la Carathéodory definimos el concepto de diferenciabilidad de orden superior en un punto sin recurrir a las funciones derivadas. Con este concepto demostramos el teorema de la fórmula de Taylor para funciones n veces diferenciables. Introducción La formulación de derivada a la Carathéodory ha mostrado algunas ventajas que no solamente enriquecen aspectos pedagógicos en la enseñanza del cálculo o el análisis [Kuh] elegancia y simplificación, sino que también ha permitido la generalización de una manera muy natural del concepto de diferenciabilidad a espacios más generales ver por ejemplo [Aco,Del]. De manera abreviada esta formulación dice que una función f es diferenciable en un punto a si el monomio x a se pude factorizar de la diferencia fx fa, y el factor resultante es continuo en a. Generalizaremos aquí el concepto de diferenciabilidad de orden superior de una función en un punto y usaremos éste para demostrar la fórmula de Taylor para funciones n veces diferenciable. Supondremos que el lector está familiarizado con el álgebra de las funciones continuas la suma de funciones continuas es continua, la composición de funciones continuas es continua, etc... 1 Preliminares Comenzaremos por presentar el concepto de diferenciabilidad a la Carathéodory. Todas las funciones a las que nos referiremos aquí estarán definidas en un subintervalo abierto U del conjunto de los números reales R y tomarán valores en R. Definicin 1 Una función f : U R es diferenciable en a U si existe una función φ : U R que satisface las siguientes condiciones 1. fx fa φxx a, 1

2 2. φ es continua en a. La función φ será la función de pendientes de f en a. La relación que existe entre f y φ se puede resaltar al despejar φx en la ecuación anterior. Se obtiene fx fa φx, x a que no es otra cosa que la pendiente de la recta que pasa por los puntos a, fa y x, fx de la gráfica de f. Se concluye inmediatamente de la continuidad de φ en a, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto a, fa existe y que su pendiente es φa, por lo que podemos definir la derivada de f en a como f a φa. La observación anterior muestra que la definición 1 es equivalente a la definición que enseñamos usualmente en los cursos de cálculo. Vista de esta manera, se ve claramente que la diferenciabilidad involucra dos aspectos fundamentales que son la factorización de la diferencia fx fa aspecto algebraico y la continuidad del factor de x a aspecto topológico. Sin embargo, el aspecto más importante de la definición 1 es que no involucra la división por x a, lo que permite, por ejemplo, generalizar de manera casi inmediata el concepto de diferenciabilidad a funciones de R n a R m [Aco,Del], o explicar de forma económica y elegante el teorema de la regla de la cadena. Demostraremos aquí éste último. Obsérvese primero que si f es diferenciable en a, se tiene, por la definición 1, que fx φxx a + fa. Por consiguiente, de la continuidad en a de φ, del monomio x a y de la función constante fa, se obtiene la continuidad de la función f en a. Supóngase que ahora que f es diferenciable en a y que g es diferenciable en fa. Esto quiere decir que fx fa φxx a y que gy gfa ψyy fa, siendo φ continua en a y ψ continua en fa. Por consiguiente, g fx g fa gfx gfa ψfxfx fa ψfxφxx a ηxx a. Como f es continua en a, φ es continua en a y ψ es continua en fa,se tiene que η es continua en a y por ende que g f es diferenciable en a. Además, g f a ηa ψfaφa g faf a, lo que demuestra el teorema de la regla de la cadena. 2

3 2 Diferenciabilidad de orden superior Para poder hablar del polinomio de Taylor debemos primero definir lo que significa que una función es p veces diferenciable en un punto. Inductivamente como es costumbre en estos casos podemos escribir Definicin 2 La función f es p veces diferenciable en a si f es diferenciable en a y φ, la función de pendientes de f en a, es p 1 veces diferenciable en a. Antes de enunciar el teorema de la fórmula de Taylor, hay que señalar que la definición anterior es mucho más débil que la que usualmente aparece en los libros, ya que ésta última requiere la noción de función derivada, por lo que exige la diferenciabilidad de la función en una vecindad del punto a. Resaltamos este hecho exhibiendo un ejemplo de una función que es dos veces diferenciable en cero en el sentido de la definición 2 pero que no lo es en el sentido usual. Consideremos la siguiente función { x 3 si x Q, fx 0 si x R Q. Claramente f es diferenciable en 0 ya que fx f0 { x 2 si x Q, 0 si x R Q. φxx 0, x y φ es continua en 0. Sin embargo, f no es diferenciable en ningún otro punto ya que escasamente es continua en 0,y por lo tanto f no es dos diferenciable en cero en el sentido usual. Pero { x si x Q, φx φ0 x 0 si x R Q. ηxx 0, siendo η continua en 0, por lo que f es dos veces difernciable en 0 en el sentido de la definición 2. Por otro lado, se tiene la siguiente proposición. Proposicin 3 Si f es dos veces diferenciable en a en el sentido usual entonces lo es en el sentido de la definición 2. Demostración. Si f es dos veces diferenciable en a en el sentido usual, se tiene que fx fa f ax a lim 1 x a x a 2 2 f a. 3

4 Por consiguiente, si fx fa φxx a, φx φa ψxx a donde fx fa f ax a si x a, ψx x a 2 1 f a si x a, 2 es continua en a. Se concluye que f es dos veces diferenciable en a en el sentido de la definición 2. 3 La fórmula de Taylor Ahora si podemos enunciar el teorema de la fórmula de Taylor Proposicin 4 Si f es n veces diferenciable en el punto a entonces existe un polinomio p de grado n tal que cuando x a. fx px a x a n 0 Demostración. En efecto, sean φ 0 la función f, φ 1 la función de pendientes de φ 0 en a la que existe pues f es diferenciable en a, φ 2 la función de pendientes de φ 1 en a la que existe pues φ 1 es diferenciable en a,..., y φ n la función de pendientes de φ n 1 la que existe pues φ n 1 es diferenciable en a. Tenemos entonces que φ 1 xx a fx fa φ 1 ax a + φ 1 x φ 1 ax a φ 1 ax a + φ 2 xx a 2 φ 1 ax a + φ 2 ax a 2 + φ 2 x φ 2 ax a 2 φ 1 ax a + φ 2 ax a 2 + φ 3 xx a 3 φ 1 ax a + φ 2 ax a φ n ax a n + φ n x φ n xx a n. En definitiva, fx fa + φ 1 ax a + φ 2 x a φ n x a n + φ n x φ n xx a n px a + φ n x φ n xx a n. 4

5 Por consiguiente, fx px a x a n φ n x φ n a 0 cuando x a por la continuidad de φ n en a. Proposicin 5 Si f es n veces diferenciable en a en el sentido usual entonces f es n veces diferenciable en a en el sentido de la definición 2 y φ n a 1 n! f n a. Demostración. La demostración se hace por inducción e imitando la demostración de la proposición 3; es decir, definiendo φ x fx fa φ 1 ax a φ 1 ax a 1 si x a, x a 1! f a si x a, y demostrando su continuidad. Esto último se puede hace usando el teorema de l Hopital. Referencias [Aco,Del] E. Acosta, C. Delgado, Frechét vs. Carathéodory, Amer. Math. Month., no , [Kuh] S. Kuhn, The derivative a la Carathéodory, Amer. Math. Month., no.1, [Tay] B. Taylor, Methodus incrementorum directa et inversa, Londres, [Lag] J. L. Lagrange, Théorie des fonctions analitiques, Paris, Vol I, 1797, Vol II, [Cau] A. L. Cauchy, Lecons sur le calcul differentiel, Paris, [Kuh] R. Cantoral, Acerca de las contribuciones actuales de una didáctica de antaño: el caso de la serie de Taylor, Mathesis.,

6 El operador h Sea x una función que depende de t definida en una vecindad V de a. El operador h actúa sobre xa de la siguiente manera: h xa xa + h xa siempre y cuando a + h V. Así xa + h xa xa + h y por lo tanto 1 + h xa xa + h. De aquí que 1 + h n xa xa + nh, 1 siempre y cuando nh V. Por otro lado, escribiremos φ 1 a + hh h xa y φ a + hh h φ 1 a. lo que es razonable el mismo razonamiento de Lagrange ya que h xa y h φ 1 a se anulan en h 0. La introducción de φ n es muy conveniente pues permite obtener de manera natural una versión de la fórmula de Taylor. En efecto, xa + v xa + v xa 2 xa + vφ 1 a + v xa + vφ 1 a + v φ 1 a xa + vφ 1 a + v 2 φ 2 a + v xa + vφ 1 a + v 2 φ 2 a + v φ 2 a xa + vφ 1 a + v 2 φ 2 a + v 3 φ 3 a + v. xa + vφ 1 a + v 2 φ 2 a + + v n φ n a + v xa + vφ 1 a + v 2 φ 2 a + + v n φ n a + v n v φ n a 6

7 4 El desarrollo de 1 + h n y la serie de Taylor Por 1 y usando el binomio de Newton, se tiene que xa + nh n hxa nn 1 n + 1! hxa nhnh h nh 1h h xa.! h Si h es el incremento t de la variable independiente, nh v y [a v, a + v] V obtenemos xa + v vv h v 1h h xa! t v + 0h h xa! t v h xa +! t 0h h xa.! t Si hacemos tender n a infinito y bajo hipótesis convenientes de convergencia y difernciabilidad se obtiene xa + v v d xa,! dt que es la serie de Taylor de x alrededor de a. 7

8 5 Relación entre φ n y n hx y la fórmula de Taylor Usando nuevamente el binomio de Newton, 1 y la fórmula de Taylor 2 obtenemos n hxa 1 + h 1 n xa 1 n n 1 + h xa 1 n n xa + h 1 n n {xa + hφ 1 a + + n h n φ n a + h} xa 1 n n + h j 1 n n j φ j a Debido a que +h n 1 n n 1 n n j1 n φ n a + h j 0 para cada j 0, 1, 2,..., n 1 ver Apéndice, tenemos que n hxa h n 1 n n n φ n a + h. Dividiendo por h n a ambos lados y tomando h t, obtenemos n t xa t n 1 n n n φ n a + t. Si hacemos t tender a cero, la igualdad anterior se convierte en d n xa dt n 1 n n n!φ n a n φ n a 3 debido a que 1 n n 8 n n!.

9 ver Apéndice. Usando 2 y 3 podemos escribir la siguiente fórmula de Taylor xa + v xa + v dx dt a + 1 d 2 x 2! dt 2 av d n x n! dt n avn + v n v φ n a 6 Apéndice Mostraremos aquí que 1 n n { 0 si j 0, 1, 2,..., n 1 j n! si j n Para hacer esto introducimos la base {p 0, p 1,..., p n }del espacio de los polinomios de orden n, donde p 0 x 1 y p j x j 1 m0 Obsérvese que cada poinomio p j tiene grado j y que x m. p j { 0 si 0, 1, 2,..., j 1 j! si j. Por ser una base podemos encontrar números a 0,..., a j 1, a j tales que x j a j p j x + a j 1 p j 1 x + + a 0 p 0 x 4 No es difícil ver que a j 1 y que a 0 0. Por otro lado, evaluando en x 1 el polinomio x 1 n 1 n n x y sus derivadas p j nx 1 n j 1 n n j p j x j para j 1, 2,..., n, se obtienen las fórmulas 1 n n j { 0 si j 0, 1, 2,..., n 1 p j n! si j n 9

10 Usando 5 tenemos que 1 n n j j 1 n n a m p m m0 j a m 1 n n p m j a m 1 n n p m m0 m0 m { 0 si j 0, 1, 2,..., n 1 n! si j n que es lo que queríamos mostrar. 10