Diagnóstico sobre conocimientos y competencias matemáticas básicas de estudiantes de primer ingreso de Ingeniería en un curso de Cálculo

Transcripción

1 Página 1 de 19 Diagnóstico sobre conocimientos y competencias matemáticas básicas de estudiantes de primer ingreso de Ingeniería en un curso de Cálculo Juan Manuel Estrada Medina Introducción A qué se debe o por qué el énfasis en el aspecto operacional en la enseñanza del cálculo? Cuál es la naturaleza de las dificultades que muestran de manera recurrente en el aprendizaje del Cálculo, particularmente en algunos conceptos fundamentales y la

2 resolución de problemas? Página 2 de 19 Introducción Qué es conocido o conjeturado acerca de las razones de estas dificultades recurrentes en el aprendizaje del Cálculo?, es debido a los prerrequisitos o conocimientos previos? Hasta qué punto el tipo de enseñanza actual que se imparte contribuye a estas dificultades? Qué concepciones de Cálculo subyacen en los enfoques o los métodos de enseñanza y el aprendizaje del Cálculo? Hasta qué punto dichos problemas son específicos al Cálculo o de las Matemáticas en general? Propósitos La meta del presente trabajo fue indagar acerca del tipo de conocimientos y competencias matemáticas básicas que poseen los alumnos de primer semestre de

3 Ingeniería cuando inician un curso de Cálculo Referentes conceptuales Los recursos son una especie de inventario acerca de lo que un individuo sabe o conoce sobre un área de estudio, por ejemplo, ideas, conceptos, habilidades, estrategias y experiencias previas (Schoenfeld,1985). Qué significa entender?, y en particular qué significa entender el concepto de función y de razón de cambio? El entendimiento Página 3 de 19

4 El entendimiento de una idea o concepto matemático pasa por ciclos o por etapas. Durante este proceso se presentan obstáculos o saltos de diversa naturaleza cuando se pasa de un conocimiento antiguo a uno nuevo Categorías: Identificación, discriminación, generalización y síntesis Página 4 de 19 Un ejemplo: El concepto de Función Formalmente: un conjunto de tripletas (X, Y, f) donde X, Y son conjuntos y f es una regla que asocia a cada elemento de X uno y sólo un elemento de Y Como dependencias entre variables o cantidades que cambian (ejemplos: la distancia cubierta por un móvil es una función del tiempo y la velocidad o el precio de un producto es una función de la oferta de dicho producto en el mercado.

5 Una Transformación: T(x) = y Página 5 de 19 EL Cálculo como matemática del cambio Concepción del Cálculo: El cambio es una percepción directa, así, el Cálculo se puede ver como una matemática que permite describir, analizar y anticipar procesos de variación, que difiere de conceptualizar el Cálculo como un sistema formal. Una cuestión medular del Cálculo: Cómo medir (cuantificar) el cambio o la variación de una cualidad de un objeto o fenómeno, en particular su movimiento Una competencia importante Tarea educativa: Enseñar a los jóvenes a que aprendan a identificar y observar dependencias entre variables en el mundo circundante y saber representarlas o modelarlas

6 (gráfica, tabular y algebraicamente) Página 6 de 19 Revisión de literatura Dificultades en lectura o interpretación de gráficas que involucran variación: rapidez vs tiempo, o posición vs tiempo de dos autos. Conflictos: Respuestas puntuales y descripción del movimiento ( ej., en los puntos en donde se intersecan las gráficas y comparación de las velocidades con base en las gráficas de posición vs tiempo) Revisión de literatura

7 Propensión: la interpretación literal Se muestra un dibujo con vista de perfil de un ciclista subiendo y bajando una colina. La tarea: trazar una gráfica de rapidez vs. posición que representara el viaje del ciclista El 50% de los alumnos dibujaron gráficas que se asemejaban a las características visuales sobresalientes de los contornos de la colina Metodología Enfoque cualitativo Participantes: 52 alumnos de Página 7 de 19

8 Ciencias Básicas de la Facultad de Ingeniería de primer semestre con edad promedio de 19 años, que ya habían cursado la asignatura de Cálculo. Diseño de un instrumento (cuestionario) para recolectar información Características del instrumento El tipo de tareas (ocho): actividades de reconocimiento de variables o de dependencias funcionales y de lectura e interpretación de gráficas e información dada en forma tabular, que involucraban las Página 8 de 19

9 Página 9 de 19 nociones de tasa o razón de cambio dada en forma gráfica o verbal. Relacionar enunciados verbales de cierto tipo de movimientos con representaciones gráficas Tareas utilizadas. Análisis y discusión de resultados Tarea 1. Tiempo (seg) Rapidez (m/seg)

10 10 0 Página 10 de 19 Análisis y discusión de resultados Proporcionar una descripción sobre el movimiento del automóvil. Explicar qué tipo de movimiento es. Identificar si hay una función en la situación descrita Responder preguntas específicas relacionadas con el movimiento del auto, en particular, sobre la distancia recubierta total por el auto Comportamientos más sobresalientes de los alumnos en la tarea 1

11 La rapidez disminuye conforme el tiempo se incrementa. Conforme aumenta el tiempo disminuye la velocidad y el movimiento sesa a los 10 segundos. Otro grupo de alumnos mostró otros matices en sus explicaciones, por ejemplo: El movimiento del auto es irregular porque no depende del tiempo, la rapidez entre menos tiempo hay mayor rapidez y lógicamente. Reconocimiento de una función Página 11 de 19 La gran mayoría respondió de manera afirmativa, sin embargo, dichas respuestas fueron con el monosílabo sí Tipo de respuestas: Sí porque la rapidez disminuye (ilegible) cambia en función del tiempo. Sí, puede haber varias funciones colocando la velocidad en función del tiempo. Sí, pero es del tipo parábola. Sí, cuando el tiempo tiende a 0. Sí, pero no la encontré.

12 No identifican una función Página 12 de 19 No, porque no es proporcional. No porque este problema no creo que la necesite porque está descrito muy sencillo. No hay función porque la variable x no tiene valor. Respuestas sobre la distancia recorrida 0, 50 m, 20 m, 100 m. 75 m, 5 m, 200 m, 500 m y 112 m. Comentario: En general, los resultados anteriores no estaban acompañados de un procedimiento. Algunos alumnos sí escribieron algunos procedimientos que indicaban cómo habían determinado la distancia, sin embargo, en todos los casos la respuesta fue incorrecta. Por ejemplo, el de 50 m, simplemente lo obtuvieron sumando los números que aparecían en la segunda columna de la tabla (rapidez)

13 Tarea 2 Página 13 de 19 Sea f(x) una función y considere el intervalo [x, x + h]. Cuál es el significado de [f(x+h) f(x)]/h? Comentario: La gran mayoría no la contestaron Sólo 6 alumnos la asociaron con la Derivada. Ejemplos de estos comportamientos son: Es la regla general de derivación si la h es diferente si no el resultado es igual a uno Es la fórmula para sacar una derivada para que en el cociente no quede cero Solamente dos alumnos la interpretaron con una razón de cambio: es la razón de cambio: es la razón de cambio de la función en un intervalo dado Otro tipo de respuesta fue la siguiente: = Comentario: Un aspecto que llama la

14 atención es que ningún alumno haya dado a la expresión significado geométrico Tarea 6 un La siguiente gráfica representa el comportamiento de la cantidad de agua en un tanque durante 24 horas. En esta actividad, el propósito principal fue que los alumnos se percataran o se fijaran en las diferencias en las formas de las gráficas, es decir, en ciertas partes tienen concavidades diferentes, cuya atención es fundamental para interpretar el llenado y desalojo de agua en el tanque. Tipos de respuesta Página 14 de 19 a) Se puede deber a la demanda que tiene el agua a esas horas. Por ejemplo, de las 20 a las 24 horas, sí hay demanda pero únicamente para llenar el tanque, en cambio entre las 0 y las 6 horas igual se va llenando pero previamente ya está lleno, porque entre las 20 y las 24 horas se llenó hasta donde empieza a las 0 horas.

15 b) Pueden ser varios factores que alteran las condiciones del agua puede la vaporisación del agua en la tarde. c) En que es una gráfica discontinua, ya que cambio porque entre las 18 y las 19 se corta al disminuir el agua. Otro tipo de respuestas a) A que de 0 a 6 se podría decir que el tanque lo comenzaron a llenar desde 40 a 100 y lo llenaron uniformemente y con rapidez y de 20 a 24 comenzaron a llenar desde 0 y no fue uniforme. b) En que el primer periodo, los litros se almacenaron de mayor a menor rapidez y en el segundo los litros se incrementaban de menor a mayor rapidez. c) De las 0 a las 6 empieza un poco rápido y termina lento y de las 20 a las 24 empieza lento y va aumentando la velocidad. Son como pedazos de una misma parábola en diferente posición. Comentario En general las respuestas dadas Página 15 de 19

16 Página 16 de 19 C D E por los alumnos no se basan o se fijan en las concavidades de la gráfica y tampoco utilizan o recurren a la tangente en los diferentes intervalos para interpretar el fenómeno de llenado y desalojo de agua en el tanque. Tarea 8: La montaña rusa F G i. Hacer una descripción verbal de cómo cambia la velocidad del carrito durante todo el recorrido. Trazar una gráfica de velocidad vs. tiempo que represente estos cambios. ii. A

17 B Página 17 de 19 Tipo de respuestas de B a C la velocidad aumenta de C a D la velocidad es lenta y disminuye de D a E la velocidad es rápida y constante de E a F la velocidad es lenta y diminuye gradualmente de F a G la velocidad es lenta y constante Comentario: un grupo representativo de alumnos confundió el dibujo con la representación gráfica del objeto en movimiento Conclusiones Considerando las evidencias en este estudio sobre los comportamientos mostrados por los alumnos en la interacción con las tareas contenidas en el cuestionario, se puede afirmar que los conocimientos y competencias

18 Página 18 de 19 matemáticas que poseen estudiantes de Ingeniería de primer semestre al inicio de un curso de Cálculo son notoriamente deficientes. Conclusiones Particularmente, en algunos conceptos relevantes como el de función y razón de cambio y sobre todo, en las capacidades de lectura o interpretación de información ya sea dada en forma tabular, verbal o gráfica y de traducción de un contexto a otro diferente. Por ejemplo, pasar de un registro gráfico de velocidad vs. tiempo al

19 Página 19 de 19 registro gráfico de posición vs. tiempo o viceversa.