El mètode símplex (I)

Transcripción

1 Programació lineal Programació no ve de programa d ordinador El terme programació es va inventar abans que eistissin els ordinadors Hom parla de programar la producció d una empresa, les compres i les vendes, etc El mètode clàssic i més comunament utilitzat per problemes de programació lineal és el mètode símple

2 El mètode símple (I) Símple va ser desenvolupat al 947 per George Dantzig, membre del US Air force És el resultat de l esforç fet per l eèrcit dels USA durant la na guerra mundial, per aconseguir una programació efectiva dels recursos El desenvolupament del mètode símple va constituir un pas revolucionari en el seu moment

3 El mètode simple (II) Diversos investigadors han estat guardonats amb el Premi Nobel per contribucions basades en la programació lineal i l ús del mètode símple Durant els anys 7, el 75% de problemes d optimització resolts per empreses dels USA eren problemes de PL Un punt fort del mètode símple és que permet portar a terme l anàlisi de sensibilitat dels paràmetres del model

4 Problema 3 3 Una empresa alimentària oferei dues mescles diferents de fruits secs per a aperitius El producte Mescla-A conté un % (en massa) d ametlles, un % de pistatos, un 5% de nous i un 55% de cacauets El producte Mescla-B conté un % d ametlles, un % de pistatos, un 5% de nous, i un 45% de cacauets Un client vol utilitzar en el seu aperitiu una nova mescla que contingui com a mínim 4 lb d ametlles, 5 lb de pistatos, i 6 lb de nous Si els costs dels productes Mescla-A i Mescla-B són de 5 Euros/lb i 3 Euros/lb, respectivament, determina les quantitats de Mescla-A i de Mescla-B que cal utilitzar per a preparar la nova mescla amb un cost mínim

5 Problema 3 () Objectiu del problema: hi ha productes, Mescla-A i Mescla-B Cal determinar les quantitats òptimes que cal comprar de cada producte, és a dir, les quantitats que minimitzin el cost de compra Variables de disseny: =quantitat (lb) que cal comprar de Mescla-A =quantitat (lb) que cal comprar de Mescla-B

6 Esquema Problema 3 Mescla A Ametlles Producte Pistatos Nous Mescla B Cacauets Podem entendre el procés com un problema de conservació de matèria on, a més, tenim un objectiu (minimitzar costs)

7 Problema 3 (3) Funció objectiu: Minimitzar Cost Compra (Euros) Restriccions: ( ), = f Quantitat mínima d ametlles (4 lb) Quantitat mínima de pistatos (5 lb) Quantitat mínima de nous (6 lb) Les variables, han de ser positives

8 Problema 3 (4) Minimitzar ( ), = f Ametlles Pistatos Nous Cacauets Preu (E/lb) % Mescla-A % Mescla-B Quantitat mínima (lb)

9 Problema 38 Composició màssica percentual Fertilitzant Cost prod (E/tona) Preu venda (E/tona) Nitrats Fosfats Potassa Base inerta A B C 45 6 D Nitrats Fosfats Potassa Base inerta Preu (E/tona) 5 5 Disponibilitat (tones/setmana) 5 - Producció mínima (tones/setmana) A B C D

10 Esquema Problema 38 Nitrats A Fosfats Potassa Fabrica de fertilitzants B C 3 Base inerta D 4 Podem entendre el procés com un problema de conservació de matèria on, a més, tenim un objectiu (maimitzar guanys)

11 Problema 38 () Variables de disseny: = producció setmanal de fertilitzant A = producció setmanal de fertilitzant B 3 = producció setmanal de fertilitzant C 4 = producció setmanal de fertilitzant D Objectiu: maimitzar guanys Guanys = vendes - costs producció - costs matèries primeres

12 Problema 38 (3) Composició màssica percentual Fertilitzant Cost prod (E/tona) Preu venda (E/tona) Nitrats Fosfats Potassa Base inerta A B C 45 6 D Vendes ( E / setmana) = Costs Prod ( E / setmana) = Per a calcular els costs de les matèries primeres, cal avaluar quant en necessitem de cadascuna en funció dels nivells de producció de cada tipus de fertilitzant (següent transparència): 4 4

13 Problema 38 (4) Composició màssica percentual Fertilitzant Cost prod (E/tona) Preu venda (E/tona) Nitrats Fosfats Potassa Base inerta A B C 45 6 D Nitrats consumits (tones/setmana) = Fosfats consumits (tones/setmana) = Potassa consumida (tones/setmana) = Base inerta consumida (tones/setmana) =

14 Problema 38 (5) Nitrats Fosfats Potassa Base inerta Preu (E/tona) 5 5 Disponibilitat (tones/setmana) 5 - Cost matèries primeres (Euros/setmana) = 5( ) +5( ) +( )+( ) Cost matèries primeres (Euros/setmana) = Guanys (E/setmana) = (35--55) +(55-5-3) +(45-- 4) 3 +( ) 4 =

15 Problema 38 (6) Maimitzar Guanys (E/setmana) = Nitrats Fosfats Potassa Base inerta Preu (E/tona) 5 5 Disponibilitat (tones/setmana) Restriccions: Disponibilitat de matèries primeres Produccions mínimes per contracte Variables positives:,, 3, 4

16 Conceptes bàsics Qualsevol funció lineal en és a la vegada còncava i convea en tot el domini d Un òptim local d un problema de PL és forçosament un òptim global del problema En problemes de PL, les condicions de KKT són, a més de necessàries, suficients Per a un problema de PL amb n variables i m restriccions (m>n), la condició (6) de KKT porta a: f m ( * ) * * = g ( ) m i = v i c j vi Ai, j; i =,,, m = = i i

17 Problema 3

18 Problema 3 + = + =

19 Problema 3 c b a d + = + =

20 Dualitat del model de PL ( ) + = j j j i i i i j j j A b c L,, υ υ ( ) + = i i j i j j j i i i A c b L υ υ υ,,

21 Dualitat del model de PL () Si el problema primari té un òptim, el problema dual té un òptim amb idèntic valor de la funció objectiu Si el problema primari és de maimització, el dual és de minimització, i viceversa El model dual del model dual és el model primari original Si el problema primari és no factible, el problema dual és no acotat, i viceversa

22 PROBLEMA 3 Model primari M odel dual v v v g g v v v g g v g g v g g v g g v v v Maimitzar f f Minimitzar 3 5 : : 5 5 : : : : : 5 : : 4 : = + =

23 Problema 3 Minimitzar f= =4 (g) =6 (g3) + =5 (g)

24 Problema 3 Minimitzar f= =4 (g) =6 (g3) + =5 (g)

25 Problema 3 Minimitzar f= = = =

26 Problema 3 Minimitzar f= =4 (g) =6 (g3) + =5 (g)

27 Problema 3 Minimitzar f= =4 (g) =6 (g3) + =5 (g)

28 Problema 3 Minimitzar f= =4 (g) =6 (g3) + =5 (g)

29 Avantatges del mètode símple/dual Inicialització més fàcil; és més senzill trobar un vèrte inicial factible A cada iteració hom treballa amb matrius nn en lloc de mm (sovint tindrem m>n, però aquí m no inclou les equacions de restricció de signe) Es fan eplícites les condicions de KKT aplicades al problema primari No cal introduir variables slack al model primari

30 Problema 34 Minimitza f 3 i = 3 ( i, ), = 6 S O L V E S U M M A R Y MODEL minim OBJECTIVE f TYPE LP DIRECTION MINIMIZE SOLVER CPLEX FROM LINE 6 **** SOLVER STATUS NORMAL COMPLETION **** MODEL STATUS 3 UNBOUNDED

31 Minimitzar f= = 6 (g) - = (g)

32 Problema (?) Un cas no factible Maimitza f = + 6 i + 3 ( i, ), = 3 S O L V E S U M M A R Y MODEL maim OBJECTIVE f TYPE LP DIRECTION MAXIMIZE SOLVER CPLEX FROM LINE 6 **** SOLVER STATUS NORMAL COMPLETION **** MODEL STATUS 4 INFEASIBLE

33 Maimitzar f= = - (g) = -3 (g)

34 El Problema (?) és el dual del Problema 34! Minimitza 3 i f = 3 6 ( i, ), = Maimitza i + 3 f = + 3, = ( i, ) 6 Dual Maimitza f υ υ i + 3υ υ υ 3 ( i, ), = = υ + 6υ Són el matei

35 No acotat / No factible Un vèrte que sigui a la vegada factible en el model dual i en el model primari complei les condicions de KKT, i per tant és un òptim del problema de PL Si el problema primari és no-acotat, hi pot haver diversos vèrtes factibles Com que en un problema no-acotat no hi ha òptim, cap d aquests vèrtes factibles en el model primari pot ser a la vegada factible en el problema dual Si pel problema no-acotat no pot eistir, doncs, aquesta coincidència de vèrte factible primari/dual, l única manera (general) d evitar-ho és que el problema dual d un problema no-acotat sigui nofactible (i viceversa: el primari és el dual del dual!)

36 Problema 3 3 b b f* b b, b, b 3

37 Problema 3 f * c c c, c