Tema 4. L elecció del consumidor. Montse Vilalta Microeconomia II Universitat de Barcelona

Transcripción

1 Tema 4. L elecció del consumidor Montse Vilalta Microeconomia II Universitat de Barcelona

2 Introducció Volem estudiar quina és l elecció òtima del consumidor, donades les seves referències, els reus i la seva renda. Preferències + ELECCIÓ ÒPTIMA Conjunt ressuostari 2

3 Dos enfocaments PRIMAL max u( x, x ) x, x s.a x x m 1 2 DUAL min x, x x 1 2 s.a u( x, x ) x u Funció de demanda ordinària o marshalliana x x (,, m) i x x (,, m) * * Funció de demanda comensada o hicksiana x x (,, u) i x x (,, u) h* h h* h Funció d'utilitat indirecta V u( x, x ) V (,, m) * * Funció de desesa E*= x x E(,, u) h * h* 1 2 3

4 Enfocament rimal La maximització de la utilitat 4

5 Enfocament rimal: gràficament Es tracta d escollir la cistella referida entre totes les cistelles assequibles (maximitzar la utilitat donada la RP). CAS 1: Preferències estrictament convexes i restricció lineal. La cistella òtima és aquella cistella de la recta ressuostària on la CI i la RP són tangents. Bé 2 Interretació econòmica de la condició de tangència: a la cistella òtima es comleix que la RMS és igual al CO. 5 X Y Bé 1 Fixeu-vos també que en aquest cas només hi ha una cistella òtima.

6 Enfocament rimal: gràficament CAS 2: Béns substitutius erfectes i restricció lineal. Bé 2 RMS > CO Bé 2 RMS < CO X X Bé 1 Bé 1 Bé 2 RMS = CO Quan la RMS és diferent al CO, només hi ha una cistella òtima, i és un òtim de cantonada. Fixeu-vos que en aquest cas la cistella òtima no comleix la condició de tangència. 6 Bé 1 Quan RMS=CO, llavors tenim molts òtims. En aquest cas es comleix la condició de tangència.

7 Enfocament rimal: gràficament CAS 3: Béns comlementaris erfectes i restricció lineal. Bé 2 X Només hi ha una cistella òtima. Es comleix en aquest cas la condició de tangència? Per què? Bé 1 7

8 Enfocament rimal: gràficament CAS 4: Preferències no convexes i restricció lineal. Bé 2 X Quina és la cistella òtima? En quines cistelles es comleix la condició de tangència? Y Bé 1 8

9 Enfocament rimal: gràficament CAS 5: Preferències estrictament concaves Bé 2 X Y Quina és la cistella òtima? En quines cistelles es comleix la condició de tangència? Bé 1 Es comleix la condició de tangència en la cistella òtima? 9

10 Enfocament rimal: Observacions Si les referències són estrictament convexes, llavors la condició de tangència ens indica quina és la cistella òtima. Si les referències no són estrictament convexes, la condició de tangència es ot comlir en cistelles no òtimes. Si les referències són estrictament convexes, llavors odem assegurar que només hi ha una cistella òtima. En qualsevol cas, observeu que en la cistella òtima la CI i la RP no es creuen, semre es toquen erò mai es creuen. Ara bé, no semre que es toquen sense creuar indiquen que la cistella és òtima (ex: vegeu cistella Y de la àgina 9). 10

11 Enfocament rimal: anàlisi matemàtic Suosa que les referències són estrictament convexes. El roblema matemàtic a resoldre és el següent: max u( x, x ) x, x s.a x x m 1 2 De totes les cistelles que satisfan la restricció ressuostària volem trobar aquella cistella (x 1,x 2 ) que dóna el nivell d utilitat màxim. Dos mètodes er resoldre el roblema: 1) Substituir x 2 a la funció objectiu. 2) Mètode de Lagrange. 11

12 1) Substituir x 2 a la funció objectiu m De la RP trobem: x x Substituïm a la funció objectiu. m max u x, x CPO: du u u dx dx x x dx x Fixeu-vos que de la RP sabem que. Aquesta equació ens dóna la x òtima. * 1 dx dx Si substituïm x a l'exressió de x, trobem la x. * * 2 12

13 2) Mètode de Lagrange Escrivim el Lagrangià: L u( x, x ) ( x x m) CPO : 1 2 L u 0 u x x L u u 2 0 x x x L x x x m

14 Solució matemàtica Tots dos mètodes ens orten a la mateixa solució. La cistella òtima és aquella (x 1,x 2 ) que satisfà les següents equacions: Recta ressuostària. Condició de tangència. Identifica les dues equacions a les solucions matemàtiques que hem trobat anteriorment. Mètode Lagrangià: λ és el multilicador de Lagrange. El seu valor ens indica com varia la nostra utilitat si augmentem la renda (m) en una unitat. 14

15 Funció de demanda ordinària L elecció òtima dels béns 1 i 2 donats uns reus i una renda determinats s anomena cistella demandada el * * consumidor. x1 i x2. En general, quan varien els reus i la renda, també varia l elecció òtima del consumidor. La funció de demanda ordinària (o marshalliana) és aquella que relaciona l elecció òtima amb els diferents valors dels reus i les rendes. Les funcions de demanda ordinària deenen tant dels reus com de la renda. X 1 ( 1, 2,m) i X 2 ( 1, 2,m). Cada referències ortarà a funcions de demanda diferents. 15

16 16 Exemle: cas Cobb-Douglas Hem vist gràficament i analíticament que en aquest cas l elecció òtima satisfà la RP i la Condició de tangència. u( x) RMS x x 2 3 UMg 2x x 2x UMg x x x Condició de tangència: x 2 1 RMS=CO: 2x2 2 3x1 1 3x Recta ressuostària: x x m x m x Solucionem les dues equacions. 2 m x 3x x * m * 3m i x2. 5 5

17 Exemle: substitutius erfectes De l anàlisi gràfic (àgina 6), odem derivar les següents funcions de demanda: x m si RMS > 0 si RMS * m [0, ] si RMS 1 1 x 0 si RMS > m si RMS * m [0, ] si RMS

18 18 Exemle: comlementaris erfectes De l anàlisi gràfic (àgina 7), veiem que l elecció òtima estarà semre al vèrtex de la CI. A més estarà sobre la recta ressuostària. Aquestes dues condicions determinen l elecció òtima. Matemàticament: u( x) min ax, bx Vèrtex ax bx RP x x m 1 2 Solució (substituïnt): x bm i am * * b1 a2 b1 a2 x

19 Exemle: béns neutrals i mals L individu es gastarà tota la renda en el bé que li agrada i no comrarà gens del bé neutral o mal. Si el bé 1 és el bé i el bé 2 és neutral o mal, llavors tindrem que x 1 *=m/ 1 i x 2 *=0. 19

20 Funció d utilitat indirecta Donades les funcions de demanda ordinàries odem determinar quin és el nivell màxim d utilitat assequible el consumidor er a cada nivell de reus i renda. Només hem de substituir les funcions de demanda a la funció d utilitat. La funció d utilitat indirecta V és la funció que relaciona els diferents nivells de reu i renda amb el nivell d utilitat màxim assolible donats aquests reus i renda. V( 1, 2,m)=u(x 1 ( 1, 2,m),x 2 ( 1, 2,m)) Exercici: determina la funció d utilitat indirecta el cas de béns comlementaris erfectes (àgina 18) i el cas Cobb-Douglas (àgina 16). 20

21 La identitat de Roy Si coneixem la funció d utilitat indirecta odem trobar les funcions de demanda ordinàries. Com? En el roblema de maximització d'utilitat, donat el Lagrangià: L=u(x, x ) ( x x m), i la funció d'utilitat indirecta:v(,, m) u( x, x ), el teorema de l'envoltant ens diu que: V L V L V L i i. m m * * Com que coneixem L odem calcular les derivades anteriors. 21

22 I obtenim el següent: V (1) x1, 1 V (2) x2, 2 V (3). m Si dividim (1)/(3) i (2)/(3) obtenim les funcions de demanda. V V x 1 i x 2. V V m m Aquestes igualtats s anomenen la identitat de Roy. Ens indiquen com trobar x 1 i x 2 a artir de V( 1, 2,m). 22 Comrova que la identitat de Roy es comleix en l exemle Cobb-Douglas (àgina 16).

23 ENFOCAMENT PRIMAL Matemàticament, max u( x, x ) x, x s.a x x m 1 2 I també, gràficament Hem arès a trobar... La funció de demanda ordinària o marshalliana x x (,, m) i x x (,, m) * * Identitat de Roy Funció d'utilitat indirecta V u( x, x ) V (,, m) * * 23

24 Enfocament dual La minimització de la desesa 24

25 Maximització de la utilitat Donada una renda i uns reus, quina és la cistella que maximitza la utilitat? Fixem la renda que volem gastar en els dos béns. Minimització de la desesa Donat un nivell d utilitat i uns reus, quina és la cistella que minimitza la desesa? Fixem el nivell d utilitat que volem obtenir. Bé 2 Bé 2 25 Bé 1 Bé 1

26 Problema matemàtic (cas ref. estrictament convexes) min x, x 1 2 s. a u(x, x ) u L x x (u(x, x ) u) CPO : 1 2 L UMg 0 x UMg L UMg 2 UMg2 0 x L x x 2 2 (u(x, x ) u) 0 u(x, x ) u 26

27 La cistella òtima és aquella (x 1,x 2 ) que satisfà les següents equacions: Té nivell d utilitat u. Condició de tangència. Identifica les dues equacions a la solució matemàtica que hem trobat anteriorment. Amb aquestes dues equacions odem trobar les funcions de demanda comensades o hicksianes. La funció de demanda comensada (o hicksiana) és aquella que relaciona l elecció òtima amb els diferents valors dels reus h h i el nivell d utilitat. x (,, u), x (,, u)

28 Exemle: u(x 1,x 2 )=x 1 x 2 Condició de tangència: 2 1 Corba d'indiferència (nivell u): x x x x u Resolem les dues equacions substituïnt i obtenim les funcions de demanda comensada: x u i x u. h 2 h 1 28

29 Funció de desesa La funció de desesa E és la funció que ens informa de la desesa mínima necessària er assolir un nivell d utilitat determinat donats els reus. E(,, u) x (,, u) x (,, u). h h

30 30 Lema de Sheard El lema de Sheard ens ermet trobar la funció de demanda comensada a artir de la funció de desesa. Per derivar el lema de Sheard utilitzem el teorema de l envoltant. El Lagrangià del roblema dual és: L x x (u(x, x ) u) 1 2 El teorema de l'envoltant diu que: E L E L i 1 2 Per tant, si coneixem E, odem recuerar les funcions de demanda comensada: E E h h x1 i x2

31 Relació entre el roblema rimal i dual Bé 2 (x 1,x 2 ) u m Bé 1 V (,, E(,, u))... E(,, V (,, m)) x (,, m) x (,, V (,, m)) h 1 1 x (,, u) x (,, E(,, u)) h 1 1

32 Alicació Comaració de l efecte de dos imostos sobre el benestar de l individu 32

33 Problema Situació inicial: La funció d utilitat d en Peet és u(x)=x 1 x 2. Disosa d una renda de 100 euros i tant el reu del bé 1 com del bé 2 és 1 euro. Troba les funcions de demanda ordinària i la funció d utilitat indirecta. Quina és la cistella òtima d en Peet? Quin nivell d utilitat assoleix en Peet? 33

34 El govern vol introduir un imost. Ha calculat que necessita recatar 20 euros més de cada ciutadà er oder sobreviure la crisis. Està considerant dues otions: 1) Introduir un imost sobre la renda del 20%. 2) Introduir un imost sobre la quantitat de consum del bé 1. Evidentment, el govern decidirà introduir aquell imost que afecti menys al benestar del ciutadà. Pots ajudar al govern a decidir? 34

35 Tens algún dubte? L enfocament rimal i l alicació final els trobaràs molt ben exlicats al Varian. L enfocament dual i la identitat de Roy els trobaràs exlicats al Nicholson. 35