Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Criteris específics de correcció Model 2

Transcripción

1 Prova d accés a la Universitat (2011) Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Criteris específics de correcció Model 2 Cada qüestió té una puntuació màxima de. Cal tenir presents les puntuacions parcials màximes que apareixen a les qüestions amb més d un apartat. Pel que fa a aquelles qüestions que tenen apartats sense puntuar, se suposarà que cadascun té la mateixa valoració. Es valoraran la correcció i la claredat en el llenguatge (matemàtic i no matemàtic) emprat per l alumne. Penalitzau els errors de càlcul. Els errors greus i, especialment, aquells que portin a resultats incoherents o absurds, penalitzau-los amb el 50 per cent sobre la qualificació de la qüestió. Valorau totes les parts que siguin correctes, encara que el resultat final no ho sigui. Hi pot haver casos en què hi hagi dubtes en aplicar els criteris que es detallen a continuació. En aquests casos, feu prevaler el vostre criteri i sentit comú. Opció A Discussió correcta: 6 punts. Solució correcta del sistema donant la solució correcta: 4 punts. a) Càlcul correcte de la regió factible, indicant-ne el vèrtex i proporcionant un dibuix de la regió: 8 punts. b) Determinar la solució del problema de programació lineal especificant la seva relació amb l enunciat del problema: 2 punts. Expressió correcta de M(x): 1 punt. Càlcul correcte de la derivada: 3 punts. Solució de l equació M = 0: 2 punts. Comprovació del caràcter de l extrem obtingut: 3 punts. Especificar el preu mínim: 1 punt. Especificació de les dades donades al problema com a probabilitats: 3 punts. Càlcul correcte de la probabilitat total: 3 punts. Càlcul correcte de les probabilitats demanades: 2 punts per cadascuna.

2 Opció B 1. a) Plantejar correctament el sistema que s ha de resoldre: 4 punts. b) Solució correcta del sistema i, per tant, del problema: 6 punts a) Càlcul correcte de la regió factible, indicant-ne el vèrtex i proporcionant un dibuix de la regió: 8 punts. b) Determinar el mínim de la funció donada: 2 punts. Especificació correcta del sistema que s ha de resoldre: 3 punts. Càlcul correcte de a i b: 2 punts. Especificació de la funció per als valors obtinguts: 1 punt. Estudi del tipus d extrem relatiu: 4 punts. 4. Establiment de les hipòtesis: 2 punts. Càlcul correcte del valor crític: 2 punts. Càlcul correcte de la zona d acceptació: 4 punts. Verificació i discussió: 2 punts.

3 Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials Opció A 1. a) Hem de discutir el sistema: 2 2 6, 2 0, , Si, alesh hores det 0 i, per tant, rang 3: rang rang Com que rang rang, el sistema és incompatible. Si rang rang 3, que coincideix amb el nombre d incògnites, i el sistema és compatible determinat. b) Suposem que, aleshores: Prova d accés a la Universitat (2011) Solucions Model 2 det 3 2 2/ , a) El benefici que s ha de maximitzar es la funció F(x,y)=12000x+18000y, on x representa el nombre de cotxes del model A i y representa el nombre de cotxes del model B, i el conjunt de restriccions és: Per representar gràficament el conjunt de solucions dibuixarem les rectes: x=40, y=20, y=x, x=0, y=0 i , a més, els vèrtexs del conjunt, determinats per la intersecció de les diferents rectes.

4 El conjunt de les restriccions determina la regió factible. En aquest cas és un polígon convex de 5 costats. Calculem ara els seus vèrtexs mitjançantt la intersecció de les dues rectes que determinen cadascun dels vèrtexs. Vèrtex A: ,4 Vèrtex B: ,0 Vèrtex C: ,0 Vèrtex D: ,20 Vèrtex E: 20 20,20 25 y = x x = y = 20 E D 15 5 A B C x+18 y = 120 El conjunt de solucions possibles serà el conjunt de solucions senceres que es troben a l'interior o frontera del recinte. b) Calculem el valor que adopta la funció que s ha de maximitzar F(x,y)=12000x+18000y en cadascun dels vèrtexs del polígon. F(A)=F(4,4)= F(D)=F(40,20)= F(B)=F(,0)= F(E)=F(20,20)= F(C)=F(40,0)= La funció presenta un màxim al vèrtex D=(40,20) el valor del qual és de euros. Per tant, haurà de vendre 40 cotxes del model A i 20 cotxes del model B per maximitzar els seus ingressos, que, d'aquesta manera, ascendiran a euros.

5 3. La funció de cost mitjà per unitat és 1 2,4 3 El nostre objectiu és minimitzar M(x,) i per a això hem de calcular M'(x) i resoldre l'equació M'(x)=0. 1 2,4 1 2, La solució x=-32,, no té sentit que la considerem, i agafam x= , í 32. Substituint x=32 a M(x) obtenim el preu mínim, que és: , Considerem els successos següents: D={ està infectat} ={no està infectat} X={X diagnostica infectat} Tenim de les dades proporcionades a l enunciat que: 0.05, 0.95, P(X/D)=0.96, P( (X/=0.01 Observau que ens demanen les probabilitats següents: P(D/X) i P(/. Aleshores, fent servir la fórmula de Bayes:, Calculam les probabilitats necessàries: , La probabilitat total: Així, ; Opció B 1. a) Siguin x el nombre d homes, y el nombre de dones i z el nombre de nens. El sistema que hem de resoldre és el següent: 80, 80, 3, 3 0, b) Per resoldre el sistema utilitzarem el mètode de Gauss De la segona fila: De la tercera fila: De la primera fila: Han acudit a l'excursió 31 homes, 29 dones i 20 nens.

6 a) El conjunt de restriccions és: 0, Per dibuixar la regió representarem les rectes: 0, 1, 50,, talla els eixos a (0,50), (50,0) talla els eixos a (0,15), (30,0). 600 tallaa els eixos a (0,600), (600,0). Calculem els vèrtexs que són els punts de tall entre les diferents rectes: Vèrtex A: ,,.. Vèrtex B: , 28,1. 1. Vèrtex C: 50, 49,1. 1. Vèrtex D: 50, 25, y = x 40 x+ y = D 20 A y = 1 B C - 4 x+8 y=120 b) Els punts que cal considerar per calcular el màxim són: A=(,), B=(28,1), C=(49,1), D=(25,25), la funció que s ha de minimitzar és F(x,y)=2x+3y. A, 50 B 28,1 59 C 49,1 1 D 25, La funció té un mínim al vèrtex A=(,) el valor del qual és 50.

7 2. Les condicions que ha de satisfer la funció que ens donen són les següents: Que tinguii extrem relatiu a x = 2 i a x = 1 vol dir que f (2) = 0 i f (1) = 0. Per tant: 1 2 1, Resolent el sistema d equacions associat tenim que i. Per tant: ln. Per saber si a x = 1 i a x = 2 la funció té un màxim o un mínim, o bé estudiarem el signe de la segona derivada en aquest punt, o bé estudiarem la variació del signe de la primera derivada al voltant d'aquest punt. De la primera part sabem que à, i 1 0 í. 4. Les hipòtesis són: : 1.250, : El contrast d hipòtesis és bilateral amb un nivell de significació 0.01, al qual correspon / Construïm ara la regió d acceptació /, / amb una grandària de la mostra n=1600 i amb la desviació típica de 150. / 2, ,575 3,75 9,656, 1600 la regió d acceptació és: ,656,1250 9, ,344, 1259,656 El valor de és de euros i ,344, 1259,656 queda fora de la regió d acceptació, rebutjam la hipòtesi nul la, és a dir, no podem afirmar que