Definiciones útiles. Experimento: Actividad realizada según un plan definido cuyos resultados producen un conjunto de datos.

Transcripción

1 Definiciones útiles Para estudiar Estadística se necesita estar en condiciones de hablar su lenguaje. A continuación se definen algunos términos básicos que se emplearán en el curso.(estas definiciones son de naturaleza descriptiva y no necesariamente son matemáticamente formales). Estadística (como disciplina o actividad): Es la ciencia de la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de datos. Población: Conjunto o cúmulo de individuos u objetos cuyas propiedades se han de analizar. Ejemplo: el conjunto de todos los estudiantes que han asistido a una universidad. Muestra: Un subconjunto de una población. Variable: Característica de interés acerca de cada elemento de una población o una muestra. Ejemplo: sexo, edad, color de cabello, altura, peso, etcétera. Valor de la variable: medida asociada a un elemento que integra una variable de una población o una muestra. Ejemplo: Gabriela tiene 28 años, es rubia, mide 1,69 m. y pesa 56 kilos. Experimento: Actividad realizada según un plan definido cuyos resultados producen un conjunto de datos. Parámetro: Característica numérica de una población. Ejemplo: edad promedio de los habitantes de un distrito. Estimador: Característica numérica de una muestra. Ejemplo: edad estimada promedio de los habitantes de un distrito. Dato cualitativo o Atributo: Es el resultado de un proceso que categoriza o describe un elemento de una población. Dato cuantitativo o umérico: Es el resultado de un proceso que cuantifica, es decir, que cuenta o mide (longitud, peso, etcétera).

2 Escalas de medición Como la estadística analiza los datos y estos son el resultado de las mediciones o encuestas de opinión, debemos estudiar las escalas de medición. Este tema es de gran importancia, ya que el tipo de escala de medición utilizado para reunir los datos, ayuda a determinar el tipo de procedimiento de inferencia a utilizar en el análisis de los datos o solución a un problema particular. Una escala de medición puede tener uno o más de los siguientes atributos matemáticos: magnitud, un intervalo igual entre unidades adyacentes y un cero absoluto. Existen cuatro clases de escalas de uso común en nuestra materia: nominal, ordinal, de intervalo y razón o proporción. Ellas difieren en la cantidad de atributos matemáticos que poseen. Escalas nominales Una escala nominal representa el nivel mínimo de medición y se utiliza con frecuencia para variables de naturaleza cualitativa y no cuantitativa. Algunos ejemplos de variables cualitativas son las marcas de zapatillas deportivas, tipos de frutas y verduras, tipos de música, los días de la semana, nacionalidad, sexo, creencia religiosa, etcétera. Las categorías comprenden las "unidades" de escala y los objetos se "miden" al determinar la categoría a la cual pertenecen. Por lo que esta medición equivale a clasificar los objetos y darles el nombre (de ahí lo de escala nominal ) de la categoría a la cual pertenecen. Escalas ordinales La escala ordinal representa el siguiente nivel de medición, el cual es relativamente bajo de acuerdo con la propiedad de la magnitud. Con esta escala, ordenamos los objetos medidos según si poseen más, menos o la misma cantidad de la variable medida. Así, una escala ordinal permite determinar si A>B, A=B o A<B. Un ejemplo de una escala ordinal es el orden de los primeros cinco participantes en un concurso literario, de acuerdo a la calidad de su trabajo evaluado por un jurado. Entre los participantes, el trabajo de la persona con el rango 1 fue considerada mejor que la que posee el rango 2, quien a su vez fue considerada mejor que la de rango 3, y así sucesivamente. Es importante observar que aunque esta escala permite las comparaciones mejor que, igual a, o menor que, no dice nada sobre la magnitud de la diferencia entre las unidades adyacentes pertenecientes a la dicha escala. Ejemplos de escala ordinal son la clasificación de los corredores participantes en una maratón, el orden de los profesores según su capacidad de enseñanza y el orden de los alumnos de acuerdo a su nivel de motivación. Otro ejemplo puede ser la opinión de personas respecto de un programa de televisión: excelente, muy bueno, bueno, regular, malo (concepto de diferencial semántico).

3 Escalas de intervalos La escala de intervalos representa un nivel superior de medición con respecto al de la escala ordinal. Posee las propiedades de magnitud e igualdad de intervalo entre las unidades adyacentes, pero no tiene un cero absoluto. Así, la escala de intervalos posee las propiedades de la escala ordinal y tiene intervalos iguales entre las unidades adyacentes. Estos intervalos indican que existen cantidades iguales de la variable medida entre las unidades adyacentes sobre la escala. La escala Celsius, para medir temperatura, es un buen ejemplo de la escala de intervalos. Tiene la propiedad de intervalos iguales entre las unidades adyacentes pero no tiene un punto absoluto. Así, la cantidad adicional de calor que provocará un cambio en la lectura de la temperatura de 2º a 3º Celsius también producirá un cambio en la lectura de 81º a 82º Celsius. Como en una escala de intervalos existen cantidades iguales de la variable entre las unidades adyacentes de la escala en cuestión, las diferencias equivalentes entre los números de la escala representan diferencias de la misma magnitud en la variable. Así podemos decir que la diferencia de temperatura entre 78º y 75º Celsius es la misma que entre 24º y 21º Celsius de la misma escala. Así también esto implica que la diferencia de temperatura entre 80º y 65º Celsius es mayor que la diferencia entre 93º y 91º Celsius. En vista del análisis anterior, podemos ver que además de determinar si A=B, A>B o A<B, una escala de intervalos nos permite determinar si A-B=C-D, A-B>C-D, o A- B<C-D. Escalas de razón o proporción El siguiente y máximo nivel de medición es la escala de razón. Tiene todas las propiedades de una escala de intervalos y, además, posee un cero absoluto. Sin éste no se pueden calcular las proporciones con las lecturas de la escala. Un buen ejemplo para ilustrar la diferencia entre la escala de intervalos y la de proporciones consiste en comparar la escala Celsius de temperatura con la escala Kelvin. El menor punto de la escala Kelvin es el cero absoluto (la ausencia completa de calor). El cero de la escala Celsius es la temperatura a la cual se congela el agua. Es un cero arbitrario, que en realidad ocurre a los 273º Kelvin. La escala Celsius es de intervalos y la escala Kelvin es de proporciones. La diferencia de temperatura entre 8º y 9º es igual a la diferencia de temperatura entre 100º y 101º sin importar que la escala sea Celsius o Kelvin. Sin embargo no podemos calcular proporciones con la escala Celsius. Una lectura de 20º Celsius no es el doble de caliente que 10º Celsius. Esto se puede comprobar al convertir las lecturas Celsius a las temperaturas absolutas que representan. En términos absolutos, 20º Celsius es en realidad 293º K (273º+20º), y 10º Celsius es en realidad 283º K (273º+10º). Resulta obvio ver que 293º no es el doble de 283º. Como la escala Kelvin tiene un cero absoluto, una lectura de 20º en esta escala es el doble de caliente que 10º. Así, se pueden utilizar proporciones con la escala Kelvin.

4 Variables continuas y discretas Hemos definido antes la variable como una característica de interés acerca de cada elemento de una población o una muestra. Estas características o propiedades pueden asumir más de un valor. A su vez diremos que una variable de un experimento es independiente cuando ella es controlada en forma sistemática por el investigador y se mide su efecto sobre las demás variables a estudiar, o sea que sus niveles están controlados por el investigador. Una variable de un experimento es dependiente cuando es aquella que es medida por el experimentador para determinar el efecto de la variable independiente, o sea que sus niveles están influidos por la variable independiente. A su vez es conveniente en este momento distinguir entre variables continuas y discretas. Ejemplo: una encuesta recolecta información de los hábitos de fumar de las personas: la variable sexo es independiente, la variable cantidad de cigarrillos diarios es dependiente. Variable continua Una variable continua es aquella que, teóricamente, puede asumir un número infinito de valores entre las unidades adyacentes de una escala. El peso, la altura y el tiempo son ejemplos de variables continuas. Variable discreta Un variable discreta es aquella para la cual no existen valores posibles entre las unidades adyacentes de una escala. El "número de hijos en una familia" es un ejemplo de variable discreta. En este caso, la menor unidad es un hijo y no existen valores posibles entre uno y dos hijos, entre dos y tres hijos, etcétera. La característica de una variable discreta es que cambia por cantidades fijas, sin que haya valores intermedios.

5 Medidas de tendencia central Para organizar y presentar los datos resultan útiles las distribuciones de frecuencias e histogramas. Pero en sí mismas no nos permiten realizar afirmaciones cuantitativas que caractericen a la distribución como un todo. A menudo es necesario describir las distribuciones en forma cuantitativa, y para ello es necesario primero cuantificarlas de forma adecuada. Para poder comparar es necesario tener una medida de la tendencia central de cada distribución. Analizaremos a continuación las más importantes. Media aritmética La media aritmética ( o promedio) se define como la suma de los datos dividida entre el número de los mismos. En forma de ecuación: Media de una muestra: X = X 1 + X 2 + X X Media de una población: µ = X 1 + X 2 + X X Mediana La mediana es el valor de la escala debajo (o arriba) del cual está el 50% de los datos. Al trabajar con los datos no agrupados es fácil determinar la mediana. En primer lugar ordenamos los datos. La mediana es el dato central, si el número de datos es impar. Si el número de datos es par, la mediana se considera como el promedio de los datos centrales. Moda La moda es el dato más frecuente en la distribución. Es la más sencilla de las tres medidas para su determinación. Se determina examinando los datos, sin necesidad de cálculo alguno. Si la distribución tiene una sola moda se la denomina unimodal. Una distribución puede presentar más de una moda; en el caso de presentar dos modas se la denomina bimodal.

6 Medidas de variabilidad Las medidas de tendencia central son una cuantificación del valor promedio de la distribución y ayudan a dar una idea más completa de cómo es una distribución en términos comparativos con otras distribuciones. Para completar ese panorama es necesario contar ahora con una cuantificación de la variabilidad respecto de la media de la distribución en cuestión. Las medidas de variabilidad nos dan ese aporte ya que cuantifican la extensión de la dispersión. Veremos a continuación las más importantes. Amplitud La amplitud (impropiamente llamada "rango") se define como la diferencia entre los datos máximo y mínimo de una distribución. En forma de ecuación: Amplitud = Dato máximo Dato mínimo Puntaje de desviación El puntaje de desviación nos indica qué tan lejos está el dato respecto a la media de su distribución. Puntaje de desviación para los datos de una muestra: X X Puntaje de desviación para los datos de una población: X µ Varianza La varianza de una muestra es el valor numérico que se obtiene con la fórmula: S 2 = ( Xi X ) 1 1 2

7 La varianza de una población es el valor numérico que se obtiene con la fórmula: Desviación estándar S La desviación estándar de una muestra es el valor numérico que se obtiene con la fórmula: 2 = 1 ( Xi µ ) 2 σ = ( Xi X ) La desviación estándar de una población es el valor numérico que se obtiene con la fórmula: σ = 1 ( Xi µ ) 2

8 Estudio de las distribuciones Una distribución de frecuencias presenta los valores de los datos y su frecuencia de aparición. Vamos a conocer dos herramientas gráficas muy importantes para la descripción de distribuciones: el histograma y el gráfico de dispersión. Además repasaremos el cálculo de porcentajes para expresar analíticamente subgrupos de variables discretas o categorías como partes de un total. Histograma Se utiliza para representar las distribuciones de frecuencias pertenecientes por datos de intervalo o de proporción. En el histograma se utiliza una barra que representa la frecuencia de aparición de la variable en estudio en el eje vertical, por cada intervalo de clase representado éste en el eje horizontal Std. Dev = 30,04 Mean = 195,0 0 = 213,00 120,0 140,0 160,0 180,0 200,0 220,0 240,0 260,0 130,0 150,0 170,0 190,0 210,0 230,0 250,0 270,0 COLESTER

9 Gráfico de dispersión Se utiliza para ver la relación existente entre dos variables, siendo generalmente éstas continuas. La representación de cualquiera de ellas en el eje horizontal es arbitraria y no implica la existencia de causalidad respecto de la otra Salario actual Salario inicial Expresión y cálculo de porcentajes Para detallar subgrupos dentro de algunas variables (sobre todo cuando describimos categorías o variables discretas) es muy útil la expresión de los mismos como un cierto porcentaje del total. Ejemplo: una variable contiene valores de datos de personas y dentro de ella una cantidad M son varones y una cantidad F son mujeres. M más F da por resultado. Entonces el porcentaje de varones y de mujeres en la muestra se calcula así: =1500 personas, M=700 varones, F=800 mujeres Porcentaje de varones: M 700 % de varones = *100 = *100 = 46,7% 1500 Porcentaje de mujeres: F 800 % de mujeres = *100 = *100 = 53,3% 1500

10 Formas de las distribuciones Las distribuciones de frecuencias pueden tener formas muy diversas. Las curvas se clasifican por lo general como: Simétricas Una curva es simétrica si sus dos lados coinciden al doblarla a la mitad. El caso más típico de simetría es el de la distribución normal de frecuencias Std. Dev = 30,04 Mean = 195,0 0 = 213,00 120,0 140,0 160,0 180,0 200,0 220,0 240,0 260,0 130,0 150,0 170,0 190,0 210,0 230,0 250,0 270,0 COLESTER Si la distribución es unimodal y simétrica, entonces la media, la mediana y la moda serán iguales entre sí.

11 Asimétricas Si la curva no es simétrica, entonces es asimétrica con dos variantes: positiva o negativa. Cuando una distribución es asimétrica, la media y la mediana no serán iguales. Como la media es muy afectada por los valores extremos, la primera tendrá un valor más cercano a los segundos que la mediana. Asimetría positiva Cuando una curva es asimétrica en forma positiva la mayor parte de los datos aparecen en los valores menores del eje horizontal y la curva se reduce hacia el extremo superior. Un ejemplo es el ingreso de las personas , , , , , , , , , , , , ,0 Std. Dev = 17075,66 Mean = 34419,6 = 474,00 Salario actual En este caso la mediana será menor que la media y una mejor medida de la tendencia central.

12 Asimetría negativa Cuando una curva es asimétrica en forma negativa gran parte de los datos aparecen en los valores mayores y la curva se reduce hacia el extremo inferior del eje horizontal. Un ejemplo es los años de vida de las personas Std. Dev = 9,27 Mean = 64,9 0 = 109,00 40,0 45,0 50,0 55,0 60,0 65,0 70,0 75,0 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 Esperanza de vida masculina En este caso la mediana será mayor que la media y una mejor medida de la tendencia central.

13 La curva de distribución normal La curva normal es una distribución muy importante utilizada en ingeniería, ciencias sociales y medicina. Ejemplos de esto son las concentraciones de ácidos, la altura, el peso, nivel de colesterol, etcétera. La curva normal se presenta en variables continuas en donde los sucesos observados son independientes entre sí y se dan en cantidades pequeñas respecto del total. Por ejemplo tomemos el caso de una estación de servicio: los consumidores no se ponen de acuerdo para ir a cargar ni en cuanto al momento ni en cuanto a la cantidad. El volumen de sus tanques de combustible es muy pequeño comparado con el volumen de los tanques de la estación de servicio. Por lo tanto podemos inferir que la distribución del volumen cargado será normal. Otro aspecto importante a tener en cuenta para evaluar su importancia es el hecho que las conclusiones del Teorema Central del Límite arrojan que una sumatoria de variables de cualquier distribución dan como resultado una distribución normal. La curva normal es una distribución teórica de los datos de una población. Es una curva con forma de campana, descripta por la siguiente ecuación: Y = σ 2π e ( X µ ) 2σ 2 2 En donde: Y = Frecuencia de un valor dado de X X = Cualquier dato de la distribución µ = Media de la distribución σ = Desviación estándar de la distribución = Frecuencia total de la distribución π = Constante con un valor aproximado de 3, e = Constante con un valor aproximado de 2,718281

14 Propiedades de la curva de distribución normal En las distribuciones con forma normal, existe una relación especial entre la media y la desviación estándar con respecto al área que se encuentra por debajo de la curva. Cuando un conjunto de datos está distribuido en forma normal, el 68% del área que está por debajo de la curva se encuentra dentro del entorno de un desvío estándar (como la curva es simétrica quedan dos sectores de 34% a un lado y otro de la media). Si ahora consideramos un entorno de dos desvíos estándar vemos que tenemos el 95% del área por debajo de la curva (debido a la simetría tenemos el 13,5% entre cada subsector). Para tres desvíos tendremos el 99,7% del área por debajo de la curva, lo que prácticamente representa la totalidad de la distribución en cuestión.

15 Ejercicios 1) Calcular la media para cada uno de los siguientes conjuntos de datos muestrales: a) 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 14 b) 20 ; 22 ; 28 ; 30 ; 37, 38 c) 2,2 ; 2,4 ; 3,1, 3,1 2) Calcular la mediana de los siguientes conjuntos de datos: a) 8 ; 10 ; 4 ; 3 ; 1 ; 15 b) 100 ; 102 ; 108 ; 104 ; 112 c) 2,5 ; 1,8 ; 1,2 ; 2,4 ; 2,0 d) 10 ; 11 ; 14 ; 14 ; 16 ; 14 ; 12 3) Calcular la amplitud de las siguientes distribuciones: a) 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 10 b) 18 ; 12 ; 28 ; 15 ; 20 c) 115 ; 107 ; 105 ; 109 ; 101 d) 1,2 ; 1,3 ; 1,5 ; 1,8 ; 2,3 4) Calcular la desviación estándar de los siguientes datos muestrales: a) 25 ; 28 ; 35 ; 37 ; 38 ; 40 ; 42 ; 45 ; 47 ; 50 b) 1,2 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,7 ; 1,9 ; 2,0 ; 2,2 ; 2,4 ; 2,5 ; 2,8 ; 3,0 ; 3,3 5) Calcular la varianza de los datos del ejercicio 4. 6) Un periodista está interesado en analizar la concurrencia de legisladores a la Casa de Gobierno; elige al azar una muestra de 10 legisladores y determina el número de visitas el mes pasado. Dados los datos 1 ; 8 ; 12 ; 3 ; 8 ; 14 ; 4 ; 5 ; 8 ; 16, calcule lo siguiente: a) media b) mediana c) moda d) amplitud e) desviación estándar f) varianza 7) Una encuesta recolecta información acerca de temas de actualidad. La misma abarca la opinión de 1500 personas tomadas al azar. La muestra presenta las siguientes particularidades: 700 personas son hombres. 800 personas están casadas. 325 hombres son solteros. 450 mujeres están casadas.

16 Se pide calcular: a) el porcentaje de hombres b) el porcentaje de mujeres c) el porcentaje de personas solteras d) el porcentaje de personas casadas e) el porcentaje de solteros entre los hombres f) el porcentaje de casados entre los hombres g) el porcentaje de solteras entre las mujeres h) el porcentaje de casadas entre las mujeres 8) Una muestra numerosa de personas respondieron sobre las horas mensuales que dedican a la actividad física. La distribución resultó ser normal con media de 6 horas y desviación estándar 1,5 horas. Determinar: a) la probabilidad que las personas dediquen entre 4,5 y 7,5 horas b) la probabilidad que las personas dediquen entre 3 y 9 horas c) la probabilidad de encontrar personas que dediquen más de 9 horas d) la probabilidad de encontrar personas que dediquen menos de 6 horas e) la probabilidad de encontrar personas que dediquen 3 horas

17 Respuestas a los ejercicios 1) a) 7,20 b) 29,17 c) 2,70 2) a) 6 b) 104 c) 2,0 d) 14 3) a) 8 b) 16 c) 14 d) 1,1 4) a) 7,94 b) 0,66 5) a) 63,0436 b) 0,4356 6) a) 7,90 b) 8 c) 8 d) 15 e) 4,89 f) 23,88 7) a) 46,7 % b) 53,3 % c) 45 % d) 55 % e) 46,4 % f) 53,6 % g) 43,75 % h) 56,25 % 8) a) 68 %

18 b) 95 % c) 2,5 % d) 50 % e) 0