UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO - PIURA INECUACIONES. DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN GENERAL ÁREA DE MATEMÁTICA Página 117

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1 INECUCIONES ÁRE DE MTEMÁTIC Página 117

2 Tres cajas de caramelos Tenemos tres cajas de caramelos: una tiene caramelos de naranja, otra de limón, y la tercera los contiene mezclados. Las cajas vienen etiquetadas como "Naranja", "Limón" y "Mezcla", pero se sae que las tres etiquetas son incorrectas. La pregunta es: cuántos caramelos será necesario proar para conocer el contenido de cada caja? ÁRE DE MTEMÁTIC Página 118

3 INTERVLOS Tanto si crees que puedes como si no, tienes razón HENRY FORD Introducción Cuando se quiere epresar una relación que nos indique simplemente que una determinada cantidad, o epresión, es mayor o menor que otra, se recurre a las llamadas desigualdades. Se utilizan los símolos: menor que, mayor que, menor igual que, mayor igual que, para estalecer la comparación. La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los números que hagan verdadera la afirmación dada en la relación. La forma de operar las inecuaciones es similar a las ecuaciones, que se ha estudiado en la unidad anterior, pero en vez de usar el símolo de igualdad, se utiliza el símolo de igualdad. 4.1 Desigualdades Definición 4.1 (a) Un número a se llama positivo si a 0 () Un número a se llama negativo si a 0 (c) La relación MYOR QUE se denota por " " (d) La relación MENOR QUE se denota por " " (e) La relación MYOR IGUL QUE se denota por " " (f) La relación MENOR O IGUL QUE se denota por " " Teorema 1 Sean a, y c con a entonces: i. Si c 0 ac c ii. Si c 0 ac c Teorema Sea a entonces: a 0 Teorema 3 a 0 Sean a y entonces: i. a y tienen el mismo signo a 0 ii. a y tienen el diferente signo a 0 4. La notación de intervalo Otra manera de epresar conjuntos en es utilizando la notación de intervalos. Esta notación es útil, pues nos permitirá epresar el conjunto solución de las inecuaciones. ÁRE DE MTEMÁTIC Página 119

4 Definición 4. Intervalo Son conjuntos de números definidos mediante la relación de orden en el conjunto de los números reales, y son de dos tipos, acotados y no acotados. Dados dos números reales a y con a, tenemos lo siguiente: Notación de intervalo Notación de conjunto a; / a Descripción Intervalo cerrado en el cual están incluidos los etremos a y Gráfica lineal a a; / a Intervalo aierto en el cual no se incluyen los etremos a y a a; / a a; / a Intervalo semiaierto por la izquierda en el cual está incluido el etremo a pero no el etremo. Intervalo semiaierto por la derecha en el cual está incluido el etremo pero no el etremo a. a a Tala 4.1. Notación de intervalos: intervalos acotados Cuando epresemos intervalos no acotados, rectas o semirectas, utilizamos el simolo de o, de la siguiente manera 1 : 1 Los símolos y no representan números; son simplemente símolos que nos recuerdan que el intervalo continúa sin fin. Por tanto siempre escriiremos así:, o ÁRE DE MTEMÁTIC Página 10

5 Notación de intervalo Notación de conjunto a; / a ;a / a ; / ; / Descripción Intervalo aierto acotado por la izquierda en el cual no está incluido el etremo a. Intervalo aierto acotado por la derecha en el cual no está incluido el etremo a. Intervalo cerrado acotado por la derecha en el cual está incluido el etremo. Intervalo cerrado acotado por la izquierda en el cual está incluido el etremo. Gráfica lineal a a Tala 4.. Notación de intervalos: intervalos no acotados 4.3 Operaciones entre intervalos Como los intervalos son conjuntos de números reales podemos desarrollar las operaciones entre conjuntos Unión de Intervalos / Ejemplo 4.1 Si 3;8 y 4;1 hallar 3;8 4;1 3;1 Gráficamente U ÁRE DE MTEMÁTIC Página 11

6 4.3. Intersección de Intervalos / Ejemplo 4. Si 3;4 y 1;7 hallar 1;4 Gráficamente Diferencia de Intervalos / Ejemplo 4.3 Si 3;5 y ;8 hallar y 3; 5;8 Gráficamente Complemento de un conjunto ' / Ejemplo 4.4 Si ;4 hallar ' ' / ;4 ' / 4 ' 4; ÁRE DE MTEMÁTIC Página 1

7 ' Diferencia simétrica de intervalos ó Ejemplo 4.5 Si 4;6 y 3;9 hallar ;3 6;9 4;3 6;9 Ejemplo 4.6 Si ;4 7;11 y 1;5 6;9 hallar: (a) ' ' ' ' ' ; 4;7 11; ÁRE DE MTEMÁTIC Página 13

8 () ' ' ' ' '= - ;1 5;6 9; (c) ;5 6;11 (d) ;4 7;9 (e) ;1 9;11 (f) ÁRE DE MTEMÁTIC Página 14

9 4,5 6,7 (g) ;1 4;5 6;7 9;11 19/01/01 TLLER DE EJERCICIOS Sutítulo Realice las siguientes operaciones con intervalos 1. Si 1;3 0;6. Si 1;3 3. Si 0;5 y ;7 y 0;6 ;7 y 3;1 ;5 hallar hallar hallar 4. Si 0;4 4;6 y 1;4 6;8 hallar 5. Si ;1 3;7 y 1;3 3;7 hallar ÁRE DE MTEMÁTIC Página 15

10 INECUCIONES Se piensa que lo justo es lo igual, y así es; pero no para todos, sino para los iguales. Se piensa por el contrario que lo justo es lo desigual, y así es, pero no para todos, sino para los desiguales. RISTÓTELES Introducción Saemos que las ecuaciones están asociadas al signo de igualdad; en camio, las inecuaciones se asocian a los signos de desigualdad. Las inecuaciones reflejan las situaciones en las que sorepasa o no se llega a un valor determinado, sino por el contrario a un conjunto de valores. 4.4 Inecuación de primer grado Definición 4.3 Inecuación de primer grado Una inecuación se dice de primer grado en la incognita si se puede reducir a una de las formas: (a) a 0 () a 0 Donde a y son números reales Definición 4.4 Conjunto solución de una inecuación Resolver una inecuación, consiste en hallar el conjunto solución de todos los números que satisfacen dicha inecuación. Tal conjunto es llamado conjunto solución de la inecuación. Ejemplo 4.7 (a) Resuelva la inecuación: (Teorema 1) 9 ;9 () Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación: Transponemos 17 al segundo miemro hallamos el MCM(4,1) que es 1 y reducimos 4 1 3(3 5) ( 6) 1 realizamos las operaciones transponemos 9 al segundo miemro 8 1 multiplicando por ÁRE DE MTEMÁTIC Página 16

11 Por lo tanto:, /01/01 TLLER DE EJERCICIOS Sutítulo Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: ( 1) (1 ) 6. ( 3) 3( 1) ( ) 7. ( ) ( 1) ( 1)( 1) ( ) 3 3 Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: ÁRE DE MTEMÁTIC Página 17

12 ( 5)( 3) ( 1)( ) 10. (3 )(3 9) (3 ) ÁRE DE MTEMÁTIC Página 18

13 INECUCIONES DE SEGUNDO GRDO Para todo prolema humano hay siempre una solución fácil, clara, plausile y equivocada. HENRY-LOUIS MENCKEN Introducción Para resolver las inecuaciones de segundo grado se procede de la misma manera que las ecuaciones de segundo grado, la diferencia estria en el conjunto solución, que puede ser un intervalo o la unión de intervalos o inclusive puede ser el conjunto vacio. 4.5 Inecuación de segundo grado Definición 4.4 Inecuación de segundo grado Una inecuación de segundo grado con una incognita es una epresión que se puede reducir a la forma a c 0, (el símolo puede reemplazarse por,,o) donde a,, c son números reales y a 0 Definición 4.5 Conjunto solución de una inecuación Para resolver una inecuación cuadrática de las formas a c 0 ó a c 0 a 0,,c por medio de la naturaleza de las raíces primero se resuelve la ecuación a c 0 y de acuerdo a la naturaleza de las raíces se presentan tres casos: Caso I Si la ecuación a c 0 tiene dos raíces reales diferentes r 1 r. (a) Si la inecuación es de la forma a c 0, con a 0, la solución es todos los valores de que pertenecen al intervalo ;r1 r ;. () Si la inecuación es de la forma a c 0, con a 0, el conjunto solución es todos los valores de que pertenecen al intervalo r 1;r. Caso II Si la ecuación a c 0 tiene una raíz única r 1 r r. (a) Si la inecuación es de la forma a c 0, con a 0, la solución es todos los valores de r, es decir: ;r r;. () Si la inecuación es de la forma solución es el conjunto vacío. a c 0, con a 0, el conjunto Caso III Si la ecuación a c 0 tiene dos raíces no reales. (a) Si la inecuación es de la forma solución es todos los valores reales de. a c 0, con a 0, el conjunto ÁRE DE MTEMÁTIC Página 19

14 () Si la inecuación es de la forma solución es vacío. Ejemplo 4.8 (a) Resuelva la inecuación: a c 0, con a 0, el conjunto 10 0 Factorizando la inecuación cuadrática: 10 0 Otenemos ( )( 5) 0 Las raíces de la ecuación ( )( 5) 0 son y 5 Por lo tanto, el conjunto solución es (Caso I-(a)) ; 5 ; () Resolver: La ecuación tiene raíces no reales r 1 r 3 con a 1, por lo tanto el conjunto solución es vacío. (Caso II-) (c) Resolver: 4 0 La ecuación 4 0 tiene raíces no reales, por lo tanto el conjunto solución es todos los valores reales de. (Caso III-a) 19/01/01 TLLER DE EJERCICIOS Sutítulo Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: y 30y ÁRE DE MTEMÁTIC Página 130

15 Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones de segundo grado ( 3) (3 1)( ) (6 5) ( 3)( 1) (5 1)( ) ( 4) 38 0 ( 3) 5( 3) ( 1) (3 1) ( ) ÁRE DE MTEMÁTIC Página 131

16 PLICCIONES DE LS INECUCIONES Hay la misma diferencia entre un saio y un ignorante que entre un homre vivo y un cadáver. RISTÓTELES Introducción Las aplicaciones matemáticas que tienen que ver con el mundo físico, tiene que traajar con aproimaciones es decir desigualdades en lugar de ecuaciones. Por otra parte si se trata de conocer la máima ganancia o minimizar costos haremos uso de las inecuaciones. 8/01/01 TLLER DE PROLEMS Sutítulo 1. El perímetro de un rectángulo no dee ser mayor que 30cm y su largo dee ser de 8cm. Cuál es el intervalo de variación para el ancho?. Un faricante de cierto artículo estima que su ganancia en miles de dólares está dada por la epresión donde (en miles) es el número de unidades producidas. Qué nivel de producción le permitirá otener una ganancia de al menos $14 000? 3. Una pelota se lanza hacia arria, de modo que su altura después de 7 segundos es: 18t 16t 4 pies. Determine el tiempo durante el cual la pelota estará arria de una altura de 196 pies. 4. Una empresa puede vender a $100 por unidad todos los artículos de primera necesidad que produce. Si se farican unidades por día, y el número de dólares en el costo total diario de producción es Cuántas unidades deerán producirse diariamente de tal manera que la compañía garantice una ganancia? 5. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan 5 mediante la fórmula C F 3, Qué valores de F corresponden a los valores 9 de C tales que 30 C 40? 6. Una traductora cora S/.10 por traducir una página de cualquier documento, mas una cantidad fija de S/.30 por costos de impresión. Cuántas páginas como máimo dee tener un documento para que core una cantidad menor de S/.300? 7. Para aproar un curso, el promedio de tres eámenes dee ser mayor que 14. Cuál es la nota mínima que dee sacar Raúl en su tercer eamen, si en los dos anteriores sacó 13 y 11? ÁRE DE MTEMÁTIC Página 13

17 8. La compañía Davis farica un producto que tiene un precio unitario de venta de $30 y un costo unitario de $5. Si los costos fijos son de $600,000,determine el número mínimo de unidades que deen venderse para que la compañía tenga utilidades 9. Una fárica de camisetas produce camisetas con un costo de mano de ora total (en dólares) de 1.5 y un costo total por material de 0.4.Los gastos generales para la planta son de $5000.si cada camiseta se vende en $3.5 Cuántas camisetas deen venderse para que la compañía otenga utilidades? 10. El costo unitario de pulicación de una revista es de $15. Cada una se vende al distriuidor en $14, y la cantidad que se recie en pulicidad es el 10% de la cantidad reciida por todas las revistas vendidas arria de los 10,000. Encuentre el menor número de revistas que pueden pulicarse sin perdida, esto es, qué utilidad 0(suponga que toda la emisión se venderá) 1. ctualmente, un faricante tiene 500 unidades de un producto en inventario. Hoy el precio unitario del producto es de $5 por unidad. El próimo mes el precio por unidad se incrementará en $0.50. El faricante quiere que el ingreso total reciido por la venta de las 500 unidades no sea menor que $10, 50. cuál es el número máimo de unidades que pueden venderse este mes?. Un coche se desplaza por una carretera a una velocidad comprendida entre 100 km/h y 150km/h. Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cao de tres horas?. 3. Un camión puede transportar una carga máima de 5,5 toneladas. En uno de los viajes dee cargar un cierto número de cajas de emalaje de 5 kg cada una. Si el conductor pesa 85 kg, cuántas cajas podrá transportar, como máimo, para no llevar eceso de carga? 4. na decide montar un puesto en una feria para vender los artículos de artesanía que farica su amiga Lola. Tiene que pagar al yuntamiento 9 euros diarios por la licencia de vendedora amulante y a Lola,5 euros por cada pieza. Si na cora 4 euros por artículo, cuántos tiene que vender como mínimo para otener eneficios? 5. Paula dispone de euros para llamar desde el teléfono de un ar a su amigo Palo. Cuántos minutos, como máimo, podrá halar con él por teléfono si el estalecimiento de llamada cuesta 0,5 euros, y cada minuto de conversación, 0,35 euros? 6. Dos compañías telefónicas, y, han lanzado una oferta para captar clientes. La compañía ofrece corar al mes un fijo de 10 euros más 0,05 euros por cada minuto de conversación, mientras que la compañía propone una cantidad fija de ÁRE DE MTEMÁTIC Página 133

18 0 euros más 0,03 euros por cada minuto de conversación Cuál es el número de minutos al mes que dee halar una persona para que le interese aceptar la oferta de la compañía? Cuánto le costará al mes ese número mínimo de llamadas? 7. La tienda D`computo adquirió cierto número de Mouses de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad; al día siguiente le devolvieron 6, pero logró vender 36 después de lo cual le quedaron menos de 4. Cuántos Mouses formaan el lote? 8. En una Empresa haía cierto número de computadoras. Se triplicó este número y se vendieron 95, quedando menos de 87, después se duplicó el número de computadoras que haía al principio y se vendieron 40, quedando más de 79 Cuántas computadoras haía inicialmente en la Empresa? 9. Un estudiante de la Escuela de Ingeniería de Sistemas de la Universidad Cesar Vallejo se le califica con 1, 15 y 11 en tres eámenes Cuál dee ser la mínima calificación en el eamen parcial que dee otener para que su promedio sea superior a 14 saiendo que este tiene un peso ponderado igual a dos? 10. Un vinatero dispone en su almacén de dos tipos de vino: uno a S/. 4 el litro y otro a S/7 el litro. Quiere mezclarlos para llenar un tonel de 500 litros de capacidad y quiere que la mezcla no cueste más de S/6 ni menos de S/ 5 el litro. verigua entre qué valores dee estar la cantidad de litros del primer tipo de vino para que el precio final esté en el intervalo deseado. ÁRE DE MTEMÁTIC Página 134

19 INECUCIONES POLINÓMICS Introducción La conciencia del tiempo, ajo su forma más pura, es el aurrimiento, es decir, la conciencia de un intervalo que nada atraviesa o que nada puede llenar. LOUIS LVELLE Para hallar el conjunto solución de las inecuaciones polinómicas es conveniente epresarlas de tal forma que uno de sus miemros sea 0 y el otro miemro en factores, en el presente capítulo utilizaremos el método de los puntos críticos para resolverlas. 4.6 Inecuación polinómica Definición 4.6 Inecuación polinómica Las inecuaciones polinómicas tienen la forma:, P() a a a... a 0 donde la desigualdad puede ser o n n1 n 0 1 n Para resolver las inecuaciones polinómicas, que son factorizales sore los números racionales, se aplica el método de los PUNTOS CRITICOS Método de los puntos críticos para resolver inecuaciones El método que ahora presentaremos es útil para resolver inecuaciones que involucran productos y cocientes, y que luego de reducirla mediante factorización toma una de las formas equivalentes siguientes: a1 a... an... 1 m 0, 0, 0, 0 Donde a i y los i son diferentes entre sí y pertenecen al conjunto de los números reales. El método se aplica así: 1º) Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada factor ( a i) y de cada ( ), ordenándolos en forma creciente en la recta numérica. i º) Se coloca entre éstos valores críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha a izquierda, es decir, comenzando de la derecha del mayor valor crítico y siempre con el signo (+). 3º) Ello indicará que la epresión original del prolema será: 0 (positiva) en todos los intervalos aiertos donde aparezca el signo (+). 0 (negativa) en todos los intervalos aiertos donde aparezca el signo (-). 4º) Si la inecuación corresponde a: 0 ó 0 entonces los intervalos aiertos determinados en paso anterior (3º) se cierran, pero solamente para aquellos valores críticos que provienen del numerador. ÁRE DE MTEMÁTIC Página 135

20 Ejemplo 4.9 (a) Consideremos la epresión: ( ) Sus valores críticos son -4; 1; 3 y 9 (en orden creciente). Trazamos el esquema: de orden, viendo los signos adecuados, la epresión dada ( ) será: a) 0 ; C.S : ; 4 1;3 9; ) 0 ; C.S : 4;1 3;9 ; c) 0 C.S : ; 4 1;3 9; d) 0 ; C.S : 4;1 3;9 () Resuelva la siguiente inecuación Factorizando ( ) cuyos puntos críticos son ; 3 y 4 Luego Deido a la desigualdad ( ) elegimos los signos ( ) y por lo tanto: C.S ; 3;4 (c) Resuelva la siguiente inecuación: Valores críticos: -1; 0; 1 ÁRE DE MTEMÁTIC Página 136

21 C.S 1;0 1; 3 40 (d) Resuelva: 0 7 Multiplicando por -1 a amos miemros: Factorizando: Los valores críticos son: -7; -5; 0; y 4 C.S ; 7 5;0 ;4 Teorema 4: Sea n, entonces: n i. a 0 0 a 0 ii. iii. iv. v. n a vi. vii. viii. n a 0 0 a 0 n a 0 0 a 0 n a 0 0 a 0 a n a n a n 0 0 a a a a 0 Ejemplo (a) Hallar el conjunto solución de plicando el teorema anterior, caso (i) se tiene: ÁRE DE MTEMÁTIC Página 137

22 3;1 4; C.S 3;1 4; 8 () Hallar el conjunto solución de plicando el teorema anterior, caso (ii) se tiene: ;5 1 C.S ;1 1;5 (c) Hallar el conjunto solución de plicando el teorema anterior, caso (v) se tiene: ; 3;7 5 C.S ; 3;5 5;7 Teorema 5: Sea n, entonces: i. ii. iii. iv. n1 a 0 n1 a 0 n1 a 0 n1 a 0 a 0 a 0 a 0 a 0 v. 0 a 0 n 1 a vi. 0 a 0 n 1 a vii. 0 n 1 a viii. 0 n 1 a 0 a 0 a Ejemplo 4.11 ÁRE DE MTEMÁTIC Página 138

23 15 (a) Hallar el conjunto solución de plicando el teorema anterior, caso (i) se tiene: C.S 3; 5; () Hallar el conjunto solución de plicando el teorema anterior, caso (ii) se tiene: C.S ; 1 4;6 5 3 (c) Hallar el conjunto solución de 9 9 plicando el teorema anterior, caso (vii) se tiene: C.S ; 9 3; 5; 4.6. Inecuaciones con factores cuadráticos irreductiles Se dice que una epresión cuadrática: a c con coeficientes reales, es irreducile en si su discriminante 4ac es negativo: 4ac 0 Esto equivale a decir que la ecuación cuadrática a c 0...( ) no tenga ninguna raíz real, y que por lo tanto el primer miemro de () * : o es siempre positivo ( 0) o siempre negativo ( 0) para todo real. Es decir: Si 4ac 0, y: i) Si a 0, entonces ii) Si a 0, entonces Ejemplo 4.1 Resolver: a c 0 a c * ÁRE DE MTEMÁTIC Página 139

24 3 3 0 Donde la epresión cuadrática 3 no tiene factores lineales irreduciles en, pues su discriminante es negativo. Por lo tanto: C.S ; 3; /01/01 TLLER DE EJERCICIOS Sutítulo Halla el conjunto solución de las siguientes inecuaciones polinómicas: ( 1)( ) 1 ( 3)( 4) ÁRE DE MTEMÁTIC Página 140

25 Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones polinómicas: ( ) iliografía ÁRE DE MTEMÁTIC Página 141