Departamento: ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO Descriptores:

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1 Curso académico: Centro: ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Estudios: INGENIERÍA TÉCNICA EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS (00) Asignatura: AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICA DISCRETA Código: Ciclo: 1º Curso: 2º Cuatrimestre: 2º Carácter: OBLIGATORIA Créditos teóricos: 3 Créditos prácticos: 3 Área: ÁLGEBRA Departamento: ÁLGEBRA Y ANÁLISIS MATEMÁTICO Descriptores: LÓGICA. TEORÍA DE LA DEMOSTRACIÓN. GRUPOS DE PERMUTACIÓN Y MÉTODOS DE ENUMERACIÓN. APLICACIONES. TEORÍA DE POLINOMIOS Y CUERPOS FINITOS. ÁRBOLES Y OPTIMIZACIÓN Profesores: Juan Antonio López Ramos. (CITE III, 1-42) Justo Peralta López. (CITE III, 1-42) TEMARIO TEORÍA La asignatura de Ampliación de Matemática Discreta, como indica su nombre, es una continuación de la asignatura de Matemática Discreta impartida en el primer cuatrimestre del primer curso en Ingeniería Técnica en Informática. En esta asignatura, los conocimientos y habilidades que el alumno ha tenido la oportunidad de adquirir en primero, serán ampliados con el fin de poder ser aplicados en campos muy presentes en la actualidad como son las comunicaciones digitales. Tendremos un particular interés en desarrollar la parte de las Matemática Discreta que nos serán especialmente útil en la seguridad en las comunicaciones, tanto desde el punto de vista criptográfico (privacidad en las comunicaciones y autentificación), como desde el punto de vista de la Teoría de Códigos (detección y corrección de errores en comunicaciones en canales con ruido). TEMA 0.- PRESENTACIÓN. En este tema es importante situar la asignatura en el marco del actual plan de estudios, relacionándola con los conocimientos previos del alumno, las asignaturas que cursaría de forma simultánea o posteriormente en la Ingeniería en Informática. Este tema se aprovecha también para explicar el funcionamiento de las clases de teoría, problemas y prácticas. Se comentan las prácticas de laboratorio que van a tener que realizar, explicando su funcionamiento y su importancia de cara a los objetivos que pretenden cubrir. Asimismo, se comenta la bibliografía que se va a utilizar en el curso, explicando los distintos niveles de la misma: bibliografía básica y bibliografía complementaria. Finalmente, se describen detalladamente los métodos de evaluación de la asignatura y cuáles son los requisitos para poder aprobarla.

2 Mostrar al alumno la relación con las asignaturas de Ingeniería en Informática, junto con una breve descripción de los contenidos y bibliografía recomendada y la metodología docente y de evaluación. 1 hora TEMA 1.- GRUPOS. En este tema, recordáramos los conceptos más importantes sobre grupos ya impartidos en la asignatura de Matemática Discreta, haciendo especial hincapié en el grupo cociente, grupos cíclicos, y sus aplicaciones en Criptografía (algoritmo de ElGamal) y en Teoría de Códigos (definición de código lineal y decodificación utilizando el algoritmo de Slepian). Para dichas aplicaciones serán de especial utilidad los algoritmos que nos permitirán obtener el orden de un elemento para un grupo cualquiera y el generador de un grupo cíclico. El alumnos debe ser capaz de estudiar la estructura de un grupo dado y describir el grupo cociente para un subgrupo dado. Además, debe ser capaz de calcular el orden de un elemento cualquiera y el generador de cualquier grupo cíclico. 2 horas TEMA 2.- ANILLOS Y CUERPOS. En este tema se recordarán las estructuras de Anillo, Ideal, Dominio de Integridad y Cuerpos. Se verá con especial interés el anillo cociente y veremos como Zn se puede describir a partir de la relación de congruencias o como el anillo cociente Z/(n). Veremos diferentes tipos de ideales y terminaremos con el anillo cociente GF(q)[x]/(X^n-1) de especial interés en la definición de códigos cíclicos. El alumno debe ser capaz de determinar la estructura de un conjunto de elementos sobre el cual se definen dos operaciones internas. En caso de anillos, debe ser capaz de calcular todos sus ideales, especialmente si es un anillo de ideales principales. Además, debe de saber calcular el anillo cociente y como se obtienen todos los códigos cíclicos de longitud de palabra n sobre un cuerpo finito. 4 horas TEMA 3.- POLINOMIOS.

3 Polinomios y anillos de polinomios tienen especial interés tanto en Teoría de Códigos como en Criptografía. Respecto al primer campo de aplicación, veremos como las palabras de un código lineal se pueden expresar como polinomios, asi como algoritmos de decodificación en códigos cíclicos. Respecto al segundo campo, en el Tema 5, veremos la importancia de ciertos tipos de polinomios sobre cuerpos finitos en la generación de números pseudoaleatorios. Para todo estos propósitos veremos una serie de algoritmos que nos permitirán calcular el máximo común divisor de dos polinomios p y q, y cómo expresar éste como combinación lineal de ambos; cómo resolver un sistema en congruencias con polinomios y test de irreducibilidad más utilizados en Criptografía. El alumno debe ser capaz de calcular el máximo común divisor de dos polinomios, el cálculo del inverso de un polinomio módulo otro polinomio dado, así como resolver un sistema en congruencias sobre polinomios. Además, será muy útil que el alumno pueda calcular polinomios irreducibles, especialmente para su aplicación en los siguientes dos temas. 3 horas TEMA 4.- EXTENSIONES DE CUERPOS. Hasta ahora, siempre que el alumno ha realizado operaciones sobre un cuerpo finito, normalmente lo ha hecho sobre Zp con p primo. Veremos que esos mismo cálculos se pueden hacer sobre cualquier cuerpo finito, teniendo en cuenta que el número de elementos de un cuerpo finito es siempre una potencia de un primo. Veremos como a partir de un cuerpo finito de p elementos y un polinomio irreducible de grado n, podemos describir un cuerpo de p^n elementos. Será de especial interés, cuando el polinomio irreducible utilizado sea un polinomio primitivo, en este caso podemos describir todos los elementos de la extensión del cuerpo como potencia de la raiz del polinomio primitivo, lo cual facilita muchos los cálculos. Para éste último propósito veremos un algoritmo para determinar si un polinomio es o no primitivo basado en la estructura cíclica de un cuerpo finito. Finalmente veremos como se calcula el polinomio mínimo asociado a cualquier elemento en una extensión de un cuerpo y cómo se aplica éste para el cálculo de todos los códigos cíclicos de una longitud dada y especialmente en códigos BCH utilizado en la detección y corrección de errores en CD. El alumno debe saber operar en cualquier extensión de un cuerpo, cómo definir éste a partir de polinomios primitivos y cómo decidir si un polinomio es o no primitivo. Además debe saber calcular el polinomio mínimo asociado a un elemento dado y cómo utilizar este tipo de polinomios para definir un código cíclico del tipo BCH con una determinada capacidad de detección y corrección. 4 horas TEMA 6.- SECUENCIAS LINEALES RECURRENTE.

4 En el campo de la Criptografía y el Diseño de Experimentos tienen una gran importancia la generación de números pseudo aleatorios. Para este fin utilizaremos circuitos LFSR cuya base matemática viene recogida en los anteriores temas. Veremos como se diseña este tipo de circuitos, como calcular sus salida y los estados a partir de matrices, y como calcular o estimar la longitud de periodo o cíclo a partir del polinomio característico asociado al circuito, especialmente si el polinomio es irreducible o primitivo. El alumno debe ser capaz de diseñar el circuito LFSR asociado a una fórmula recurrente, calcular sus salidas, estados y longitudes de periodo a partir del estado inicial y el polinomio asociado al circuito. 5 horas Los tema 6 y 7 son totalmente independientes a los anteriores. El final del temario estudia la Lógica Matemática. Este campo de las Matemática Discretas tiene gran importancia desde que Aristóteles intentara simular el razonamiento humano como herramienta en sus discusiones filosóficas hasta nuestros tiempos en el desarrollo de la Inteligencia Artificial. Dependiendo de la complejidad del lenguaje utilizado para representar el conocimiento y simular el razonamiento o demostraciones podemos hablar de Lógica Proposicional o Lógica de Predicados. TEMA 7.- LÓGICA PROPOSICIONAL. En toda representación del conocimiento necesitamos una simbolización de los elementos básicos, en este caso de las proposiciones atómicas. Veremos como combinar estos elementos básicos para construir ideas más complejas. Para ello veremos su sintaxis para determinar si una fórmula está o no bien escrita y como asignar significados (Teoría Semántica). Para validar un razonamiento utilizaremos un sistema axiomático (Deducción Natural), asignación de significados (Teoría Semántica) y métodos automáticos de demostraciones (Derivaciones). El alumno debe saber traducir expresiones en lenguaje natural a lógica proposicional, y demostrar si un razonamiento es válido utilizando todos los métodos comentados en el apartado anterior. 5 horas TEMA 8.- CÁLCULO DE PREDICADOS. Si aumentamos la complejidad del lenguaje para expresar conocimiento, también aumentamos la complejidad y riqueza en las demostraciones o razonamientos. El paso siguiente a la Lógica Proposicional es la definición de la Lógica de Predicados. Al igual que en el tema anterior definiremos un lenguaje que tendrá una sintaxis en particular y veremos como realizar

5 demostraciones o validaciones de razonamientos mediante sistema axiomáticos (Deducción Natural), asignación de significados (Teoría Semántica) y métodos automáticos (Derivaciones). El alumno debe saber traducir expresiones en lenguaje natural a Lógica de Predicados, y demostrar si un razonamiento es válido utilizando todos los métodos comentados en el apartado anterior. 6 horas PRÁCTICAS Las prácticas se realizarán en las aulas de ordenadores. Constarán de resolución clásica de ejercicios sobre pizarra y resolución de problemas utilizando dos lenguajes de programación. Para los temas del 1 al 6, utilizaremos el software matemático de libre distribución GAP. Y para la parte de Lógica utilizaremos Swi-Prolog también gratuito y como guión de prácticas el Tema 4 del libro Matemática Discreta y Combinatoria que se encuentra en la bibliografía EVALUACIÓN Examen escrito: Examen GAP: Examen Prolog: 6 puntos 2 puntos 2 puntos Las notas de GAP y Prolog no se guardarán para Septiembre. BIBLIOGRAFÍA - JOSE CUENCA. Lógica informática. Alianza Editorial W. KARL GRASSMAN. Matemática Discreta y Lógica. Prentice Hall. - RALPH GRIMALDI. Matemática Discreta y Combinatoria. - JOSÉ DORRONSORO y EUGENIO HERNÁNDEZ. Números, grupos y anillos. Addison-Wesley. - RUDOLF LIDL y H.NIEDERREITER. Finite fields. Cambridge University Press. - ALFRED J.MENEZES y PAUL C.OARCHOT. Handbook of cryptography. CRC Press. - LINDSAY N.CHILDS. A concrete introduction to higher algebra. Springer-Verlag. - P.SUPPES y S.HILL. Introducción a la lógica matemática. Reverté.