PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES.- Halla dos númeos que sumados den cuo poducto sea máimo. Sean e los númeos buscados. El poblema a esolve es el siguiente: máimo Llamamos p al poducto de los dos númeos, esto es, p [*] Como sustituendo en [*] esulta: p Vamos a calcula el (o los) máimo(s) de la función p p p p es un máimo Po tanto, los númeos buscados son: p :.- Halla dos númeos tales que el cuadado de uno multiplicado po el oto sea máimo, si la suma de dichos númeos es. Sean e los númeos buscados. El poblema a esolve es el siguiente: máimo Llamamos p. Como se tiene que po tanto: p Vamos a maimiza la función p : p p p p es un mínimo (no nos inteesa) p es un máimo Los númeos buscados son: Cipi
.- Cuáles son las dimensiones de un campo ectangula de m de supeficie, paa podelo ceca con una valla de longitud mínima. Po la fómula del áea del ectángulo se tiene: m Po oto lado, la supeficie que tenemos que valla es Así, el poblema a esolve es: mínima Como Llamando f sustituendo obtenemos: 7 f Vamos a minimiza f: 7 7 f f 7 f f es un máimo (no nos inteesa) f es un mínimo Po tanto, las dimensiones del campo son: m m (es deci, se tata de un cuadado).- Halla las dimensiones del ectángulo de áea máima que se puede inscibi en una cicunfeencia de adio 5 cm. A máima 5cm Po el teoema de Pitágoas: de donde La función a maimiza es: f f f cm Depatamento de Matemáticas
Cipi 5 f El único posible etemo que nos inteesa es 5 f f 5 5 f es un máimo Calculamos el valo de : 5 5 Po tanto, las dimensiones del ectángulo paa que el áea sea máima son: cm 5 cm 5 esto es, se tata de un cuadado. 5.- Con m de catón cómo constuiías una caja del mao volumen posible. Teniendo en cuenta el dibujo, tenemos que maimiza la función v Calculamos las deivadas: v v v v es un mínimo (no nos inteesa) v es un máimo
Po tanto, como (m) las dimensiones de la caja son:.- Una hoja de papel debe contene cm de teto impeso. Los mágenes supeio e infeio deben se de cm los lateales de cm. Cuáles deben se las dimensiones paa que esulten hojas con un coste mínimo? Teniendo en cuenta el dibujo, la función a minimiza es: s Po ota pate, teniendo en cuenta la fómula del áea de un ectángulo, se tiene que: Así, tenemos que esolve el siguiente poblema: mínima Como, po tanto, sustituendo en s tenemos: s s s : Vamos a minimiza s s 9 9 7 7 s s es un mínimo Así las dimensiones de la zona que contiene el teto impeso son: cm cm las dimensiones de la hoja de papel son: 5 cm. 7.- Un agiculto sabe que si vende ho su cosecha podá ecoge 5 kg, que le pagaán al pecio de céntimos po kg. Po cada día que espee, la cosecha disminuiá en kg, peo el pecio aumentaá en céntimos po kg. Cuántos días debeá espea paa obtene el mao beneficio? Sea = númeo de días que espea el agiculto. Recoge una cosecha de 5 kg, que vende al pecio de (cent./kg). La ganancia que obtiene es: g 5 Depatamento de Matemáticas
que es la función que tenemos que maimiza: g 5 5 5 g g 5 5 g es un máimo Po tanto, el agiculto debeá espea 5 7,97 días paa que su ganancia sea máima..- Un vendedo de bolígafos ha obsevado que si vende sus bolígafos a 5 céntimos, es capaz de vende unidades diaias, peo que po cada céntimo que aumente el pecio, disminue en unidades la venta diaia de bolígafos. Po ota pate a él le cuesta 7,5 céntimos fabica un bolígafo. Aveigua qué pecio ha de pone paa obtene el máimo beneficio. Sea el pecio de cada bolígafo. El númeo de bolígafos vendidos al día es n, en cada bolígafo obtiene un beneficio igual a 5. El beneficio total es: b 5 que es la función que tenemos que maimiza : b 5 5 5 5 b 5,5 b b,5,5 es un máimo paa b Po tanto, el pecio del bolígafo paa que el beneficio sea máimo es de,5 céntimos. 9.- Se desea constui el maco paa una ventana ectangula de m de supeficie. El meto lineal de tamo hoizontal cuesta euos el tamo vetical euos. a) Calcula las dimensiones de la ventana paa que el coste del maco sea mínimo. b) Detemina el coste del maco. m El poblema a esolve es: M Como sustituendo en la epesión de M: M M Esta función es una paábola po tanto tiene su etemo en el vétice. Cipi 5
Calculamos M e igualamos a ceo: M M 9 Compobamos que la solución positiva que es la que tiene sentido coesponde a un mínimo: 7 7 7 M 7 M es un mínimo m Po tanto las dimensiones del maco son: m Así, el coste del maco es:..- En una oficina de coeos sólo admiten paquetes con foma de paalelepípedo ectangula, tales que la anchua sea igual a la altua, además, la suma de sus tes dimensiones debe se de 7 cm. Halla las dimensiones del paalelepípedo paa que el volumen sea máimo. Maimizamos v : v v El poblema a esolve es: 7 v máimo Como 7 7 ý sustituendo en la epesión de v: 7 7 v (No vale) v v v es un máimo Po tanto, las dimensiones de la caja son: (cm)..- Queemos diseña un envase cua foma sea un pisma egula de base cuadada capacidad cm. Paa la tapa la supeficie lateal usamos un deteminado mateial; peo paa la base debemos emplea un mateial un 5% más cao. Halla las dimensiones de este envase (longitud del lado de la base altua) paa que su pecio sea el meno posible. Si suponemos que el pecio del mateial paa la tapa los lateales es de una unidad po cm, el pecio paa cm de la base seá de,5 unidades. Depatamento de Matemáticas
El pecio del envase, que es la función que debemos minimiza, es: p,5,5 Esta función depende de dos vaiables, peo como sabemos que el volumen es de cm, se tiene: V Sustituendo en la función: p,5,5 p Deivamos e igualamos a ceo: p 5 p 5 cm Paa compoba que se tata del pecio mínimo, calculamos la deivada segunda sustituimos: p 5 p es un mínimo El envase de pecio mínimo tiene una base cuadada de cm de lado una altua de 5 cm..- Halla las dimensiones del ectángulo de áea máima que puede inscibise en un tiángulo isósceles cua base es el lado desigual mide cm la altua coespondiente mide cm. Supón que un lado del ectángulo está en la base del tiángulo. C La función que debemos hace máima es el áea del ectángulo: A Como esta función depende de dos vaiables, debemos busca una elación ente ellas. P Los tiángulos CMB PNB son semejantes, po tanto: M A N B MB BN CM PN Sustituimos en la función a maimiza: A A Deivamos e igualamos a ceo: A A Sustituimos en la deivada segunda: A es un máimo cm Po tanto, las dimensiones del ectángulo son: cm Cipi 7
.- Un hilo de cm se divide en dos tozos de longitudes e ; con el pimeo se foma un cuadado con el segundo un cículo. Razonadamente: a) Halla e paa que la suma de las áeas del cuadado del cículo sea máima. b) Halla e paa que la suma de las áeas del cuadado del cículo sea mínima. La longitud de la cicunfeencia es, po tanto el adio es. cm La función que tenemos que maimiza minimiza es la suma de las áeas: S Además, sabemos que, es l deci,. Sustituendo: S S Deivamos e igualamos a ceo: S S Calculamos la deivada segunda sustituimos: S es un mínimo Po tanto, el valo hallado coesponde a un mínimo. Es deci, cuando e la suma de las áeas es mínima. El áea seá máima en uno de los etemos del intevalo, en el que toma valoes la vaiable. Si e, el adio del cículo es, el áea del cuadado es el áea del cículo es: A cículo 795, cm Si e, el lado del cuadado es 5 cm el áea del cuadado es: A 5 cuadado 5 cm Así, la función se hace máima cuando, es deci, cuando todo el hilo se utiliza en hace un cículo. Depatamento de Matemáticas
.- Un jadineo quiee hace un patee en foma de secto cicula que tenga de peímeto m. Se pegunta aceca del adio que debe toma paa loga que el áea del patee sea máima. a) Epesa el áea del patee, S, como función del adio. b) Detemina el valo del adio que maimiza S. c) Cuál es la amplitud de este secto de máima supeficie? d) Qué citeio se utilizaá paa gaantiza que la solución encontada coesponde cietamente a un máimo? Consideamos un secto cicula de adio, aco a ángulo. Deducimos la fómula del áea de dicho secto a pati de la a fómula del áea de cículo de la longitud de la cicunfeencia. A L Si llamamos S al áea del secto cicula, se tiene: a a S a S a) Paa epesa el áea S en función del adio utilizamos la elación que popociona el peímeto del patee, a, de donde: a Sustituimos en la fómula de S: S S b) Deivamos e igualamos a ceo: S S 5 m Calculamos la deivada segunda sustituimos: S 5 es un máimo c) Paa calcula el valo de la amplitud,, coespondiente a esta solución, calculamos pimeo el valo de a: a 5 m el ángulo coespondiente a este aco (epesado en adianes) se obtiene mediante una egla de tes: adianes 5 d) Paa gaantiza que la solución coesponde a un máimo, hemos calculado la deivada segunda hemos visto que tiene signo negativo. 5.- El valo de un ubí es popocional al cuadado de su peso. Divide un ubí de gamos en dos pates de gamos de gamos, de foma que los dos ubíes fomados sea mínima. El valo de dos ubíes seá, en función del peso de uno de ellos: V k k Calculamos la deiva e igualamos a ceo: Jadín o pate de él con césped, floes anchos paseos. Cipi 9
k k V V Calculamos la deivada segunda sustituimos: V V es un mínimo Así, ambos ubíes deben pesa gamo cada uno..- Se quieen constui depósitos cilíndicos como el de la figua, con la condición de que la altua el peímeto de la cicunfeencia sumen m. Compueba que el volumen de los depósitos viene dado po la epesión: V detemina las dimensiones del que tiene volumen máimo. La función que queemos hace máima es el volumen del cilindo: V h La condición dada en el enunciado elaciona las dos vaiables que apaecen en la fómula del volumen: h h Sustituendo en V: V Deivamos e igualamos a ceo: V V La solución coesponde a un cilindo degeneado de volumen. Estudiamos la solución no nula, paa ello calculamos la deivada segunda: V V es un máimo El cilindo de volumen máimo tiene po dimensiones m h m. 7.- Dos coches ciculan po dos caeteas pependiculaes. El pimeo sale de la ciudad A a km/h el segundo de la ciudad B a km/h en sentido al cuce de ambas caeteas. La distancia de A hasta el cuce es de km desde B hasta el cuce, de km. En qué momento la distancia ente los dos coches es mínima? Sea d la distancia que ha que minimiza. Sabemos que e v t El espacio que le falta po ecoe a A es: t Depatamento de Matemáticas
km A d El espacio que falta po ecoe a B es: t Aplicando el teoema de Pitágoas: d( t) ( t) ( t) Desaollando agupando: d ( t) t t Calculamos la deivada pimea e igualamos a ceo: t d t t t t... t t d t t t t Calculamos la deivada segunda sustituimos: 75 d t t t 9 d t es un mínimo 7 Po tanto, la distancia ente los dos coches es mínima paa son, apoimadamente, 55, minutos. B km t,9 hoas, que Cipi