10. Probabilidad y Estadística
Ámbito científico 1. Saltos de canguro 2. Pares y nones 3. La travesía del río 4. Las tres fichas 5. Las tres ruletas 6. El dado ganador 7. El reparto 8. Lotería 9. Lotería primitiva 10. Quinielas 11. El cumpleaños 12. Familias 13. Nieve 14. Paseo al azar 15. El ratón y el laberinto 16. El ratón y el queso 17. Tu clase 18. Moda, media, desviación típica 19. Baloncesto 20. Dos empresas 188
Probabilidad y Estadística SALTOS DE CANGURO Es un juego para un máximo de 6 jugadores. Se necesita el tablero adjunto (con seis filas, numeradas de 0 a 5) y cinco monedas. Cada uno de los jugadores elige uno de los canguros. Reglas 1) Tiramos cinco monedas a la vez y contamos el número de caras que nos salen. El canguro que lleve ese número salta (avanza) una casilla. 2) Gana el jugador cuyo canguro sea el primero que haga diez saltos (llegando así a la meta) a) Formar un grupo y jugar varias partidas. Si jugáis dos jugadores, cada uno tendrá que jugar con tres canguros. b) Por cuál de los canguros apostarías como ganador? c) Continuad jugando varias partidas para comprobar o cambiar la predicción que habéis hecho. 189
Ámbito científico PARES Y NONES a) Es un juego para dos jugadores, que necesitan dos dados. Cada uno de ellos elige par o impar. Lanzamos los dos dados a la vez y calculamos la suma de los resultados que aparecen. Si es par gana el que lo había elegido, si es impar el otro. Si se puede elegir, por cuál lo harías?, es indiferente?. Jugad unas cuantas partidas para comprobarlo. b) La misma mecánica que en el caso anterior: lanzamos los dos dados a la vez y multiplicamos los resultados (en vez de sumarlos como antes). Si es par gana el que lo había elegido, si es impar el otro. Tu que elegirías si pudieras hacerlo, par o impar?. Jugad varias partidas para comprobarlo. LA TRAVESÍA DEL RIO Es un juego para dos jugadores. Cada uno dispone de 12 fichas que debe colocar a su antojo en las casillas numeradas de su orilla. Lanzan alternativamente un par de dados y su suma indica la casilla de la que hay que tomar una ficha (si la hubiera) y pasarla a la otra orilla del río. Gana el jugador que primero consiga pasar todas sus fichas a la otra orilla del río. Busca la mejor colocación de las fichas y justifícala. 190
Probabilidad y Estadística LAS TRES FICHAS Es un juego para dos jugadores. Se dispone de un recipiente con tres fichas: una de ellas blanca por las dos caras, otra con las dos caras negras y la tercera con una cara blanca y otra negra. Reglas 1) Cada uno de los jugadores, por turno, saca una de las fichas enseñando una de las caras, y tapando la otra. El otro jugador apuesta por el color de la cara oculta. Al acabar cada partida se devuelve la ficha al recipiente. 2) Gana si acierta el color de la cara oculta de la ficha. En caso contrario gana jugador que había sacado la ficha. a) Es un juego equitativo? b) Da igual apostar por uno u otro color, con independencia del color que vemos que ha salido?. c) Si no es equitativo, por qué color apostarías? LAS TRES RULETAS Necesitas un tablero Las tres ruletas, un lápiz y un clip abierto por un extremo. Este es un juego para dos jugadores. Cada jugador elige una ruleta y apoya el lápiz sobre el centro de la ruleta, atravesando el agujero del clip de forma que éste pueda girar a su alrededor. Cada jugada consiste en hacer girar el clip, ganando el jugador que obtenga el número más alto. Qué ruleta prefieres? Juega con tu pareja algunas partidas y anota los resultados. Compara los resultados con los de otras parejas. Alguna ruleta tiene ventaja?. 191
Ámbito científico 192
Probabilidad y Estadística 193
Ámbito científico EL DADO GANADOR Es un juego para dos jugadores que necesitan tres dados tetraédricos (de cuatro caras) con las numeraciones siguientes en sus caras: Dado A: 6333; Dado B: 5522; Dado C: 4441 Reglas 1) Cada uno de los jugadores, por turno, escoge uno de los dados, el que quiera; el otro jugador escoge uno de los dos restantes y los lanzan a la vez. 2) Gana en cada tirada el jugador que obtiene mayor puntuación. Se hacen partidas a un número prefijado de tiradas ganadas. a) Si eres el primer jugador qué dado debes elegir? b) Si eres el segundo jugador, qué dado debes elegir, teniendo en cuenta el que ha elegido el otro jugador? c) Es un juego equitativo? EL REPARTO Dos jugadores apuestan uno contra otro la misma cantidad de dinero en un juego de azar en el que el ganador será el que primero gane tres partidas, y que se llevará todo el dinero. Uno de los dos jugadores ha ganado una partida (y ninguna el otro) cuando por causa de fuerza mayor se tiene que suspender el juego. Cómo habrá que repartir entre los jugadores el dinero que se había apostado? 194
Probabilidad y Estadística LOTERÍA Cuál es la probabilidad de que te toque el premio gordo de la lotería? LOTERÍA PRIMITIVA Para rellenar una apuesta de la lotería primitiva has de tachar seis números de entre los 49 de un tablero. Cuál es la probabilidad de que aciertes los seis números?. Cuál es la probabilidad de que aciertes cinco y el complementario? QUINIELAS Un dado de hacer quinielas tiene seis caras, de las que hay tres señaladas con 1, dos señaladas con X y una cara señalada con 2. Por qué se han construido así estos dados?. Cuántas quinielas diferentes se pueden hacer?. Cuántas con un partido fijo? Y con dos partidos fijos?. 195
Ámbito científico EL CUMPLEAÑOS a) En una reunión hay 5 personas que se han juntado de forma casual. Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día del año (es decir, que hayan nacido el mismo día del mismo mes)? b) Cuál es el número de personas que tiene que haber reunidas para que la probabilidad sea del 50%? FAMILIAS En las familias con cuatro hijos, qué es más probable, que haya dos hijos de cada sexo o tres de un sexo y uno del otro? 196
Probabilidad y Estadística NIEVE Imagina que la siguiente cuadrícula 55 representa las baldosas del patio de una casa y que empieza a nevar lentamente. Si han caído los 100 primeros copos, cómo crees que se habrán distribuido en las 25 baldosas del patio? Vamos a hacer una simulación de dónde han caído esos 100 copos. Necesitaremos tirar dos dados cien veces: el resultado del primer dado nos dará la fila (si es un seis lo tiramos otra vez); el del segundo, la columna (tiramos de nuevo si es un seis): con los dos tenemos la baldosa en la que ha caído un copo. Se parece a la suposición que habías hecho? En cuántas baldosas han caído 0, 1, 2, 3, 4 o más copos? PASEO AL AZAR Una hormiga parte de un punto A y se mueve al azar siguiendo uno de los caminos (Norte, Sur, Este, Oeste) de la siguiente cuadrícula. Puedes simular el movimiento de la hormiga de la siguiente forma: lanza dos dados; el primero será para los desplazamientos horizontales (si sale par, a la derecha; si es impar, hacia la izquierda); el segundo dirá si la hormiga se desplaza hacia arriba (si es par) o hacia abajo (si es impar). En cada paso, la hormiga parte del punto donde se ha quedado en el paso anterior. Haz una serie de 10 pasos y mide la distancia al punto A de partida. Compara tu resultado con los de tus compañeros. 197
Ámbito científico EL RATÓN Y EL LABERINTO Un ratón está situado en la entrada A de un laberinto como el de la figura y desea llegar hasta el punto B donde hay un suculento queso esperándole. Para ir a B decide recorrer al azar cada uno de los tramos siguiendo siempre las direcciones norte (N) y este (E). Cuantos caminos puede recorrer hasta alcanzar el queso?. EL RATÓN Y EL QUESO Observa el laberinto que representa el siguiente grafo. Tiene una entrada y dos salidas: una guardada por un gato y otra en la que hay un trozo de queso. Un ratón está en la entrada y avanza por el laberinto. En cada cruce elige al azar uno de los dos caminos posibles. Si llega al queso, sale del laberinto relamiéndose, pero si tropieza con el gato, está irremisiblemente perdido, el gato será el que se relama y se atuse los bigotes. Cuál es la probabilidad de que salga del laberinto con vida y bien alimentado?. Y de que se lo coma el gato?. Buscando su destino, el ratón puede ir por muchos caminos distintos: requieren todos el mismo tiempo para recorrerlos?. Cuánto tiempo le costará al ratón acabar, bien o mal, su paseo por el laberinto, si tarda un minuto en recorrer la distancia que separa dos nudos consecutivos?. 198
Probabilidad y Estadística 199
Ámbito científico TU CLASE Te proponemos que recojas información sobre tu clase en los siguientes aspectos: número de hermanos. tiempo invertido para desplazarse de casa al instituto. a) Con los datos obtenidos, dibuja: un diagrama de barras para la información referida al número de hermanos. un diagrama de rectángulos para el tiempo de desplazamiento. En el último caso te será útil agrupar los datos en intervalos. Cómo puedes hacerlo?. b) Un histograma es un diagrama de rectángulos en el que el área de cada rectángulo es igual a la frecuencia del intervalo correspondiente. Dibuja el histograma correspondiente a las tallas de tu clase. c) Analiza la información obtenida: Cuál es el número de hermanos más frecuente?. Cuántos hermanos tienen tus compañeros por término medio?. Cuál es el tiempo medio de desplazamiento al instituto?. Hay mucha dispersión en el número de hermanos?. Y en el tiempo de desplazamiento?. Cuál de las dos magnitudes consideradas te parece más dispersa?. 200
Probabilidad y Estadística MODA, MEDIA, DESVIACIÓN TÍPICA El dato más frecuente en una estadística se llama moda. La media es un valor tal que si todos los datos fueran iguales a él, sumarían lo que realmente suman. Si disponemos de una tabla de frecuencias: DATOS X X 1 X 2 X 3......... X N FRECUENCIAS f f 1 f 2 f 3......... f N entonces, la media X de los datos cumple que calcula mediante la fórmula: X N X i i1 N i1 f f i i N Xi fi N X. Por tanto, la media se i1. Además, una forma de medir la dispersión de los datos es mediante la varianza, que es la media de los cuadrados de las desviaciones de cada dato a la media y viene dada por la fórmula: N X X i1 f i i i1 V Se toman N los cuadrados de las desviaciones, porque la media de las desviaciones siempre está próxima a cero, puesto que unas desviaciones son positivas y otras negativas, por lo que unas se compensan con otras. La desviación típica,, es la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir: f i 2 V. Un procedimiento más rápido para hallar la media y la desviación típica consiste en utilizar el modo SD de la calculadora: Coloca la calculadora en modo SD o STAT. Introduce los datos y las frecuencias del siguiente modo: X 1 f 1 DATA X 2 f 2 DATA............ X N f N DATA Para hallar la media, activa la función X. Para hallar la desviación típica, activa la función n. Para borrar los datos estadísticos de la memoria, pulsa SHIFT AC. Utiliza la calculadora para calcular la media y la desviación típica del número de hermanos y del tiempo de desplazamiento al instituto, teniendo en cuenta los datos de tu clase. 201
Ámbito científico BALONCESTO En la siguiente tabla tienes los puntos totales conseguidos por cada uno de los jugadores de dos equipos de baloncesto en la pasada liga: EQUIPO A 315 355 420 392 457 480 387 340 EQUIPO B 444 432 416 388 368 367 362 360 a) Calcula la media y desviación típica de cada equipo. Qué equipo es mejor?. b) Qué equipo tiene puntuaciones menos dispersas en torno a la media?. El coeficiente de variación es el cociente entre la desviación típica y la media de un conjunto de datos estadísticos. CV X Se suele expresar en porcentaje y sirve para comparar y medir la dispersión relativa de distintas poblaciones. En general, no es menos dispersa la población que presenta menos desviación típica, sino la que presenta un menor coeficiente de variación, ya que la dispersión depende también del valor de la media. No es lo mismo una desviación de 5 frente a una media de 10 que una desviación de 5 frente a una media de 100. Siendo las desviaciones típicas iguales, en el segundo caso hay menor dispersión relativa, lo que se traduce en un menor valor del coeficiente de variación. DOS EMPRESAS Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 100000 euros y una desviación típica de 12500 euros. En otra empresa más pequeña B, la media es 15000 euros y la desviación típica 2500 euros. Calcula mediante el coeficiente de variación, cuál de las dos tiene más variación relativa. 202