Olimpiada Mexicana de Matemáticas para alumnos de primaria y secundaria en Guanajuato Primer Selectivo Octubre 6 del 2018. 1 Nivel I. Problema 1. (b) La acción es que quité la ropa y la razón por la que lo hice fue que llovió, entonces llovió es la causa de la acción. Problema 2. (d) Vemos que dentro del circulo más pequeño solo se encuentran los números 4 y 5 pero el cinco no está dentro del circulo de la derecha, así que el 4 es el unico número que se encuentra en todos los circulos. Problema 3. (c) Basta con hacer la operación para obtener 3. Problema 4. (a) Todos estos números terminan en 1, entonces cuando hagamos la suma tendremos 9 veces al 1 en las unidades por lo que el resultado termina en 9. Tenemos 8 números cuyo dígito de las decenas es 1, entonces cuando hagamos la suma, el resultado tendrá un 8 en el dígito de las decenas. Si seguimos de la misma manera para el resto de dígitos obtendremos el resultado 123,456,789. Problema 5. (d) Para el hexágono si trazamos las diagonales que salen de un vertice veremos que son 3, luego haciendo lo mismo para todos los vertices obtendremos que hay 3x6 diagomales, es decir, 18. Pero ocurre un problma, cada diagonal la contamos dos veces pues la contamos una vez por cada vertice al que está conectado, entonces la cantidad de diagonales es la mitad de 18, por tanto el hexágono tiene 9 diagonales. Problema 6. (d) Como German habla más alto que Jonathan, entonces Jonathan habla más bajito que German. Como Moisés habla más bajito que Jonathan y Jonathan más bajito que German, entonces Moisés habla más bajito que German, luego German habla más alto que Moisés. Problema 7. (b) Los números 1 y 5 están en el cuadrado así que quedan descartados. Entonces en el triangulo o en el pentagono están los números 2,3 y 4, pero el 3 se encuentra en ambos así que solo son el 2 y el 4. Problema 8. (d) 20 es par y 18 es par, entonces su producto será un número par. Problema 9. (c) Despues del primer mes la persona pesará la mitad de 500, es decir, 250, luego para el segundo mes pesará 125 y finalmente para el tercero pesará 62.5 que es menos de 70 y así vemos que tuvieron que pasar 3 meses. Problema 10. (b) Tenemos en total 47 palitos y cada rectangulo ocupa 4 palitos, entonces hay a lo más 11 palitos (sobran 3). Y finalmente hay muchas maneras de formar los 11 rectangulos por ejemplo usando los 20 grandes para formar 5 cuadrados, 8 chicos para formar 2 cuadrados y 16 medianos para formar 4 cuadrados. Problema 11. (a) Como Ana da 5 vueltas en 12 minutos, entonces tardará 24 minutos en dar 10 vueltas. Como Bruno da 2 vueltas en 5 minutos, entonces tardará 25 minutos en dar 10 vueltas. Por lo tanto Ana es más rápida que Bruno Problema 12. (d) El gato está a una distancia de 6 cuadritos del ratón. Como cada minuto el gato avanza un cuadrito más que el ratón, entonces acorta la distancia en un cuadrito por minuto y por tanto en 6 minutos debará alcanzarlo. En 6 minutos el ratón llegará al cuadrito con el 4, entonces el gato alcanza al ratón en el cuadrito 4. Problema 13. (b) Como corre 36 metros por minuto y corrio durante 21 minutos, entonces avanzo 21 36=756 metros. Luego tenemos que 4 vueltas a la pista son 756 metros por lo que una vuelta será 756 4=189. Problema 14. (a) Como los divisores de 27 son 1, 3, 9 y 27, entonces dos de los números deben ser 1 y 27 ó 3 y 9. Análogamente para el 35 tenemos que dos de los números deben ser 1 y 35 ó 5 y 7. De igual forma para el 15 tenemos que dos de los números deben ser 1 y 15 ó 3 y 5. Entonces los números son: 3, 5, 7 y 9 por lo que el resultado 1
que falta es 9x7 = 63. Problema 15. (b) Como los lados del hexágono pequeño son la mitad, entonces su apotema también es la mitad por lo que su área será una cuarta parte que la del grande. Entonces el área del hexágono grande es 16 cm 2 2 Nivel II. 6 de Primaria Problema 1. (d) Como German habla más alto que Jonathan, entonces Jonathan habla más bajito que German. Como Moisés habla más bajito que Jonathan y Jonathan más bajito que German, entonces Moisés habla más bajito que German, luego German habla más alto que Moisés. Problema 2. (b) Los números 1 y 5 están en el cuadrado así que quedan descartados. Entonces en el triangulo o en el pentagono están los números 2,3 y 4, pero el 3 se encuentra en ambos así que solo son el 2 y el 4. Problema 3. (c) Basta con hacer la operación para obtener 3. Problema 4. (c) Como hay menos de 2018 asistentes, entonces cada quien debio llevarse más de una camiseta. Como hay más de 1000 asistentes, entonces no se pudieron haber llevado 3 o más camisetas cada quien, pues solo hay 2018 camisetas. Entonces cada asistente se llevó 2 camisetas por lo que hay 2018/2 asistentes, es decir 1009 asistentes. Problema 5. (b) Tenemos en total 47 palitos y cada rectangulo ocupa 4 palitos, entonces hay a lo más 11 palitos (sobran 3). Y finalmente hay muchas maneras de formar los 11 rectangulos por ejemplo usando los 20 grandes para formar 5 cuadrados, 8 chicos para formar 2 cuadrados y 16 medianos para formar 4 cuadrados. Problema 6. (e) Un hermano de Ana tiene a las mismas hermanas que Ana y a Ana, entonces tiene a 6 hermanas. Como no puede ser su propio hermano, entonces solo tiene 3 hermanos. Problema 7. (d) El gato está a una distancia de 6 cuadritos del ratón. Como cada minuto el gato avanza un cuadrito más que el ratón, entonces acorta la distancia en un cuadrito por minuto y por tanto en 6 minutos debará alcanzarlo. En 6 minutos el ratón llegará al cuadrito con el 4, entonces el gato alcanza al ratón en el cuadrito 4. Problema 8. (a) Como los divisores de 27 son 1, 3, 9 y 27, entonces dos de los números deben ser 1 y 27 ó 3 y 9. Análogamente para el 35 tenemos que dos de los números deben ser 1 y 35 ó 5 y 7. De igual forma para el 15 tenemos que dos de los números deben ser 1 y 15 ó 3 y 5. Entonces los números son: 3, 5, 7 y 9 por lo que el resultado que falta es 9x7 = 63. Problema 9. (d) Como las resta de las unidades es 9, entonces las unidades del número de 3 dígitos es 9 y las unidades del número de 2 dígitos es 0. Análogamente para las decenas tenemos que el número de 3 dígitos es 9 y las decenas del número de 2 dígitos es 1. Finalmente para las centenas el número de 3 dígitos es 9. Por lo tanto el resultado es 999 + 10 = 1009. Problema 10. (a) Como duplicó cada lado, entonces su área se cuadruplica por lo que el área del cuadrado nuevo es 16 cm 2 Problema 11. (d) El recorrido de caperucita sería 2, 3, 1, 4, 5, 2 y luego ya no hay un 3 al que pueda ir por lo que deberá dirigirse a la cabaña que tiene más cercana, la cual es la cabaña 4. Problema 12. (d) Para elegir la primera letra hay 6 opciones pues tenemos 2 tamaños para la S, 2 tamaños para la O y 2 tamaños para la L. Para elegir la segunda letra está ya no puede ser la que elegimos al principio ni el otro tamaño de la que elegimos al principio, entonces son 4 opciones. Finalmente para elegir la última letra tendremos 2 opciones que son los posibles tamaños de la única letra que no hemos elegido. Por lo tanto la cantidad de palabras que se pueden formar son 6x4x2=48. Problema 13. (b) La cantidad de caramelos que tiene el abuelo de Jaimito es: 10 multiplicado por la cantidad de nietos, menos 10 (pues Jaimito se quedaría sin caramelos) y también la cantidad de caramelos es: 8 multiplicado 2
por la cantidad de nietos, más 6. Entonces despejando la cantidad de nietos tenemos que son 8 lo cual concuerda pues 10x8-10=70=8x8+6. Problema 14. (c) Para que el promedio de los primeros 21 números sea 14, entonces su suma debe ser 14x21=295. Así mismo la suma de los otros 14 números es 295, entonces la suma de los 35 números es 590 por lo que su promedio es 590 35=16.8. Problema 15. (c) Si completamos la esquina derecha para que la región sombreada sea un triángulo, entonces tendremos que sus lados son 2 y 1.5 por lo que su área es 1.5. Como el pedazo de región con el que completamos el triángulo es un rectangulo de lados 1 y 0.5, entonces su área es 0.5, luego el área sombreada es 1.5-0.5=1cm 2 3 Nivel III. 1 de Secundaria Problema 1. (b) Los números 1 y 5 están en el cuadrado así que quedan descartados. Entonces en el triangulo o en el pentagono están los números 2,3 y 4, pero el 3 se encuentra en ambos así que solo son el 2 y el 4. Problema 2. (d) La diagonal de la respuesta d) es la única que que es eje de simetria de los agujeros, entonces debe ser así como se doblo la hoja. Problema 3. (d)20 es par y 18 es par, entonces su producto será un número par. Problema 4. (b) La cantidad de caramelos que tiene el abuelo de Jaimito es: 10 multiplicado por la cantidad de nietos, menos 10 (pues Jaimito se quedaría sin caramelos) y también la cantidad de caramelos es: 8 multiplicado por la cantidad de nietos, más 6. Entonces despejando la cantidad de nietos tenemos que son 8 lo cual concuerda pues 10x8-10=70=8x8+6. Problema 5. es 16 cm 2 (a)como duplicó cada lado, entonces su área se cuadruplica por lo que el área del cuadrado nuevo Problema 6. (d) El recorrido de caperucita sería 2, 3, 1, 4, 5, 2 y luego ya no hay un 3 al que pueda ir por lo que deberá dirigirse a la cabaña que tiene más cercana, la cual es la cabaña 4. Problema 7. (b)para elegir la primera letra hay 6 opciones pues tenemos 2 tamaños para la S, 2 tamaños para la O y 2 tamaños para la L. Para elegir la segunda letra está ya no puede ser la que elegimos al principio ni el otro tamaño de la que elegimos al principio, entonces son 4 opciones. Finalmente para elegir la última letra tendremos 2 opciones que son los posibles tamaños de la única letra que no hemos elegido. Por lo tanto la cantidad de palabras que se pueden formar son 6x4x2=48. Problema 8. (c) Para que el promedio de los primeros 21 números sea 14, entonces su suma debe ser 14x21=295. Así mismo la suma de los otros 14 números es 295, entonces la suma de los 35 números es 590 por lo que su promedio es 590 35=16.8. Problema 9. (d) El 19 porciento de 2019 es 19x0.19=383.61, el 20 porciento de 2018 es 403.6, 1/5 de 2018 es 403.6, el 21 porciento de 2017 es 423.57 y 2/11 de 2017 es 366.72. Por lo tanto el mayor es el 21 porciento de 2017. Problema 10. (c) Como el perimetro de un cuadrado es 4 veces lo que miden sus lados y los lados de las monedas que gaste deben sumar 250, entonces su perimetro es 250x4=1000 cm. Problema 11. (d) Cada que hacemos un corte nos separa un pedazo de liston en dos pedazos, entonces como inicialmente tenemos un pedazo de liston y hacemos 11 cortes obtendremos 12 pedazos. Problema 12. (b) De las últimas 4 veces que se lanzo solo ha caido un sol por lo que el siguiente lanzamiento deberá ser sol. Después de el sol que debe caer el siguiente lanzamiento no puede ser sol porque tendriamos 5 lanzamientos con 3 soles, entonces este último lanzamiento tiene que ser águila. Por lo tanto los siguientes dos lanzamientos son sol y águila. 3
Problema 13. (a) Como Lilo le quito canicas de cada tonalidad, entonces solo de azul celeste le pudieron haber quedado un multiplo de 5 pues de las otras tonalidades le deben quedar menos de 5 y como 30 es multiplo de 5, entonces de azul celeste debe tener 5 para que el producto pueda ser 30. La multiplicación de las que le quedaron de azul fuerte por las azul marino tiene que ser 6 y entonces las posibilidades son que le quedaran 3 azul fuerte y 2 azul marino ó 2 azul fuerte y 3 azul marino, pero en cualquier caso la cantidad de canicas que le quedaron a Stich es 10 así que las que le robó Lilo son 9. Problema 14. (b) Vemos que cada 4 dígitos se repite el patrón, entonces como 2016 es multiplo de 4 el dígito que escribe en la posición 2016 es el mismo que escribe en la posición 4 que es el 8, entonces en la posición 2017 escribe el 2 y en la posición 2018 escribe el 0. Problema 15. (c) Como las áreas solo difieren por un centimetro, entonces la esquina que fue doblada tiene área de 1 cm 2. Como los lados de la esquina son la mitad que los lados del cuadrado entonces su área es una octava parete del cuadrado porque es la mitad de un lado por la mitad del otro lado y luego entre dos por ser un triángulo. Entonces el área del cuadrado es 8 cm 2. 4 Nivel IV. 2 de Secundaria Problema 1. (d) Cada que hacemos un corte nos separa un pedazo de liston en dos pedazos, entonces como inicialmente tenemos un pedazo de liston y hacemos 11 cortes obtendremos 12 pedazos. Problema 2. (d) La diagonal de la respuesta d) es la única que que es eje de simetria de los agujeros, entonces debe ser así como se doblo la hoja. Problema 3. (c) Despues del primer mes la persona pesará la mitad de 500, es decir, 250, luego para el segundo mes pesará 125 y finalmente para el tercero pesará 62.5 que es menos de 70 y así vemos que tuvieron que pasar 3 meses. Problema 4. (d) El 19 porciento de 2019 es 19x0.19=383.61, el 20 porciento de 2018 es 403.6, 1/5 de 2018 es 403.6, el 21 porciento de 2017 es 423.57 y 2/11 de 2017 es 366.72. Por lo tanto el mayor es el 21 porciento de 2017. Problema 5. (c) Como el perimetro de un cuadrado es 4 veces lo que miden sus lados y los lados de las monedas que gaste deben sumar 250, entonces su perimetro es 250x4=1000 cm. Problema 6. (b) De las últimas 4 veces que se lanzo solo ha caido un sol por lo que el siguiente lanzamiento deberá ser sol. Después de el sol que debe caer el siguiente lanzamiento no puede ser sol porque tendriamos 5 lanzamientos con 3 soles, entonces este último lanzamiento tiene que ser águila. Por lo tanto los siguientes dos lanzamientos son sol y águila. Problema 7. (d)el recorrido de caperucita sería 2, 3, 1, 4, 5, 2 y luego ya no hay un 3 al que pueda ir por lo que deberá dirigirse a la cabaña que tiene más cercana, la cual es la cabaña 4. Problema 8. (d) Ana va al gimnasio los días multiplos de 3, Beto va los días multiplos de 5 a partir del día 10, entonces Beto y Ana se encuentran los días multiplos de 15. Carlos entró 17 días después que Ana y va cada 4 días, entonces no se encontrará con Ana ni el día 15, ni el 30 pero si el día 45, entonces el día 45 es el primer día que se encontrarán los tres. Problema 9. (b) Como al número le agregamos un cinco en el dígito de las centenas, entonces agregamos 500, pero quitamos el 5 de las decenas, entonces quitamos 50. Por lo tanto la diferencia es 500-50=450. Problema 10. (d) Sin importar la cantidad de escalones como cubre el largo de cada un, entonces ocupa 4 metros de alfombra para el largo de todos los escalones y como cubre la altura de cada escalón, entonces ocupa otros 3 metros de alfombra para cubrir la altura de cada escalón. Por lo tanto necesita 7 metros de alfombra. Problema 11. (b) Los 17 de metal que tengo son equivalentes a 51 de plastico y 6 megas es equivalente a 72 de plastico, entonces me hacen falta 21 de plastico para tener 6 megas. Problema 12. (c) Una caja azul tiene en total 8 cajas dentro y las cajas verdes no tienen cajas dentro, entonces si tengo tres cajas azules y una verde las que no podre observar son 24 que es justo lo que dice el problema. Por lo 4
tanto los colores de las cajas que puedo observar son azul y verde. Problema 13. (b) Vemos que cada 4 dígitos se repite el patrón, entonces como 2016 es multiplo de 4 el dígito que escribe en la posición 2016 es el mismo que escribe en la posición 4 que es el 8, entonces en la posición 2017 escribe el 2 y en la posición 2018 escribe el 0. Problema 14. (b) Las cantidades de números impares y de números pares consecutivos solo pueden ser iguales o diferir por 1. si la proporción fuera el 45 por ciento, entonces los pares son el 55 por ciento y por lo tanto un solo número es el 10 por ciento, así que todos los números consecutivos que escribió Estefanía son 10. Pero de 10 números consecutivos siempre son cinco pares y cinco impares, entonces los impares no son el 45 por ciento. Por lo tanto 45 por ciento no puede ser la proporción de impares. Problema 15. (d) Como un ángulo es el doble de 26, entonces es 52, luego tenemos otro ángulo de 90 grados por ser triángulo rectángulo y como los ángulos de un triángulo suman 180, entonces el otro ángulo es 38. 5 Nivel V. 3 de Secundaria Problema 1. (b) Los 17 de metal que tengo son equivalentes a 51 de plastico y 6 megas es equivalente a 72 de plastico, entonces me hacen falta 21 de plastico para tener 6 megas. Problema 2. (e)cada que hacemos un corte nos separa un pedazo de liston en dos pedazos, entonces como inicialmente tenemos un pedazo de liston y hacemos 19 cortes obtendremos 20 pedazos. Problema 3. (d) Para que la suma sea 27 solo hay un número de tres dígitos que cumple esto, el 999. El más pequeño de 4 dígitos cuya suma de dígitos sea 27 debe empezar con 1 para ser lo más pequeño posible, entonces los otros 3 dígitos deben ser un ocho y dos nueves, entonces para ser lo más pequeño posible el dígito de las decenas debe ser el 8. Por lo tanto el segundo número más pequeño cuya suma de dígitos sea 27 es el 1899. Problema 4. (b)como al número le agregamos un cinco en el dígito de las centenas, entonces agregamos 500, pero quitamos el 5 de las decenas, entonces quitamos 50. Por lo tanto la diferencia es 500-50=450. Problema 5. (d)sin importar la cantidad de escalones como cubre el largo de cada un, entonces ocupa 4 metros de alfombra para el largo de todos los escalones y como cubre la altura de cada escalón, entonces ocupa otros 3 metros de alfombra para cubrir la altura de cada escalón. Por lo tanto necesita 7 metros de alfombra. Problema 6. (b) De las últimas 4 veces que se lanzo solo ha caido un sol por lo que el siguiente lanzamiento deberá ser sol. Después de el sol que debe caer el siguiente lanzamiento no puede ser sol porque tendriamos 5 lanzamientos con 3 soles, entonces este último lanzamiento tiene que ser águila. Por lo tanto los siguientes dos lanzamientos son sol y águila. Problema 7. (b) La suma de minutos que tarda en bañarse cada uno es 65. Como tienen dos baños lo que tarden en uno más lo que tarden en el otro debe ser 65, entonces lo más pronto que pueden acabar sería que en un baño tardaran 32 minutos y en el otro 33 lo cual se puede lograr poniendo a los hermanos que tardan 12 y 20 minutos en el mismo baño y a los otros tres hemanos en el otro baño. Por lo tanto lo más temprano que pueden terminar de bañarse es a las 7:33 am. Problema 8. (d)ana va al gimnasio los días multiplos de 3, Beto va los días multiplos de 5 a partir del día 10, entonces Beto y Ana se encuentran los días multiplos de 15. Carlos entró 17 días después que Ana y va cada 4 días, entonces no se encontrará con Ana ni el día 15, ni el 30 pero si el día 45, entonces el día 45 es el primer día que se encontrarán los tres. Problema 9. (b) Las cantidades de números impares y de números pares consecutivos solo pueden ser iguales o diferir por 1. si la proporción fuera el 45 por ciento, entonces los pares son el 55 por ciento y por lo tanto un solo número es el 10 por ciento, así que todos los números consecutivos que escribió Estefanía son 10. Pero de 10 números consecutivos siempre son cinco pares y cinco impares, entonces los impares no son el 45 por ciento. Por lo tanto 45 por ciento no puede ser la proporción de impares. Problema 10. (b) Como 15 cm 2 es el 20 por ciento, entonces 15x5 es el 100 por ciento. Por lo tanto el área de 5
toda la gráfica es 75 cm 2. Problema 11. (a) En total el vendedor tiene 13 globos. Como necesita 3 globos para hacer feliz a un niño, entonces solo puede hacer feliz a 4 niños y le sobra un globo como máximo. Problema 12. (e) Separemos en tres casos, que su camisa sea azul, que sea roja o que sea amarilla. Si la camisa es azul, entonces tiene 7 opciones para el pantalón (cualquiera de sus pantalones menos los azules) y como tiene 4 camisas azules, entonces tiene 4x7=28 maneras distintas de vestirse si su camisa es azul. Si su camisa es roja, entonces tiene 4 opciones para elegir su pantalón y como tiene 3 camisas rojas, entonces tiene 3x4=12 maneras distintas. Si su camisa es amarilla, entonces tiene 7 opciones para elegir su pantalón y como tiene 6 camisas amarillas, entonces tiene 6x7=42 maneras distintas de vestirse. Sumando todos los casos obtenemos que la cantidad de maneras distintas de vestirse es 82. Problema 13. (c) En la siguiente tabla se muestran las fracciones con numerador y denominador entre 1 y 6. Las fracciones que se encuentran tachadas es porque son iguales a alguna otra. Entonces la respuesta es 23. 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 5/6 6/1 6/2 6/3 6/4 6/5 6/6 Problema 14. (a) Como David terminó en la posición 21, entonces le ganaron 20 corredores. Como Rodrigo le ganó a 1.5 veces el número de corredores que le ganaron a David que son 20, entonces Rodrigo le ganó a 30 corredores. Digamos que el número de corredores que le ganaron a Rodrigo es k, entonces David le ganó a 2k corredores y el número de participantes es 2k + 20 + 1 que es también k + 30 + 1 pues son los corredores contra los que ganaron más contra los que perdieron más ellos mismos. Resolviendo la ecuación obtenemos que k=10, entonces el número de corredores es 41. Problema 15. (a) Como el perímetro es 4 veces el lado del cuadrado y el área es lado por lado, entonces el lado tiene que medir 4 y por tanto el área es 16. 6