GRADO EN MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE GRANADA Modelos Matemáticos II de julio de 4 Curso 3/4 Se considera el siguiente problema isoperiméétrico: calcular el mínimo relativo del funcional en el espacio D = y C [, e], F[y] = x yx dx =, xy x dx, } yx senπ lnx dx = x Encuentra las extremales del problema en D C [, e] Es alguna de las extremales un mínimo en D C [, e]? Recuerda que el cambio de variable x = e z reduce una EDO de Euler a una con coeficientes constantes Solución: Al tratarse de un problema de optimización con ligaduras, deberíamos introducir el funcional corregido F x, y, p = xp + λ x y + λ y senπ lnx x y calcular su ecuación de Euler Lagrange asociada Obtenemos λ x y + λ d senπ lnx x dx xp = λ x y + λ x senπ lnx y xy = o, equivalentemente, x y + xy λ y = λ senπ lnx Si retenemos solo la primera de las ligaduras, nos encontramos con una ecuación de tipo Euler que, después del cambio de variable x = e z, se transforma en la siguiente ecuación diferencial con coeficientes constantes: y z λ yz =, que ha de ser resuelta junto con las siguientes condiciones de contorno: yx = = yz = =, yx = e = yz = =, de donde se desprende que las únicas soluciones no triviales, tras de haber deshecho el cambio de variable, son todas de la forma A sennπ lnx, A, de entre las cuales la ligadura solo es satisfecha si se toma A = ± Por consiguiente, disponemos de las extremales y n x = ± sennπ lnx Multiplíquese la ecuación por el factor x senπ lnx e intégrese por partes en el intervalo [, e] para obtener λ = Dado que y C[, e]
Basta entonces con observar que la segunda ligadura no es más que una relación de ortogonalidad respecto de y con función peso x : x yxy x dx =, de donde se desprende que recuérdese la teoría estudiada sobre problemas isoperimétricos las extremales en que se materializa el mínimo son exactamente las que vienen dadas por y x = ± senπ lnx Se consideran los siguientes tres funcionales: F[y] = b pxy x + qxyx b dx, G[y] = sxyx dx, a a Λ[y] = F[y] G[y], donde p C [a, b], q, s C[a, b] y p, s > a Para p = s =, q =, a = y b = π, calcula las extremales de F en D Además, sabiendo que para estos valores se tiene F[y] en D, prueba que solamente en dos de ellas alcanza Λ el mínimo en D b Siendo yx un extremo relativo no nulo de Λ en D = y C [a, b], b determina la ecuación diferencial que ha de verificar a sxyx dx = π } C [a, b], Solución: a Para tales elecciones se tiene que F[y] = π y x yx dx y π D = y C[, π], yx dx = π } C [, π] Las extremales de F en D son las soluciones de la ecuación de Euler-Lagrange asociada a F x, y, p := p y λy, que no es otra que y ++λy = a saber: yx = A cos + λ x+b sin + λ x, que satisfacen las condiciones y = yπ =, π yx dx = π Se tiene: y = A = yπ = λ n = n π = π yx dx π = B π sinnx dx = B π B = ±
Por consiguiente, las extremales pedidas son y n x = ± sinnx, n N Finalmente, como F[y], G[y] en D y Λ[± sinnx] = π n, se deduce que el funcional Λ alcanza su valor mínimo = en yx = ± sinx b Si partimos del hecho de que yx es un extremo relativo no nulo de Λ en D, en particular ha de verificar la ligadura G[y] = b a sxyx dx = π O, dicho de otro modo, yx ha de ser un extremo relativo no nulo de F luego de F en π C [a, b] En definitiva, la ecuación diferencial que yx debe satisfacer no es otra que la ecuación de Euler Lagrange asociada al funcional F: = qy d dx py py qy = 3 Se considera el siguiente funcional, que representa la energía asociada a la vibración de la cuerda de una guitarra de longitud π: definido en F[u] = T π } u t u x dx dt, D = u C [, T ] [, π] : u, x = ut, x = ut, = ut, π = } 3a Para u C [, T ] [, π], encuentra la ecuación de Euler Lagrange asociada al problema variacional anterior 3b Se considera que: La cuerda está fija en sus extremos: ut, = ut, π = La vibración es estacionaria, luego u t t =, x = La cuerda comienza a vibrar cuando es soltada de la posición inicial ut =, x = x si x [, π/] π x si x [π/, π] En las condiciones anteriores, resuelve el correspondiente problema mixto para la ecuación encontrada en el apartado a Solución: a La ecuación de Euler Lagrange es o, equivalentemente, = d dt u t d dx u x = u tt + u xx u tt = u xx
b Se trata de resolver el problema mixto para la ecuación de ondas u tt = u xx que resulta de imponer las condiciones de contorno ut, = ut, π = y los datos iniciales ut =, x = x si x [, π/] π x si x [π/, π] y u t t =, x = Para ello empleamos la técnica de separación de variables, que consiste en buscar soluciones que respondan a la forma ut, x = vtwx En tal caso habría de cumplirse v twx = vtw x v t vt = w x wx = λ R Comenzamos resolviendo el problema de contorno constituido por la ecuación w x + λwx = junto con las condiciones de frontera w = wπ =, el cual admite como valores propios λ n = n, n N, y como funciones propias w n x = C sinnx, C R El siguiente paso consiste en resolver la ecuación diferencial v t + n vt =, que arroja la siguiente familia de soluciones: v n t = C cos nt + C 3 sin nt, con C, C 3 R Por consiguiente, los perfiles buscados son de la forma u n t, x = An cos nt + B n sin nt sinnx, A, B R n N Imponiendo finalmente las condiciones iniciales, se tiene en primer lugar que u n t t, x = n N n A n sin nt + B n cos nt sinnx = u n t, x = n N B n sinnx x π B n = n N Finalmente, se obtiene u n, x = n N A n sinnx = n N ϕ n sinnx, donde ϕ n = π π ϕx sinnx dx x si x [, π/] son los coeficientes del desarrollo de Fourier en senos de la función ϕx = π x si x [π/, π] en el intervalo [, π] Para concluir, calculamos los ϕ n que han de coincidir, para cada n N, con
los A n que buscamos: π/ π x sinnx dx + π/ ϕ n = π = π/ x sinnx dx π = π/ x sinnx dx π π/ x sinnx sin = π = π π n = πn sin n π π π/ π x sinnx dx x sinnx dx π π/ n x + π n cosnπ cos n π sin n x + π dx π cosnπ cos n π n x + π dx π cosnπ cos n π n cosnπ cos n π sinnπ sin n π π cosnπ cos n π n n 4 Para describir el crecimiento de una bacteria mediante un modelo matemático, se supone que el paso de nutrientes al interior de la misma está regulado por un sistema de receptores enzimaticos localizados en su membrana como indica el dibujo modelo de Michaelis Menten, de modo que el nutriente externo es capturado por uno de los receptores que hay sobre la membrana bacteriana, y entonces es bien introducido como alimento en la bacteria por un mecanismo de transporte o bien devuelto al exterior, dejando de nuevo libre al receptor Describimos este esquema molecular mediante leyes de acción de masa, denotando por C las moléculas de nutriente externo, por X los receptores enzimáticos no ocupados, por X los receptores ocupados y por P el nutriente que ha pasado al interior k C + X k X k X P + X 4a Llamando como sigue: c = [C], x = [X ], x = [X ] y p = [P ] a las respectivas concentraciones de cada uno como variables dependientes del tiempo, determina el sistema de 4 EDOs que verifican estas concentraciones 4b Usando que la ecuación del nutriente introducido está desacoplada y que la concentración de receptores de membrana ocupados + no ocupados es constante, reduce el sistema a sólo
EDOs para las incógnitas c y x Toma inicialmente sólo receptores libres, es decir, x = y x = R > y todo el nutriente en el exterior, es decir, c = N > y p = 4c Suponiendo que hay abundancia de nutrientes podemos considerar que a partir de un cierto instante la concentración de receptores ocupados apenas cambia, es decir, que dx /dt Usa esta hipótesis para demostrar que dt = α c β + c para ciertas constantes α y β descritas en términos de R, k, k y k 4d Usa k R como unidad típica de tiempo y N como concentración típica de nutrientes y adimensionaliza la ecuación Solución: a El sistema es el siguiente: dt = k x k cx, dx dt = k x k cx + k x, dx dt = k x + k cx k x, dp dt = k x b A partir de la cuarta ecuación, es claro que pt = p + t k x s ds = t k x s ds Por otra parte, como la concentración de receptores de membrana es constante se tiene que d dt x + x = x t = x x x t = R x t Finalmente, sustituyendo x en las ecuaciones de c y x encontramos dt = k x k cr x = k cr + k c + k x, dx dt = k cr x k + k x = k cr k c + k + k x c Como dx dt =, se tiene que k cr k c + k + k x =, luego x = k cr k c + k + k Entonces dt = k cr + k c + k c = k k R = k c + k + k k c + k + k k Rc c + k +k k
Basta finalmente por identificar α = k R, β = k + k k d Se definen τ = k Rt y vτ = ct = c τ k R Entonces N N dv dτ = N dt = α Nk R donde las constantes k Nk y k +k Nk k R = αct = Nk R β + ct k R vτ = k vτ Nk β N + vτ son ambas adimensionales k +k Nk α ct N + vτ β + N ct N, Todos los ejercicios tienen el mismo valor